Oleh:
Andre Jaya Putra Pakpahan NIM 409230002 Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan kasih karunia, penyertaan, serta hikmatNya sehingga skripsi yang berjudul “Analisis Model Epidemi SIR (Susceptible, Infected, Recovered) pada Penyakit Infeksi Saluran Pernafasan Akut(ISPA)” ini dapat terselesaikan dengan baik.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar, M.Si., selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Bapak Drs. Syafari, M.Pd., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. H. Banjarnahor, M.Pd., selaku Pembimbing Akademik, Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, serta Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika dan Pembimbing Skripsi yang telah meluangkan waktu dalam memberikan pengarahan, bimbingan, dan petunjuk-petunjuk yang sangat berharga selama penulisan skripsi ini sehingga skripsi ini dapat penulis selesaikan dengan baik, Ibu Dra. Ani Minarni, M.Si., Ibu Susiana, S.Si, M.Si., dan Ibu Yulita Molliq Rangkuti, S.Si, M.Sc, Phd., selaku dosen penguji penulis yang telah memberikan saran dan masukan selama penulisan skripsi ini, Seluruh dosen dan pegawai di lingkungan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan, Bapak Drs. Banu Susanto, M.Si., selaku Kassubag Tata Usaha dan penanggung jawab dalam penelitian penulis di Perpustakaan Universitas Negeri Medan.
v
nasihat, dukungan, dan jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi. Ucapan terima kasih juga saya ucapkan kepada saudara/i penulis, kepada abang saya Roy Desmon Pakpahan dan adik-adik saya Arpin Wildan Pakpahan, Berliana Pakpahan dan Christine Pakpahan, terima kasih atas cinta, kasih sayang, doa dan dukungan yang telah memotivasi dan memberi semangat bagi saya untuk menyelesaikan studi.
Penulis juga mengucapkan terima kasih untuk teman-teman terdekat saya Melicha Simanjuntak, Ingko F Pasaribu, Pudan Sihombing, Lae Naga Gokil, Riris Sitanggang, Tumpal F Nainggolan, Tsin Pardede yang selalu memotivasi dan memberi semangat. Tidak lupa pula penulis ucapkan terima kasih kepada sahabat-sahabat penulis: Jesman, Yohannes, Alfri, Yetti, Regina, Eva, dan Naomi yang selalu menemani dan tak henti-hentinya memberikan dukungan, semangat dan doa, dan canda tawa yang sering dilakukan bersama. Terimakasih pula untuk teman-teman seperjuangan : Shinta, Dwita, Devi, Gomgom, Daning, Armansyah, dan teman-teman seperjuangan Non-Dik’09 yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu yang selama ini selalu memberikan doa, semangat dan dukungan selama penulisan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kata sempurna. Untuk itu dengan segala kerendahan hati penulis mengharapkan kritik dan saran membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi ilmu pengetahuan.
Medan, September 2014 Penulis,
ANALISIS MODEL EPIDEMISIR(SUSPECTIBLE, INFECTED, RECOVERED) PADA PENYAKIT INFEKSI SALURAN PERNAFASAN
AKUT (ISPA)
Andre Jaya Putra Pakpahan (409230002) ABSTRAK
vi
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN ... i
RIWAYAT HIDUP ... ii
ABSTRAK ... iii
KATA PENGANTAR ... iv
DAFTAR ISI ... vi
DAFTAR GAMBAR ...viii
DAFTAR TABEL ... ix
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 3
1.3 Batasan Masalah ... 3
1.4 Tujuan Penelitian ... 4
1.5 Manfaat Penelitian ... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 6
2.1 Infeksi Saluran Pernafasan Akut (ISPA) ... 6
2.2 Efektivitas Vaksin ... 7
2.3 Model Matematika ... 8
2.4 Model Epidemi ... 9
2.5 Persamaan Diferensial Biasa ... 10
2.6 Sistem Persamaan Diferensial ... 11
2.7 Titik Kesetimbangan ... 12
2.8 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 13
2.9 Matriks Jacobian ... 15
2.10 Basic Reproduction Ratio ... 15
2.11 Metode Euler... 16
2.12 Metode Runge-Kutta Orde 4 ... 17
BAB III METODE PENELITIAN ... 22
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 22
3.2 Jadwal Penelitian ... 22
3.3 Jenis Penelitian ... 22
