• Tidak ada hasil yang ditemukan

Soal Dan Pembahasan MCSHS Babak Penyisihan

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Soal Dan Pembahasan MCSHS Babak Penyisihan"

Copied!
34
0
0

Teks penuh

(1)

Soal Babak Penyisihan MCSHS

(Mathematics Competition for Senior High School)

Olimpiade Matematika SMA

1. Bilangan - merupakan bilangan . . .

a. Bulat negatif c. Pecahan e. Irrasional negatif b. Bulat positif d. Irrasional positif

2. Banyaknya soal yang dikerjakan Amin hari ini bertambah cepat 40% dibandingkan dengan yang dikerjakannya kemarin. Banyaknya soal yang dikerjakan Amin hari ini paling sedikit ada . . .

a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. Tidak bisa ditentukan 3. Jika = dengan x > 0dan x , maka + sama dengan . . .

a. -7 b. -5 c. -3 d. -2 e. -1

4. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah . . .

a. 6 b. 31 c. 32 d. 63 e. 64

5. Misalkan N sebuah bilangan asli dua-angka dan M adalah bilangan asli yang diperoleh dengan mempertukarkan kedua angka N. Bilangan prima yang selalu habis membagi N-M adalah . . .

a. 2 b. 3 c. 7 d. 9 e. 11 6. Diketahui = dan F = + , maka nilai F adalah . . .

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

7. Sebuah kapur barus berbentuk tabung dengan diameter lingkaran alasnya sama dengan tinggi tabung. Kapur barus tersebut menyublim sedemikian rupa sehingga bentuknya selalu berbentuk tabung yang diameter alasnya sama dengan tinggi tabung. Laju perubahan volum kapur barus terhadap tingginya pada saat tingginya 2 satuan adalah . . . a. b. c. d. e.

(2)

a. 1 + 6 c. 1 + 6 e. 1 + 6 b. 1 + 4 d. 1 + 4

9. dan adalah akar-akar dari persamaan . Jika p

bilangan asli dan maka . . .

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 7

10. Antara pukul 09.30 dan 10.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji akan berimpit pada pukul 09.00 lebih . . .

a. menit c. menit e. menit

b. menit d. menit

11. Peluang menemukan di antara 3 orang ada paling sedikit 2 orang yang lahir dalam bulan yang sama adalah . . .

a. b. c. d. . e.

12. Pertidaksamaan mempunyai sifat . . . a. a dan b positif c. a positif dan b negatif e. b. a dan b berlawanan tanda d.

13. Jika dan = , maka . . .

a. c. e.

b. d.

14. Diketahui dan . Nilai adalah . . .

a. c. e. .

b. d.

15. Persamaan garis singgung kurva di titik adalah . . .

a. c. e.

(3)

16. Deret Geometri terdiri dari 8 suku. Jumlah tiga suku pertama adalah 210 dan jumlah tiga suku terakhir adalah 6720. Jumlah deret geometri tersebut adalah ....

a. 6930 c. 7170 e. 7410

b. 7650 d. 5970

17. Jumlah bilangan-bilangan antara 150 dan 1000 yang habis dibagi 9 adalah ....

a. 53535 c. 66661 e. 53568

b. 53578 d. 54396

18. 15+2 56= ....

a. 7 - 8 c. 9 + 6 e. 10 + 5

b. 7 + 8 d. 9 - 6

19. Jumlah dua bilangan adalah 40. Tentukan masing-masing bilangan tersebut agar hasil kali bilangan yang satu dengan kuadrat bilangan yang lain maksimum. . .

a. 3 40 dan 3 80 c. 30 dan 10 e. 3 70 dan 3 50 b. 20 dan 50 d. 3 100 dan 3 20 20. Nilai dari

x x + dx 2 0 2 4 3 18 = . . . a. 72 b. 86 c. 112 d. 124 e. 128 21. Nilai dari ( 1) 2 9 1

= − p p adalah . . . a. − 2 b. 2 c. 3 d. − 3 e. 8

22. Garis dengan persamaan 2x+ y+4=0 dicerminkan terhadap garis y = x dan dilanjutkan dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks

     1 0 2 1 . Tentukan persamaan bayangannya adalah .... a. x−4=0 c. 2y−4=0 e. 2x+4=0 b. x+4=0 d.2y+4=0

23. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Panjang proyeksi AE pada bidang AFH adalah ....

