GEOMETRI DATAR

(1)

BAHAN AJAR

��

Semester

Semester Gasal

Gasal 2013/2014

2013/2014

Disusun Oleh

Dr.Scolastika Mariani, M.Si.

Dra. Kusni , M.Si

Program Studi Pendidikan Dasar konsentrasi Matematika S2

UNIVERSITAS NEGERI SEM

(2)

(3)

BAB I

PENDAHULUAN

Deskripsi

Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsure dan Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsure dan relasi yang

relasi yang ada ada diantara unsure diantara unsure tersebut. Titik, tersebut. Titik, garis, garis, bidang, dan bidang, dan ruangruang merupakan benda abtra yang menjadi unsure dasar geometri. Berdasarkan merupakan benda abtra yang menjadi unsure dasar geometri. Berdasarkan unsur-unsur inilah,didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada unsur-unsur inilah,didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian bru sebelumnya.

pengertian bru sebelumnya.

Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan postulat.Berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang postulat.Berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang disebut teorema. Teorema tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan teorema disebut teorema. Teorema tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan teorema yang ada sebelumnya.

yang ada sebelumnya. Pada

Pada buku buku ajar ajar ini ini dimulai dengan dimulai dengan kongruensi,kongruensi,dilanjutkan dengan dilanjutkan dengan sifat- sifat-sifat segiempat, luas, teorema Pythagoras,Perbandingan seharga sifat segiempat, luas, teorema Pythagoras,Perbandingan seharga garis,sebangun,teorema pda garis istimewa pada segitiga,dan lingkaran. garis,sebangun,teorema pda garis istimewa pada segitiga,dan lingkaran. Penulisan buku ajar ini dimulai dari hal yang paling dasar. Geometri sendiri Penulisan buku ajar ini dimulai dari hal yang paling dasar. Geometri sendiri adalah

adalah merupakan merupakan materi dasar materi dasar yang yang digunakan pada digunakan pada materi yang materi yang lainnya.lainnya. Contoh : kalkulus.

Contoh : kalkulus.

Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari buku ajar ini peserta Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari buku ajar ini peserta pelatihan diharapkan :

pelatihan diharapkan :

1. Memahami konsep geometri 1. Memahami konsep geometri

2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat geometri 2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat geometri 3. Mampu mandiri dalam menyelesaikn tugas-tugas geometri 3. Mampu mandiri dalam menyelesaikn tugas-tugas geometri 4. Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan geometri. 4. Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan geometri.

Prasyarat

Pada buku ajar Geometri tidak diperlukan prasyarat, karena dapat Pada buku ajar Geometri tidak diperlukan prasyarat, karena dapat dikatakan bahwa geometri adalah materi dasar, sehingga dibutuhkan pada dikatakan bahwa geometri adalah materi dasar, sehingga dibutuhkan pada materi lain.

materi lain.

Petunjuk Belajar

Mempelajari geometri berarti harus menggambar dan menyelesaikan soal. Mempelajari geometri berarti harus menggambar dan menyelesaikan soal. Pada saat menggambar yang harus diperhatikan adalah ;

Pada saat menggambar yang harus diperhatikan adalah ;

1. Jika gambar itu tidak menolong penyelesaian, maka umumnya tidak perlu 1. Jika gambar itu tidak menolong penyelesaian, maka umumnya tidak perlu

menggambar menggambar

(4)

3 3

2. Bila dijumpai banyak pertanyaan pada suatu soal, maka seringkali gambar 2. Bila dijumpai banyak pertanyaan pada suatu soal, maka seringkali gambar itu penuh dengan banyak garis, sehingga tidak lagi mempermudah itu penuh dengan banyak garis, sehingga tidak lagi mempermudah penyelesaan soal. Sebaiknya, apabila gambar itu sudah penuh, dibuat penyelesaan soal. Sebaiknya, apabila gambar itu sudah penuh, dibuat gambar lain, kalau perlu untuk setiap pertanyaan satu gambar saja.

gambar lain, kalau perlu untuk setiap pertanyaan satu gambar saja. Pada saat menyelesaikan persoalan :

Pada saat menyelesaikan persoalan :

1. Soal geometri perlu diselesaikan secara pasti. Oleh karena itu perlu 1. Soal geometri perlu diselesaikan secara pasti. Oleh karena itu perlu mengenal teorema-teorema yang dapat digunakan sebagai pijakan. mengenal teorema-teorema yang dapat digunakan sebagai pijakan. Jangan ingin menyelesaikan geometri hanya dengan “mengarang”.

Jangan ingin menyelesaikan geometri hanya dengan “mengarang”.

2. Geometri hanya dapat dipelajari secara intensif, jika bangun yang kita 2. Geometri hanya dapat dipelajari secara intensif, jika bangun yang kita

tinjau itu kita selidiki sendiri. tinjau itu kita selidiki sendiri.

Kompetensi dan Indikator

Kompetensi Kompetensi : :

1.

1. Memahami Memahami konsep konsep geometrigeometri 2.

2. Mampu Mampu menggunakan dan menggunakan dan menerapkan sifat-sifat gmenerapkan sifat-sifat geometrieometri 3

3 .Mampu .Mampu mandiri dalam mandiri dalam menyelesaikan tugas-tugas menyelesaikan tugas-tugas geometrigeometri 4

4 .Mampu menyelesaikan .Mampu menyelesaikan masalah yang masalah yang terkait dengan terkait dengan geometri.geometri. Indikator:

Indikator: 1.

1. Memahami tentang Memahami tentang kongruensi dan kongruensi dan mengembangkannyamengembangkannya 2.

2. Memahami tentang segi Memahami tentang segi empat, sifatnya,luas, dan empat, sifatnya,luas, dan teorema Pythagoras.teorema Pythagoras. 3.

3. Memahami perbandingan Memahami perbandingan seharga garis-garis dseharga garis-garis dan kesebangunanan kesebangunan 4.

4. Memahami beberapa teorema Memahami beberapa teorema pada garis-garis istimewa pada garis-garis istimewa pada segitigapada segitiga 5. Memahami tentang perbandingan seharga garis dalam lingkran,lingkaran 5. Memahami tentang perbandingan seharga garis dalam lingkran,lingkaran luar dan dalam pada segitiga, segiempat talibusur dan segiempat luar dan dalam pada segitiga, segiempat talibusur dan segiempat garissinggung

(5)

BAB II

SAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI)

A. KOMPETENSI DAN INDIKATOR KOMPETENSI :

1. Memahami konsep dan prinsip tentang kongruensi

2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan kongruensi INDIKATOR :

1. Memahami tentang dua segitiga yang kongruen

2. Dapat menurunkan teorema kongruensi pada teorema dasar yang lainnya. B. URAIAN MATERI

SAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI) PADA SEGITIGA

Dua buah segitiga disebut kongruen jika salah satu segitiga dapat ditranformasikan dengan translsi,refleksi, rotasi atau ketiganya, sehingga mereka dapat disusun tepat sama.

DEFINISI

Dua segitiga dikatakan sama dan sebangun ( ≅) atau kongruen bila dua segitiga tersebut mempunyai pasangan sisi yang sama dan sudut yang bersesuaian juga sama.

TEOREMA

Dua segitiga kongruen bila dua sisi dan sudut yang diapitnya sama (s. sd. s) Diketahui: ∆ ABC dan ∆ PQR AC = PR ∠_{C =} ∠_R CB = PQ Buktikan ∆ ABC ≅ ∆ PQR Bukti:

Letakkan A pada P dan C pada R.

Karena ∠ C = ∠ R maka kaki CB menutupi RQ Dan karena CB = RQ maka B berada di Q.

Jadi ∆ ABC menutupi ∆ PQR dengan tepat atau ∆ ABC ≅ ∆ PQR

Akibatnya semua unsur yang seletak sama.

x B A C x Q P R

(6)

5

TEOREMA

• _{Dua segitiga kongruen bila satu sisi dan 2 sudut pada sisi tersebut sama (}

sd. s. sd )

• _{Dua segitiga kongruen bila satu sisi sama, 1 sudut pada sisi itu sama dan}

sudut di depan sisi itu sama juga ( s. sd. sd )

• _{Dua segitiga kongruen bila ketiga sisi sama ( s.s.s)}

• _{Dua segitiga siku kongruen bila hypotenusa dan 1 pasang sisi}

siku-siku sama. TEOREMA

Pada segitiga samakaki, kedua sudut alasnya sama besar. Diketahui :

∆_{ABC samakaki. CA = CB}

Buktikan : ∠ A = ∠ B Bukti:

Tarik garis bagi CD dan tinjau ∆ ACD dan ∆ BCD AC = BC (diketahui)

∠ C1 = ∠ C2 (CD garis bagi) CD = CD (berimpit)

Jadi ∆ ACD ≅ ∆ BCD (s.sd.s) ak: ∠ A = ∠ B Perhatikan semua unsur yang seletak akan sama

yaitu AD = BD → AD garis berat

Jadi didapat sifat bahwa pada segitiga samakaki

garis bagi itu juga menjadi garis berat (karena AD = BD )

Karena ∠ D1 = ∠ D2 dan ∠ D1 + ∠ D2 = 1800 maka ∠ D1=∠ D2 = 900. Sehingga garis bagi itu juga menjadi garis tinggi (karena ∠ D1= ∠ D2= 900 ) KESIMPULAN:

Pada ∆ samakaki, garis tinggi, garis bagi dan garis berat yang ditarik dari puncak, dan sumbu alas berimpit.

TEOREMA

Jika dalam suatu segitiga, ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas berimpit maka segitiga itu sama kaki (buktikan sendiri).