3.4 Prosedur Penelitian ... 23
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 25
4.1 ISPA ... 25
4.2 Pembentukan Model Matematika ISPA ... 27
4.3 Analisis Model Matematika ... 28
4.3.1 Titik Kesetimbangan ... 28
4.3.2 Basic Reproduction Ratio ... 30
4.3.3 Nilai Eigen ... 31
4.4 Simulasi Analisis Numerik ... 35
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 50
5.1 Kesimpulan ... 50
5.2 Saran ... 51
ix
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Hasil Perhitungan ... 19
Tabel 3.1 Jadwal Penelitian ... 22
Tabel 4.1 Data Bulanan Penyakit ISPA di Teladan, Medan ... 35
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Tahap Penyusunan Model Matematika ... 9
Gambar 2.2 Model Matematika Epidemi SIR ... 21
Gambar 3.1 Skema Prosedur Penelitian ... 24
Gambar 4.1 Model Matematika ISPA ... 27
Gambar 4.2 Grafik Populasi Susceptible ISPA Teladan Medan ... 35
Gambar 4.3 Grafik Populasi Infected ISPA Teladan Medan ... 36
Gambar 4.4 Grafik Populasi Recovered ISPA Teladan Medan ... 36
Gambar 4.5 Grafik Simulasi pada Populasi Supceptible ... 47
Gambar 4.6 Grafik Simulasi pada Populasi Infected ... 47
1 BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Saat ini perubahan iklim yang ekstrim sangat mempengaruhi kondisi kesehatan masyarakat pada umumnya, dan faktanya ada beberapa penyakit yang kemudian menjadi sangat mewabah dan menyerang di berbagai usia. Salah satu diantaranya adalah Penyakit ISPA atau Infeksi Saluran Pernafasan Akut. Apalagi saat ini di mana cuaca terkadang sangat panas disertai angin kencang, tapi tiba-tiba saja hujan deras yang juga disertai angin kencang. Hal ini secara tidak langsung mempengaruhi ketahanan tubuh seseorang. Penyakit ISPA adalah penyakit infeksi yang menyerang bagian fungsi pernafasan baik itu hidung, telinga tengah, tenggorokan (faring), kotak suara (laring), dan paru paru (http://id.wikipedia.org/wiki/Infeksi_saluran_napas_atas).
Penyakit ISPA merupakan penyakit paling banyak diderita masyarakat di kota, salah satunya Kota Medan. Setelah erupsi gunung Sinabung pada September 2013 lalu jumlah penderita infeksi saluran pernafasan akut (ISPA) di kota Medan terus meningkat. Berdasarkan data Dinas Kesehatan (Dinkes) Kota Medan, jumlah pasien ISPA yang dating ke-39 puskesmas pada September 2013 tercatat 12.190 kasus. Jumlah ini kemudian meningkat menjadi 15.911 kasus pada Oktober, 18.556 kasus di November, dan melonjak menjadi 19.433 kasus pada Desember.Hingga saat ini angka kematian akibat ISPA yang berat sangat tinggi. Kematian seringkali disebabkan karena penderita datang untuk berobat dalam
keadaan parah/lanjut dan kurang gizi.
(http://www.koran-sindo.com/node/364695).
dalam model matematika. Dalam model matematika yang ada, selanjutnya dapat dianalisis perilaku-perilaku yang ada di dalamnya. Dengan demikian akan diketahui tingkat penyebaran suatu penyakit menular.
Oleh karena itu, perlu dilakukan analisis yang dapat diterima secara ilmiah terhadap peristiwa penyebaran penyakit menular. Salah satunya dapat dipandang dalam bentuk model matematika. Fredlina dkk melakukan penelitian mengenai penyakit tuberculosis dengan model SIR (Suspectible, Infected, dan Recovered). Model penyebaran penyakit TB yang disusun menghasilkan persamaan model yang menggambarkan penyebaran penyakit TB pada kelassusceptible, infectious, dan recovered. Model yang terbentuk perlu dianalisis dengan mencari titik kesetimbangan, nilai eigen dan basic reproduction ratio. Kemudian dilakukan simulasi menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 untuk menguji analisis parameter. Dari hasil analisis akan didapat parameter yang paling berpengaruh dalam penyebaran tuberkulosis adalah laju penularan dan laju kesembuhan. Dengan demikian penyebaran tuberkulosis dapat dikendalikan dari kejadian epidemi dengan membuat atau menurunkan laju penularan dan meningkatkan laju kesembuhan (Fredlina, dkk. 2012).