(4)

24. Jika = = =64 f e d c b a , maka 2 2 3 3 2 2 4 5 4 5 f f d d b e e c c a + − + − = …. a. 8 b. 16 c. 64 d. 512 e. 642

25. Dua orang gadis, Linda dan Yuli, menjual sari buah lemon. Untuk setiap gelas sari buah lemon, Linda digaji 10% lebih sedikit dibanding Yuli. Tetapi setiap harinya Linda mempersiapkan 10% sari buah jeruk lebih banyak dari Yuli. Kesimpulan yang paling tepat adalah …

a. Linda mendapat gaji 10% lebih sedikit dari Yuli b. Linda mendapat gaji 1% lebih sedikit dari Yuli

c. Linda dan Yuli mendapatkan gaji yang sama banyaknya d. Linda mendapat gaji 1% lebih banyak dari Yuli

e. Linda mendapat gaji 10% lebih banyak dari Yuli 26. Nilai x yang memenuhi persamaan

2 4 2 4 1 2 − − = − − x x x x adalah …. a. 3 atau -2 c. -2 e. 3 b. 3 atau 2 d. 2

27. Nilai z yang memenuhi 2logz−2log

[

2logz−2log

(

2logz−2log

(

2logz−2log

( )

L

)

)

]

=10 adalah …. a. 11 1 5 2 × c. 10 1 5 2 × e. 9 1 5 2 × b. 211×50 d. 210×50

28. Jumlah dari kebalikan akar-akar persamaan kuadrat ; n 1 adalah 2. Nilai 3n adalah …

a. b. c. d. e.

29. Suatu lingkaran diputar dengan R( ,90o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah …

a. b. c. d.

(5)

e.

30. Hitunglah 17761492! (mod 2000) dengan kata lain berapakah sisa jika 17761492!dibagi 2000 ? a. 1286 b. 1267 c. 1376 d. 1497 e. 1455

31. Determine the value of

(

)

.... 2 8 1 1 3 3 2 = ∫ + − x dx x a. 27 32 b. 27 36 c. 27 9 d. 27 4 e. 27 40

32. Nilai x yang memenuhi persamaan

   = − = + 8 25 3 y x y x adalah....

a. 1+5log3 c. 4+5log3 e. 4+3log5 b. 2+5log3 d. 6+3log5

33. Terdapat kubus tanpa alas dan tutup, panjang rusuk kubus = 1 cm. Tentukan jarak terpendek yang ditempuh semut dari A ke B dengan mengelilingi seluruh sisi kubus adalah . . .

a. 1 b. c. d. 2 e.

34. A positive integer is to be placed in each box. The product of any four adjacent integers is always 120. What is the value of x?

2 4 x 3

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 A

(6)

35. Henri scored a total of 20 points in his basketball team’s first three games. He scored of these points in the first game and of these points in the second game. How many points did he score in the third game?

a. b. 10 c. 11 d. e. 8

36. In the sequence of fractions . . .fractions equivalent to any given fraction occur many times. For example, fractions equivalent to occur for the first two times in positions 3 and 14. In which position is the fifth occurrence of a fraction equivalent to ?

a. c. 1209 e.1211

b. 1208 d.