C. LATIHAN

1. Buktikan teorem berikut.

Dalam segitiga siku-siku, garis berat ke sisi miring sama dengan setengan sisi miring (Buat dari titik B garis // AC dan memotong perpanjangan AD di E, jika diketahui ∆ ABC siku-siku (∠ A = 900) dan AD garis berat ke sisi miring). A _D B C 2 1 1 2o o

(7)

2. Buktikan bahwa T.K. titik titik yang berjarak sama ke kaki-kaki sudut, merupakan garis bagi suatu sudut.

3. Diketahui ∆ ABC. AD garis berat. E pada perpanjangan AD sehingga BE⊥AD. F pada AD sehingga CF ⊥AD. Buktikan CE = BF

4. Diketahui ∆ ABC samakaki. M sembarang pada alas AB garis g dan h adalah sumbu AM dan BM. Garis g memotong AC di K, garis k memotong BC di L. Buktikan AK=CL.

5. Diketahui ∆ ABC, ∠ A = 600, AD garis bagi, E dan F pada garis bagiini, sehingga CE dan BF ⊥garis bagi ini.

Buktikan : CE + BF =

2 1

(AB + AC).

6. Diketahui ∆ ABC samakaki. AC = BC, D pada perpanjangan AB, E pada CD sehingga BE = DE, F pada CD sehingga AF//BE. Buktikan ∆ ACF≅ ∆ CBE! B A C F E D A _B D E F C

(8)

7

D. LEMBAR KEGIATAN 1.Alat dan Bahan

Peserta pelatihan membawa dengan lengkap alat-alat yang dibutuhkan yaitu : pinsil, bolpoint, jangka, penghapus, penggaris, penggaris siku-siku, kertas garis ,kertas gambar, buku sumber, diktat Geometri

2.Keselamatan dan Kesehatan Kerja

Peserta pelatihan membawa sendiri alat dan bahan dengan lengkap, tidak boleh meminjam alat dan bahan dengan peserta pelatihan yang lain, sehingga tidak mengganggu konsentrasi dan kenyamanan peserta pelatihan yang lain.

3.Prasyarat

Peserta pelatihan telah menguasai tentang garis dan sudut 4.Langkah Kegiatan

Kegiatan Awal

• _{Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan}

dengan garis dan sudut.

• _{Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan garis,melukis}

garis,macam-macam sudut, dan klasifikasi segitiga ditinjau dari sisi dan sudutnya(dengan menggunakan alat peraga).

Kegiatan Inti

• _Menjelaskan _{definisi kongruensi dan teorema kongruensi dari dua}

segitiga,dan memberikan contohnya.

• _{Menjelaskan teorema yang lain dengan menggunakan kongruensi} • _{Diskusi kelas.}

Kegiatan Akhir

•_Kesimpulan •_Penilaian

• _{Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.}

5.Hasil

Peserta pelatihan memahami tentang kongruensi dua segitiga dan teorema dasar tentang segitiga samakaki.

E. Rangkuman

1. Dua buah segitiga disebut kongruen jika salah satu segitiga dapatditranformasikan dengan tranlasi,releksi, atau rotasi atau ketiganya sehingga mereka dapat disusun tepat sama.

2. Untuk melihat dua segitiga kongruen cukup diselidiki salah satu dari syarat berikut :

a. Kedua segitiga mempunyai tiga pasang sisi yang sama panjang (s,s,s).

(9)

b. Kedua segitiga mempunyai dua pasang sisi sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s,sd,s)

c. Kedua segitiga mempunyai dua sudut sama besar dan sisi yang diapitnya sama panjang (sd,s,sd)

d. Kedua segitiga mempunyai satu sisi sama, sudut pada sisi itu dan sudut dihadapan sisi itu sama juga.

3. Pada segitiga sama kaki mempunyai sudut alas sama besar.

4. Pada segitiga samakaki ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas berimpit.

F. Tes Formatif 1

I. Pilih satu jawaban yang paling tepat

1. Pada ∆ABC yang sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan BE. Maka:

a. AD = BE b. CD ≠ CE

c. ∠CED ≠ ∠CDE

d. Semua jawaban salah.

2. Pada ∆ABC sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan BE yangberpotongan di T. Maka :

a. TD ≠ TE b. AT = TB c. AT = TC d. BT = CT

3. Pada ∆ ABC samakaki. Pernyataan yang benar adalah : a. Sudut alasnya sama besar

b. Hanya garis bagi dan garis berat dari puncak yang berimpit c. Hanya garis tinggi dan garis bagi dari puncak yang berimpit d. Hanya ketiga garis istimewa dari puncak yang berimpit.

4. Pada ∆ ABC siku-siku (∠A = 900) ,jika panjang BC = 8 cm, maka panjang garis berat dari A adalah :

a. 8 cm b. 6 cm c. 4 cm d. 3 cm

5. Diketahui trapezium ABCD dengan AB // CD dan AD = BC. Pernyataan yang salah adalah :

(10)

9

a. AC = BD b. ∠A = ∠B

c. ∆ABC ≅ ∆ABD

d. ∆ABP ≅ ∆ CDP ( P perpotongan AC dengan BD)

6. Segitiga ABC dan PQR adalah segitiga siku-siku, ∠A = ∠P = 900. Jika AB= PQ dan BC = QR, maka ∆ABC ≅ ∆PQR sebab komponen yang sama adalah :

a. (s,s,sd) b. (sd,s,s) c. (s,sd,s) d. (s,s,s)

7.Segitiga ABC siku-siku (∠A= 900), Jika AC = 8 cm dan ∠C = 300, maka AB =

a. 3V3 cm b. 5V3 cm c. 6V3 cm d. 8/3V3 cm

8.Segitiga ABC siku-siku ( ∠A= 900), Jika AC = 8 cm dan ∠C = 300, maka BC =

a. 16/3V3 cm b. 5V3 cm c. 6V3 cm d. 7V3 cm

II. Kerjakan semua soal dibawah ini :

1. Segitiga ABC siku-siku (∠A= 900), Jika ∠C = 300, buktikan bahwa BC = 2AB.

2. Diketahui ∆ ABC samakaki, AC = BC. Ttitik P sembarang pada alas AB. Q dan R pada BC dan AC sehingga PQ ⊥ BC dan PR ⊥AC. Buktikan : PQ + PR = AS(garis tinggi ke salah satu kaki segitiga).

3. Melalui C dan B pada persegi ABCD dibuat garis yang membentuk sudut 150 dengan sisi BC sehingga berpotongan dititik P. Buktikan bahwa ∆ APD adalah segitiga samasisi.

(11)

BAB III

SEGIEMPAT

A. KOMPETENSI DAN INDIKATOR KOMPETENSI :

1. Memahami konsep dan prinsip tentang segi empat,luas, dan teorema Pythagoras

2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan segi empat,luas, dan teorema Pythagoras

INDIKATOR :

1. Memahami tentang jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah ketupat, layang-layang, dan trapezium.

2. Memahami tentang luas jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah ketupat, layang-layang, dan trapezium.

3. Memahami tentang teorema Pythagoras B. URAIAN MATERI

Bila pada bidang datar terdapat 4 titik sembarang yang tidak segaris dan keempatnya dihubungkan dengan garis lurus, maka terjadilah segi empat. Ada beberapa segi empat yang akan dibicarakan, yaitu segi empat sembarang, jajar genjang, persegi panjang belah ketupat, persegi, trapesium, dan layang-layang.

Beberapa batasan:

1. Segi empat sembarang adalah segi empat yang keempat sisinya tidak sama panjang dan keempat sudutnya tidak sama besar.

2. Jajar genjang (paralellogram ), adalah segi empat yang sepasang-sepasang sisinya yang berhadapan sejajar.

3. Persegi panjang (rectangle ), adalah jajar genjang yang salah satu sudutnya 900.

4. Belah ketupat (rhombus ), adalah jajar genjang yang dua sisinya yang berurutan sama panjang.

5. Persegi (square ), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 900. 6. Trapesium (trapezoid ), adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang

sisi berhadapan yang sejajar.

7. Layang-layang (kite ), adalah segi empat yang diagonalnya saling tegak lurus dan salah satu diagonalnya terbagi dua sama panjang oleh yang lain.

(12)

11

Jajar genjang : Jajar genjang ( paralellogram ), adalah segi empat yang sepasang-sepasang sisinya yang berhadapan sejajar.

TEOREMA

Dalam jajar genjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan sebaliknya bila dalam segi empat yang berhadapan sama, segi empat itu adalah jajar genjang.

Diketahui : ABCD jajar genjang. Buktikan : ∠ A = ∠ C

Bukti : Tarik diagonal BD

D C 2 1 11 A B Sebaliknya: ∠ A = ∠ C ∠_{B =} ∠_D ∴ ∠_{A +} ∠_{B =} ∠_{C +} ∠_{D = 180}0_{atau AD // BC} ∠_{A =} ∠_C ∠_{D =} ∠_B Maka ∠A + ∠D = ∠C + ∠B = 1800 atau AB // DC

Karena AD // BC dan AB // DC , maka ABCD jajar genjang TEOREMA

Dalam jajar genjang, sisi yang berhadapan sama panjang dan sebaliknya bila sisi-sisi yang berhadapan dalam segi empat sama panjang, maka segi empat itu adalah jajar genjang.

Diketahui : ABCD jajar genjang. Buktikan : AB = DC dan AD = BC. Bukti : tarik diagonal BD, maka

D C A B 1 2 1 2 ∆ ABD ≅ ∆ CDB, sebab: ∠ B1 = ∠ D1( AB //DC) ∠ D2 = ∠ B2 ( BC // AD) BD = BD ( berimpit) C A=∠ ∠ ∴ 2 1 1 2 ∆_ABD ≅ ∆_{CDB, sebab:} BD = BD (berimpit) ∠ B1 = ∠ D1 (AB // DC) ∠ D2 = ∠ B2 (AD //BC) ∴_{AB = DC dan AD = BC}

(13)

Sebaliknya tetap berlaku, yaitu: ∆ ABD ≅ ∆ CDB, sebab: AB = CD ( diketahui)

AD = BC ( diketahui) BD = BD ( berimpit)

∴∠_B₁₌ ∠_D₁ _{→ AB // DC} _{→ ABCD jajar genjang.} ∠_B₂₌ ∠_D₂ _{→ AD // BC}

TEOREMA

Kedua diagonal dalam jajaran genjang potong memotong di tengah-tengah dan sebaliknya bila dalam segi empat, kedua diagonalnya potong memotong di tengah-tengah maka segi empat itu adlah jajaran genjang.

