a) Senaraikan semua unsur bagi persilangan set yang berikut: i. P Q P = { 1, 3, 5, 7, 9 } Q = { 2, 3, 5, 7 } P Q = { 3, 5, 7 }

(1)

OPERASI SET

CIKGUHISHAM@ILMUSTUDIO Page 1

BAB 4

OPERASI SET

4.1 PERSILANGAN SET

1. Persilangan set wujud apabila terdapat lebih daripada satu set.

2. Persilangan set ditulis menggunakan simbol ∩.

3. Persilangan set ialah set yang mengandungi unsur-unsur sepunya bagi set-set berkenaan.

4. Mewakilkan persilangan set dengan menggunakan gambar rajah Venn seperti yang berikut:

a) P ∩ Q

b) Q ⊂ P, maka P ∩ Q = Q

c) P ∩ Q = ∅

Tiada persilangan antara set P dan set Q

d) P ∩ Q ∩ R

5. Contoh 1:

Diberi set semesta, ξ = { x : x ialah integer, 1 ≤ x ≤ 10 }, set P = { x : x ialah nombor ganjil }, set Q = { x : x ialah nombor perdana }, dan set R = { x : x ialah gandaan 3 }.

a) Senaraikan semua unsur bagi persilangan set yang berikut:

i. P ∩ Q

P = { 1, 3, 5, 7, 9 } Q = { 2, 3, 5, 7 } P ∩ Q = { 3, 5, 7 }

(2)

OPERASI SET

ii. P ∩ R

P = { 1, 3, 5, 7, 9 } R = { 3, 6, 9 } P ∩ R = { 3, 9 }

iii. P ∩ Q ∩ R

P = { 1, 3, 5, 7, 9 } Q = { 2, 3, 5, 7 } R = { 3, 6, 9 } P ∩ Q ∩ R = { 3 } 6. Contoh 2:

ξ = { c, e, r, d, i, k, a, s, p, n, } Set A = { c, e, r, d, a, s } Set B = { c, e, r, d, i, k } Set C = { p, a, n, d, a, i }

a) Senaraikan semua unsur bagi persilangan set yang berikut:

i. A ∩ B

= { c, e, r, d } ii. B ∩ C

= { d, i }

iii. A ∩ B ∩ C

= { d }

Latihan 1

a) Set ξ = { x : x ialah integer, 10 ≤ x ≤ 20 } Set N = { x : x ialah nombor ganjil } Set K = { x : x ialah gandaan 5 }

Senaraikan semua unsur bagi set persilangan K ∩ N

b) Set A = { nombor perdana ≤ 10 } Set B = { faktor bagi 6 }

Set C = { faktor bagi 12}

Senaraikan semua unsur bagi set persilangan

i) A ∩ B ii) A ∩ B ∩ C

(3)

OPERASI SET

c) Gambah rajah Venn menunjukkan unsur dalam set semesta, ξ, set A, B dan C.

Senaraikan semua unsur dan nyatakan bilangan unsur bagi set berikut:

i) A ∩ B ii) A ∩ C iii) B ∩ C

d) Diberi set A = { 3, 4, 5, 6, 7 }, set B = { 4, 5, 7,8, 9, 12 } dan set C = { 3, 5, 7, 8, 9, 10 }.

i) Senaraikan unsur bagi A ∩ B ∩ C.

ii) Lukiskan sebuah gambar rajah Venn untuk mewakili A ∩ B ∩ C.

7. Set pelengkap bagi persilangan dua set, sebagai contoh set P dan set Q diwakilkan sebagai ( P ∩ Q )’, ialah satu set yang mengandungi semua unsur dalam set semesta, ξ yang bukan unsur P ∩ Q.

8. Set pelengkap ( P ∩ Q )’ diwakilkan oleh rantau berlorek yang ditunjukkan dalam gambar rajah Venn berikut:

A

C C C C

B

(4)

OPERASI SET

9. Contoh 3:

Diberi ξ = { semua integer dari 1 hingga 10 }, A = { 1, 3, 5, 8 } dan B = { 2, 3, 5, 7 }.

