ESTIMASI BAYESIAN BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN ENTROPI UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL REPOSITORY OLEH

(1)

ESTIMASI BAYESIAN BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN ENTROPI UNTUK PARAMETER

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

REPOSITORY

OLEH

ADILA RAHMA NIM. 1403113842

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU

2018

(2)

ESTIMASI BAYESIAN BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN ENTROPI UNTUK PARAMETER

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Adila Rahma

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

dila2865@gmail.com

ABSTRACT

This article discusses the Bayes estimators for the parameter of exponential distribution under different loss function. Here the gamma distribution is used as the prior distributon of exponential distribution for finding the Bayes estimator. Bayes estimators are obtained by quadratic loss function and entropy loss function. Bayes estimators under quadratic loss function and entropy loss function are biased estimators. Simulation results show that Bayes estimator under entropy loss function is more efficient than Bayes estimator under quadratic loss function with proper choice of entropy parameter and depending on the value of prior distribution parameters. MSE of estimators of different loss functions are presented graphically.

Keyword: Bayes estimator, exponential distribution, gamma prior, quadratic loss function, entropy loss function

ABSTRAK

Artikel ini membahas estimator Bayes untuk parameter distribusi eksponensial berdasarkan fungsi kerugian yang berbeda. Distribusi gamma digunakan sebagai distribusi prior dari distribusi eksponensial untuk memperoleh estima- tor Bayes. Estimator Bayes diperoleh berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi. Estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi adalah estimator bias. Hasil simulasi menunjukkan bahwa estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi lebih efisien daripada estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dengan pilihan yang tepat dari parameter entropi dan bergantung pada nilai pa- rameter distribusi prior. MSE dari estimator berdasarkan fungsi kerugian yang berbeda disajikan secara grafis.

Kata kunci: Estimator Bayesian, distribusi eksponensial, prior gamma, fungsi

kerugian kuadratik, fungsi kerugian entropi

(3)

1. PENDAHULUAN

Statistika inferensial merupakan metode yang berhubungan dengan analisis data sampel untuk menarik kesimpulan mengenai data populasi. Penarikan kesimpulan dilakukan dengan estimasi parameter berupa estimasi titik dan interval kemudian dilanjutkan dengan uji hipotesis. Estimasi parameter di- tentukan dengan dua metode yaitu metode statistika frekuentis dan metode statistika Bayesian.

Pada statistika frekuentis, estimasi parameter dan inferensinya berdasarkan informasi data sampel dari parameter populasi yang dinyatakan dalam bentuk fungsi densitas suatu distribusi. Berdasarkan fungsi densitas akan ditentukan fungsi likelihood. Fadhil et al. [6] membandingkan antara estimator Bayesian dan estimator frekuentis (klasik) pada distribusi Weibull.

Ramachandran dan Tsokos [9, h. 560] menyatakan bahwa pada statis- tika Bayesian terdapat informasi tambahan mengenai parameternya yang didasarkan pada pengamatan sebelumnya yang dinyatakan sebagai distribusi prior. Kombinasi dari fungsi likelihood dengan distribusi prior menggunakan teorema Bayes menghasilkan distribusi posterior.

Fungsi kerugian dibutuhkan untuk memperoleh estimator Bayes. Rahman et al. [8] melakukan estimasi Bayesian menggunakan empat jenis fungsi kerugian yaitu squared error, kuadratik, MLINEX dan NLINEX. Al-Kutubi dan Ibrahim [1] juga membahas mengenai estimasi Bayesian untuk pa- rameter berdistribusi eksponensial berdasarkan fungsi kerugian. Prior yang digunakan adalah prior Jeffrey. Referensi lainnya yang membahas mengenai fungsi kerugian adalah Dey [5].

Bain dan Engelhardt [2, h. 304] menyatakan estimator yang efisien adalah estimator yang memenuhi dua kriteria evaluasi yaitu tak bias dan memiliki variansi minimum. Apabila estimator bias, maka estimator yang efisien adalah estimator yang memiliki mean square error (MSE ) minimum.