Diketahui : ABCD jajaran genjang. AC dan Bd berpotongan di S. Buktikan : AS = CS dan BS = DS.

Buktikan : ∆ ABS ≅ ∆ CDS, sebab:

D C

A B

Sebaliknya: ∆ ABS dan ∆ CDS sama dan sebangun, sebab:

) 1 .( ... ... // 1 1 3 4 DC AB C A S S DS BS SC AS → ∠ = ∠ ∴      ∠ = ∠ = = CSB ASD≅∆ ∆ _{, sebab:} ) 2 ....( ... ... // atau 2 2 2 1 BC AD B D S S SC SA SB SD ∠ = ∠ ∴      ∠ = ∠ = =

Dari (1) dan (2) → ABCD jajar genjang

2 2 2 2 2 1 3 4 S

AB = DC (ABCD jajar genjang) ∠ A1 = ∠ C1 (AB // DC)

∠ B1 = ∠ D1 (AB //DC)

(14)

13

TEOREMA

Bila dalam segi empat sepasang sisi yang berhadapan sama dan sejajar, maka segi empat itu adalah jajar genjang .

Diketahui : AB // DC

Buktikan : ABCD jajar genjang. Bukti : Tarik diagonal BD

∆_{ABD ≅} ∆_{CDB, sebab:} BC AD D B BD BD D B DC AB // 2 2 1 1 → ∠ = ∠ ∴      = ∠ = ∠ =

Karena sudah diketahui AB // DC, maka ABCD jajar genjang.

Persegi panjang , adalah jajar genjang yang salah satu sudutnya 900.

TEOREMA

Dalam persegi panjang kedua diagonalnya sama panjang dan sebaliknya bila dalam jajar genjang kedua diagonalnya sama panjang, maka jajar genjang itu adalah persegi panjang.

Diketahui : ABCD persegi panjang. Buktikan : AC = BD

Bukti : ∆ ABC ≅ ∆ BAD, sebab:

AB = AB ( berimpit )

∠_{A =} ∠_{B ( = 90}0₎

AD = BC (ABCD persegi panjang) ∴ AC = BD

Sebaliknya : AC = BD → maka AS = SB = SD.

∆_{ABS dan} ∆_{ADS samakaki.}

∠ A1 = ∠ B1, ∠ A2 = ∠ D2 → 2 ( ∠ A1 + ∠ A2 ) = 1800. ∠ A1,2 = 900 → ABCD persegi panjang.

A _B C D 2 1 2 A B C D S 2 1 2 1

(15)

Belah ketupat , adalah jajar genjang yang 2 sisi berdekatan sama panjang.

TEOREMA

Dalam belah ketupat, diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudutnya menjadi 2 bagian yang sama dan kedua diagonalnya itu saling tegak lurus.

Diketahui : ABCD belah ketupat. Buktikan : a. ∠ A1 = ∠ A2

b. ∠ B1 = ∠ B2 c. AC ⊥ BD

Bukti : ∆ ABS ≅ ∆ ADS, sebab :

AB = AD ( ABCD belah ketupat ) AS = AS (ABCD belah ketupat ) BS = DS (ABCD belah ketupat ) ∴ ∠_A₁₌ ∠_A₂_dan ∠_S₁₌ ∠_S₂

Karena ∠ S1,2 = 1800, maka ∠ S1 =∠ S2 = 900 → AC ⊥_BD ∆ ABS ≅ ∆ CBS, sebab : AB = CB SB = SB AS = SC ∴ ∠_B₁₌ ∠_B₂ TEOREMA

Bila dalam jajar genjang diagonalnya membagi sudut menjadi 2 bagian yang sama, maka jajar genjang itu adalah belah ketupat.

Diketahui : ABCD jajar genjang dan ∠ A1 = ∠ A2 Buktikan : ABCD belah ketupat.

Bukti : ∆ ABC ≅ ∆ ADC, sebab :

∠_A₁₌ ∠_A₂ _{( diketahui )}

AC = AC ( berimpit ) ∠_C₁₌ ∠_C₂ _{( diketahui )} 2 1 2 1 2 1 A B D S A C B D 1 2 1 2

(16)

15

∴ AB ⊥ AD → Karena ABCD jajar genjang maka ABCD belah ketupat

TEOREMA

Bila dalam jajar genjang, kedua diagonalnya saling tegak lurus, maka jajar genjang itu adalah belah ketupat.

Diketahui : ABCD jajar genjang dan AC ⊥ BD. Buktikan : ABCD belah ketupat.

Bukti : ∆ ABS ≅ ∆ CBS, sebab:

AS = CS ( ABCD jajar genjang )

∠_S₁₌ ∠_S₂_{= 90}0 BS = BS ( berimpit )

∴ AB = CB → Karena ABCD jajar genjang maka ABCD belah ketupat

Persegi (bujur sangkar) , adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 900. Jadi, persegi adalah segi empat beraturan.

TEOREMA

Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga akan sejajar dengan sisi yang ketiga dan panjangnya setengah sisi yang ketiga itu.

Diketahui : ∆ ABC. Titik D dan titik E tengah-tengah AC dan BC. Buktikan : DE // AB dan DE =

2 1

AB.

Bukti : Perpanjang DE dengan EF = ED. Hubungkan BD dan CF dan BF. DBFC jajar genjang, sebab:

2 1

B S

(17)

DE = EF; CE = EB.

Jadi BF // AC atau BF # AD atau ABFD jajar genjang sehingga AB // DE.

AB = DF → AB = 2 DE. Jadi, DE // AB dan DE =

2 1

AB. DE disebut paralel tengah segitiga ABC.

TEOREMA

Garis berat ke sisi miring suatu segitiga siku-siku setengah sisi miring itu. Diketahui : ∆ ABC siku-siku.

∠ A = 900_{, AM garis berat.} Buktikan : AM =

2 1

BC.

Bukti : Perpanjang AM dengan MN = MA, maka ABNC jajar genjang, tetapi ∠ A = 900

∴_{ABNC persegi panjang.}

AN = BC atau AM =

2 1

BC.

Trapesium , adalah segi empat yang tepat sepasang sisinya yang berhadapan sejajar. Ada tiga macam trapesium, yaitu trapesium sembarang, trapesium siku-siku, dan trapesium sama kaki.

TEOREMA

Dalam trapesium samakaki, kedua diagonal sama panjang dan sudut-sudut alas sama besar.

Diketahui : ABCD trapesium samakaki. Buktikan : ∠ A = ∠ B dan AC = BD. Bukti : Tarik CE // DA, maka AECD jajar Genjang, AD = CE, AD = BC

Jadi CE = BC atau ∆ BCE samakaki

∠ E = ∠ B; ∠ E = ∠ A (sehadap,AD//EC) ∴ ∠ A = ∠ B. A B C D E F A B C N M 2 1 A E B C D

(18)

17

∆ ABC ≅ ∆ BAD, sebab

AB = AB ( berimpit); BC = AD (ABCD trap. Smkk ); ∠ A = ∠ B.( telah dibuk)

∴_{AC = BD.}

TEOREMA

Garis yang menghubungkan pertengahan-pertengahan kaki suatu trapesium sejajar deagan sisi-sisi sejajarnya dan panjangnya setengah jumlah sisi yang sejajar.

Diketahui : Trapesium ABCD. AE = ED ; BF = FC. Buktikan : a. EF // AB // DC.

b. EF =

2 1

(AB + DC).

Bukti : Perpanjang DF hingga memotong AB di G.

∆_{BGF ≅} ∆_{CDF, sebab:}

BF = CF; ∠ F1 = ∠F2; ∠ D1 = ∠ G1 ∴DC = BG dan DF = FG

Atau EF paralel tengah ∆ AGD sehingga EF // AG dan EF = 2 1 AG Atau EF // AB // DC dan EF = 2 1 (AB + DC). LUAS TEOREMA

Luas persegi panjang sama dengan panjang dikali lebar

TEOREMA

Luas jajar genjang sama dengan alas dikali tingginya.

TEOREMA

Luas segitiga sama dengan setengah dari alas dikali tingginya.

A B C D E F G 1 1 1 2 l A B C D p A E B C D t A E B F C D

(19)

TEOREMA

Luas trapesium sama dengan jumlah sisi-sisi sejajar dikali tingginya dibagi dua.

TEOREMA

Luas segiempat yang

diagonal-diagonalnya saling tegak lurus, sama dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya.

Melalui C ditarik garis // AB. Tentukan c1, c2, dan c3 pada garis tersebut.

Maka luas ∆ABC1 = luas ∆ABC2 = luas

∆_ABC₃_{karena mempunyai garis tinggi yang}

sama dan satu sisi persekutuan. TEOREMA PYTHAGORAS Gambar 1 A B C D G F t t D A B C E C3 C2 C C1 G B F L J I K H C D E M A

(20)

19

Gambar 2

Buktikan teorema Pythagoras dengan menggunakan gambar 1 dan 2. C. LATIHAN

1. Gambar dibawah adalah persegi panjang ABCD dan DEFG diketahui AB = 10 cm, AD = 24 cm, EF = 12 cm, dan ED = 18 cm. Berapakah selisih luas bangun yang diarsir.

