Functionally Small Riemann Sums Fungsi Terintegral Henstock-Dunford pada [a,b]

(1)

Jurnal Sains dan Matematika Vol. 20 (3): 58-63 (2012)

58

Functionally Small Riemann Sums

Fungsi Terintegral Henstock-Dunford pada [a,b]

Solikhin¹, Sumanto², Siti Khabibah³

1,2,3

Program Studi Matematika, FSM UNDIP Jl. Prof. Soedarto, S.H. Semarang, 50275

E-mail: [email protected], [email protected]

ABSTRACT

In this paper we study Henstock-Dunford integral on [a,b]. We discuss some properties of the integrable. We shall define functionally small Riemann sums (FSRS) and show that it is necessary and sufficient condition for function to be Henstock-Dunford integral on [a,b].

Keywords: Henstock-Dunford integral, Functionally small Riemann sums

PENDAHULUAN

Integral Henstock merupakan generalisasi dari integral Riemann, yang didefinisikan berdasarkan partisi Perron -fine. Integral ini memuat integral Riemann dan integral Lebesque (ekuivalen integral McShane) [2], [7]. Integral Henstock telah mengalami perkembangan baik dari segi teori maupun aplikasinya [1], [4], [6].

Dari kajian tentang integral Henstock banyak sifat-sifat yang telah diungkap baik dalam ruang real R [2], [7] maupun ruang Euclide R [5]. ⁿ Berbeda dengan integral Dunford. Dunford mendefinisikan integralnya pada fungsi terukur lemah pada ruang real R .[9]. Diberikan X ruang Banach dan X ruang dualnya. Fungsi ^* terukur lemah f:[ , ]a b X dikatakan terintegral Dunford pada [ , ]a b jika untuk setiap

* *

x X fungsi bernilai real x f^* :[ , ]a b R terintegral Lebesgue pada [ , ]a b dan untuk setiap

[ , ]

A a b himpunan terukur terdapat vektor

 

** **

,

xf A X sehingga

^**, 

 

^*

^{ }

^*

^{ }

^*

b

f A A

A a

x x  H



x f  H



x f ^. Integral Dunford kemudian diperluas ke dalam integral tipe Riemann, yaitu untuk setiap x^*X^* fungsi bernilai real x f^* :[ , ]a b R terintegral Henstock. Integral ini dinamakan integral Henstock-Dunford [3]. Integral jenis ini juga

telah digeneralisasi ke dalam ruang Euclide R ⁿ [8].

Berdasarkan hasil kajian integral Henstock- Dunford mengenai sifat-sifat sederhana dan fungsi primitifnya [3], penulis akan mengkaji sifat-sifat lebih lanjut dari integral Henstock- Dunford pada ruang R . Sifat-sifat ini digeneralisasi dari integral Henstock pada ruang real R , yaitu sifat Functionally small Riemann sums fungsi terintegral Henstock. Diperoleh bahwa syarat perlu dan cukup suatu fungsi terintegral Henstock adalah memenuhi sifat functionally small Riemann sumsnya [7].

Integral Henstock-Dunford pada [a,b]

Pada tulisan ini, dibahas definisi integral Henstock-Dunford pada [ , ]a b , sifat-sifat sederhana, dan fungsi primitifnya mengacu pada [3].

Definisi 1. [3] Diberikan X ruang Banach dan X ruang dualnya, serta interval tertutup *

[ , ]a b R. Fungsi f:[ , ]a b X dikatakan terintegral Henstock-Dunford pada [ , ]a b jika untuk setiap x^*X^* fungsi x f^* :[ , ]a b R terintegral Henstock pada [ , ]a b dan untuk setiap interval tertutup A[ , ]a b terdapat vektor

 

** **

,

xf A X sehingga

 

** * *

, ( )

f A

A

x x  H



x f ^.

(2)

59 Selanjutnya vektor x_^**_{f A}_, _X^**di atas disebut

nilai integral Henstock-Dunford pada A dan ditulis

^**_{f A}_, 

 

A

x  HD



f ^.

Jika f terintegral Henstock-Dunford pada [ , ]a b , ditulis fHD a b[ , ].