Distribusi peluang bersifat kontinu diantaranya yaitu distribusi gamma dan distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial adalah salah satu model yang paling umum digunakan dalam studi life-testing dan reliabilitas [3, 10]. Fungsi densitas dari distribusi eksponensial akan ditentukan fungsi likelihood -nya.

Pada artikel ini dibahas mengenai estimator Bayes untuk distribusi ekspo- nensial berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi, dengan membatasi pembahasan hanya dengan menggunakan prior gamma yang merupakan kasian ulang dari artikel Hasan et al. [7].

2. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Hasan et al.[7] menjelaskan distribusi eksponensial dengan parameter θ. Fungsi densitas dan fungsi distribusi komulatif dari distribusi eksponensial adalah

f (x; θ) = θe

^−θx

, 0 ≤ x ≤ ∞; θ > 0 (1)

(4)

dan

F (x; θ) = 1 − e

^−θx

.

Ekspektasi dari distribusi eksponensial adalah E(X) = 1/θ dan variansinya adalah E(X) = 1/θ

²

.

Misalkan X

1

, X

2

, ..., X

n

adalah sampel random dari distribusi ekspo- nensial dengan fungsi densitas pada persamaan (1), fungsi likelihood distribusi eksponensial diketahui sebagai berikut [7]:

L(θ) =

n

Y

i=1

f (x

_i

; θ) =

n

Y

i=1

θe

^−θxⁱ

= θ

ⁿ

e

^−θΣⁿⁱ⁼¹^xⁱ

. (2)

3. STATISTIKA BAYESIAN

Hasan et al. [7] menjelaskan prior gamma merupakan prior konjugat dari distribusi eksponensial yang didefinisikan dengan

π(θ) = β

^α

Γ(α) θ

^α−1

e

^−βθ

; θ, α, β > 0. (3) Selanjutnya, untuk menentukan estimator Bayes dibutuhkan distribusi posterior dengan notasi π(θ|x) yang didefinisikan dengan

π(θ|x) = π(x; θ)

g(x) . (4)

Untuk memperoleh estimator Bayes diperlukan fungsi densitas gabungan dan fungsi densitas marginal. Fungsi densitas gabungan ditulis dalam bentuk

π(x; θ) = L(θ)π(θ). (5)

Selanjutnya fungsi densitas marginal ditulis dalam bentuk g(x) =

Z

Ω

π(x; θ)dθ. (6)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke persamaan (5) diperoleh

π(x; θ) = β

^α

Γ(α) θ

^α+n−1

e

^−(β+Σⁿⁱ⁼¹^xⁱ^)θ

. (7) Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan (7) ke persamaan (6) diperoleh

g(x) = β

^α

Γ(α)

Z

∞ 0

θ

^α+n−1

e

dθ. (8) Jika integral R

∞

0

θ

^α+n−1

e

dθ diselesaikan, maka persamaan (8)

menjadi

(5)

g(x) = β

^α

Γ(α)(β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

^α+n

Z

∞

0

u

^α+n−1

e

^−u

du. (9) Selanjutnya distribusi posterior ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan (7) dan persamaan (9) ke persamaan (4) sehingga diperoleh

π(θ|x) = (β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

^α+n

Γ(α + n) θ

^α+n−1

e

. (10) 4. ESTIMATOR BAYES

Estimator Bayes yang digunakan adalah estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi.

Estimator Bayes Berdasarkan Fungsi Kerugian Kuadratik

Hasan et al. [7] menjelaskan fungsi kerugian kuadratik yang didefinisikan dengan

L(ˆ θ; θ) =

ˆ θ − θ θ

!

2

. (11)

Risiko Bayes yang dinotasikan dengan A

θˆ

pada fungsi kerugian kuadratik adalah

A

θˆ

= Z "

Z ˆ θ

²

− 2θ ˆ θ + θ

²

θ

²

!

π(θ|x)dθ

#

g(x)dx.