I I II II III III IV IV V V G F E C B A D

(21)

2. Dalam ∆ ABC, AB diperpanjang dengan BF = c BC dengan CD = a dan CA dengan AE = b. Buktikan luas ∆ DEF = 7 x luas ∆ ABC.

3. Lukis sebuah segitiga yang sama dengan sebuah segiempat ABCD yang diketahui

4. Dalam jajaran genjang ABCD ditentukan sembarang titik P dan titik ini dihubungkan dengan titik sudut.

Buktikan : Luas ∆ PAB – luas ∆ PCB = luas ∆ PAD – luas ∆PCD. 5. AB adalah alas ∆ ABC

Pada sisi AC dan BC dilukiskan kesebelah luar sembarang jajar genjang ACDE dan BCFG. ED dan GF setelah diperpanjang berpotongan di P. Ditarik PC seterusnya di sebelah bawah AB ditarik garis AH # PC dan disudahkan dengan jajar genjang BAHK.

Buktikan : Luas BAHK = luas ACDE + luas BCFG

3.Prasyarat

Peserta pelatihan telah menguasai tentang kongruensi

A B

C D

(22)

21

4.Langkah Kegiatan Kegiatan Awal

• _{Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan} dengan kongruensi.

• _{Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kongruensi} Kegiatan Inti

• _Menjelaskan _definisi _{jajar genjang, persegi panjang, persegi,} belahketupat, layang-layang, trapezium, dan luas jajar genjang, persegi panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, dan trapezium ,serta memberikan contoh dan bukan contoh.

• _{Menjelaskan teorema Pythagoras, triple Pythagoras, dan aplikasinya.} • _{Diskusi kelas.}

Kegiatan Akhir • Kesimpulan • Penilaian

• _{Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.} 5.Hasil

• _{Peserta pelatihan memahami tentang jajar genjang, persegi panjang,} persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium. Luas jajar genjang, persegi panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium,serta dapat memberikan contoh dan bukan contoh.

• Dapat menjelaskan teorema Pythagoras, triple Pythagoras, dan aplikasinya

E. Rangkuman

1. Segi empat sembarang adalah segi empat yang keempat sisinya tidak sama panjang dan keempat sudutnya tidak sama besar.

2. Jajar genjang (paralellogram ), adalah segi empat yang sepasang-sepasang sisinya yang berhadapan sejajar.

3. Persegi panjang (rectangle ), adalah jajar genjang yang salah satu sudutnya 900.

4. Belah ketupat (rhombus ), adalah jajar genjang yang dua sisinya yang berurutan sama panjang.

5. Persegi (square ), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 900. 6. Trapesium (trapezoid ), adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang

sisi berhadapan yang sejajar.

7. Layang-layang (kite ), adalah segi empat yang diagonalnya saling tegak lurus dan salah satu diagonalnya terbagi dua sama panjang oleh yang lain.

(23)

F. Tes Formatif F. Tes Formatif

I. Pilih satu jawaban yang paling tepat I. Pilih satu jawaban yang paling tepat

1. Bangun datar dibawah ini adalah segiempat yang mempunyai dua pasang 1. Bangun datar dibawah ini adalah segiempat yang mempunyai dua pasang

sisi yang sejajar, kecuali sisi yang sejajar, kecuali a. jajargenjang a. jajargenjang b. persegipanjang b. persegipanjang c. belahketupat c. belahketupat d. layang-layang d. layang-layang 2. Dalam

2. Dalam suatu belah suatu belah ketupat ABCD ketupat ABCD garis tegaklurus dari garis tegaklurus dari B pada B pada sisi ADsisi AD membagi dua sama panjang. Maka besar

membagi dua sama panjang. Maka besar ∠∠A :A : a. 120 a. 12000 b. 90 b. 9000 c. 60 c. 6000 d. 45 d. 4500

3. Trapesium ABCD, dengan AB = 10 cm, CD = 7 cm, sedangkan AD = BC= 3 3. Trapesium ABCD, dengan AB = 10 cm, CD = 7 cm, sedangkan AD = BC= 3

cm. Maka besar cm. Maka besar ∠∠A :A : a. 120 a. 12000 b. 90 b. 9000 c. 60 c. 6000 d. 45 d. 4500 4.Pertengahan-pert

4.Pertengahan-pertengahan engahan sisi-sissisi-sisi i trapezium sama trapezium sama kaki kaki merupakan titik-titikmerupakan titik-titik sudut suatu : sudut suatu : a. jajargenjang a. jajargenjang b. persegi b. persegi c. persegipanjang c. persegipanjang d. belahketupat. d. belahketupat.

5.Diagonal layang-layang ABCD berpotongan di P. AP = PD dan

5.Diagonal layang-layang ABCD berpotongan di P. AP = PD dan ∠∠ ABD =ABD = 30

3000.Jika AD = 10V2, maka luas ABCD =.Jika AD = 10V2, maka luas ABCD = a. 100 a. 100 b. 100(1 + V3) b. 100(1 + V3) c. 100V3 c. 100V3 d. 300 d. 300

6. Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD

6. Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD ⊥⊥ BC,maka BC,maka luas jajargenjang ABCD adalah :

luas jajargenjang ABCD adalah : a. 48 cm a. 48 cm22 b. 60 cm b. 60 cm22 c. 80 cm c. 80 cm22 d. 86 cm d. 86 cm22

(24)

23 23

7.Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD

7.Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD ⊥⊥ BC, maka BC, maka panjang jarak AB dan CD adalah :

panjang jarak AB dan CD adalah : a. 4,8 cm a. 4,8 cm b. b. 6 6 cmcm c. c. 8 8 cmcm d. 8,6 cm d. 8,6 cm

8.Diketahui belahketupat ABCD dan BFDE dengan E, F terletak pada AC.Jika 8.Diketahui belahketupat ABCD dan BFDE dengan E, F terletak pada AC.Jika

BD = 50 cm dan AE = 24 cm . Maka luas daerah BCDF + ABED adalah : BD = 50 cm dan AE = 24 cm . Maka luas daerah BCDF + ABED adalah : a. a. 50 50 cmcm22 b. b. 100 100 cmcm22 c. c. 600 600 cmcm22 d. 1200 cm d. 1200 cm22

II. Kerjakan semua soal dibawah ini II. Kerjakan semua soal dibawah ini

1. Dalam persegi

1. Dalam persegi panjang ABCD panjang ABCD terdapat terdapat titik P. Buktikan bahwa titik P. Buktikan bahwa : PA: PA22 + PC + PC22 = PB

= PB22 + PD + PD22

2.Diketahui jajar genjang ABCD. AB = 20. Garis bagi dalam

2.Diketahui jajar genjang ABCD. AB = 20. Garis bagi dalam ∠∠A danA dan ∠∠DD berpotongan

berpotongan di E. AE di E. AE = 16, DE = 16, DE = 12.Hitung luas = 12.Hitung luas ABCD.ABCD.

3. Diketahui jajar genjang ABCD. Garis l memotong AB dan AD sehingga 3. Diketahui jajar genjang ABCD. Garis l memotong AB dan AD sehingga

E,F,G dan H pada l. AE,BF, CG, DH

(25)

BAB IV

PERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEB

PERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEBANGUN

ANGUN

A. Kompetensi dan Indikator A. Kompetensi dan Indikator

Kompetensi Kompetensi 1.

1. Memahami tentang perbandingan seharga garis dan sebangunMemahami tentang perbandingan seharga garis dan sebangun

2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan perbandingan 2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan perbandingan

seharga garis dan kesebangunan seharga garis dan kesebangunan Indikator

Indikator

1. Memahami perbandingan seharga garis. 1. Memahami perbandingan seharga garis.

2. Memahami tentang bangun-bangun yang sebangun. 2. Memahami tentang bangun-bangun yang sebangun. B. URAIAN MATERI

B. URAIAN MATERI TEOREMA

TEOREMA

Bila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atas Bila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atas potongan-potongan yang sama, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garis potong potongan yang sama, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garis potong yang lain atas potongan-potongan yang sama juga.

yang lain atas potongan-potongan yang sama juga.

Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong di A, B, dan C sehingga AB = BC Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong di A, B, dan C sehingga AB = BC Buktikan : garis m memotong a, b, c di D, E, dan F sehingga DE = EF. Buktikan : garis m memotong a, b, c di D, E, dan F sehingga DE = EF. Bukti :

Bukti :

Tarik dari D (lihat gambar) garis //

Tarik dari D (lihat gambar) garis // l l , memotong garis b di G dan tarik dari E, memotong garis b di G dan tarik dari E garis EH sejajar

garis EH sejajar l l , maka ABGD dan BCHE jajaran genjang hingga AB = BC =, maka ABGD dan BCHE jajaran genjang hingga AB = BC = DG = EH.

DG = EH. ∆

∆ DGE DGE ≅ ≅ ∆∆ EHF ( s sd sd ) sebab DG = EH; EHF ( s sd sd ) sebab DG = EH; ∠∠ GG11 == ∠∠ HH11 == ∠∠ BB11 = = ∠∠ CC11,, dan

dan ∠∠EE11 = = ∠∠FF11 →→ jadi DE = E jadi DE = EF.F.

aa b b cc ll mm A A B B C C G G D D E E F F H H 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1

(26)

25

TEOREMA

Bila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atas perbandingan tertentu, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garis potong yang lain atas perbandingan yang tertentu juga.

Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong oleh garis l atas perbandingan 2 : 3, maka garis potong m akan memotong a, b, c atas perbandingan 2 : 3 juga. Bukti :

Tarik dari titik-titik bagi G, H, K garis-garis // a // b // c didapat L, M, N pada garis m maka : AG = GB= BH = HK = KC,

Menurut dalil 44 maka DL = LE = EM = MN = NE, maka DE : EF = 2 : 3 juga.