Teorema 2. [3] Jika fHD a b[ , ] maka vektor

 

** **

,

xf A X pada Definisi 1. adalah tunggal.

Bukti:

Diberikan sebarang interval tertutup A[ , ]a b . Andaikan terdapat vektor x₁^**__{f A}_, _X^** dan

 

** **

2 f A,

x X maka

 

** * *

1_{f A}, ( )

A

x x  H



x f ^dan

 

** * *

2 _{f A}, ( )

A

x x  H



x f^. Oleh karena itu

   

** * ** * * *

1_{f A}, ( ) 2 _{f A}, ( )

A A

x x x x  H



x f  H



x f

* *

0, x X

   . Jadi x₁^**__{f A}_, _x^**₂__{f A}_, _. ■

Teorema 3. [3] Jika fHD a b[ , ] maka ( )

f HD A untuk setiap interval tertutup bagian [ , ]

A a b . Bukti :

Jelas menurut definisi. ■

Teroema 4. [7] (Kriteria Cauchy) Fungsi [ , ]

fHD a b jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 0 terdapat fungsi positif  pada [ , ]a b sehingga jika A[ , ]a b interval tertutup dan ^D^

 

^{D x}^,

 

^dan ^P^

 

^{P y}^,

 

^masing-

masing partisi Perron -fine pada A berlaku

* ( ) ( ) * ( ) ( ) x f x D  x f y P 

 

D P

untuk setiap x^*X^*. Bukti:

(Syarat Perlu) Diketahui fHD a b[ , ]. Jadi untuk setiap x^*X^* fungsi x f terintegral ^* Henstock pada [ , ]a b dan untuk setiap interval

tertutup A[ , ]a b terdapat vektor x_^**_{f A}_, _X^**

sehingga

 

** * *

, ( )

f A

A

x x  H



x f ^.

Diberikan bilangan  0 sebarang dan x^*X^* maka terdapat fungsi positif  pada [ , ]a b sehingga untuk interval tertutup A[ , ]a b dan

 



^{D x}^,



D dan ^P^

 

^{P y}^,

 

masing-masing partisi Perron -fine pada A berlaku

^**, ( )^* ^* ( ) ( )

f A 2

x x ^D



x f x D  dan

^**, ( )^* ^* ( ) ( )

f A 2

x x ^P



x f y  P  ^. Dengan demikian diperoleh

* ( ) ( ) * ( ) ( ) x f x D  x f y  P

 

D P

 

* ** *

( ) ( ) _{f A}, ( ) x f x D x x

 ^D





^**_{f A}, ( )^* ^* ( ) ( )

x x x f y P

 ^P



2 2

  

   .

(Syarat cukup) Diberikan bilangan 0 sebarang dan x^*X^* maka terdapat fungsi positif  pada [ , ]a b sehingga untuk interval tertutup A[ , ]a b dan ^D^

 

^{D x}^,

 

^dan

 



^{P y}^,



P masing-masing partisi Perron - fine pada A berlaku

* ( ) ( ) * ( ) ( ) x f x D  x f y P 

 

D P .

Diambil  1 terdapat fungsi positif ₁ pada [ , ]a b dengan sifat di atas.

Diambil 1

 2 terdapat fungsi positif ₂ pada [ , ]a b dengan ₂₁ dan memenuhi sifat di atas.

Diambil 1

 n terdapat fungsi positif _n pada [ , ]a b dengan nn_₁ ... ₂₁ dan memenuhi sifat di atas.

Untuk  n N dan x^*X^* didefinisikan

* ( ) ( )

n n

S ^D



x f x D ^,

(3)

60 dengan jumlahan diambil atas partisi Perron _n

fine Dn 

 

D x^,

 

pada A .

Diambil sebarang m n, N dengan mn, maka untuk setiap partisi Perron _mfine pada A merupakan partisi Perron  _n fine pada A . Akibatnya untuk setiap partisi Perron _mfine

 



^,



m D x

D pada A dan sebarang partisi Perron  _n fine Dn 

 

D x^,

 

pada A berlaku

m n

S S 

* * 1

( ) ( ) ( ) ( )

m x f x D n x f x D

   n

 

D D .

Diberikan sebarang bilangan 0 maka terdapat bilangan asli n sehingga ₀

0

1 2 n

 .