Risiko Bayes akan mencapai minimum bila R ((ˆ θ

²

−2θ ˆ θ +θ

²

)/θ

²

π(θ|x)dθ minimum. Integral ini akan minimum dengan mencari turunan pertama dan menyamakannya dengan nol, sehingga turunannya dapat ditulis menjadi

d dˆ θ

"

Z θ ˆ

²

− 2θ ˆ θ + θ

²

θ

²

π(θ|x)dθ

#

= 0. (12)

Dengan menggunakan konsep differensial di dalam tanda integral [4, h. 69], persamaan (12) dapat ditulis menjadi

d dˆ θ

"

Z θ ˆ

²

− 2θ ˆ θ + θ

²

θ

²

π(θ|x)dθ

#

= Z "

d dˆ θ

ˆ θ

²

− 2θ ˆ θ + θ

²

θ

²

!

π(θ|x)

# dθ d

dˆ θ

"

Z θ ˆ

²

− 2θ ˆ θ + θ

²

θ

²

π(θ|x)dθ

#

=

Z 2ˆ θ

θ

²

π(θ|x)dθ +

Z −2θ

θ

²

π(θ|x)dθ. (13) Dengan mensubstitusi persamaan (13) ke persamaan (12) diperoleh

θ = ˆ R

₁

θ

π(θ|x)dθ R

₁

θ²

π(θ|x)dθ . (14)

(6)

Estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik diperoleh menggu- nakan persamaan (14). Langkah pertama ditentukan integral R 1/θπ(θ|x)dθ sebagai berikut:

Z

∞ 0

1 θ π(θ|x)dθ = Z

∞

0

1 θ

(β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

^α+n

Γ(α + n) θ

^α+n−1

e

dθ Z

∞

0

1 θ π(θ|x)dθ = (β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

^α+n

Γ(α + n)

Z

∞ 0

θ

^α+n−2

e

dθ. (15) Jika integral R

∞

0

θ

^α+n−2

e

dθ pada persamaan diselesaikan, maka diperoleh

Z

∞ 0

θ

^α+n−2

e

dθ = Γ(α + n − 1)

(β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

^α+n−1

. (16) Dengan mensubstitusikan persamaan (16) ke persamaan (15) diperoleh

Z

∞ 0

1 θ π(θ|x)dθ = (β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

Γ(α + n) Γ(α + n − 1).

Langkah kedua akan ditentukan integral R

∞

0

1/θ

²

π(θ|x)dθ sebagai berikut:

Z

∞ 0

1 θ

²

π(θ|x)dθ = Z

∞

0

1 θ

(β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

^α+n

Γ(α + n) θ

^α+n−1

e

dθ Z

∞

0

1 θ

²

π(θ|x)dθ = (β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

^α+n

Γ(α + n)

Z

∞ 0

θ

^α+n−3

e

dθ. (17) Jika integral R

∞

0

θ

^α+n−3

e

dθ pada persamaan (17) diselesaikan, maka diperoleh

Z

∞ 0

1 θ

²

π(θ|x)dθ = (β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

²

Γ(α + n) Γ(α + n − 2). (18) Dengan mensubstitusikan persamaan (18) ke persamaan (17) didapat

Z

∞ 0

1 θ

²

π(θ|x)dθ = (β + Σ

ⁿ_i=1

x

i

)

²

Γ(α + n) Γ(α + n − 2).

Dengan mensubstitusikan persamaan (17) dan persamaan (19) ke persamaan (11) diperoleh

θ ˆ

BK

= (α + n − 2)

(β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

) . (19)

Persamaan (19) adalah estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik

(7)

dengan nilai ekspektasi

E(ˆ θ

_BK

) = E (α + n − 2) (β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

E(ˆ θ

BK

) = (α + n − 2)θ βθ + n . .

Karena E(ˆ θ

_BK

) 6= θ, maka estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik bersifat bias dengan nilai biasnya

b(ˆ θ

_BK

) = (α − βθ − 2)θ (βθ + n) .

Estimator Bayes Berdasarkan Fungsi Kerugian Entropi

Hasan et al. [7] menjelaskan fungsi kerugian entropi yang didefinisikan dengan

L(ˆ θ; θ) = ω

" ˆ θ θ

!

c

− c ln ˆ θ θ

!

