Kesit_Zorlari

(1)

Yapı Anabilim Dalı Yapı Statiği Çalışma Grubu

Prof.Dr. Sumru Pala – Yar.Doç.Dr. Mecit Çelik

1/KesitZorları

N: Normal kuvvet

Tx,Ty : kesme kuvvetleri

Mx,My : Eğilme momentleri

Mb : Burulma momenti

Kesit Zorlarının Hesabı

Tanım: Bir yapı sisteminde yüklerden (dış etkilerden) oluşan iç kuvvet

bileşenlerine kesit zorları (kesit tesirleri, iç kuvvetler) denilmektedir.

• Yükler ve bunlardan oluşan mesnet tepkileri altında dengede olan bir sistem herhangi bir noktasından kesilerek iki parçaya ayrıldığında, her bir parçanın diğerine etkittiği gerilmelerin bileşkeleri kesit zorları olarak tanımlanır.

• Düzlemi içindeki yüklerin etkisinde olan düzlem sistemlerde kesit zorları (3) tanedir.

1. Normal kuvvet (N):

σ

Normal gerilmelerinin toplamıdır. 2. Kesme kuvveti (T):

τ

Kayma gerilmelerinin toplamıdır.

3. Eğilme momenti (M):

σ

normal gerilmelerinin, kesitin ağırlık merkezinden geçen ve sistem düzlemine dik olan eksene göre statik momentleri toplamıdır.

• etki=tepki prensibine göre, sol ve sağ parçalara etkiyen kesit zorları

birbirine eşit şiddette ve ters yöndedir. (M,N,T)SOL=(M,N,T)SAĞ

(2)

2/KesitZorları

Pozitif yönler, Bakış yönü

Bakış Yönü: Kesit zorlarının pozitif yönlerinin tanımlanmasında bakış yönünden

yararlanılır.

• Bunun için her çubuğun bir tarafı bakış yönü olarak işaretlenir.

• Bakış yönü statik hesapları yapan ve değerlendirenler arasındaki bir anlaşmadır. Hesapların sonuna kadar aynı bakış yönü kullanılır.

N (normal kuvvet) : Çubukta uzama meydana getirecek yönde pozitiftir.

T (kesme kuvveti) : Çubuğu saat akrebi yönünde döndürmesi halinde pozitiftir. M (eğilme momenti) : Bakış yönü tarafındaki liflerde çekme (uzama) meydana

getirmesi halinde pozitiftir.

Kesit zorlarının hesabı:

Sistemin tümü dış kuvvetler ve bunlardan oluşan mesnet tepkileri altında dengededir. Sistem herhangi bir noktadan kesilerek iki parçaya ayrıldığında bu parçaların her birinin dengede olabilmesi için

(3)

3/KesitZorları a) Sol parçaya etkiyen dış kuvvetlere eşdeğer olan iç kuvvetlerin sağ parça

üzerindeki kesite

b) Sağ parçaya etkiyen dış kuvvetlere eşdeğer olan iç kuvvetlerin sol parça üzerindeki kesite etkitilmesi gerekmektedir.

Buna göre,

• Sağ kesitteki kesit zorları, sol parçaya etkiyen dış kuvvetlerin kesit zorlarının pozitif yönleri üzerindeki izdüşümüdür.

• Sol kesitteki kesit zorları, sağ parçaya etkiyen dış kuvvetlerin kesit zorlarının pozitif yönleri üzerindeki izdüşümüdür.

(4)

4/KesitZorları

Örnek:

∑

M_A ₌0⇒-50 * 2 +20*6*7 – 30* 4 – 10 B =0 → B=62.0kN

∑

M_B ₌0⇒10A – 50*12 -20*6*3 –30* 4 =0 → A=108.0kN

∑

X ₌0⇒H-30=0 → H=30.0kN N1= -108.0 kN N2= 0 T1=-30.0 kN T2= -50.0 kN M1=-30*6=-180 kNm M2= -50*2 = -100 kNm N3= -30.0 kN N4= -30.0 kN T3=108-50= -58.0 kN T4=108.0-20*3=-2.0 kN M3= -50*2-30*6 =-280.0 kNm M4=108*7-30*6-50*9-20*3*1.5=36 kNm (1)…(6)