37. The 50th term in the sequence 5, 6x, 7x2, 8x3, 9x4, … is. . .

a. 54x49 c. 45x50 e. 46x51

b. 54x50 d. 55x49

38. When 12 345 678 is divided by 10, the remainder is. . .

a. 0 b. 2 c. 4 d. 6 e. 8

39. In a school, 500 students voted on each of two issues. Of these students, 375 voted in favour of the first issue, 275 voted in favour of the second, and 40 students voted against both issues. How many students voted in favour of both issues?

a. 95 b.110 c. 150 d. 190 e. 230 40. Evaluate (–50)+(–48)+(–46)+...+54+56 .

a. 10 b. 56 c. 110 d. 156 e. 162

41. A triangle can be formed having side lengths 4, 5 and 8. It is impossible, however, to construct a triangle with side lengths 4, 5 and 9. Ron has eight sticks, each having an integer length. He observes that he cannot form a triangle using any three of these sticks as side lengths. The shortest possible length of the longest of the eight sticks is . . .

a. b. 21 c. 22 d. e. 24

(7)

a. b. c. d. e.

43. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,-10) dan menyinggung garis adalah …. a. b. c. d. e.

44. Tentukan bilangan dengan tepat yang memiliki 8 pembagi positif yang hasil kali pembagi-pembaginya sama dengan 331776.

a. 23 b. 24 c. 25 d. 26 e. 27

45. Tentukan Faktor Persekutuan Terbesar dari bilangan-bilangan berbentuk nn – n untuk n = 3, 5, dan 7, = . . .

a. 20 b. 21 c. 22 d. 23 e. 24

46. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …

a. b. c. d. e.

47. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (a, b) yang memenuhi : FPB(a, b) + KPK(a, b) = a + b + 6 a. (2, 7), (2, 5), (5, 2), (6, 9), (7, 2), (9, 6) b. (2, 8), (3, 4), (4, 3), (6, 9), (8, 2), (9, 6) c. (2, 7), (3, 4), (4, 3), (6, 9), (7, 2), (9, 6) d. (2, 7), (3, 5), (5, 3), (6, 9), (7, 2), (9, 6) e. (2, 7), (3, 4), (4, 3), (6, 8), (7, 2), (8, 6)

48. Jumlah 5 suku pertama dari suatu deret geometri adalah 93 dan rasio deret itu 2. Hasil kali suku ke-3 dan suku ke-6 adalah …

(8)

49. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan log (3x2+ 5x +11) = 1. Tentukan 12 12 β

α + ….

a. 6 b. 16 c. 25 d. 19 e. 9

50. Sebuah garis l1mempunyai kemiringan -2 dan melalui titik (p,-3). Sebuah garis lain, l2,

tegak lurus terhadap l1,di titik (a,b) dan melalui titik (6,p). Bila dinyatakan dalam p, maka a =

…. a. a b. c. d. e. 2 5 2 3+ a 2 5 − a 4 5 − a 4 5 a 2 5 2 3

(9)

Pembahasan Soal Babak Penyisihan MCSHS

(Mathematics Competition for Senior High School)

Olimpiade Matematika SMA

1. Misal : = a dan = b

Jadi bilangan itu a – b = x a3 – b3 = ( + 2) – ( - 2) = 4 ab= =1

= 3ab(ab) = 4 - 3x

+ 3x – 4 = 0

Dengan aturan horner akan didapat x=1(bulat positif) Jawaban : b

2. 40% =

Hari ini lebih banyak 40% dari kemarin, jadi yang dikerjakan hari ini:1 + = kali yang dikerjakan kemarin. Karena jumlah soal yang dikerjakan selalu berupa bilangan asli, maka jumlah soal yang dikerjakan hari ini paling sedikit ada x 5 = 7(dikali 5 karena 5 adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi 5)

Jawaban : c

3. Dipunyai =

Jelas, + = +

(10)

= + = + = = -1 Jawaban : e 4. 2007 = 3 x 3 x 223 x 1

Faktor-faktor positif dari 2007 adalah:1, 3, 9, 223, 669 dan 2007 (ada 6 buah) Jadi banyak himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah:

+ + + + + = 6 +15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63 Jawaban : d

5. Misal : N = 10x + y dan M = 10y + x dengan x,y bilangan asli yang lebih besar atau sama dengan 1,dan lebih kecil atau sama dengan 9