− 1

#

. (20)

Risiko Bayes yang dinotasikan dengan A

θˆ

pada fungsi kerugian entropi adalah

A

θˆ

= Z "

Z ω

" ˆ θ θ

!

c

− c ln ˆ θ θ

!

− 1

#

π(θ|x)dθ

#

g(x)dx.

Risiko Bayes akan mencapai minimum apabila R ω[(ˆ θ/θ)

^c

− c ln(ˆ θ/θ) − 1]

π(θ|x)dθ minimum. Integral ini akan minimum dengan mencari turunan pertama dan menyamakannya dengan nol, sehingga turunannya dapat ditulis menjadi

d dˆ θ

Z

ω " ˆ θ θ

!

− c ln ˆ θ θ

!

− 1

#

π(θ|x)dθ

!

= 0. (21)

Dengan menggunakan konsep differensial di dalam tanda integral [4, h. 69], persamaan (21) dapat ditulis menjadi

d dˆ θ

Z ω

" ˆ θ θ

!

c

− c ln ˆ θ θ

!

− 1

#

π(θ|x)dθ

!

=

Z d

dˆ θ ω

" ˆ θ θ

!

c

−c ln ˆ θ θ

!

− 1

π(θ|x)dθ

(8)

d dˆ θ

Z ω

" ˆ θ θ

!

c

− c ln ˆ θ θ

!

− 1

#

π(θ|x)dθ

!

=

Z cω ˆ θ

^c−1

θ

^c

π(θ|x)dθ

− Z cω

θ ˆ π(θ|x)dθ. (22) Dengan mensubstitusikan persamaan (22) ke persamaan (21) dihasilkan

θ = ˆ

Z

θ

^−c

π(θ|x)dθ

¹_c

(23) Estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi diperoleh menggu- nakan persamaan (23). Langkah pertama ditentukan integral R θ

^−c

π(θ|x)dθ sebagai berikut:

Z

∞ 0

θ

^−c

π(θ|x)dθ = Z

∞

0

θ

^−c

(β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

^α+n

Γ(α + n) θ

^α+n−1

e

θ

Z

∞ 0

θ

^−c

π(θ|x)dθ = (β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

^α+n

Γ(α + n)

Z

∞ 0

θ

^α+n−c−1

e

dθ. (24) Jika integral R

∞

0

θ

^α+n−c−1

e

dθ pada persamaan (24) diselesaikan, maka persamaan (24) menjadi

Z

∞ 0

θ

^−c

π(θ|x)dθ = (β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

^c

Γ(α + n) Γ(α + n − c). (25) Selanjutnya langkah kedua akan ditentukan R

∞

0

θ

^−c

π(θ|x)dθ

−¹

c

, dengan mensubstitusikan persamaan (25) ke persamaan (23) diperoleh

θ ˆ

_BE

= (β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

⁻¹

Γ(α + n − c) Γ(α + n)

−¹_c

. (26)

Persamaan (26) adalah estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi dengan nilai ekspektasi

E(ˆ θ

_BE

) = E (β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

⁻¹

Γ(α + n − c) Γ(α + n)

⁻¹_c

!

E(ˆ θ

BE

) = θ βθ + n

Γ(α + n − c) Γ(α + n)

−¹_c

.

Karena E(ˆ θ

_BE

) 6= θ, maka estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian

(9)

entropi bersifat bias dengan nilai biasnya b(ˆ θ

_BE

) = E(ˆ θ

_BE

) − θ b(ˆ θ

_BK

) = θ

βθ + n

Γ(α + n − c) Γ(α + n)

⁻¹_c

− θ.

5. Mean Square Error

Berikut ini diberikan teorema untuk menentukan Mean Square Error (MSE ).

Teorema 1 [2, h. 309] Jika T adalah penaksir dari τ (θ), maka

M SE(T ) = Var(T ) + [b(T )]

²

. (27) Bukti. Pembuktian Teorema 1 dapat dilihat pada buku Bain dan Engelhardt [2, h. 309].