Kesitlerindeki

kesit zorlarının hesabı

M5=62*3-30*2-20*3*1.5=36 kNm

arctan 2 Sin 0.894;Cos 0.447

α = → α = α = N5= -2*Sin

α

-30*Cos

α

= -2*0.894-30*0.447= -15.2 kN T5= -2*Cos

α

+30*Sin

α

= -2*0.447+30*0.894=25.9 kN M6=0 N6= -62*Sin

α

= -62*0.894= -55.4 kN T6= -62*Cos

α

= -62*0.447= -27.7 kN

(5)

5/KesitZorları

Đ

zostatik, Hiperstatik ve Oynak (Labil) Sistemler:

• Đzostatik sistemler: Bütün mesnet tepkileri ve kesit zorları yalnız denge

denklemleri ile hesaplanabilen sistemlerdir.

• Hiperstatik sistemler: Bütün mesnet tepkilerinin ve/veya kesit zorlarının

hesabı için denge denklemlerinin yeterli olmadığı sistemlerdir.

Dıştan hiperstatik Đçten hiperstatik dıştan ve içten hipersatatik

• Hiperstatik sistemlerde çözümün elde edilebilmesi için, denge denklemlerinin yanında, geometrik süreklilik denklemleri denilen ek denklemlere gerek vardır.

• Oynak (Labil) sistemler: Üzerine etkiyen tüm yükleri taşıyamayan

sistemlerdir. Bu sistemlerde, çok küçük yüklerden dolayı çok büyük yerdeğiştirmeler meydana gelebilir.

(6)

6/KesitZorları • Oynak sistemlerde mesnet tepkileri için anlamlı çözümler bulunamaz. Sistemin

labil olmaması için aşağıdaki konulara dikkat edilmelidir; • Sitemdeki üç tepki birbirine paralel olmamalıdır • Sistemdeki üç tepki aynı noktada kesişmemelidir

Đ

zostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı

• Kesit zorları diyagramları:

• Dış etkilerden (yüklerden) oluşan kesit zorlarının sistem üzerindeki değişimini gösteren diyagramlara kesit zorları diyagramları denir. • Düzlem çubuk sistemlerde M, N, T diyagramları olmak üzere (3)

kesit zoru diyagramı çizilir.

• Kesit zorları diyagramları sistemin şeması üzerine veya yatay eksende çizilirler. Bu diyagramların herhangi bir noktadaki ordinatı, sistemin o kesitindeki kesit zoru (M, N veya T) değerini verir.

Kesit zoru diyagramlarının çiziminde uyulacak kurallar:

1- Kesit zorları diyagramları ölçekli (veya yaklaşık olarak ölçekli) çizilir ve ordinatlar doğrultusunda taranır.

2- Diyagramların üzerine başlıca noktalardaki değerleri yazılır ve bölgelerin işaretleri konur.

3- a) N ve T diyagramlarında pozitif değerler bakış yönünün aksi tarafında, b) M diyagramında ise bakış yönü tarafında gösterilir. Böylece, M

(7)

7/KesitZorları

Kesit zorları diyagramlarının çizimi:

1. Genel Yol: Sistemin yeter derecede sık kesitlerindeki kesit zorları hesaplanarak M,N,T diyagramları çizilir.

2. Fonksiyonlar Yöntemi: Sistem yeterli sayıda bölgeye ayrılarak her bölge için M(x), N(x),T(x) kesit zorları fonksiyonları belirlenir ve bunların fonksiyonları çizilir.

3. Kritik kesitler yardımı ile çözüm: Sistemin, kritik kesit adı verilen sınırlı

sayıdaki kesitlerinde kesit zoru hesaplanır ve bu değerlerden yararlanarak M,N,T diyagramları çizilir. Bu yol en uygun yoldur.

• Pratik olan bu yolun uygulanabilmesi için bazı yardımcı bilgilere gereksinim duyulmaktadır.