N – M = 10x + y - 10y – x = 9x – 9y = 9(x-y) Jadi N - M selalu habis dibagi 9, 1 dan 3. Di antara 9, 1 dan 3 hanya 3 yang prima Jawaban : b 6. F = + = + = - + = 1 Jawaban : b 7. d = t V Tabung = t = t = d

(11)

=

Laju perubahan volum = = d = t =

= 4 = Jawaban : b

8. =

=

(x + 1)log 8 = (x-1)(log 3 + log 8) (x + 1)log 8 - (x-1)log 8 = (x-1)log 3 2log 8 = (x-1)log 3 x – 1 = x = 1 + x = 1 + x = 1 + 6 Jawaban : c 9.

(12)

Jawaban : d

10. Lebihnya

menit Jawaban : b

11. Peluang menemukan 2 orang yang lahir dalam bulan yang sama : = Peluang menemukan 3 orang lahir dalam bulan yang sama : =

Jadi peluang menemukan sedikitnya 2 orang yang lahir dalam bulan yang sama : + =

Jawaban : a 12.

Oleh karena pangkatnya ganjil, maka

Jawaban : d 13.

(13)

Jawaban : c 14.

,

Jawaban : a 15.

(14)

Jadi

Persamaan garis yang melalui dengan

Jawaban : d

16. Tulis deret geometri = a+ar +ar2 +ar3+ar4 +ar5+ar6 +ar7

Jelas a+ar+ar2 =210 7 6 5 ar ar ar + + = 6720 ⇔r5(a+ar+ar2)=6720 2 2 5 ) ( ar ar a ar ar a r + + + + = 210 6720 5 r = 32 5 r = 25 r = 2 210 2 = + +ar ar a a a a+2 +4 = 210 a 7 = 210 a = 30

deret geometri = 30+60+120+240+480+960+1920+3840 = 7650

Jadi jumlah derat geometri tersebut adalah 7650. Jawaban : b

(15)

17. Deret bilangan yang habis dibagi 9 antara 150 – 1000 adalah 153, 162, 171, ..., 999. Maka jumlah bilangannya adalah ( )

2 n n a U n S = + . b n a Un = +( −1) 846 9 9 9 ) 1 ( 153 999 = − − + = n n n 9 = 837 n = 93 ) 999 153 ( 2 93 + = n S = 53568. Jawaban : e 18. Ingat rumus (a+b)+2 a×b = a+ b Misal : a+b=15 56 = ×b a Jelas a=15−b 56 = ×b a ⇔(15−b)b=56 56 15 − 2 = ⇔ b b 0 56 15 2 − + = ⇔b b

(

−8

)(

−7

)

=0 ⇔ b b 8 = ⇔b atau b=7 Untuk b=8 maka a =7

(16)

Jadi diperoleh 15+2 56 = 7 + 8 atau 15+2 56 = 8+ 7. Jawaban : b 19. Misal bilangan I = x bilangan II = (40−x) ) 40 ( ) (x x2 x f = − = 2 3 40xx

Untuk mencari nilai x yang mencapai nilai maksimum adalah

2 ' 3 80 ) (x x x f = − 0 = x(80−3x) 0 = x atau 3 80 = x

syarat untuk mencapai nilai maksimum adalah f"(x)<0

x x f"( )=80−6 Untuk x=0⇒ f"(0)=80 80 3 80 " 80 =−      ⇒ = f x

Sehingga untuk mencapai maksimum nilai 3 80 =

x

Jadi diperoleh bilangan I = 3 80 dan bilangan II = 3 40 3 80 40− = . Jawaban : a 20. Misal u=3x2+4

(17)

x dx du 6 = dx x du=6 ⋅ x du dx 6 = Jelas

x x + dx 2 0 2 4 3 18 = x du u x 6 18 2 0 2 1

⋅ = 2 0 2 3 2u = 2 0 2 4 3 ) 4 3 ( 2 x + x+ =

(

2(12x+4) 16

) (

− 2(0+4) 4

)