Senaraikan unsur bagi set ( A ∩ B )’.

Penyelesaian:

Set (A ∩ B ) = { 3, 5 }, maka set pelengkap ( A ∩ B ) atau ( A ∩ B )’ = { 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10 }.

Latihan 2

a) Lorekkan kawasan yang mewakili pelengkap bagi persilangan set yang diberikan.

A ∩ B ∩ C’

b) Lorekkan kawasan yang mewakili pelengkap bagi persilangan set yang diberikan.

A ∩ (B ∩ C )’

c) Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan X’ ∩ Y

d) Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan P’ ∩ R

(5)

OPERASI SET

4.2 KESATUAN SET

1. Kesatuan set menggunakan simbol ∪.

2. Ia mewakili semua unsur di dalam set-set yang berkenaan.

3. Mewakilkan persilangan set dengan menggunakan gambar rajah Venn seperti yang berikut:

a) P ∪ Q

b) P ∪ Q ∪ R

4. Contoh 4:

Diberi set semesta, ξ = { x : x ialah integer, 1 ≤ x ≤ 10 }, set P = { x : x ialah nombor ganjil }, set Q = { x : x ialah nombor kuasa dua sempurna } dan set R = { x : x ialah gandaan 3 }.

Senaraikan semua unsur bagi set yang berikut:

a) P ∪ Q

P = { 1, 3, 5, 7, 9 } Q = { 1, 4, 9 }

P ∪ Q = { 1, 3, 4, 5, 7, 9 } b) Q ∪ R

Q = { 1, 4, 9 } R = { 3, 6, 9 }

Q ∪ R = { 1, 3, 4, 6, 9 } c) P ∪ Q ∪ R

P = { 1, 3, 5, 7, 9 } Q = { 1, 4, 9 } R = { 3, 6, 9 }

P ∪ Q ∪ R = { 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9 }

(6)

OPERASI SET

Latihan 3

a) Set M = { gandaan 3 dari 1 hingga 10}, set P = { faktor bagi 10 }, set N = { nombor perdana kurang daripada 10 }.

Senaraikan unsur bagi set berikut:

i) M ∪ P ii) P ∪ N iii) M ∪ P ∪ N

b) Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan bilangan peserta kuiz dalam set P dan set Q.

Diberi bahawa set semesta, ξ = P ∪ Q, set P = { kuiz Matematik } dan set Q = { kuiz Sains }.

Jika bilangan peserta yang mengambil bahagian hanya satu kuiz sahaja ialah 21 orang, cari jumlah semua peserta itu?

c) Diberi bahawa set J = { 1, 2, 3, 4 } dan set L = { 3, 4, 5, 6 }. Jika set ξ = J ∪ L, cari nilai bagi n (ξ).

d) Diberi ξ = { x : x ialah integer, 50 ≤ x ≤ 60, set J = { gandaan 3 }, set K = { nombor perdana } dan set L = { nombor genap }

Lukiskan gambar rajah Venn mewakili set semesta ξ, set J, set K dan set L.

(7)

OPERASI SET

5. Pelengkap bagi kesatuan set A atau set B bermaksud semua unsur yang bukan dalam set A atau setB.

6. Set pelengkap ( P ∪ Q )’ diwakilkan oleh rantau berlorek yang ditunjukkan dalam gambar rajah Venn berikut:

Latihan 4

a) Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan bilangan unsur dalam set semesta ξ, set P, set Q dan set R.

Diberi ( ) ( ) . Cari nilai n ( ξ ).

b) Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan set semesta, ξ = { pelajar tingkatan 4 }, set A = { pelajar yang bermain Badminton } dan set B

= { pelajar yang bermain Hoki }.

Diberi ( ) ( ) ( ) dan ( ) , cari bilangan pelajar yang tidak bermain kedua-dua jenis sukan.

c)Pada rajah di bawah, lorekkan set P ∪ R. d)Pada rajah di bawah, lorekkan set (S ∪ T )’

(8)

OPERASI SET

4.3 GABUNGAN OPERASI SET

1. Gabungan operasi set melibatkan kedua-dua persilangan set ( ∩ ) dan kesatuan set ( ∪ ) pada masa yang sama.

2. Gabungan operasi set perlu diselesaikan dari kiri ke kanan, namun sekiranya terdapat operasi dalam kurungan, operasi dalam kurungan mesti diselesaikan dahulu.