Yardımcı Bilgiler

Yük-Kesme Kuvveti-Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılar:

(8)

8/KesitZorları

∑

= →− + + + = ⇒ =−n dx dN dN N dx n N X 0 . 0 (1)

• Özel hal: Çubuk ekseni doğrultusundaki yükler sıfır ise (n=0), yani yükler çubuk eksenine dik ise, =0

dx dN N=Sabit (1a)

∑

₌ _→ ₋ ₋ ₊ ₌ ⇒ =−q dx dT dT T qdx T Y 0 ( ) 0 (2) 2 0 ( ) 0 2 A qdx dM M M Tdx mdx M dM T m dx = → + − + − + = ⇒ _{= +}

∑

(3)

• Özel Hal: uygulamada çok karşılaşıldığı gibi m=0 ise, T dx dM

= (3a)

Pratik Sonuçlar:

1- Kesme kuvveti diyagramının bir noktasındaki teğetinin eğimi, (-) işaretle, o noktadaki yayılı yükün şiddetine eşittir.

2- Eğilme momenti diyagramının bir noktasındaki teğetinin eğimi, o noktadaki kesme kuvvetinin değerine eşittir.

küçük mertebeden ikinci 0 ≅ q dx dT − = =

α

tan x q(+) T dx dM ₌ = β tan T(+) x

(9)

9/KesitZorları 3- Bunun sonucu olarak;

q=0 (yayılı yük yok)

⇒ T=sabit ⇒ M=10 (doğrusal) q=sabit (düzgün yayılı yük) ⇒ T=1o (doğrusal) ⇒ M=20 (parabol) q=doğrusal

(üçgen veya trapez yük)

⇒ T=20 (parabol) ⇒ M=30 (parabol)

4- Kesme kuvveti diyagramının sıfır olduğu noktalarda eğilme momenti diyagramı ekstramumdan (maksimum veya minimum) geçer.

5-

a) Ardışık iki noktadaki kesme kuvvetlerinin farkı, (-) işaretle bu iki nokta arasındaki yüklerin toplamına eşittir.

b) Ardışık iki noktadaki eğilme momentlerinin farkı, bu iki nokta arasındaki kesme kuvveti diyagramının alanına eşittir.

Not: Bu sonuçlar, x ekseninin pozitif yönünün sağa doğru alınması halinde

geçerlidir.

dx

x

q

dT

x

q

dx

dT

)

(

)

(

=

−

=

∫

+

∫

+

∑

_       + − = 1 1 ) ( i i i i i Q dx x q dT         + − = −

_∫

+

∑

+ 1 1 ( ) i i i i i T q x dx Q T yüklerin toplamı Tdx dM T dx dM ₌ ₌

∫

+ =

∫

+ 1 1 i i i i Tdx dM

∫

+ + − = 1 1 i i i i M Tdx M “T” diyagramının alanı

(10)

10/KesitZorlar ı

Örnek 1:

(11)

11/KesitZorlar ı

Örnek 3:

(12)

12/KesitZorlar ı Açıklama 1: Açıklama 2: 0 1 1 M i i i i dM T m dx dM Tdx mdx M M M M M M = + +  = +   = +    − = → = + 

∫

Teorem 1:

Sistemin bir (n) kesitindeki kesit zorları belli iken, bunun sağındaki bir (n+1) kesitindeki kesit zorlarının hesabı için: (n+1) kesitinin solunda kalan bütün dış kuvvetler yerine, (n) kesitindeki kesit zorları ile (n)∼(n+1) kesitleri arasındaki dış kuvvetler alınabilir.

• Çünkü (n) kesitindeki Mn , Tn , Nn kesit zorları bu kesitin solunda kalan dış kuvvetlere eşdeğerdir.

(13)

13/KesitZorlar ı Buna göre;

∑

∫

∑

∫

− − + = − − = = + + + xdx x q x Q a T M M dx x q Q T T N N i i n n n i n n n n ) ( ) ( 1 1 1

Not: Bu bağıntılar, (n ) ∼(n+1) kesitleri arasındaki çubuk ekseninin doğru parçası olması ve yüklerin çubuk eksenine dik doğrultuda etkimesi halinde geçerlidir.