= 128 – 16 = 112

Jadi nilai dari

x x + dx

2 0 2 4 3 18 adalah 112. Jawaban : c 21. Jelas 2 ) 1 ( 9 1

= − p p =

( )

−1 2+

( )

−12 2+

( )

−13 2+

( )

−14 2+

( )

−15 2

( )

−16 2+

( )

−17 2+

( )

−18 2+

( )

−19 2 = (−1)9 2

(18)

= − 2. Jadi ( 1) 2 9 1

= − p p adalah − 2. Jawaban : a

22. Garis dengan persamaan 2x+ y+4=0 dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan dengan trasformasi dengan matriks

     1 0 2 1

Jelas pencerminan terhadap garis y= x bersesuaian dengan matriks      0 1 1 0 Sehingga M2 M =1      1 0 2 1       0 1 1 0 =      0 1 1 2 =       ' ' y x       0 1 1 2       y x       y x =      − − − 1 2 1 0 1 1       ' ' y x             − =       ' ' 2 1 1 0 y x y x       y x =      −2 ' ' ' y x y Diperoleh 2x+y+4=0 0 4 ' 2 ' ' 2 + − + = ⇔ y x y 0 4 '+ = ⇔ x 0 4= + ⇔ x

(19)

Jawaban : b 23. E1 = tengah-tengah HF AE1= 2 1 2 EE AE + = (12)2+(6 2)2 = 144+72 = 216 = 6 6 EE2 = 1 1 AE EE AE⋅ = 6 6 2 6 12⋅ = 4 3

Jadi panjang proyeksi AE pada bidang AFH adalah 4 3.

A B C D E F G H

(20)

24. = = =64 f e d c b a , maka a = 64b, c = 64d, dan e = 64f. Jelas 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 4 5 . 64 . 64 . . 64 . 4 . 64 . . 64 . 5 4 5 4 5 f f d d b f f d d b f f d d b e e c c a + − + − = + − + −

(

)

64 2 2 512 4 5 4 5 64 3 18 9 3 2 2 3 2 2 3 = = = = + − + − = f f d d b f f d d b . Jawaban : d

25. Tulis A: jumlah gelas sari jeruk yang dibuat Yuli setiap harinya dan B: jumlah pembayaran untuk setiap gelas sari jeruk. Jelas gaji Yuli per hari adalah A × B. Linda menerima 10% lebih sedikit dari Yuli, berarti 90% dari B atau B × 90%, tetapi Linda membuat 10% lebih banyak dari Yuli, berarti 110% dari A atau A × 110%. Jadi gaji Linda per hari adalah A × 110% × B × 90% = 99% × A × B. Jadi Linda mendapat gaji 1% lebih sedikit dari Yuli. Jawaban : b 26. Jelas 2 4 2 4 1 2 − − = − − x x x x 2 4 2 6 2 − − = − − ⇔ x x x x x ) 4 ( ) 6 (x− = x2− x ⇔ 0 6 5 2− + = ⇔ x x 0 ) 2 )( 3 ( − − = ⇔ x x(x – 3) = 0 atau (x – 2) = 0x = 3 atau x = 2.

Lakukan pengecekan. Untuk x = 2 tidak memenuhi persamaan karena menghasilkan penyebut 0.

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 3. Jawaban : e

(21)

27. Jelas 2logz−2log

[

2logz−2log

(

2logz−2log

(

2logz−2log

( )

L

)

)

]

=10 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log log log log log 10 log log log log = ⇔ = ⇔ L L z z z z z z z z 10 2 2 2 2 10 2 2 2 2 log log log log 2 log log log z z z z z z z z z = ⇔ = ⇔ L L 5 2 2 10= 10 ⇔ = 11× ⇔ z z . Jawaban : a

(22)

29. Persamaan lingkaran

Pusat = ( , B) = (3,-2)

Jari-jari =

R( ,90o)

Jadi, pusat lingkaran bayangannya adalah (2,-3) Persamaan lingkaran bayangan:

Jawaban: a 30. 17761 = 1776 (mod 2000) 17762 = 176 (mod 2000) 17763 = 576 (mod 2000) 17764 = 976 (mod 2000) 17765 = 1376 (mod 2000) 17766 = 1776 (mod 2000) 17767 = 176 (mod 2000) dan seterusnya.

