09 Menghitung Ukuran Data dari Data Berkelompok

(1)

S T A T I S T I K A

B. Menghitung Ukuran Data dari Data Berkelompok

Terdapat tiga macam ukuran dalam pengolahan data statistika, yakni ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran. Pada materi sebelumnya telah diuraikan penjelasan ketiga ukuran tersebut untuk data tunggal. Untuk data

berkelompok ukuran-ukuran tersebut mempunyai aturan dan rumus tersendiri, yakni sebagai berikut :

1. Rumus menentukan rataan data





f .x f _

x T atau



 

f .d f s x _ x

dimana : x_T = titik tengah kelas f = frekwensi

S

x = rata-rata sementara d = x_T – x_S 2. Rumus menentukan median data

  

 

  

  _ 



F k f n k TB e

M 2

1

dimana : M_e = Median data TB = Tepi bawah kelas median

k = panjang kelas atau interval kelas n = Banyaknya data

k

f = Frekwensi kumulatif diatas kelas median F = Frekwensi pada kelas median

Rumus diatas diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut : Misalkan terdapat data dalam diagram berikut ini

1 E E₂

A B

C

D

E

F

G

(2)

Dimana E₁= E₂ maka A + B + C + D = f_k

A + B + C + D + E₁= n

2 1

f_k + E₁= n

2 1

jadi E₁= n

2 1

– fk Sehingga : M_e = L + jarak LP

Dimana

i LP jarak

=

E E₁

i LP jarak

=

F f n _k

2 1



Jarak LP = i

   

 

   



 _

F f n _k

2 1

Jadi M_e= L + i

   

 

   



 _

F f n _k

2 1

3. Rumus menentukan modus data     

  

 



2 d 1 d

1 d k TB o M

dimana : M_o = Modus data

TB = Tepi bawah kelas modu

k = panjang kelas atau interval kelas 1

d = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi kelas sebelumnya 2

d = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi kelas sesudahnya Rumua diatas diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut :

Misalkan terdapat data dalam diagram berikut ini

Dari gambar diatas diperoleh M_o = L + EF

Maka

AB EF

=

CD FD

EF iEF

A

B C

D E

L F

o

(3)

(d₁+d₂)EF = id₁ sehingga EF = i _

  

 

 ₂ 2

1

d d

d

Jadi M_o= L + i _   

 

 ₂ 2

1

d d

d

4. Rumus menentukan kuartil data ( i

Q ), Desil (D_i) dan persentil (P_i),

Dengan cara yang sama seperti menurunkan rumus median, dapat pula ditentukan rumus kuartil (

i

Q ), desil (D_i) dan persentil (P_i), yakni :

Rumus kuartil :

   

 

   

  _ 



F k f n k TB i

Q 4

i

i = 1, 2, 3, 4

Rumus desil :

   

 

   

  _ 



F k f n k TB i

D 10

i

i = 1, 2, 3, ... , 9

Rumus Persentil :

   

 

   

  _ 



F k f n k TB i

P 100

i

i = 1, 2, 3, ... , 99

dimana : TB = Tepi bawah kelas kuartil / desil / persentil

k = panjang kelas atau interval kelas kuartil / desil / persentil n = Banyaknya data

k

f = Frekwensi kumulatif diatas kelas kuartil / desil / persentil F = Frekwensi pada kelas kuartil / desil / persentil

5. Rumus menentukan simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) =  



n

1 i

x i x(t) n

1

Dimana : n = Banyaknya data x(t)_i = Data tengah kelas ke-i x = Nilai rata-rata (mean)

6. Rumus menentukan simpangan baku

Simpangan baku (s) =

n x x(t) n

1 i

2 i

)

(







(4)

20 280

_ x 

4 1 _ x 

t

x xt





f f.x_t

_ x

t x

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Diketahui data nilai hasil ulangan matematika 20 orang siswa. Dari data tersebut tentukanlah :

(a) Frekwensi kumulatif nilai kurang dari 75,5 (b) Frekwensi kumulatif nilai lebih dari 65,5 (c) Frekwensi kumulatif relatif nilai di atas 75,5

Jawab

(a) Frekwensi kumulatif nilai kurang dari 75,5 = 4 + 5 + 3 = 12 (b) Frekwensi kumulatif nilai lebih dari 65,5 = 5 + 3 + 6 + 2 = 16 (c) Frekwensi kumulatif relatif nilai di atas 75,5 =

20 2 6

x 100% = 40%

02. Tentukanlah rataan data dari data pada tabel disamping, dengan menggunakan dua cara

Jawab

Nilai f f .

1 – 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20 21 – 25 26 – 30

4 2 5 5 3 1

3 8 13 18 23 28

12 16 65 90 69 28

20 280

Cara lain menentukan rataan (mean) data adalah dengan rataan sementara (x_s ), yakni titik tengah interval kelas pertengahan. Untuk soal di atas kita ambil 18. Kemudian disusun tabel sebagai berikut :

Nilai f d = x_t x_s f . d 1 – 5

6 – 10 11 – 15 16 – 20

4 2 5 5

3 8 13 18

–15

–10

–5 0

–60

–20

–25 0

Nilai f

65 60 

2 6 3 4 5 70 66 

75 71

80 76 

85 81

Nilai f

5 1 

3 5 5 4 2 10

6 

15 11

20 16 

25 21

30

(5)



Selanjutnya dimasukkan ke rumus :



03. Dari data pada tabel disamping, tentukanlah nilai mediannya

Jawab

Jumlah frekwensi = 20

Data tengah ada pada urut ke 10,5

Sehingga kelas median adalah : 61 – 65 Selanjutnya dilengakpi nilai-nilai :

TB = 60,5

04. Dari data disamping tentukanlah nilai modusnya

Jawab

Kelas Modus adalah kelas yang paling tinggi frekwensinya (f = 8), yakni 31 – 35 Selanjutnya dilengkapi nilai-nila :

Nilai f

55

Nilai f

(6)



05. Dari data disamping tentukanlah (a) Nilai kuattil bawah

(b) Nilai kuartil atasnya Jawab

(a) Nilai kuartil bawah

Jumlah frekwensi : n = 24, maka n 6 4 1 _

Sehingga Q₁ ada pada data ke 6

Jadi kelas kuartil bawah (Q₁) adalah : 37 – 42 Selanjutnya dilengakpi nilai-nilai :

TB = 36,5 (a) Nilai kuartil bawah

Jumlah frekwensi : n = 24, maka n 18 Selanjutnya dilengakpi nilai-nilai :

Nilai f

(7)

Statistika 7

06. Jika data nilai ulangan pada tabel disamping diambil 40% tebaik, maka tentukanlah batas nilai pengambilan itu Jawab

Batas nilai 40% tertinggi sama dengan batas nilai 60% terendah, sehingga penentuan nilai batas diambil dari desil ke-6 atau D₆

Jumlah frekwensi : n = 30, maka (30) Selanjutnya dilengakpi nilai-nilai :

TB = 57,5 simpangan bakunya

Nilai f

45

Nilai f

(8)

Jawab

Proses menentukan simpangan baku, dibantu dengan tabel berikut ini :

Nilai f x_t f . x_t _x_t _x 2 ) x t

(x  f.(x_t x)2 1 – 5

6 – 10 11 – 15 16 – 20 21 – 25 26 – 30

4 2 5

5 3 1

3 8 13

18 23 28

12 16 65

90 69 28

–11

–6

–1 4 9 14

121 36

1

16 81 196

484 72

5

80 243 196

20 280 1080

Nilai rata-rata diperoleh :

20 280

x  = 14 Selanjutnya di hitung simpangan baku :

20 1080 