BEBERAPA BATASAN :

∗ _{bila satu titik dikalikan terhadap satu titik lain dengan satu faktor k,} maka hasilnya sebuah titik yang jaraknya k kali jarak titik itu kepusat perkalian (pusat dilatasi).

∗ _{bila sepotong garis dikali dengan faktor k terhadap satu titik,} hasilnya sebuah garis sejajar garis semula dan panjangnya k kali panjang garis semula.

Bila faktor perkalian positif, hasilnya sejajar dan searah, bila negatif hasilnya sejajar berlawanan arah.

∗ _{Dua segitiga disebut sebangun jika segitiga yang satu dapat} didilatasikan sedemikian sehingga hasilnya sama dan sebangun dengan bangun yang lain.

TEOREMA

Dua segitiga sebangun bila sisi segitiga yang satu sebanding dengan sisi-sisi segitiga yang lain.

c b a l m A B C D E F G H K N M L

(27)

Diketahui : ∆ABC dan ∆PQR dengan AB : BC : CA = PQ : QR : RP Buktikan : ∆ABC ≈ ∆PQR

Bukti : Kalikan ∆ABC terhadap O dengan faktor

AB PQ k = maka didapat ∆_A₁_B₁_C₁ A1B1 AB PQ AB PQ ₌

= _. _{, begitu juga B}₁_C₁_{=QR dan C}₁_A₁_=RP ∴ ∆_A₁_B₁_C₁≅ ∆_{PQR atau} ∆_ABC ≈ ∆_PQR

TEOREMA

Dua segitiga sebangun bila dua sudut-sudutnya sama besar. Diketahui : ∆ABC dan ∆PQR dengan ∠ A=∠P;∠ B=∠Q

Buktikan : ∆ABC ≈ ∆PQR Bukti :

Kalikan ∆ABC dengan

AB PQ k = maka A1B1 AB PQ AB PQ ₌ = _. →∴ ∠ = ∠ ∠ = ∠ 1 1; B B A

A ∠ A₁ =∠P dan ∠ B₁ = ∠Q

∆_A₁_B₁_C₁≅ ∆_{PQR atau} ∆_ABC ≈ ∆_PQR O A B C C1 B1 A1 R P Q A B C C1 B1 A1 R P Q O

(28)

27

TEOREMA

Dua segitiga sebangun bila sepasang sudut sama besar dan sisi-sisi yang mengapit sebanding.

Diketahui : ∆ABC dan ∆PQR dengan ∠ A=∠Pdan AB : AC = PQ : PR Buktikan : ∆ABC ≈ ∆PQR

Bukti :

Kalikan ∆ABC dengan

AB PQ k = maka A1B1 AB PQ AB PQ ₌ = _. _dan A1C1 AC PR AC PR ₌ = _. _sebab AC PR AB PQ ₌ ∴ ∆_A₁_B₁_C₁≅ ∆_{PQR atau} ∆_ABC ≈ ∆_PQR

Dalil-dalil mengenai sebangun ini dapat dipergunakan untuk membuktikan sudut-sudut sama besar atau sisi-sisi sebanding.

TEOREMA

Luas segitiga yang sama alasnya berbanding seperti tingginya dan sebaliknya bila tingginya sama, luasnya berbanding seperti alasnya.

Diketahui : ∆ABC dan ∆PQR dan AB = PQ Buktikan : 2 1 t t PQR Luas ABC Luas ₌ ∆ ∆ A B C C1 B1 A1 R P Q O P S Q R t2 A D B C t1

(29)

Bukti : Luas ∆ABC = . ..₁ 2 1 . . 2 1 t a CD AB = ……….(1) Luas ∆PQR = . .. ₂ 2 1 . . 2 1 t a RS PQ = ……….(2) 2 1 2 1 . . 2 1 . . 2 1 t t t a t a PQR Luas ABC Luas ₌ ₌ ∆ ∆

Sebaliknya jika t1=t2 maka

2 1 2 1 . . 2 1 . . 2 1 a a t a t a PQR Luas ABC Luas ₌ ₌ ∆ ∆ TEOREMA

Luas dua segitiga yang mempunyai sepasang sudut yang sama, berbanding seperti perkalian sisi-sisi yang mengapitnya.

Diketahui : ∆ABC dan ∆PQR dengan ∠ A=∠P

Buktikan : PR PQ AC AB PQR Luas ABC Luas . . = ∆ ∆ Bukti :

Tarik CD⊥AB dan RS⊥PQ, maka ∆ACD ≈ ∆PRS, jadi AC : PR = t1: t2

PR PQ AC AB t PQ t AB t PQ t AB PQR Luas ABC Luas . . . . . . 2 1 . . 2 1 2 1 2 1 = = = ∆ ∆

Berlaku juga bila 2 sudut itu berpelurus sesamanya

A _D B C t1 P S Q R t2

(30)

29

TEOREMA

Perbandingan luas 2 segitiga yang sebangun adalah sama dengan kuadrat dari perbandingan sepasang sisi seletak.

Diketahui : ∆ABC ≈ ∆PQR Buktikan : ₂ 2 2 2 2 2 QR BC PR AC PQ AB PQR Luas ABC Luas ₌ ₌ ₌ ∆ ∆ Bukti :

∆_ABC ≈ ∆_{PQR maka} ∠_A=∠_P

PR AC PQ AB ₌ 2 2 . . . . PQ AB PQ PQ AB AB PR PQ AC AB PQR Luas ABC Luas ₌ ₌ ₌ ∆ ∆

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa perbandingan luas kedua

segitiga akan sama dengan ₂

2 2 2 QR BC PR AC ₌ juga. C. LATIHAN

1. Titik M pada pertengahan hipotenusa BC suatu segitiga siku-siku ABC. Melalui M dibuat garis tegak lurus BC yang memotong AB dan AC di P dan Q. Buktikan MA2= MP xMQ

2. Diketahui trapesium ABCD. AB//DC, AB=a, DC=b. E pada BC dan EF//BA, AF : FD = p : q. Nyatakan EF dengan a, b, p, dan q!

3. Diketahui ∆ABC, AB=c; CD = t. sebuah persegi PQRS ada di dalam segitiga itu dengan P dan Q pada AB, R pada BC dan S pada AC. Nyatakan sisi bujursangkar itu dengan c dan t!

4. Diketahui jajargenjang ABCD. Titik T pada DC (DT<TC). Tariklah melalui T sebuah garis yang membagi jajargenjang itu menjadi 2 bagian yang sama luas!

5. Pada sebuah ∆ dengan sudut 900 dan 600 ditarik garis tinggi pada sisi miring dan garis bagi sudut lancip yang besar. Buktikan garis yang

P Q

R

A B

(31)

menghubungkan titik ujung garis-garis itu membagi segitiga itu menjadi dua bagian sama besar.

3.Prasyarat

Peserta pelatihan telah menguasai tentang kesejajaran 4.Langkah Kegiatan

Kegiatan Awal

• _{Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan} dengan kesejajaran.

• _{Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kesejajaran} Kegiatan Inti

• _{Menjelaskan tentang perbandingan seharga garis-garis} • _{Menjelaskan tentang kesebangunan dan aplikasinya.} • _{Diskusi kelas.}

Kegiatan Akhir • Kesimpulan • Penilaian

• _{Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.} 5. Hasil

* Peserta pelatihan memahami tentang perbandingan seharga garis. * Peserta pelatihan memahami tentang bangun yang sebangun.

E. Rangkuman

∗ _{Dua bangun disebut sebangun jika segitiga yang satu dapat didilatasikan} sedemikian sehingga hasilnya sama dan sebangun dengan bangun yang lain.

* Luas dua segitiga yang mempunyai sepasang sudut yang sama, berbanding seperti perkalian sisi-sisi yang mengapitnya.

* Perbandingan luas 2 segitiga yang sebangun adalah sama dengan kuadrat dari perbandingan sepasang sisi seletak.

(32)

31

F. Tes Formatif

I Pilih satu jawaban yang paling tepat

1. Diketahui jajar genjang ABCD. E pada AC, sehingga AE : EC = 1 :3 ditarikdari E garis sejajar AB memotong BD di F. Jika AB = 24 , maka EF =

a. 12 b. 10 c. 8 d. 6

2. Persegi ABCD diketahui panjang sisinya =8. P pada AD dan Q pada AB sehingga DP = AQ = 6. CP dan DQ berpotongan di R. Maka panjang DR =

a. 6 b. 4,8 c. 4 d. 3,8

3. Diketahui ∆ ABC . AB = 24. Pada AB terletak titik P sehingga AP = 2/3 AB. Q pada CP hingga CQ : QP = 3 : 1.Perpanjangan AQ memotong BC di R. Diarik dari R garis sejajar AB dan memotong CP di S. Panjang RS = a. 8

b. 6 c. 5 1/3 d. 5

4. Pada jajargenjang ABCD diketahui P pada DC. Garis yang melalui A dan P memotong BD dan perpanjangan BC di Q dan R. Jika AQ = 12 dan PR = 10. Maka PQ =

a. 12 b. 10 c. 8 d. 6

5. Diketahui ∆ABC. AB = 28, P pada AB sehingga AP = 12. Q pada BC dan PQ//AC. R pada AC dan PR//BC. S pada BC dan RS//AB. PQ dan RS berpotongan di T. Bila QS = 4, maka PR =

a. 12 b. 10 c. 8 d. 6

(33)

6. Diketahui ∆ ABC. D dan E di tengah-tengah AB dan AC. Sebuah garis melalui E memotong CD dan CB di F dan G. Jika BG = 16 dan EF : FG = 3 : 2, maka CG =

a. 12 b. 10 c. 8 d. 6

7. Diketahui ∆ABC. Pada BC terletak titik D, sehingga CD = 2/5 BC dan pada AB titik E, sehingga AE = 1/3 AB. AD dan CE berpotongan di S. Maka : AS : SD =

a. 2 : 3 b. 3 : 4 c. 4 : 5

d. semua jawaban salah

8. Diketahui ∆ ABC. Pada BC terletak titik D, sehingga CD = 2/5 BC dan pada AB titik E, sehingga AE = 1/3 AB. AD dan CE berpotongan di S. Maka : CS : SE =

a. 2 : 1 b. 3 : 4 c. 4 : 5

d. semua jawaban salah

1. Diketahui panjang ruas garis a ,b,dan c. Lukiskanlah ruas garis x dan y, jika x + y = a dan y x = c b

2. Diketahui ∆ABC siku-siku (∠A = 900),∠B = 600 Buktikanlh bahwa garis tinggi ke hypotenuse memotong garis bagi ∠B di tengah-tengah.

