Materi Ekonometrika untuk S1

(1)

Ekonometrika

Program Studi Statistika, semester Ganjil 2012/2013

(2)

Heteroskedasticity



Penyimpangan asumsi ketika ragam galat

tidak konstan



Ragam galat populasi di setiap

X

_i

tidak sama



Terkadang naik seiring dengan nilai

X

_i



Terkadang turun seiring dengan nilai

X

_i

(3)

Ilustrasi grafis asumsi Homokesdastisitas







2



2

(4)

Ilustrasi grafis asumsi Heterokesdastisitas







2



2

var

u

_i

X

_i



E

u

_i

X

_i





_i

3 2

1

X



2 3 2

2 2

1



(5)

Contoh-contoh kasus dengan

Heteroskedastisitas

 Error learning models

 Kesalahan semakin sedikit seiring waktu

 Pada kasus menduga jumlah kesalahan ketik berdasarkan lama jam latihan.

 Semakin lama jam latihan, rata-rata maupun ragam kesalahan ketik semakin kecil

 Pada kasus pendapatan dan saving

 Semakin banyak pendapatan semakin banyak pilihan jumlah uang yang ingin ditabung

 Semakin banyak pendapatan semakin beragam jumlah saving

 Adanya pencilan atau sebaran salah satu peubah

eksogen yang menjulur

(6)



Kesalahan dalam spesifikasi model

 Tidak menggunakan peubah eksogen yang sesuai

(7)

Efek dari Heterokesdastisitas

 Penduga OLS bagi β tetap tidak bias dan konsisten.

 Heterokesdastisitas meningkatkan ragam dari sebaran penduga

β

 Penduga β bukan lagi penduga yang paling efisien

 Pada uji t dan uji F terjadi underestimation bagi

ragam atau simpangan baku penduga parameter

 Statistik uji t atau statistik uji F menjadi lebih besar dari

yang sebenarnya

 Lebih sering terjadi penolakan H₀ pada uji koefisien

parameter

 Uji-uji tersebut menjadi kurang terpercaya

(8)

Efek secara matematis terhadap struktur

ragam penduga koefisien

 Untuk regresi linier sederhana:

 







 

 2 ₂ 2 ₂

2 1 1 ˆ var i

i X x

X 

 

 Dengan modifikasi:

 



₂



2 2 2 2 2 2 1 ˆ var



  i i i x x x   



₂



2 2 2



 i i x x 

 Jika ragam tidak konstan maka:

 

(9)

 Pada kasus heterokesdastisitas, ragam berfluktuasi seiring nilai X  Ragam penduga β menjadi lebih besar → penduga yang tidak efisien

 





(*) ˆ var ₂ 2 2 2 2



 i i i x x  

 



₂



2 2 2 2 ˆ ˆ var



 i i x x  

 Jika heterokesdastisitas tidak terdeteksi:

 pada uji t dan uji F digunakan satu nilai penduga

ragam, dan dipakai hubungan berikut:

 Nilai tersebut akan jauh lebih kecil daripada nilai ragam

(10)



Underestimated variance or standard deviation:

 Memberikan nilai statistik uji t atau F yang terlalu

besar

(11)

Cara mendeteksi

 Secara grafis

 Berdasarkan plot residual

 Dengan uji statistik

1. Breusch-Pagan LM test

2. Glesjer LM test

3. Harvey-Godfrey LM test

4. Park LM test

5. Goldfeld-Quant test

6. White test

Pada 1, 2, 3, 4, 6, dibentuk auxiliary regression dengan residual

sebagai peubah endogen dan X sebagai peubah eksogen

Koefisien determinasi dari auxiliary regression dipakai sebagai

statistik uji

Pada 5 dilakukan sub sampling berdasarkan nilai X yang

(12)

Y^ u^2

no heteroscedasticity

Y^ u^2

yes

Y^ u^2

yes

Y^ u^2 yes

(13)

Breusch-Pagan LM test

 Langkah 1: duga model regresi di atas dan dapatkan

penduga residualnya

i ki

k i

i

i X X X u

Y ₁  ₂ ₂  ₃ ₃ ...  

i i

i Y Y

uˆ  ˆ 

 Langkah 2: menduga auxiliary regression berikut di

mana peubah bebas yang digunakan adalah peubah-peubah yang mungkin mempengaruhi ragam galat

 Peubah eksogen X

i pi

i

i a a X a X v

(14)

 Langkah 3: formulasikan hipotesis nol dan

alternatif

 Hipotesis nol: kasus homokesdastisitas, tidak

ada hubungan antara X dan residual

 Hipotesis alternatif: kasus heterokesdastisitas,

terdapat hubungan antara _H₀ __a₁ __a₂ __... __aX_p dan residual 0

satu sedikit

paling :

1 ai 

H

 Langkah 4: Dapatkan statistik uji berdasarkan

koefisien determinasi dari auxiliary regression R2

2 1

2 _~



nR _p

LM  Derajat bebas adalah jumlah X yang digunakan di dalam

auxiliary regression

 Langkah 5: Tolak H₀ jika ada bukti yang nyata

(15)