Nilai variansi dan bias dari estimator Bayes digunakan untuk memperoleh nilai MSE. Variansi dari estimator Bayes bedasarkan fungsi kerugian kuadratik adalah

Var(ˆ θ

_BK

) = Var (α + n − 2) (β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

Var(ˆ θ

_BK

) = (α + n − 2)

²

θ

²

n . (28)

Selanjutnya variansi dari estimator Bayes bedasarkan fungsi kerugian entropi adalah

Var(ˆ θ

_BE

) = Var (β + Σ

ⁿ_i=1

x

_i

)

⁻¹

Γ(α + n − c) Γ(α + n)

−¹

c

!

Var(ˆ θ

_BE

) = θ

²

n

Γ(α + n − c) Γ(α + n)

−²_c

. (29)

Karena estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik bersifat bias, maka berdasarkan Teorema 1 MSE untuk estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik adalah

M SE(ˆ θ

_BK

) = Var(ˆ θ

_BK

) + [b(ˆ θ

_BK

)]

²

= (α + n − 2)

²

θ

²

n + (α − βθ − 2)θ (βθ + n)

2

M SE(ˆ θ

_BK

) = ((α + n − 2)

²

(βθ + n)

²

+ n(α − βθ − 2)

²

)θ

²

(nβθ + n)

²

. (30)

Selanjutnya estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi juga bersi-

fat bias, maka MSE untuk estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian

(10)

entropi adalah

M SE(ˆ θ

_BE

) = Var(ˆ θ

_BE

) + [b(ˆ θ

_BE

)]

²

= θ

²

n

Γ(α + n − c) Γ(α + n)

⁻²_c

+ θ

βθ + n

Γ(α + n − c) Γ(α + n)

⁻¹_c

− θ

!

2

M SE(ˆ θ

_BE

) = θ

²

1 n + 1

(βθ + n)

²

Γ(α + n − c) Γ(α + n)

−²_c

− 2

(βθ + n)

Γ(α + n − c) Γ(α + n)

−¹_c

+ 1

. (31)

6. Simulasi

Nilai M SE(ˆ θ

_BK

) dan M SE(ˆ θ

_BE

) ditentukan dengan rumus [7]

M SE(ˆ θ) = E[ˆ θ − θ]

²

= V ar(ˆ θ) + [b(ˆ θ)]

²

.

Pada simulasi ini, ukuran sampel yang digunakan adalah n = 5, 10, 15, 20, 25 dan 30, nilai parameter distribusi yang digunakan adalah θ = 1.0, 1.5. Nilai parameter prior gamma α = 0.5, β = 1 dan nilai parameter fungsi kerugian entropi c = 2, 3, 4, 5, serta pengulangan yang dilakukan sebanyak R = 6000.

Hasil dari simulasi ditampilkan pada Tabel 1 dan Tabel 2.

Tabel 1: Nilai MSE dari estimator Bayes untuk parameter θ = 1, α = 0.5 dan β = 1 pada distribusi eksponensial

Ukuran Sampel MSE ˆ θ

BK

MSE ˆ θ

_BE

c = 2 c = 3 c = 4 c = 5 5 0.1804 0.1528 0.1802 0.2646 0.4085 10 0.0918 0.0860 0.0916 0.1056 0.1246 15 0.0651 0.0598 0.0627 0.0673 0.0760 20 0.0489 0.0462 0.0484 0.0497 0.0547 25 0.0388 0.0381 0.0384 0.0409 0.0421 30 0.0327 0.0320 0.0326 0.0338 0.0351

Tabel 1 dengan α = 0.5, β = 1 menunjukkan bahwa ˆ θ

_BE

lebih efisien dari θ ˆ

_BK

untuk c = 2 dan 3 karena nilai MSE (ˆ θ

_BK

) lebih besar dari MSE (ˆ θ

_BE

) untuk nilai c = 2 dan 3, sedangkan untuk nilai c = 4 dan 5 diperoleh nilai MSE (ˆ θ

_BK

) lebih kecil dari MSE (ˆ θ

_BE

). Dan Tabel 2 dengan α = 3, β = 2 menunjukkan bahwa ˆ θ

_BE

lebih efisien dari ˆ θ

_BK

untuk c = 3 dan 4 karena nilai MSE (ˆ θ

_BE

) lebih kecil dari MSE (ˆ θ

_BK

) untuk nilai c = 3 dan 4, sedangkan untuk nilai c = 2 dan 5 diperoleh nilai MSE (ˆ θ

_BE

) lebih besar dari MSE (ˆ θ

_BK

).