(34)

33

BAB V

BEBERAPA TEOREMA PADA SEGITIGA

A. Kompetensi dan Indikator Kompetensi

1. Memahami tentang beberapa teorema pada garis-garis istimewa segitiga 2.Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan teorema

-teorema pada garis-garis istimewa segitiga Indikator

1. Memahami teorema proyeksi pada segitiga siku-siku.

2. Memahami tentang teorema proyeksi pada segitig lancip dan tumpul 3. Memahami tentang teorema Stewart

4. Memahami tentang teorema garis bagi pqda segitiga 5. Memahami tentang teorema garis berat pqda segitiga. 6. Memahami tentang teorema garis tinggi pqda segitiga 7. Memahami tentang teorema Menelaos dan Ceva B. URAIAN MATERI

Beberapa teorema dan Garis Istimewa Pada Segitiga 1. Teorema Proyeksi pada Segitiga Siku-siku

Lihat Gambar

P disebut proyeksi sisi siku-siku c pada sisi a. q disebut proyeksi sisi siku-siku b pada sisi a.

TEOREMA C A D B b a c q t _p

Kuadrat sisi siku-siku sama dengan hasil kali proyeksinya ke sisi miring dan sisi miring sendiri.

Kuadrat garis tinggi ke sisi miring sama dengan hasil kali bagian sisi miring.

Hasil kali sisi siku-siku sama dengan hasil kali sisi miring dan garis tinggi ke sisi miring itu.

Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain.

(35)

Buktinya sebagai berikut. Diketahui : ABC, A= , AD BC Buktikan : 1. 2. 3. 4.

Buktinya adalah sebagai berikut.

1. Lihat Lihat

∆_{ADC ≈} ∆_{BAC ak : b:a = q:b} ∆_{ADB ≈} ∆_{CAB ak : c:a = p:c}

maka maka 2. Lihat ∆_{ADC ≈} ∆_{BAD ak : t:p = q:t} maka 3. Karena sebangun Maka

4. Dari hasil No. 1 :

2. Teorema Proyeksi pada Segitiga Lancip / Tumpul

Buktinya sebagai berikut.

Diketahui : q proyeksi a pada c Buktikan : C A D B b a c q t _p 1 1 2 2 + C D A B b _t a p q c

(36)

35

Bukti : Pada ; dan pada

Jika tumpul maka buktikan bahwa . Bukti : ; TEOREMA TEOREMA STEWART Teorema Stewart Diketahui : dengan dan Buktikan : Bukti :

Tarik garis CE AB, misal DE = m maka

1. Pada (lancip) 2. Pada (

a2 = x2 + c22 + 2mc2

-Dari (1) dan (2) didapat :

Kuadrat sisi di hadapan sudut lancip (tumpul) sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain dikurangi (ditambah) dua kali sisi yang satu dan proyeksi sisi yang kedua ke sisi yang pertama

Jika garis x yang ditarik dari titik C dan membagi sisi c dalam

dan maka B D C A p t a b c D A B E C a m x b c2 c1

(37)

GARIS ISTIMEWA DALAM SEGITIGA TEOREMA Diketahui : Berpotongan di Z Buktikan : AZ : ZD = BZ : ZE = 2 : 1 Bukti :

Hubungkan D dengan E maka DE // AB. Karena E dan D berturut-turut tengah-tengah AC dan BC maka ED =

2 1

AB (AB : DE = 2 : 1).

Lihat dan : ZED (ED // AB)

DZE (bertolak belakang) Jadi AZ : ZD = BZ : ZE = AB : DE = 2 : 1

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan untuk garis berat melalui titik C.

TEOREMA

Diketahui : garis berat (AD = )

Buktikan :

Bukti : Menurut Teorema Stewart

Dengan cara yang sama untuk dan . Garis-garis berat dalam segitiga berpotongan atas bagian yang perbandingannya 2 : 1. A Z B C E _D

Jika , dan berturut-turut garis berat ke sisi a, b, dan c maka B A C D b c xa

(38)

37

TEOREMA

Diketahui : garis bagi

dan

Buktikan :a1: = c : b Bukti :

Tarik garis DE AB dan DF AC, maka DE = DF (

Lihat i. Luas

ii. Jika garis tinggi dari A adalah maka : Luas

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan

Rumus itu juga berlaku untuk garis bagi luar, buktinya sbb :

Diketahui : garis bagi luar DA = p dan DB = q

Buktikan : p : q = b : a Bukti :

Tarik garis DE BC dan DF AC, maka DE =

DF ( )

Lihat i. Luas ii. Luas

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan TEOREMA

Diketahui : garis bagi dalam AD = p

dan DB = q Buktikan :

Bukti :

CD garis bagi maka a : b = q : p atau ap = bq

Menurut teorema Stewart :

Garis bagi adalah garis yang membagi sisi di depannya menjadi dua berbanding seperti sisi-sisi yang berdekatan.

B A C D E F b c

Kuadrat garis bagi dalam sama dengan hasil kali sisi sebelah dikurangi hasil kali bagian sisi di hadapannya.

E D _A C B a b c p q D B A C b a p q

(39)

Untuk garis bagi luar, . Buktinya sebagai berikut.

Diketahui : garis bagi luar AD = p dan BD = q

Buktikan : Bukti :

Menurut teorema Stewart :

TEOREMA

Diketahui :

garis tinggi pada sisi a garis tinggi pada sisi b Buktikan : t_a :t_b=b:a Bukti : b t ABC luas a t ABC Luas∆ = _a⋅ ∆ = _b⋅ 2 1 ; 2 1 Sehingga didapat : ta: tb = b : a TEOREMA

Dua garis tinggi dalam segitiga berbanding terbalik terbalik dengan sisinya A B C D _p q c a b

Jika diketahui ∆ ABC ,2s=a+b+c dan t _a,t _b,t _cberturut-turut garis tinggi pada a, b, dan c maka :

) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 c s b s a s s c t c s b s a s s b t c s b s a s s a t c b a − − − = − − − = − − − = b a A B C tb ta

(40)

39 Bukti : ) ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 2 2 a s a s a c b a c b a b s b s b c b a c b a c s c s c c b a c b a s c b a − = − = − + + = + + − − = − = − + + = + − − = − = − + + = − + = + +       + − −       + − + =       + − − = − + = − = a b a c c a b a c c t a b a c c t a b a c p p c t a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(

)

) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 4 4 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 4 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c s b s a s s a t c s b s a s s a t a a s c s b s s t a c a b c a b b c a b c a t a c a b a b c a t a b a c ac a b a c ac t a a a a a a − − − = − − − = − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − + + − − + + + =       − −       + − =       − − +       + + − =

Demikian pula untuk t _bdan t _c.

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 _s _s _a _s _b _s _c _s _s _a _s _b _s _c a ABC Luas∆ = ⋅ − − − = − − −

(41)

TEOREMA MENELAOS TEOREMA Bukti : 1 ) ( ) ( ) ( =       ₋ ⋅       ₋ ⋅ = ⋅ ⋅ = c a a b b c RA RC QC QB PB PA CAR BCQ ABP TEOREMA CEVA TEOREMA Bukti :

p q Dibuat garis l melalui C , //AB

. 1 (CAR) (ABP)(BCQ) p : q c : c c : p b : b c : q a : a 2 1 2 1 2 1 − =       ₋ ⋅       − ⋅       − = ⋅ ⋅ = = = = c p q c p q RA RC QC QB PB PA

Jika sebuah transversal ∆ ABC memotong sisi-sisi Ab, BC, dan CA berturut-turut di titik-titik P, Q, dan R maka (ABP)(BCQ)(CAR) =1 A a b R Q c C P B

Dalam ∆ ABC dibuat tiga transversal sudut yang memotong Ab, BC, CA berturut-turut di P, Q, dan R, jika ketiga transversal sudut tadi melalui satu titik (konruen) maka (ABP)(BCQ)CAR) =-1 A P B C S R Q l c2 c1 b2 a₂ a1 b1

(42)

41

C. LATIHAN

1. Diketahui jajar genjang ABCD. AD = 14, E pada AD sehingga AE = 2 ED. BE dan AC berpotongan di F. g titik tengah FC atau FG : GC = 1 : 1. EG memotong BC di H. Hitung CH.

2. Diketahui : ∆ ABC

Pada AB terletak titik D sehingga AD =

2 1

DB dan pada AC terletak titik E sehingga AE = 3 EC. BE dan CD berpotongan di F. Hitung CF : FD dan BF : FE.

3. Pada ∆ ABC , D dan E ditengah BC dan AB. g pada AC dan Dg memotong CE di F sehingga DF : FG = 2 : 3. Luas ∆CgF = 56. Hitung luas ∆ ABC . 4. Pada ∆ ABC , AC = 4 dan BC = 5 CD garis bagi, AE garis berat dan luas

ADEC =

2 1

6 . Hitung luas ∆ BDE .

