4. Fungsi Transfer

BAB 4

BAB 4

FUNGSI TRANSFER DAN DIAGRAM BLOK SISTEM

FUNGSI TRANSFER DAN DIAGRAM BLOK SISTEM

Bab 4 membahas tentang fungsi transfer dan diagram blok sistem serta Bab 4 membahas tentang fungsi transfer dan diagram blok sistem serta peranannya dalam pemodelan, analisis, dan sintesis sistem kendali. peranannya dalam pemodelan, analisis, dan sintesis sistem kendali. Uraiannya meliputi pengertian fungsi transfer, penurunan fungsi transfer Uraiannya meliputi pengertian fungsi transfer, penurunan fungsi transfer dari sebuah sistem yang diketahui model matematisnya, serta membuat dari sebuah sistem yang diketahui model matematisnya, serta membuat diagram blok dari model sistem.

diagram blok dari model sistem.

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa memiliki kompetensi u

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa memiliki kompetensi untuk :ntuk :

•

• _{mendefinisikan fungsi transfer.mendefinisikan fungsi transfer.} •

• _{menurunkan fungsi transfer dari sebuah sistem yang dinyatakanmenurunkan fungsi transfer dari sebuah sistem yang dinyatakan}

dalam bentuk persamaan diferensial. dalam bentuk persamaan diferensial.

•

• _{memahami diagram blok sistem dan menurunkan bentuk diagrammemahami diagram blok sistem dan menurunkan bentuk diagram}

 blok dari model sistem yang diketahui fungsi transfer masing-masing  blok dari model sistem yang diketahui fungsi transfer masing-masing

subsistemnya. subsistemnya.

•

• _{Membangun diagram blok untuk sistem-sistem dalam rangkaianMembangun diagram blok untuk sistem-sistem dalam rangkaian}

listrik, elektromekanis, sistem termal, atau sistem fluida. listrik, elektromekanis, sistem termal, atau sistem fluida.

1.

1. Fungsi transferFungsi transfer

Fungsi transfer didefinisikan sebagai perbandingan transformasi Laplace Fungsi transfer didefinisikan sebagai perbandingan transformasi Laplace sinyal output terhadap transformasi Laplace sinyal input dengan sinyal output terhadap transformasi Laplace sinyal input dengan menganggap seluruh kondisi mulanya nol. Dengan mengetahui fungsi menganggap seluruh kondisi mulanya nol. Dengan mengetahui fungsi transfer sistem, maka kita dapat mengetahui ”relasi” langsung antara transfer sistem, maka kita dapat mengetahui ”relasi” langsung antara masukan dan keluaran dari sistem. Untuk menurunkan fungsi transfer masukan dan keluaran dari sistem. Untuk menurunkan fungsi transfer sistem yang dimodelkan dengan persamaan diferensial, kita memanfaatkan sistem yang dimodelkan dengan persamaan diferensial, kita memanfaatkan sifat transformasi Laplace berikut :

sifat transformasi Laplace berikut :

( ( ))

( ( ))

( ( ))

(

( )

)

F F 

(

( ))

ss ss d  d   f   f  ss F  F  ss  f   f  ss sF  sF   f   f  ss F  F   f   f 

∫ ∫ 

ττ ττ⇒⇒ ⇒ ⇒ ′′′′ ⇒ ⇒ ′′ ⇒ ⇒ 1 1 2 2 MM (1) (1)

Perhatikan rangkaian listrik berikut. Perhatikan rangkaian listrik berikut.

Gambar 1. Rangkaian seri RLC

Dengan menggunakan hukum Kirchhoff tentang tegangan pada rangkaian tersebut didapat persamaan

i e dt  i C   Ri dt  di  L + + 1

∫ 

= ₍₂₎ dan 0 1 e dt  i C  =

∫ 

(3)

Transformasi Laplace persamaan (2) berbentuk

( )

( )

( )

 E 

( )

s sC  s  I  s  RI  s sLI  + + = _i atau

( )

s  E 

( )

s  I  sC   R sL _ = _i          + + 1 ₍₄₎

serta transformasi Laplace persamaan (3) berbentuk

( )

( )

s  E  sC  s  I  0 = ₍₅₎

Dengan membagi persamaan (5) dan (4) didapat fungsi transfer rangkaian

( )

( )

1 1 2 0 + + = sRC   LC  s s  E  s  E  i (6)

Contoh lainnya, perhatikan model mekanis sistem pegas dengan u(t) adalah perpindahan dari dasar, y(t) adalah perpindahan massa, k konstanta pegas, m massa total sistem, dan b koefisien gesekan, yang digambarkan secara skematik sebagai berikut :

Gambar 2. Model Sistem Suspensi Persamaan diferensial untuk sistem tersebut berbentuk

ku u b ky  y b  y m ′′+ ′+ = ′+ ₍₇₎

Dengan mengambil transformasi Laplace persamaan (7) didapat bentuk

( )

s bsY 

( )

s kY 

( )

s bsU 

( )

s kU 

( )

s Y 

ms2 + + = +

atau

(

ms2 +bs+k 

)

Y 

( ) (

s = bs+k 

) ( )

U s

(8)

sehingga fungsi transfer sistem mekanis tersebut berbentuk

( )

( )

ms bs k  k  bs s U  s Y  + + + = 2 (9)