Selanjutnya jika m n, n₀ maka diperoleh

0

1 1

2.

m n

S S

n n

   

Hal ini berarti

 

Sn barisan Cauchy di R . Karena R lengkap berarti untuk setiap x^*X^* dan A[ , ]a b di atas terdapat bilangan

 

** *

, ( )

xf A x  S R sehingga lim _n

n S S

  .

Dengan demikian untuk sebarang bilangan  0 di atas terdapat bilangan asli n dan jika ₀^* nn₀^* berlaku

2. Sn_{ }S  Diambil



⁰ ^*0



( )x min _n ( ),x _n ( ) :x x [ , ]a b

    

Diperoleh  fungsi positif pada [ , ]a b .

Selanjutnya untuk setiap ^P^

 

^{P x}^,

 

^partisi

Perron -fine pada A berlaku

* ( ) ( ) x f x P S



P

* *

0 0

* ( ) ( ) _n _n

x f x P S S S

 ^P



  

2 2 .

  

  

Hal ini berarti untuk setiap x^*X^* fungsi x f ^* terintegral Henstock pada [ , ]a b dan terdapat vektor x_^**_{f A}_, _X^** sehingga

 

** * *

, ( )

f A

A

x x  S H



x f^. Dengan kata lain, fHD a b[ , ] . ■

Definisi 5. [3] Diberikan fHD a b[ , ] . dan ( )E

I koleksi semua interval tertutup di dalam [ , ]a b . Fungsi F: ( )I E X dengan rumus

^**_, 

 

( ) _{f A}

A

F A x  HD



f

dan F( ) 0, untuk setiap AI( )E disebut fungsi primitif-HD fungsi f .

Berdasarkan Definisi 5. maka fungsi F merupakan fungsi aditif.

Akibat 6. Jika f HD a b[ , ] dengan F sebagai primitif-HDnya dan E E₁, ₂,...,E _p interval- interval terttutup di dalam [ , ]a b yang tidak saling tumpang-tindih dan

1

[ , ]

p

i i

a b E



 maka

^**^, 

1 1

([ , ]) ( )

i

p p

i f E

i i

F a b F E x

 









^.

Bukti :

Karena fHD E( , ) dengan F sebagai primitif-HDnya,

1 p

i i

E E



 dengan E_i⁰E⁰_j   untuk setiap i j maka diperoleh

1

( )

p

i i

F E F E



 

  

 

1

**

, ,

p

i i

f E

x





 

 

 



 ¹   ²   

** ** **

, , , , ... , ,

f E f E f Ep

x _ x _ x _

   

1 2

( ) ( ) ... ( _p)

F E F E F E

   

1

( )

p i i

F E





 

**

, , 1

i

p

f E i

x _





^{. ■}

(4)

61 Selanjutnya berdasarkan Definisi 1. maka

integral Henstock-Dunford pada [ , ]a b dapat dinyatakan seperti dalam teorema berikut.

Teorema 7. [7] Fungsi fHD a b[ , ] jika dan hanya jika terdapat fungsi aditif F pada [ , ]a b sehingga untuk setiap bilangan 0 dan

* *

x X terdapat fungsi positif  pada [ , ]a b dan jika A[ , ]a b interval tertutup dan

 



^{D x}^,



D partisi Perron -fine pada A berlaku

 

* ( ) ( ) ( ) x f x D F D 



D atau

* ( ) ( ) * ( ) x f x D x F D 



D . ■

Teorema 8. [7] (Lemma Henstock) Fungsi [ , ]

fHD a b dengan fungsi primitif F , yaitu untuk setiap bilangan 0 dan x^*X^* terdapat fungsi positif



pada [ , ]a b sehingga jika AE interval tertutup dan ^D^

 

^{D x}^,

 

partisi Perron



-fine pada A berlaku

 

* ( ) ( ) ( ) x f x D F D 



D

maka untuk setiap jumlahan bagian



1 ^dari



D berlaku

* *

1x f x( ) ( ) D x F D( ) 



D . ■

Functionally Small Riemann Sums

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa syarat perlu dan cukup suatu fungsi terintegral Henstock- Dunford pada [a,b], yaitu memenuhi sifat functionally small Riemann sums pada [a,b].