5. Pada ∆ ABC ( ∠ A= tumpul ) ditarik garis tinggi AD dan BE. Buktikan

EC BC DC

AC = × dan ∠ DEC =∠ B.

6. Garis-garis tinggi AD dan BE sebuah ∆ ABC berpotongan di titik T.

Buktikanlah 2

AB BE BT AT

AD× + × = . (Gunakan teorema Stewart).

3.Prasyarat

Peserta pelatihan telah menguasai tentang kesejajaran dan kesebangunan 4.Langkah Kegiatan

Kegiatan Awal

• _{Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan}

dengan kesejajaran dan kesebangunan

• _{Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kesejajaran dan}

kesebangunan Kegiatan Inti

(43)

• _{Menjelaskan tentang teorema proyeksi pada segitig lancip dan tumpul} • _{Menjelaskan tentang teorema Stewart}

• _{Menjelaskan tentang teorema garis bagi pqda segitiga} • _{Menjelaskan tentang teorema garis berat pqda segitiga} • _{Menjelaskan tentang teorema garis tinggi pqda segitiga} • _{Menjelaskan tentang teorema Menelalos dan Ceva} • _{Diskusi kelas.}

Kegiatan Akhir

•_Kesimpulan •_Penilaian

• _{Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.}

5. Hasil

* Peserta pelatihan memahami teorema proyeksi pada segitiga siku-siku. * Peserta pelatihan memahami tentang teorema proyeksi pada segitiga

lancip dan tumpul

* Peserta pelatihan memahami tentang teorema Stewart

* Peserta pelatihan memahami tentang teorema garis bagi pada segitiga * Peserta pelatihan memahami tentang teorema garis berat pada segitiga. * Peserta pelatihan memahami tentang teorema garis tinggi pada segitiga * Peserta pelatihan memahami tentang teorema Menelaos dan Ceva .

E. Rangkuman

* Teorema Proyeksi pada segitiga lancip/tumpul

Kuadrat sisi di hadapan sudut lancip (tumpul) sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain dikurangi (ditambah) dua kali sisi yang satu dan proyeksi sisi yang kedua ke sisi yang pertama

* Teoreme Stewart:

Jika garis x yang ditarik dari titik C dan membagi sisi c dalam dan maka

F. Tes Formatif

I Pilih satu jawaban yang paling tepat

1.Diketahui ∆ABC siku-siku. ∠A = 900. P pada AC dan Q pada BC sehingga PQ //AB. PQ = PA = 8. ∠PQB = 1350. R pada BC sehingga QR = 4 (R diantara B dan Q). Perpanjangan AR memotongperpanjangan PQ di S. AR =

a. 12 b. 10 c. 8 d. 4

(44)

43

2. Dengan menggunakan soal no 1, maka panjang QS = a.√2

b. 2√2 c. 2√2 + 1

d. 16/7(2√2 + 1)

3.Diketahui ∆ABC CF garis berat. BZ ⊥CF( Z titik berat) D pada BZ sehingga BD = DZ. Panjang FD = 6√2. Maka panjang BC =

a.√2 b. 12√2 c. 14√2 d. 24√2

4. Diketahui ∆ABC. AB = 46 dan BC = 26. Jika ∠B = 2 ∠A,maka panjang AC =

a. 12√13 b. 10√3 c. 8√3 d. 8

5. Diketahui ∆ ABC. AD, BE, dan CF adalah garis berat. AD= 6; BE = 9 dan AB = 8. Panjang CF =

a. 6 b. 8 c. 9 d. 3√10

6.Dari trapezium ABCD (AB//DC),AB = 30, CD = 18, BC = 10, dan AD = 8. Panjang garis tegaklurus dri pertengahan BC ke AD =

a. 71/2 √7 b. 7

c. 8 d. 6

7.Diketahui ∆ ABC siku-siku di C. Z adalah titik berat. CZ = 12dan BZ ⊥ CD. CD adalah garis bagi. Panjang AB, BC dan AC adalah :

a. 36,12√3, dan 12√6 b. 36, 12, dan 91 c. 12, 12√3, dan 91√2 d. 12 √3,36, dan 2√91

8. Dari trapezium ABCD (AB//DC), AC ⊥ BD.AB = 2CD; AD = 8 dan BC = 11.Panjang AB =

a. 8 b. 11

(45)

c. √37 d. 2√37

1. Lukis ∆ ABC jika diketahui panjang ketiga garis berat AD = 6 cm; BE = 9 cm dan CF = 3√10cm.

2. Buktikanlah, bahwa jumlah kuadrat kedua diagonal sebuah jajar genjang = jumlah kuadrat keempat sisinya.

3. Diketahui ∆ ABC, AB = 14, BC =, dan CA = 13 cm. Dibuat garis tinggi BE dan CF. Tentukan luas ∆AEF.

(46)

45

BAB VI

BEBERAPA TEOREMA PADA LINGKARAN

A. Kompetensi dan Indikator Kompetensi

1. Memahami tentang beberapa teorema pada lingkaran

2.Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan teorema -teorema pada lingkaran

Indikator

1. Memahami teorema tentang perbandingan seharga garis-garis dalam lingkaran.

2. Memahami teorema tentang segitiga dan lingkaran luarnya. 3. Memahami teorema tentang segitiga dan lingkaran dalamnya 4. Memahami tentang teorema lingkaran singgung

5. Memahami tentang teorema segiempat talibusur.

6. Memahami tentang teorema segiempat garis singgung

B. URAIAN MATERI

PERBANDINGAN SEHARGA GARIS-GARIS DALAM LINGKARAN TEOREMA

Diketahui : (M, R)

AB garis tengah CD ⊥ AB

Buktikanlah CD2 = AD× AB

Bukti : Pada ∆ ABC →∠C =90°

Maka AD : CD = CD : BD (teorema) atau CD2 = AD× AB

TEOREMA

Garis tegak lurus dari sebuah titik lingkaran ke garis tengahnya ialah pembanding tengah antara bagian-bagian garis tengah itu.

Jika dari sebuah titik lingkaran ditarik sebuah tali busur dan sebuah garis tengah, maka tali busur ini pembanding tengah antara garis tengah dan proyeksinya pada garis ini.

A

D C

B M

(47)

Diketahui : (M, R)

AB garis tengah CD ⊥ AB

Buktikanlah CD2 = AD× AB (Buktikan sendiri)

TEOREMA Diketahui : (M, R) AB dan CD berpotongan di P Buktikan : PA X PB = PC X PD (Buktikan Sendiri!) TEOREMA Diketahui : (M, R) P di luar lingkaran Buktikan : PA X PB = PC X PD. (Buktikan Sendiri!) TEOREMA A D C B M

Jika dua buah tali busur berpotongan di dalamlingkaran, maka perkalian kedua bagian pada tali busur yang pertama sama dengan perkalian bagian-bagian pada tali busur yang kedua.

A B C D M P

Jika dari sebuah titik di luar lingkaran ditarik 2 garis potong maka perkalian bagian-bagian garis potong yang pertama = perkalian bagian-bagian garis potong yang kedua. A B C D P M

Jika dari sebuah titik di luar sebuah lingkaran ditarik sebuah garis potong, maka garis singgung ini menjadi pembanding tengah antara bagian-bagian tengah garis potong.

(48)

47 C Diketahui : (M, R) B P di luar lingkaran Buktikan :PA2 =PB×PC P (Buktikan sendiri!) A CATATAN :

1. Ketiga teorema terakhir di atas dapat juga dikatakan sebagai berikut : hasil perbanyakan jarak-jarak P ke titik potong-titik potong A dan B dari suatu garis yang berputar pada P dengan sebuah lingkaran, mempunyai harga konstan.

2. Jika hasil perbanyakan PA x PB diberi tanda positif atau negative, maka hasil perbanyakan dianggap positif jika P di luar lingkaran, dan negative jika P di dalam lingkaran.

Hasil perbanyakan tadi ditulis

→ →

⋅_PB

PA .

A dan B adalah titik potong lingkaran itu dengan sebuah garis yang melalui P. Kuasa ini positif, jika P di luar lingkaran, nol jika P pada lingkaran dan negatif jika P terletak di dalam lingkaran.

TEOREMA Bukti : Kuasa P terhadap (M,r) = → → ⋅_PB PA 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) )( ( r PM AM PM AC MC PM AC MC PM AC PC AC PC AC PA CB PC AC PA − = − = + − = − − = − = − + = + + = → → → → → → → →

Yang disebut Kuasa µ (P,L)dari suatu titik P terhadap lingkaran L

ialah hasil perbanyakan

→ →

⋅_PB

PA .

Kuasa sebuah titik P terhadap lingkaran (M,r) = 2 2 r -PM . A B C P M r

(49)

LINGKARAN LUAR TEOREMA

Diketahui : ∆ ABC dengan lingkaran luar O. AB = c, AC = b, BC = a. Buktikan : L abc R 4 = _.

Bukti : Dari titik B telah kita tarik garis tinggi BD =

b

t dan garis tengah BE = 2R. Maka ∆ ABD ~ ∆ EBC , karena

2 1

= ∠ =

∠_A _E ∩ _{BC dan} ∠_D=∠_BCE=₉₀°_.