2. Diagram Blok Sistem

Representasi sebuah proses dalam sistem dapat digambarkan melalui diagram blok. Sebuah diagram blok dapat menginformasikan urutan proses yang terjadi dalam sistem secara kualitatif. Selain itu, secara kuantitatif  sebuah diagram blok menyatakan fungsi transfer suatu sistem. Dengan pengertian tersebut, rangkaian listrik pada gambar 1 dapat digambarkan dengan diagram blok berikut

Gambar 3. Diagram blok rangkaian

dengan G(s) menyatakan fungsi transfer rangkaian seperti yang ditunjukkan oleh persamaan (6). Variabel yang dituliskan dalam representasi diagram  blok adalah bentuk transformasi Laplace dari sinyal-sinyalnya. Seperti pada gambar 3, input Ei adalah transformasi Laplace dari sinyal input ei(t) dan

output Eo adalah transformasi Laplace sinyal output eo(t). Sementara itu,

sistem suspensi pada gambar 2 dapat dituliskan dalam bentuk diagram blok  berikut

Gambar 4. Diagram blok sistem suspensi

dengan K(s) menyatakan fungsi transfer sistem yang ditunjukkan oleh persamaan (9).

Visualisasi diagram blok memudahkan kita dalam memahami sistem kompleks yang tersusun oleh lebih dari satu subsistem atau komponen. Misalnya sistem elektromekanis dalam motor listrik yang menggabungkan

 E i  E o

G(s)

U  Y 

subsistem elektrik dengan subsistem mekanis (gerak). Gambar skematik sebuah motor listrik arus searah (motor DC) dengan pengendalian arus   bagian jangkar (armature) beserta variabel dan parameternya diperlihatkan

pada gambar 5.

Gambar 5. Motor DC dengan pengendalian arus jangkar Persamaan rangkaian pada bagian jangkar (sisi input) berbentuk

a m a m a m e e dt  di  L i  R + + = ₍₁₀₎

em adalah tegangan yang muncul di bagian rotor akibat perputaran

konduktor yang menembus daerah bermedan magnet, yang disebut back electromotive force (gaya gerak listrik balik), dan besarnya berbanding lurus dengan kecepatan putar motor. Karena simpangan sudut putar adalah θ_o,

maka gaya gerak listrik balik dapat dituliskan menjadi

dt  d  k  e_{m = m} θ0

(11)

dengan km menyatakan konstanta tegangan motor. Torsi (T ) yang dihasilkan

oleh motor berbanding lurus dengan besar arus jangkar ia, sehingga dapat

dituliskan menjadi

a T i

k 

T = ₍₁₂₎

dengan kT adalah konstanta torsi.

Sementara itu, pada beban berlaku persamaan T  dt  d   B dt  d   J  θ + θ0 = 2 0 2 (13)

dengan  J  menandai inersia beban, B koefisien redaman/gesekan, dan T  adalah torsi yang dihasilkan oleh motor.

Untuk mendapatkan fungsi transfer sistem elektromekanis tersebut, yaitu

 bentuk

( )

( )

s  E  s a 0 Θ

, langkah pertama adalah menyatakan transformasi Laplace dari persamaan (10) – (13), kemudian lakukan langkah-langkah berikut :

• _{Substitusi persamaan (11) ke (10) sehingga didapat}

( )

s  L sI 

( )

s k  s

( )

s  E 

( )

s  I   R_{m a} + _{m a} + _m Θ = _a 0 atau

(

 R_m + L_ms

) ( )

 I _a s +k _msΘ

( )

s = E _a

( )

s 0 (14)

• _{Substitusi persamaan (12) ke (13) sehingga dihasilkan}

( )

s  Bs

( )

s k  I 

( )

s  Js Θ + Θ = _{T  a} 0 0 2 atau

(

 Js + Bs

)

Θ

( )

s = k _T  I _a

( )

s 0 2 (15)

• _{Ganti suku I apada persamaan (14) dengan bentuk yang diperoleh dari}

persamaan (15), sehingga didapat fungsi transfer berikut

( )

(

)

 JL s

(

 R  J   L B

)

s

(

 R  B k  k 

)

s k  s  E  s T  m m m m m T  a + + + + = Θ 2 3 0

Diagram blok sistem elektromekanis tersebut dapat digambarkan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

• _{Diagram blok persamaan (10)}

dengan

( )

s  L  R s G m m + = 1

• _{Diagram blok persamaan (11)}

 E a-E m  I a

G(s)

0

Θ  E m

dengan M 

( )

s = k _ms

• _{Diagram blok persamaan (12)}

• _{Diagram blok persamaan (13)}

dengan

( )

 Bs  Js s  N  + = 2 1

Dari bentuk-bentuk diagram blok tersebut didapat skema keseluruhan sebagai berikut : T  0 Θ  N (s) T  k T   I a  E a + _  E m G(s)  I a k T  T   N (s)

( )

s 0 Θ  M (s)

Soal latihan :

Tentukan bentuk fungsi transfer untuk sistem-sistem berikut dan representasi diagram bloknya.

1. Rangkaian listrik

2. Gerak rotasi

Variabel-variabel dan

parameternya adalah sebagai  berikut :

•_{T menyatakan torsi motor}

• _{J adalah momen inersia}

•_{w adalah kecepatan putar}

dalam satuan rad/s

•  _{b menyatakan koefisien}

gesekan

• θ _{adalah sudut putaran}

dalam radian 3. Sistem elektromekanis 4. Sistem termal cairan dingin cairan panas pemanas