(23)

Karena 17766 = 17761 = 1776 (mod 2000), maka 1776n = 1776n-5 (mod 2000) untuk n > 5. Jelas bahwa 1492! habis dibagi 5.

17761492! = 17765(mod 2000) = 1376 (mod 2000) Maka sisa jika 17761492! dibagi 2000 adalah 1376. Jawaban : c 31. Misal: u= x3 +2 Maka 2 3x dx du = 2 3x du dx= Jelas

(

)

dx x x

− + 1 1 3 3 2 2 8 =

− − ⋅ 1 1 2 3 2 3 8 x du u x =

− − 1 1 3 3 8 du u = 1 1 2 3 4 − − ⋅ − u =

(

)

1 1 2 3 2 3 4 − + − x =

(

)

(

)

      + − − − + − 2 3 2 3 2 ) 1 ( 3 4 2 1 3 4 =       ⋅ − − ⋅ − 1 3 4 9 3 4 = 3 4 27 4 +

(24)

= 27 32 .

Jadi nilai dari

(

)

dx x x

− + 1 1 3 3 2 2 8 = 27 32 . Jawaban : a 32. Jelas x+y = ⇔ =x+y 25 log 25 3 3 ....(1) 8 8⇔ = − = −y y x x ....(2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2): ) 8 ( 25 log 3 = + − x x ⇔3log25=2x−8 8 25 log 2 =3 + ⇔ x 8 5 log 2 =3 2 + ⇔ x 8 5 log 2 2 = 3 + ⇔ x

(

)

2 8 5 log 23 + = ⇔ x 4 5 log 3 + = ⇔ x

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan

   = − = + 8 25 3 y x y x adalah 4+3log5 Jawaban : e

33. Karena kenaikannya , maka diperoleh

4 AO = 4 x

= 4 x

(25)

= Jawaban : c

34. Since the product of any four integers is 120, = =120 where an represents the number in the nth box. Therefore, = and similarly = , = =

, or more generally, = Thus the boxes can be filled as follows:

x 4 2 3 x 4 2 3 x 4 2 3 x 4

Therefore, (4)(2)(3)(x)= 120

Jawaban : e

35. Henri scored or 10 points in his first game. In his second game, he scored or 2 points. In the third game, this means that he will score 20 – (2 or 8 points.

Jawaban : e

36. In analyzing this sequence of fractions, we start by observing that this large sequence is itself made up of smaller sequences. Each of these smaller sequences is of the form with the denominators increasing from 1 to n and the numerators decreasing from n to 1. We observe that there is 1 term in the first of these smaller sequences, 2 terms in the second of these, and so on. This can be seen in the following

A B

(26)

( ), ( ), ( ), ( ), ..., ( ), ...

If we take any fraction in any of these smaller sequences, the sum of the numerator and denominator is 1 greater than the number of terms in this smaller sequence. For example, if we take the first occurrence of , it would occur in the sequence with 9 terms. This implies that the fifth occurrence of a fraction equivalent to , namely , would occur in the sequence with 49 terms, and would be the term in that sequence.Since the smaller sequences before this particular sequence have 1, 2, 3, …, 48 terms, so the term is term number

Jawaban : e

37. If we start by looking at the numerical coefficient of each term we make the observation that if we add 1 to 5 to get the second term and 2 to 5 to get the third term we will then add 49 to 5 to get the fiftieth term. Thus the fiftieth term has a numerical coefficient of 54. Similarly, if we observe the literal coefficient of each term, the first term has a literal coefficient of x0which has an exponent of 0. The second term has an exponent of 1, the third an exponent of 2 so that the exponent of the fiftieth term is 49 which gives a literal part of 54x49 . Thus the fiftieth term is 54x49.

Jawaban : a

38. Applying the standard division algorithm we would have The remainder is 8. Jawaban : e

39.