Özel hal: q(x)=0 ise,

∑

− + = − = + + i i n n n i n n x Q a T M M Q T T . 1 1 Uygulama:

(14)

14/KesitZorlar ı

Örnek:Aşağıdaki sistemin t ve M diyagramlarının çizimi

Mesnet tepkileri:

∑

M_A = → =0 A 137.5kN

∑

M_B = → =0 A 92.5kN

Kesit zorlarının hesabı: Teorem 1 den yararlanılarak ve hesaplar bir tablo üzerinde yapılmıştır. Nokta Q (kN) T(kN) a(m) Ta M(kNm) A -92.5 120 1 60 397.5 2 40 495.0 3 50 480 4 80 250.0 B -137.5 92.5 32.5 -7.50 -57.5 -137.5 3 3 2 4 4 277.5 97.5 -15.0 -230.0 -550.0 -300.0

(15)

15/KesitZorlar ı

Örnek

: 0 20 * 2 40*3 60 *7 30* 4 10 0 38.0 0 10 20*12 40* 7 60 *3 30* 4 0 82.0 0 30 0 30.0 A B M B B kN M A A kN X H H kN = → − + + − − = → = = → − − − − = → = = → − = → =

∑

Kesit Zorlarının Hesabı

N1= -82.0 kN T1=0 M1=0 N2= -82.0 kN T2=0 M2=0 N3=0 T3= -20.0 kN M3=0 N4=0 T4= -20.0 kN M4= -20*2=-40.0 kNm N5=0 T5=82 -20.0=62 kN M5= -20*2=-40.0 kNm N6=0 T6=82 -20.0=62 kN M6= 82*3-20*5=146.0 kNm N7=0 T7=62 -40.0=22 kN M7= 82*3-20*5=146.0 kNm N8=0 T8=62 -40.0=22 kN M8=38*3+30*4=234.0 kNm (1),(2),….(10) kesitlerindeki kesit zorlarını hesaplayarak M,N,T diyagramlarının çizimi. Sin

α

=0.8 Cos

α

=0.6 N9=30*0.6-38*08= -12.4 kN =N10 T9= -30*0.8-38*0.6= -46.8 kN =T10 M9=M8=234 kN M10=0.0

(16)

16/KesitZorlar ı

Teorem 2:

• Komşu iki kesitteki eğilme momentleri belirli iken, bu iki kesit arasındaki M diyagramının çizimi.

Not: komşu iki kesit arasındaki çubuk parçasının doğru eksenli olduğu gözönünde tutulacaktır.

(17)

17/KesitZorlar ı

• Sonuç: Sistemin (n) ve (n+1) gibi komşu iki kesitindeki eğilme momentleri

belirli iken bu iki kesit arasındaki eğilme momenti diyagramını çizmek için; • (n) ve (n+1) kesitlerindeki eğilme momentlerini ordinat olarak almak

suretiyle çizilen doğrusal diyagrama (çekirdek moment diyagramı)

(n)-(n+1) açıklıklı basit kirişte q(x) yükünden oluşan M0 diyagramı cebrik olarak (işareti gözönünde tutularak ) eklenir.

Uygulama:

Not: Sistem dengede olduğundan,

denge denklemlerini sağlayan mesnet tepkileri Tn ve Tn+1’e eşittir. Çekirdek moment diyagramı L x M L x M x M x M( ) 0( ) n + n+1 ′ + =

(18)

18/KesitZorlar ı

Basit kirişlerde w sayıları:

• Teorem: 2 yardımı ile sistemlerin M diyagramlarının çizilebilmesi için, basit kirişlerde çeşitli yayılı yüklerden oluşan eğilme momenti diyagramlarının ordinatlarının bilinmesi gerekmektedir.

• Düzgün yayılı yük: L x 0.25 0.50 0.75 R w 0.1875 0.2500 0.1875 50 . 0 = L

x _{için (kirişin ortasında)} 2 2

max ) 2 ( ₈ 1 25 . 0 * 2 1 qL qL M M L x= = = =

• Üçgen yayılı yük:

L

x 0.25

0.50 0.75

Not: Üçgen yayılı yükün ters olması durumunda tablodaki değerler yer

R w 0.2344 0.3750 0.3281 değiştirecektir A=B= qL 2 1 R w L x L x qL qx x qL x M _      − = − = 2 2 ₂2 2 1 2 1 . 2 1 ) ( R w qL x M 2 2 1 ) ( = A= qL 6 1 B= qL 3 1 D w L x L x qL x x L x q qLx x M _      − = − = 2 ₃3 6 1 3 2 6 1 ) ( D w qL x M 2 6 1 ) ( =

(19)

19/KesitZorlar ı

Uygulamalar:

Örnek: M diyagramının çizimi (ordinatları 2m aralıklarla hesaplanacaktır.)