Pembahasan Functionally Small Riemann Sums (FSRS) pada integral Henstock-Dunford ini dikaitkan dengan fungsi non negatif yang terintegral Lebesgue pada [ , ]a b .

Teorema 9. Jika fungsi f terintegral Henstock- Dunford pada [ , ]a b maka ada barisan himpunan tertutup

 

E , i E_iE_i_₁, [ , ]a b  E_i dan x f ^* terintegral Lebesgue pada E untuk setiap _i i. Bukti :

Karena fHD a b[ , ] maka ada fungsi primitif F pada [ , ]a b . Dapat ditunjukkan bahwa F kontinu pada [ , ]a b , lebih lanjut FACG^*.

Dengan demikian terdapat barisan tertutup

 

E i

dengan [ , ]a b  E_i dan FAC^*

 

Ei untuk setiap i .

Akibatnya FAC E

 

i untuk setiap i . Jadi fBV E

 

i untuk setiap i .

Dengan demikian, F x'( )f x( ) hampir dimana- mana pada E untuk setiap i . _i

Jadi x f terintegral Lebesgue pada ^* E untuk _i setiap i . ■

Definisi 10. Diberikan f:[ , ]a b X fungsi terukur pada [ , ]a b . Fungsi f dikatakan mempunyai sifat functionally small Riemann sums pada [ , ]a b , ditulis f FSRS a b[ , ], jika untuk setiap bilangan 0, x^*X^*, dan interval tertutupA[ , ]a b terdapat fungsi non negatif x g yang terintegral Lebesgue pada ^* [ , ]a b dan fungsi positif  pada [ , ]a b sehingga jika ^D^

 

^{D x}^,

 

partisi Perron -fine pada A berlaku

* *

* ( ) ( )

( ) ( )

x f x x g x

x f x D 







D .

Teorema 11. Jika fungsi fFSRS a b[ , ] maka [ , ]

fHD a b . Bukti:

Diketahui fFSRS a b[ , ] berarti untuk setiap bilangan 0, x^*X^*, dan interval tertutup

[ , ]

A a b terdapat fungsi non negatif x g yang ^* terintegral Lebesgue pada [ , ]a b dan fungsi positif  pada [ , ]a b sehingga jika ^D^

 

^{D x}^,

 

partisi Perron -fine pada A berlaku

* *

* ( ) ( )

( ) ( )

x f x x g x

x f x D 







D .

Didefinisikan

*

* * *

( ), [ , ],

( ) ( ) ( )

0 , yang lain x f x x a b

x h x x f x x g x

x

 

 



(5)

62 Diperoleh bahwa fungsi x h terukur dan ^*

terdominasi oleh x g pada [ , ]^* a b . Karena x g ^* terintegral Lebesgue pada [ , ]a b , maka fungsi h terintegral Henstock-Dunford mutlak sehingga terdapat fungsi positif _* pada [ , ]a b dengan sifat untuk setiap D dan ₁ D dua partisi Perron 2 *- fine pada A berlaku

* *

1 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

x h x D  x h x D 4

 

D D .

Diambil ^*( )x min



( ),x *( )x



.

Akibatnya, untuk sebarang P dan Q partisi Perron ^*-fine pada A berlaku

* ( ) ( ) * ( ) ( ) x f x D  x f x D

 

P Q

* *

* ( ) ( )

( ) ( )

x f x x g x

x f x D



 ^P



* *

* ( ) ( )

( ) ( )

x f x x g x

x f x D



^Q



* *

* ( ) ( )

( ) ( )

x f x x g x

x f x  D



^P



* *

* ( ) ( )

( ) ( )

x f x x g x

x f x D



^Q



4 4

  

* *

( ) ( ) ( ) ( )

x h x D x h x D

^P



^Q



4 4 4

   

    .

Menurut kriteria Cauchy, fHD a b[ , ].