(27)

diagram of the results of the vote: Since the total number of students is 500, then

=190

So 190 students voted in favour of both. Jawaban : d

40. If we add some terms to this series, we would have the following: ( –50)+(–48)+(–46)+...+48+50+52+54+56 .

Each of the negative integers has its opposite included in the sum and each pair of these sums is 0.

This implies that, (–50)+(–48)+(–46)+...+46+48+50 is 0. The overall sum is now just 52+54+56 or 162.

Jawaban : e

41. If Ron wants the three smallest possible lengths with which he cannot form a triangle, he should start with the lengths 1, 1 and 2. (These are the first three Fibonacci numbers). If he forms a sequence by adding the last two numbers in the sequence to form the next term, he would generate the sequence: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Notice that if we take any three lengths in this sequence, we can never form a triangle. The shortest possible length of the longest stick is 21.

Jawaban : b

42. sin A = maka cos A = cos 2A = 1 - 2sin2A

cos 2A = 1 – 2 = 1 = -cos 2A = 2 -cos2A-1

ó- = 2 cos2

A-1

ó 2cos2

(28)

43. Diketahui persamaan garis singgung

Jari-jari lingkaran = = = = 5 Persamaan lingkaran:

Jawaban : a

44. Misalkan bilangan tersebut = n dengan d1, d2 , d3 ,…., d8 adalah pembagi-pembaginya

serta berlaku

bahwa d1< d2 < d3 < d4 < .... < d8. Jelas bahwa d1 = 1 dan d8 = n.

Ingat bahwa d1 . d8 = d2 . d7 = d3 . d6 = d4 . d5 = n. Maka :

d1d2d3d4d5d6d7d8 = n4 = 331776 = 212 . 34

n = 23 . 3

Maka bilangan tersebut adalah 24. Jawaban : b

45. Untuk n = 3 à nn – n = 24

Maka bilangan terbesar yang membagi nn – n untuk n = 3, 5, 7, ... adalah 24. nn – n = n(nn-1 – 1)

(29)

nn – n = n(n2k– 1) à n2k adalah bilangan genap.

Karena n2k genap maka n2k akan berbentuk 3p atau 3p + 1

Jika n2k = 3p maka 3 membagi n2kà 3 membagi n à n(n2k– 1) habis dibagi 3. Jika n2k = 3p - 1 maka n2k– 1 habis dibagi 3 à n(n2k– 1) habis dibagi 3. Maka nn – n habis dibagi 3.

Karena bilangan kuadrat berbentuk 8q, 8q + 1, atau 8q + 4 tetapi n2k tidak mungkin berbentuk 8qatau 8q + 4 sebab n ganjil. Maka n2k berbentuk 8q + 1 à n2k– 1 habis dibagi 8 Maka nn – n habis dibagi 8.

Karena nn – n habis dibagi 3 dan 8 maka nn – n habis dibagi 24.

Faktor Persekutuan Terbesar dari bilangan-bilangan berbentuk nn – n untuk n = 3, 5, 7, ... adalah 24

Jawaban : e

46. Misalkan deretnya a, ra, r2a, r3a, …

(30)

Dari persamaan 1)

Jadi, suku pertamanya adalah . Jawaban : b

47. Misal FPB(a,b) = x maka a = xp dan b = xq untuk x, p, q bilangan asli dan FPB (p,q) = 1 KPK (a,b) = xpq.

(31)

x(p - 1)(q - 1) = 6 Ada beberapa kasus :

v x = 1 ; p - 1 = 1 ; q - 1 = 6 x = 1, p = 2 dan q = 7 à (a, b) = (2, 7) v x = 1 ; p - 1 = 6 ; q - 1 = 1 x = 1, p = 7 dan q = 2 à (a, b) = (7, 2) v x = 1 ; p - 1 = 2 ; q - 1 = 3 x = 1, p = 3 dan q = 4 à (a, b) = (3, 4) v x = 1 ; p - 1 = 3 ; q - 1 = 2 x = 1, p = 4 dan q = 3 à (a, b) = (4, 3) v x = 2 ; p - 1 = 1 ; q - 1 = 3