Düzgün yayılı yükten Üçgen yayılı yükten

2 2 10 *8 320 2 2 qL kNm = = 2 15*82 160 6 6 qL kNm = = 25 . 0 = L x M1=320*0.1875=60.0 kNm =0.25 L x M1=160*0.3281=52.5 kNm 0.50 M2=320*0.2500=80.0 kNm 0.50 M2=160*0.3750=60.0 kNm 0.75 M3=320*0.1875=60.0 kNm 0.75 M3=160*0.2344=37.5 kNm

(20)

20/KesitZorlar ı

Toplam yüklerden oluşan eğilme momentleri

25 . 0 = L x M1= 60.0 +52.5 = 112.5 kNm 0.50 M2=80.0+ 60.0 = 140.0 kNm 0.50 M3 = 60.0 +37.5 = 97.5 kNm Kritik Kesitler:

• Kesit zorları diyagramlarının çizilebilmesi için, kesit zorlarının hesaplanması gereken kesitlere Kritik kesitler denilmektedir.

• Kritik kesitler

a) Mesnetlerin iki yan noktaları b) Sistemin uç noktaları

c) Düğüm noktalarında birleşen çubukların uç noktaları d) Tekil kuvvetlerin ve tekil momentlerin iki yan noktaları

e) Yayılı yüklerin başlangıç ve noktaları ile şekil ve değer değiştirdiği noktalar.

(21)

21/KesitZorlar ı

UYGULAMA:

Kesit zorları diyagramlarının çiziminde izlenen yol:

1- Mesnet tepkileri hesaplanır. 2- Kritik kesitler belirlenir.

3- Kritik kesitlerdeki M, N, T kesit zorları hesaplanır. • Gerektiğinde Teorem : 1’ den yararlanılır. 4- N ve T diyagramları çizilir.

• T diyagramının çiziminde q dx dT ₌₋

bağıntısından yararlanılır.

5- Çekirdek M diyagramı çizilir. 6- M diyagramı tamamlanır.

• Teorem: 2 ve w tablolarından yararlanılır. • Maksimum eğilme momentleri 

     ₌ ₌ 0 T dx dM hesaplanır.

(22)

22/KesitZorlar ı

Örnek: Aşağıdaki sistemin M, N, T diy çiziniz (yayılı altında eğilme momenti

değerleri 1.5 m aralıklarla hesaplanacaktır.)

T5= -30 kN M6= -60 kNm M7= 70*4-60*6+30*3-30*2=-50.0 kNm T7= 40.0 kN N7= -30.0 kN M8= 80*6-30*3-20*6*3= 30.0 kNm M9= -30*3= -90 kNm T9= -80 kN Sin

α

=0.832 N1=-70*0.832-60*0.556=-91.6 kN Cos

α

=0.556 T1=70*0.556-60*0.832=-11.0 kN M2=M3=70*2-60*3= -40 kNm N3= -70*0.832-30*0.556=-74.9 kN T3=70*0.556-30*0.832= 14.0 t M4=70*4-60*6+30*3=10.0 kNm

(23)

23/KesitZorlar ı

(24)

24/KesitZorlar ı

Gelişigüzel yayılı yükler:

Şiddeti herhangi bir şekilde değişen yayılı yüklere “gelişigüzel yayılı yükler”

denilmektedir. Bu yüklerin sistem üzerindeki değişimi; • nokta nokta veya

• belli bir yük fonksiyonu ile verilmiş olabilir

Gelişigüzel yayılı yüklere statikçe eşdeğer olan tekil kuvvetlerin hesabı için iki yol izlenebilir.

I. Yol

1....N noktaları arasında etkiyen yayılı yükün 1,2,3,....,N noktalarındaki şiddetleri belli ise bu yayılı yük yerine yükün bu noktalar arasındaki P1, P2, ...PN-1 bileşkeleri sisteme etkitilir, bu tekil yüklere göre M,T diyagramları çizilir.