Teorema 12. Jika fHD a b[ , ] maka [ , ]

fFSRS a b . Bukti:

Diketahui fHD a b[ , ] maka untuk setiap

* *

x X , x f terukur pada [ , ]^* a b . Menurut Teorema 9 terdapat barisan himpunan tertutup

 

E dengan _i E_i E_i_₁, [ , ]a b  E_i dan x f ^* terintegral Lebesgue pada E untuk setiap _i i. Didefinisikan

*

* ( ),

( ) 0 , yang lain

k k

x f x x E x f x

x

 

 

 .

Untuk setiap k diperoleh f_kHD a b[ , ].

Hal ini berarti untuk setiap bilangan 0,

* *

x X , dan interval tertutupA[ , ]a b ada bilangan asli n sehingga jika ₀ nn₀ berlaku

 

^*

 

^*

k 3

A E

H x f _ H x f _

 

^.

Untuk setiap kN terdapat fungsi positif _k pada [ , ]a b sehingga untuk setiap D partisi Perron _k-fine pada A berlaku

 

* *

( ) ( )

k k 3

A

x f x D  H x f 

 

D

untuk setiap x^*X^*, dan interval tertutup [ , ]

A a b .

Karena fungsi fHD a b[ , ] maka terdapat fungsi positif _* pada [ , ]a b sehingga jika D partisi Perron _*-fine pada A berlaku

 

* *

[ , ]

( ) ( )

a b 3

x f x D  H x f 

 

D

untuk setiap x^*X^*, dan interval tertutup [ , ]

A a b .

Diketahui fungsi x g dengan ^* x g x^* ( ) x f x^* _k( ) . Diperoleh x g non negatif dan terukur pada ^*

[ , ]a b , sehingga x g terintegral Lebesgue pada ^* [ , ]a b .

Kemudian diambil



*



( )x min _k( ),x ( )x

    .

Diperoleh  fungsi positif pada [ , ]a b .

Dengan demikian, untuk sebarang D partisi Perron -fine pada A berlaku

* *

* ( ) ( )

( ) ( )

x f x x g x

x f x  D





 D

* *

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x f x x g x

x f x D x f x D









D D

 

* ( ) ( ) *

A

x f x D H x f

 ^D







 

* ( ) ( ) * _k

A

x f x D H x f

^D







(6)

63

 

^* ^* ^{( ) ( )}

k

k A x E

H x f x f x D







^D



 

^* ^* ^{( ) ( )}

3 3 H _Ax g x g x D

  

  



^D



3 3 3

   

    . Jadi fFSRS a b[ , ]. ■

Akibat 13. Fungsi fFSRS a b[ , ] jika dan hanya jika fHD a b[ , ].

Bukti:

Menurut Teorema 11 dan Teorema 12. ■ PENUTUP

Berdasarkan pembahasan di atas diperoleh kesimpulan bahwa syarat perlu dan cukup suatu fungsi terukur terintegral Henstock-Dunford pada [a,b] adalah fungsi tersebut bersifat functionally small Riemann sums pada [a,b] .

DAFTAR PUSTAKA

[1] Boccuto, A., Skvortsov, A.V. 2004, Henstock-Kurzweil Type Integration of Riesz-Space-Valued Functions and Applications to Walsh Series, Real Analysis Echange, 29(1): 419-439.

[2] Gordon, R.A. 1994, The Integral of lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Mathematical Society, USA.

[3] Guoju, Ye., Tianqing, An. 2001, On Henstock-Dunford and Henstock-Pettis Integrals, IJMMS, 25(7): 467-478.

[4] Heikkila, S. 2011, Monotone Convergence Theorems for Henstock-Kurzweil Integrable Functions and Applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 377(1): 286-295.

[5] Indrati, Ch. R. 2002, Integral Henstock- Kurzweil di dalam Ruang Euclide Berdimensi-n, Disertasi, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.

[6] Indrati, Ch.R., Surodjo, Budi. 2000, Aplikasi Integral Henstock-Kurzweil pada Medan Vektor, Lembaga Penelitian UGM, Yogyakarta.

[7] Lee P.Y. 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, World Scientific, Singapore.

[8] Saifullah. 2003, Integral Henstock-Dunford pada Ruang Euclide ⁿ, Tesis, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.

[9] Schwabik, S., Guoju, Ye. 2004, Topics in Banach Space Integration, Manuscrip in Preparation.

UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro yang telah memberikan dana untuk penelitian ini.