x = 2, p = 2 dan q = 4 (Tidak memenuhi sebab FPB(p, q) 1) v x = 3 ; p - 1 = 1 ; q - 1 = 2

x = 3, p = 2 dan q = 3 à (a, b) = (6, 9) v x = 3 ; p - 1 = 2 ; q - 1 = 1 x = 3, p = 3 dan q = 2 à (a, b) = (9, 6) v x = 6 ; p - 1 = 1 ; q - 1 = 1

x = 6, p = 2 dan q = 2 (Tidak memenuhi sebab FPB(p, q) 1).

Pasangan (a, b) yang memenuhi adalah (2, 7), (3, 4), (4, 3), (6, 9), (7, 2), (9, 6). Jawaban : c

(32)

U3 = ar2

U6 = ar5

U3. U6= ar2. ar5 = 9.27 = 1.152

Jawaban : c

49. Jelas log (3x2+ 5x +11) = 1 ⇔ log (3x2+ 5x +11) = log 10 ⇔ 3x2+ 5x +11= 10 ⇔ 3x2+ 5x +1= 0

Jadi akar-akar persamaannya adalah

3 5 − = − = + a b β α dan 3 1 = = ⋅ a c β α Jelas untuk 2 2 2 2 2 2 1 1 β α β α β α + = +

(

)

( )

2 2 2 αβ αβ β α+ − = 2 2 3 1 3 1 2 3 5             −      − = 9 1 3 2 9 25 = 9 1 9 6 9 25 =

(33)

9 1 9 19 = 19 = . Jawaban : d 50. Persamaan garis l1 y - y = m(x - x) y + 3 = -2 (x – p) y = -2x – p – 3. Persamaan garis l2 y – y = m(x – x) y – p = (x – 6) y = x – 3 + p.

Garis l1dan garis l2 tegak lurus di (a,b)

(a,b) y = -2x – p – 3 b = -2a – p – 3, (a,b) y = x – 3 + p b = a – 3 + p. ⇔ ⇔ ⇔ 2 1 ⇔ 2 1 ⇒ ⇔ ⇒ 2 1 ⇔ 1

(34)

Jadi -2a – p – 3 = a – 3 + p - p – p = a + 2a - 2p = a p = - a. Jawaban : c 2 1 ⇔ 2 1 ⇔ 2 5 ⇔ 4 5

Referensi

Dokumen terkait

Suatu deret geometri diketahui suku kedua adalah 12 dan suku kelima adalah 3/2, maka jumlah sampai tak hingga suku-sukunya adalah ..A. Rasio deret geometri

ah 5 dan jumlah suku yang bernomor ganjil J mlah deret geometri tak hingga tersebut untuk rasio positif adalah ….. Suku pertama deret geometri tak hingga adal

Jika suku pertama deret geometri takhingga adalah 1, sedang jumlah suku-suku yang bernomor ganjil = 2, maka jumlah deret dengan rasio yang positif adalah .... SIPENMARU

Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 1 sedang jumlah sukusuku yang bernomor ganjil adalah 2 , maka jumlah deret dengan rasio positif adalah .... Barisan geometri

Jika suku kedua dikurang satu dan suku ketiga bertambah 2, akan tercipta barisan geometri dengan rasio 2. Diketahui suku ketujuh dan suku keempat deret aritmetika

Jika suku pertama dikurangi 2 dan suku ketiga ditambah 6, maka barisan menjadi barisan geometri dengan rasio 2 hasil kali ketiga bilangan pada barisan geometri

Pernyataan : Bila kuat medan listrik didefinisikan sebaga gaya per satuan muatan penguji yang negatif, maka arah kuat medan listrik di sekitar muatan titik

a. Deret geometri tak hingga suku pertamanya 3. Tentukan suku ketiga dan rasio deret tersebut. Tentukan suku pertama deret tersebut. Jumlah suku-suku nomor ganjil dari suatu