3. Contoh 5.

Diberi set semesta, ξ = { x : x ialah integer, 9 < x < 21 }, set A = { x : x ialah integer yang mengandungi digit 5 atau 7 }, set B = { x : x ialah nombor perdana } dan set C = { x : x ialah integer gandaan 5 }. Senaraikan setiap unsur bagi set yang berikut:

a) A’ ∩ B ∪ C

A’ = { 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20 } B = { 11, 13, 17, 19 }

C = { 10, 15, 20 }

Jadi A’ ∩ B = { 11, 13, 19 } { 11, 13, 19 } ∪ { 10, 15, 20 }

maka, A’ ∩ B ∪ C = { 10, 11, 13, 15, 19, 20 }.

b) B ∩ ( A ∪ C )’

Selesaikan dalam kurungan dulu A = { 15, 17 }

C = { 10, 15, 20 }

( A ∪ C ) = { 10, 15, 17, 20 }

Jadi (A ∪ C)’= { 11, 12, 13, 14, 16,18, 19 } B = { 11, 13, 17, 19}

{ 11, 13, 17, 19 } ∩ { 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19 } maka B ∩ ( A ∪ C )’= { 11, 13, 19 }.

4. Contoh 6.

Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan set X, set Y dan set Z dengan keadaan set semesta, ξ = X ∪ Y ∪ Z. Lorekkan set ( X ∪ Z ) ∩ Y.

(9)

OPERASI SET

Latihan 5.

a) Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan set P, set Q dan set R dengan keadaan set semesta, ξ = P ∪ Q ∪ R. Lorekkan P’ ∪ ( Q ∩ R ).

b) Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan set P, set Q dan set R dengan keadaan set semesta, ξ = P ∪ Q ∪ R. Lorekkan Q ∩ ( P’ ∪ R ).

c)Diberi set semesta, ξ = { x : x ialah interger, 10 ≤ x ≤ 20 }, set M = { nombor perdana } dan set R = { nombor ganjil }.

Lukiskan gambar rajah Venn bagi mewakili hubungan antara set ξ, set M dan set R.

d)Diberi bahawa set semesta, ξ = P ∪ Q ∪ R, Q

⊂ P dan P ∩ R = ∅.

Lukiskan gambar rajah Venn bagi mewakili hubungan ini.

e) Diberi set P = { 1, 3, 5, 7,9, 11 }, set Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } dan set R = { 2, 3, 5, 7, 11 }.

Senaraikan semua unsur set P ∪ ( R ∩ Q ).

f) Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan tiga set F, G, dan H.

Diberi set semesta, ξ = F ∪ G ∪ H dan n ( F ∪ G)’

= n ( G ), cari nilai x.

(10)

OPERASI SET

g) Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan set P, set Q dan set R dengan keadaan set semesta, ξ

= P ∪ Q ∪ R di mana set P = { murid kelab bola sepak }, set Q = {murid kelab hoki } dan set R = { murid kelab badminton }

Diberi bahawa murid yang menyertai kelab bolasepak ialah 17 orang. Cari bilangan murid yang menyertai dua jenis kelab.

h)Gambar rajah Venn menunjukkan bilangan unsur dalam set semesta, ξ, set P, set Q dan set R.

Diberi bahawa n ( P ∪ Q ) = n (Q’), cari n (ξ ).

i)Gambar rajah Venn menunjukkan sebahagian bilangan unsur dalam set semesta, ξ.

Diberi n (P) = 40, n (Q) = 25 dan n (P ∪ Q) = 52.

Cari n (Q’).

j) Gambar rajah Venn menunjukkan set P, Q dan R.

Berdasarkan rajah, pernyataan manakah yang benar?

A. P ⊂ Q B. Q ∩ R ≠ ∅ C. P ∪ Q = Q D. P ∩ R = R