Glesjer LM test

penduga residualnya

i ki

k i

i

i X X X u

Y ₁  ₂ ₂  ₃ ₃ ...  

i i

i Y Y

uˆ  ˆ 

i pi

i

i a a X a X v

(16)

alternatif

satu sedikit

paling :

1 ai 

H

2 1

2 _~



nR _p

(17)

Harvey-Godfrey LM test

penduga residualnya

i ki

k i

i

i X X X u

Y ₁  ₂ ₂  ₃ ₃ ...  

i i

i Y Y

uˆ  ˆ 

 

uˆ_i2 a₁  a₂X₂_i ... a₂X _pi  v_i

(18)

alternatif

satu sedikit

paling :

1 ai 

H

2 1

2 _~



nR _p

(19)

Park LM test

penduga residualnya

i ki

k i

i

i X X X u

Y ₁  ₂ ₂  ₃ ₃ ...  

i i

i Y Y

uˆ  ˆ 

 

uˆ_i a  a ln X _i ... a ln X _pi v_i

(20)

alternatif

satu sedikit

paling :

1 ai 

H

2 1

2 _~



nR _p

(21)

Goldfeld-Quant Test

 Ide dasar: jika ragam sama untuk seluruh

pengamatan (homoskedastic) maka:

 Ragam dari sub sampel pertama akan sama dengan ragam dari sub sampel kedua

 Uji dapat dilakukan jika diketahui peubah mana

yang paling berhubungan dengan galat residual

 Dari plot antara residual dengan masing-masing peubah eksogen

 Kelemahan:

 Jika heteroskedastisitas disebabkan oleh lebih dari satu peubah eksogen

 Tidak dapat dilakukan pada data deret waktu

(22)

 Langkah 1:

 Tentukan peubah eksogen yang paling berhubungan dengan ragam galat.

 Urutkan pengamatan untuk peubah ini dari yang terbesar ke yang terkecil

 Langkah 2:

 Bagi pengamatan terurut menjadi dua sub sampel yang sama besar

 c pengamatan di tengah dihilangkan

 2 sub sampel beranggotakan ½(n - c) pengamatan

 Sub sampel I beranggotakan pengamatan dengan nilai-nilai besar

(23)

 Langkah 3:

 Lakukan analisis regresi untuk Y terhadap X yang digunakan di langkah 1, pada masing-masing sub sampel

 Dapatkan JK Residual untuk masing-masing model

 Langkah 4:

 Hitung statistik uji F sbb:

dari statistik uji

     n c k n c k

F JKG

JKG

F  _ _ _ _

2 1 2

1 _,

2

1 _~

JKG₁ adalah JK Galat dengan nilai terbesar.

(24)



Bagaimana menentukan nilai

c

, jumlah

pengamatan di tengah yang dihapuskan?



Umumnya digunakan 1/6 atau 1/3 dari jumlah

(25)

White’s test

 Uji LM yang mempunyai kelebihan dari uji-uji yang

lain

 Tidak memerlukan pengetahuan awal tentang

peubah eksogen penyebab heteroskedastisitas

 Tidak sensitif terhadap asumsi kenormalan

 Dapat dipakai untuk regresi dengan k parameter

(k-1 peubah eksogen)

 Untuk ilustrasi digunakan regresi dengan 2 peubah

(26)

White’s test

penduga residualnya

i i

i

i X X u

Y ₁  ₂ ₂  ₃ ₃ 

i i

i Y Y

uˆ  ˆ 

 Langkah 2: menduga auxiliary regression berikut

 Semua peubah eksogen digunakan

 Digunakan pangkat dua dari semua peubah

eksogen

 Interaksi yang mungkin antara semua peubah

eksogen

i i

i

i a a X a X a X a X a X X v

(27)

alternatif

terdapat hubungan antara X dan residual

6 2

1

0 a a ... a

H    

0 satu

sedikit paling

:

1 ai 

H

2 1 6

2 _~



nR 

LM

(28)

Metode mengatasinya



Weighted least square

(29)

 Jika penyebab heterokesdastisitas diketahui, informasi

ini dapat digunakan untuk menerapkan metode Weighted Least Square (WLS)

 Sebagai ilustrasi dari penerapan WLS: misalkan ragam

galat berhubungan dengan suatu peubah zi

 

2 2

var u_i  z_i

 Bagi persamaan regresi dengan z_t

i i i i i i i i _v z x z x z z y   

₁ 1 ₂ 2 ₃ 3

t t t z u v 

(30)

 Dengan hubungan tersebut, dapat dibentuk ragam yang

konstan, sbb:

 

2

2 2 2 2 var var

var _   

      i i i i i i i z z z u z u v

 Parameter diperoleh dari model dengan peubah yang

(31)

White’s Method



Heteroskedasticity – consistent estimation

method



Dipakai ketika penyebab heteroskedastisitas

tidak diketahui



Diberikan koreksi tertentu dari White, pada

penduga ragam dan simpangan baku dari

metode OLS.



White’s heteroskedasticity – corrected