Dan dari Tabel 1 dan Tabel 2 dapat disimpulkan MSE menurun dengan

meningkatnya n ukuran sampel.

(11)

Tabel 2: Nilai MSE dari estimator Bayes untuk parameter θ = 1, α = 3 dan β = 2 pada distribusi eksponensial

Ukuran Sampel MSE ˆ θ

BK

MSE ˆ θ

BE

c = 2 c = 3 c = 4 c = 5 5 0.0953 0.1052 0.0915 0.0949 0.1203 10 0.0732 0.0808 0.0729 0.0707 0.0741 15 0.0543 0.0598 0.0532 0.0534 0.0544 20 0.0433 0.0452 0.0423 0.0428 0.0433 25 0.0360 0.0369 0.0359 0.0349 0.0362 30 0.0301 0.0314 0.0294 0.0296 0.0305

Tabel 1 dan Tabel 2 disajikan dalam betuk grafik dan dapat dilihat pada Gambar 1.

Gambar 1: Grafik (a) nilai MSE (ˆ θ

_BK

) dan MSE (ˆ θ

_BE

) dengan θ = 1, α = 0.5 dan β = 1, (b) nilai MSE (ˆ θ

_BK

) dan MSE (ˆ θ

_BE

) dengan θ = 1, α = 3 dan β = 2

7. Kesimpulan

Hasil dari simulasi menunjukkan bahwa estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi merupakan estrimator bias.

Estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi menghasilkan MSE lebih

kecil dari estrimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik. Akan tetapi

hal itu tidak berlaku secara umum, karena hal itu ditentukan dengan nilai α

dan β yang merupakan parameter dari distribusi prior. Oleh karena itu un-

tuk mengestimasi parameter eksponensial, estimator Bayes berdasarkan fungsi

kerugian entropi dengan pilihan yang tepat dari c dan bergantung pada nilai

α dan β lebih efisien dibanding estimator Bayes berdasarkan fungsi kerugian

kuadratik.

(12)

DAFTAR PUSTAKA

[1] H. S. Al-Kutubi dan N. A. Ibrahim, Bayes estimator for exponential dis- tribution with extension of Jeffrey prior information, Malaysian Journal of Mathematical Sciences, 3 (2009), 297-313.

[2] L. J. Bain dan M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathemat- ical Statistics, Second Edition, Duxbury Press, Belmont, 1992.

[3] N. Balakrishnan, C.T. Lin dan P. S. Chan, A comparison of two sim- ple prediction intervals for exponential distribution, IEEE Transaction On Reliability, 54 (2004),27-33.

[4] G. Casella dan R.L. Berger, Statistical Inference, Second Edition, Duxbury Press, Pacific Grove, 2002.

[5] S. Dey, Minimax estimation Of the parameter of the Rayleigh distribution under quadratic loss function, Data Science Journal, 7 (2008), 23-30.

[6] A. Fadhil, M. A. M. Yahya dan A. N Irtifaa, A comparison between the Bayesian an the classical estimator of Weibull distribution, Journal of Kuta for Mathematics and Computer, 1 (2013), 21-28.

[7] M. R. Hasan dan A. R. Baizid, Bayes estimation under different loss func- tion using gamma prior for the case of exponential distribution, Journal of Scientific Research, 9 (2016), 67-78.

[8] H. Rahman, M. K. Roy dan A. R. Baizid, Bayes estimation under conju- gate prior for the case of power function distribution, Journal of Mathe- matics and Statistics, 2 (2012), 44-48.