Dari kesebangunan ini diperoleh :

a R t c: =_b 2 : atau 2 Rt _b =ac, jadi b t ac R= 2 atau b bt abc R= 2 atau b bt abc R 2 = _. ABC luas t b× _b=2× ∆ . Jadi . LINGKARAN DALAM

Titik pusat lingkaran dalam sebuah ∆ kita namakan I dan jari-jari lingkaran dalam = r. TEOREMA Diketahui : ∆ABC Buktikan : R = s L . Bukti : Luas ∆AIB =

2 1 _{c x r} Luas ∆BIC = 2 1 _{a x r} Luas ∆CIA = 2 1 _{b x r} Luas ∆ABC = 2 1 _{(a + b +c ) r}

Jari-jari R lingkaran luar sebuah segitiga sama dengan perkalian sisi-sisinya dibagi oleh 4 kali luas segitiga itu, atau L abc R 4 =

Jari-jari R lingkaran dalam sebuah ∆= Luas ∆ dibagi

2 1 keliling, atau R = s L A B C D E F a b c I r +

L

abc

R

4 =

A D C B E O c b a tb

(50)

49 Luas ∆ABC = 1₂s x r Atau r = s L s ABC ₌ ∆ = luas Lihat gambar AF = AD (mengapa?) BF = BE (mengapa?) CD = CE (mengapa?) AF + BF + CD = AD + BE + CE AF + BF + CD = s atau AB + CD = s, jadi CD = s – c. (buktikan : AF = s – a dan BF = s – b. CATATAN : C C C B A AIB atau C B A B A C B A B A AIB ∠ + ° = ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ = ∠ − ∠ − ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ − ° = ∠ 2 1 90 2 1 ) 2 1 2 1 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( 2 1 180

Jika dari sebuah ∆ABC diketahui alas c, sudut puncak C, dan jari-jari

lingkaran dalam R, maka dapat kita lukiskan ∆AIB, karena dari segitiga ini diketahui; alas, sudut puncak dan tingginya (mengapa?). Setelah ∆AIB dilukiskan, maka melukis ∆ABC mudah sekali. (Bagaimana?).

LINGKARAN SINGGUNG

Lingkaran singgung suatu segitiga ialah lingkaran yang menyinggung pada sisi segitiga itu dan pada kepanjangan-kepanjangan kedua sisi yang lain.

Sudah jelas bahwa sebuah segi tiga mempunyai tiga buah lingkaran singgung.

1. Lingkaran I _ayang menyinggung pada BC dan mempunyai jari-jari r _a.

2. Lingkaran I _byang menyinggung pada AC dan mempunyai jari-jari r _b.

3. Lingkaran I _cyang menyinggung pada AB dan mempunyai jari-jari r _c.

c

I ialah titik potong garis bagi luar ∠A dan garis bagi ∠C. Garis bagi luar B juga harus melalui I _c. Telah kita buktikan bahwa I _cD = I _cF. Jadi I _c

terletak pada T.K. titik yang sama jauh letaknya dari kaki-kaki ∠ABQ dan itu ialah garis bagi luar ∠B.

+ A B C D E F c r c r c r c I P Q

(51)

A B C D E G H L c r c r c I b I a I TEOREMA Buktikan : c s L r _c − = Bukti : Luas ∆AC I _c= 2 1 _{b x} c r Luas ∆CB I _c= 2 1 _{a x} c r

Luas segi 4 CA I _cB =

2

1 _{(a + b)}

c

r

Luas segi 3 AB I _c =

2 1 _{c x} c r Luas ∆ABC = 2 1 _{(a + b - c )} c r

Telah kita buktikan,bahwa

2

1 _{(a + b - c ) = s – c}

Jadi Luas∆ABC =(s-c ) x r _c atau

c s L r _c − = (buktikan : b s L r a s L r _a _b − = − = _, ₎

Lihat gambar, kemudian jawablah pertanyaan berikut Mengapa CD = CE ?

Mengapa CD + CE = AC + BC + AB = 2s Mengapa CD = s dan AD = s –b ?

Berapakah panjang AF, BF, dan BE ?

Nyatakanlah AK, AL, CK, CG, BG, dan BH dengan sisi-sisi ∆_ABC.

∠_A

c

I B = 180°- ∠ I _cAB - ∠AB I _c

= 180°- ( 2 1 ∠_{B +} 2 1 ∠_{C) – (} 2 1 ∠_{A +} 2 1 ∠_C). =180° -2 1 ∠_B -2 1 ∠_C -2 1 ∠_A -2 1 ∠_C. =90° -2 1 ∠_C. ∆_A c

I B dapat dilukiskan jika diketahui r _c, c dan ∠C.

Karena dari segi tiga itu sekarang diketahui alas, sudut puncak dan tingginya.

Jika ∆A I _cB telah dilukiskan maka mudah kita memperoleh ∆_ABC.

KESIMPULAN : , ,

Dalam ∆ABC jari-jari lingkaran-lingkaran singgungnya ialah : c s L r b s L r a s L r _a _b _c − = − = − = _, _, + - L abc R 4 = s L r = c s L r b s L r a s L r _a _b _c − = − = − = _, _,

(52)

51

Jika O pusat lingkaran luar ∆ABC, I pusat lingkaran dalam dan I _a, I _b, I _c pusat lingkaran singgung, maka :

 ∠AOB = 2∠C, ∠BOC = 2 ∠A, ∠AOC = 2 ∠B

 ∠AIB = 90° + 2 1 ∠_C, ∠_{AIC = 9}₀°₊ 2 1 ∠_B, ∠_{BIC = 9}₀°₊ 2 1 ∠_A  ∠A I _cB = 90° -2 1 ∠_C, ∠_A b I C = 90° -2 1 ∠_B, ∠_B a I C = 90° -2 1 ∠_A 

SEGIEMPAT TALI BUSUR DEFINISI

TEOREMA

Diketahui : ABCD segiempat tali busur. Buktikan : ∠A + ∠ C =180° Bukti : ∠A = 2 1 _BCD ∠_{C =} 2 1 _BAD ∠_{A +} ∠_{C =} 2 1 ₍ _{BCD +} _BAD) Atau ∠_{A +} ∠_{C =} 2 1 _{keliling linkaran = 18}₀°

AKIBAT : Sudut luar sebuah sudut pada segiempat tali busur = sudut dalam berhadapan (mengapa?) . ∠A = ∠ C₁.

TEOREMA

Diketahui : ∠B + ∠D = 180°

Buktikan : A, B, C, dan D terletak pada satu lingkaran. Bukti :

Melalui A, B, dan C senantiasa dapat digambarkan sebuah lingkaran.

Kita umpamakan bahwa titik D tidak terletak pada lingkaran ini, maka lingkaran ini memotong garis AD di P.

Segiempat tali busur ialah sebuah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran.

Dalam segiempat tali busur sudut-sudut yang berhadapan berpelurus sesamanya. + A B C D

Jika dua buah sudut yang berhadapan dalam sebuah segiempat berpelurus sesamanya maka segiempat itu ialah sebuah segiempat tali busur.

A

B

C

(53)

Akan tetapi tentu ∠B + ∠P = 180°. Sedangkan diketahui bahwa ∠B +

∠_{D = 18}₀°

Jadi ini akan mengakibatkan, bahwa ∠P =∠D. Akan tetapi ∠P = ∠ C₁ +

∠_D

(mengapa?)

Perandaian bahwa ∠D tidak terletak pada lingkaran itu, terbukti salah, jadi D harus terletak pada lingkaran; dengan perkataan lain ABCD ialah

segiempat tali busur.

TEOREMA PTOLEMEUS

Diketahui : ABCD segiempat tali busur. Buktikan : AC x BD = AB x DC + BC x AD Bukti : Kita lukiskan ∠CDE = ∠ADB. Maka ∆DEC ~ ∆DAB,

Karena ∠ABD = ∠ACD = 1₂ AD dan ∠ADB =

∠_EDC

Akibat :

EC : AB = DC : DB

EC x DB = AB x DC ...(i)

∆_{ADE ~} ∆_{BDC, karena} ∠_{ADE =} ∠_{BDC (mengapa?) dan} ∠_DAE

=∠DBC =

2

1 ∩ _{DC. Dari kesebangunan ini diperoleh : AE : BC = AD}

:BD atau AE x BD = BC x AD...(ii) Jika (i) dan (ii) dijumlahkan maka diperoleh :

EC x BD = AB x DC AE x BD = BC x AD

(AE + EC) x BD = AB x DC + BC x AD atau AC x BD = AB x DC + BC x AD.

PENGGUNAAN SEGIEMPAT TALI BUSUR

a. menentukan kepanjangan dua sisi yang berhadapan dengan sisi segiempat tali busur adalah a, b, c, dan d.

Pada gambar ∠BCE = ∠A (mengapa?). ∠E = ∠E. Jadi ∠ADE ~ ∆CBE. Akibat :

x : (a + y ) = b : d atau dx = ab + by (1) juga y : (c+ x ) = b : d atau dy = bc + bx (2)

Ini adalah dua persamaan dengan dua variabel

Dalam segiempat tali busur perkalian diagonal-diagonalnya sama dengan junlah perkalian sisi-sisi yang berhadapan

+ A B C D E 1 2 3 A _B C D a b c d x y E

GEOMETRI DATAR

BAHAN AJAR

BAHAN AJAR

�������� �����

�������� �����

Semester

Semester Gasal

Gasal 2013/2014

2013/2014

Disusun Oleh

Disusun Oleh

Dr.Scolastika Mariani, M.Si.

Dr.Scolastika Mariani, M.Si.

Dra. Kusni , M.Si

Dra. Kusni , M.Si

Program Studi Pendidikan Dasar konsentrasi Matematika S2

Program Studi Pendidikan Dasar konsentrasi Matematika S2

UNIVERSITAS NEGERI SEM

BAB I

BAB I

PENDAHULUAN

PENDAHULUAN

Deskripsi

Deskripsi

Prasyarat

Prasyarat

Petunjuk Belajar

Petunjuk Belajar

Kompetensi dan Indikator

Kompetensi dan Indikator

BAB II

SAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI)

BAB III

SEGIEMPAT

BAB IV

BAB IV

PERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEB

PERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEBANGUN

ANGUN

BAB V

BEBERAPA TEOREMA PADA SEGITIGA

(

)

BAB VI

BEBERAPA TEOREMA PADA LINGKARAN

L

abc

R

4

=

��

��