3
Model SIR digunakan untuk melihat perubahan pada setiap subbab-nya untuk mereka yang membutuhkan perhatian medis selama penyebaran penyakitnya. Model SIR juga dapat menjelaskan bahwa seseorang yang telah sembuh dari suatu penyakit, maka orang tersebut akan memiliki kekebalan dalam tubuhnya. Sehingga dalam tubuhnya memiliki daya tahan untuk tidak terjangkit penyakit dengan jenis yang sama. Hanya saja model SIR ini tidak bekerja pada semua penyakit, ketika seseorang terjangkit penyakit menular, ada kemungkinan suatu saat orang tersebut akan terjangkit lagi.
Penelitian ini akan menyelidiki model penularan penyakit ISPA (Infeksi Saluran Pernafasan Akut) di Kota Medan melalui model epidemi SIR (Suspectible, Infected, Recovered). Model matematika yang dibuat diharapkan
dapat memberikan manfaat khususnya kepada pemerintah Kota Medan dalam memberikan kebijakan penentuan wilayah yang harus diberikan program vaksinasi penyakit ISPA.
Berdasarkan masalah di atas maka penulis mencoba untuk mengangkat topik ini sebagai judul skripsi yaitu“ANALISIS MODEL EPIDEMI SIR (SUSPECTIBLE, INFECTED, RECOVERED) PADA PENYAKIT INFEKSI SALURAN PERNAPASAN AKUT (ISPA)”.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun yang menjadi perumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana cara penggunaan model epidemi SIR pada penyakit menular, secara khusus penyakit ISPA dan bagaimana cara menentukan perkembangan epidemi suatu populasi yang terkena wabah penyakit menular.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini dapat diuraikan sebagai berikut : 1. Model ini berkaitan dengan manusia yang rentan (Susceptible), manusia
yang terinfeksi (Infectious), manusia yang sembuh (Recovered).
3. Penyebaran penyakit terjadi pada populasi tertutup (tidak terjadi migrasi), sehingga pengaruh dari luar diabaikan.
4. Jumlah populasi diasumsikan selalu konstan dan tidak memperhatikan masa inkubasi.
5. Simulasi model epidemi dilakukan di kota Medan dan informasi mengenai penyakit ISPA diperoleh dari Dinas Kesehatan Kota Medan dan Dinas Kesehatan Puskesmas Teladan berdasarkan Laporan Tahunan Dinas Kesehatan Kota Medan tahun 2014.
1.4 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan daripenelitian ini adalah :
1. Mengetahui model penularan penyakit ISPA dengan menggunakan model epidemiSIR (Suspectible, Infected, Recovered).
2. Melakukan simulasi numerik dengan menggunakan metode Runge-Kutta Orde 4.
3. Menentukan titik kesetimbangan,eigen value, danbasic reproduction ratio. 4. Mengetahui perkembangan epidemi pada penyakit ISPA dalam suatu
populasi.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini dapat berpengaruh bagi orang lain dan bagi penulis sendiri. Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
a) Bagi Orang Lain
5
b) Bagi Penulis
Erlangga, Jakarta.
Finizio, N. dan Ladas, G., (1988), Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan Modern, Ed ke-2, Penerbit Erlangga, Jakarta.
Fredlina, K.Q., Oka, T.B., dan Dwipayana, I.M.E, (2012), Model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered) Untuk Penyebaran Penyakit Tuberkulosis,e-Jurnal MatematikaVol.1 No.1: 52-58
Jhonson, T., (2009), Mathematical Modeling of Diseases : Susceptible-Infected-Recovered (SIR) Model, University of Minnesota, Morris,Spring 2009. Howard, Anton alih bahasa, Silaban, P. dkk., (2000), Aljabar Linear Elementer,
Ed ke-8, Penerbit Erlangga, Jakarta.
Iswanto, R.J., (2012),Pemodelan Matematika, Ed Pertama, Penerbit Graha Ilmu, Yogyakarta.
Luknanto, D., (2003),Model Matematika, Universitas Gajah Mada, Yokyakarta. Ma, Z., dan Jia, L., (2007), Dynamical Modeling and Analysis of Epidemics,
World Scientific Publishing Co.Pie,Ltd, Singapore. Munir, R., (2003),Metode Numerik, Informatika, Bandung.
Murray, J.D., (1993). Mathematical Biology : An Introduction, Third Edition, Springer.
Notoatmojo, S., (2007),Kesehatan Masyarakat Ilmu dan Seni, PT. Rineka Cipta, Jakarta.
Ragan, R., The SIR Model,15 Mei 2009.
Waluya, S.B., (2006),Persamaan Diferensial, Penerbit Graha Ilmu, Yogyakarta. Wikipedia, (2014), http://id.wikipedia.org/wiki/Infeksi_saluran_napas_atas
(diakses 16 Juni 2014)