1 2 3 ...N ∆1 ∆2 ... ∆N P1 P2 P3 ...PN-1 1 2 3 ...N ∆1 ∆2 ... ∆N

Pi-1 Pi Gelişigüzel yayılı yükün noktalar arasında düzgün yayılı kabulu i-1 i i+1 ∆i-1 ∆i

Pi-1 Pi Gelişigüzel yayılı yükün noktalar arasında lineer değişken olarak yayılı kabulu

i-1 i i+1

∆i-1 ∆i

(25)

25/KesitZorlar ı i-1 Noktalarda ; i

i+1 Gerçek kesme kuvveti değerleri elde edilir

(T) (M)

Yaklaşık eğilme momenti değerleri elde edilir Gerçek moment diyagramının dış teğetleri elde edilir.

II . Yol

1....N noktaları arasında etkiyen yayılı yükün 1,2,3,....,N noktalarındaki şiddetleri belli ise bu yayılı yük yerine 1,2,3,....,N noktalarına etkiyen P1, P2, ...PN statikçe eşdeğerleri sisteme etkitilir, bu tekil yüklere göre M,T diyagramları çizilir.

1 2 3 ...N ∆1 ∆2 ... ∆N P1 P2 P3 ...PN-1 PN 1 2 3 ...N ∆1 ∆2 ... ∆N

Statikçe eşdeğer kuvvetlerin hesabı için iki farklı kabul ile hareket edilebilir.

a) Yük fonksiyonunun ardışık iki nokta arasında lineer değiştiği kabulu:

Bu kabul göz önüne alınarak herhangi bir i noktasına etkiyecek statikçe eşdeğer tekil yük aşağıda verilen ifade ile hesaplanır. 1. ve N. noktalara etkiyecek statikçe eşdeğer yükler ise yine aşağıda verilen ifadeler yardımı ile hesaplanmalıdır.

(26)

26/KesitZorlar ı

b) Yük fonksiyonunun ardışık üç nokta arasında ikinci derece parabolü olarak değiştiği kabulü:

Bu kabul göz önüne alınarak herhangi bir i noktasına etkiyecek statikçe eşdeğer tekil yük aşağıda verilen ifade ile hesaplanır. 1. ve N. noktalara etkiyecek statikçe eşdeğer yükler ise yine aşağıda verilen ifadeler yardımı ile hesaplanmalıdır.

i-1 Noktalarda ; i

i+1 yaklaşık kesme kuvveti değerleri elde edilir

(T) (M)

gerçek eğilme momenti değerleri elde edilir gerçek moment diyagramının iç kirişleri

elde edilir.

(

1 4 1

)

6 − + + + ∆ = i i i i q q q Q

ilk ve son noktalarda

(

1 2

)

1 2 6 q q Q = ∆ +

(

n n

)

n q q Q 2 6 1+ ∆ = −

(

1 10 1

)

12 − + + + ∆ = i i i i q q q Q Đlk ve son noktalarda

(

1 3

)

1 3.5 3 0.5 12 q q q Q = ∆ + _i −

(

n n n

)

n q q q Q 0.5 3 3.5 12 − 2 + 1+ ∆ = ₋ ₋

(27)

27/KesitZorlar ı

Örnek: Gelişigüzel yayılı yükler

Gerçek ve Yaklaşık M,T diyagramları

• Gerçek M diyagramı, poligon şeklindeki yaklaşık M diyagramının köşe noktalarından geçer.

• Gerçek T diyagramı, kademeli olan yaklaşık T diyagramının ara değerlerini birleştiren bir eğridir.

Eşdeğer Tekil Yükler Trapez Kabulü Parabol Kabulü Nokta Q(kN) Q(kN) 1 0 0 2 10.5 11.0 3 24.8 25.9 4 22.2 22.6 5 14.8 14.4 6 5.70 5.50 7 0 0 Mesnet Tepkileri A=33.5 kN B=44.5 kN A=34.6 kN B=44.8 kN

Kesme Kuvvetleri Eğilme Momentleri

Bölge Trapez Kabulü T (kN) Parabol Kabulü T (kN) Nok ta Trapez Kabulü M (kNm) Parabol Kabulü M (kNm) 1 33.5 34.6 1 28.0 28.0 2 23.0 23.6 2 78.2 79.9 3 -1.90 -2.30 3 101.1 103.5 4 -24.0 -24.9 4 99.3 101.2 5 -38.9 -39.3 5 75.2 76.3 6 -44.5 -44.8 6 36.4 37.0 7 -75.0 -75.0