DEFINISI LP FUNGSI-FUNGSI DALAM PL MODEL LINEAR PROGRAMMING. Linear Programming Taufiqurrahman 1

(1)

PENGANTAR

LINEAR PROGRAMMING

DEFINISI LP

• Linear Programming/LP (Program Linear)

merupakan salah satu teknik dalam Riset

Operasional (Operation Research) yang paling

luas digunakan dan dikenal dengan baik.

• LP merupakan metode matematika untuk

mengalokasikan sumber daya untuk mencapai

tujuan

tunggal

seperti

memaksimumkan

keuntungan atau meminimumkan biaya.

2 2 6623

6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

MODEL LINEAR PROGRAMMING

Adalah

sebuah

model

matematis

yang

bersifat

umum

yang

digunakan

untuk

mengalokasikan faktor produksi atau sumber

daya yang jumlahnya terbatas secara optimal,

sehingga dapat menghasilkan laba maksimal

atau biaya minimal

3 3 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

FUNGSI-FUNGSI DALAM PL

1. Variabel Keputusan

Variabel persoalan yang akan mempengaruhi nilai tujuan

yang hendak dicapai.

2. Fungsi Tujuan (objective function)

Di mana tujuan yang hendak dicapai harus diwujudkan

ke dalam sebuah fungsi matematika linear, yang

kemudian

fungsi

itu

dimaksimumkan

atau

diminimumkan terhadap kendala-kendala yang ada.

4 4 6623

(2)

FUNGSI-FUNGSI DALAM PL

3. Fungsi Kendala (contrains or subject to)

Kendala dalam hal ini dapat diumpamakan sebagai suatu

pembatas terhadap kumpulan keputusan yang mungkin

dibuat

dan

harus

dituangkan

ke

dalam

fungsi

matematika linear yang dihadapi oleh manajemen.

4. Fungsi Status (status function)

Fungsi yang menyatakan bahwa setiap variabel yang

terdapat di dalam model programasi linear tidak boleh

negatif.

ASUMSI DASAR

1. Certainty

Angka yang diasumsikan dalam f.tujuan dan f.kendala secara pasti diketahui dan tidak berubah selama waktu dipelajari.

2. Proporsionality

Alokasi sumber daya dengan goal yang ingin dicapai harus proporsional

3. Additivity

Total dari semua aktivitas adalah sama dengan jumlah dari aktivitas individual 6 6 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

ASUMSI DASAR

4. Divisibility

Jumlah

produk

yang

akhirnya

direkomendasikan dalam kondisi optimum,

dapat berupa pecahan bukan bilangan bulat

5. Non-negatif variable

Semua variabel bukan negatif, bisa nol atau

positif (negatif dalam kuantitas fisik a/d

mustahil)

FORMULASI MODEL

• Permasalahan:

mencari

nilai-nilai

optimal

(maksimum atau minimum) dari fungsi linear

dengan kendala-kendala tertentu

• Fungsi Tujuan: Fungsi linear yang dioptimumkan

• Fungsi Kendala: Fungsi-fungsi linear (lebih dari

satu) yang harus dipenuhi dalam optimalisasi

fungsi tujuan.

• Bentuk

fungsi

tujuan:

persamaan

atau

pertidaksamaan

8 8 6623

(3)

FORMULASI MODEL

Formulasi model matematika, yang meliputi 3 tahap:

1. Tentukan variable keputusan dan nyatakan dalam

simbol matematika

2. Membentuk suatu fungsi tujuan yang ditunjukkan

sebagai suatu hubungan linear dari variable keputusan.

3. Menentukan

semua

kendala

masalah

dan

mengekspresikan

dalam

persamaan

atau

pertidaksamaan yang juga merupakan suatu hubungan

linear dari variable keputusan.

FUNGSI MATEMATIKA LP

1. Fungsi Tujuan Max/Min Z = c1x1+ c2x2+ ... + cnxn 2. Fungsi Kendala a11x1 + a12x2 + … + a1nxn < b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn < b2 ... ... ... ... ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + … + amnxn < bn 3. Fungsi Status x1; x2……….. Xn> 0 10 10 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

METODE-METODE DALAM LP

Metode Linear Programming

Metode Aljabar

Simpleks Primal Simpleks M-Besar

Simpleks Dual Simpleks Dua Fase

Metode Grafik

11 11 6623

PERBEDAAN METODE SOLUSI

Karakteristik Formulasi

Masalah

Grafis Simpleks Simpleks Big – M

Jumlah Variabel 2 > 2 > 2 Jenis fungsi tujuan maksimisasi & minimisasi maksimisasi & minimisasi maksimisasi & minimisasi Jenis fungsi

kendala semua bentuk

Pertidaksamaan bertanda “<“ Pertidaksamaan bertanda “>“ atau persamaan “=“ 12 12 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

(4)

CONTOH 1 (PEMBUATAN MODEL)

Sebuah perusahaan memperkerjakan pengrajin untuk memproduksi mangkok dan cangkir. Sumber daya utama yang digunakan perusahaan adalah tanah liat dan tenaga kerja. Tersedia 40 jam tenaga kerja dan 120 kg tanah liat setiap hari untuk produksi. Dengan keterbatasan sumber daya, perusahaan ingin mengetahui berapa banyak mangkok dan cangkir yang akan diproduksi tiap hari dalam rangka memaksimalkan laba. Parameter kedua produk adalah sebagai berikut:

Produk

Kebutuhan Sumber Daya Tenaga Kerja (jam/unit) Tanah Liat (kg/unit) Laba ($/unit) Mangkok 1 4 40 Cangkir 2 3 50 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1313

MODEL CONTOH 1

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1414

• X1= jumlah mangkok yang diproduksi

• X2= jumlah cangkir yang diproduksi

Variabel

Keputusan

• Maksimalkan Z = 40X1+ 50X2

• Z = total laba per hari • 40X1= laba dari mangkok

• 50X2= laba dari cangkir

Fungsi

Tujuan

• 1X1+ 2X2≤ 40 (kendala tenaga kerja)

• 4X1+ 3X2≤ 120 (kendala tanah liat)

• X1≥ 0 ; X2≥ 0 (kendala non negatif)

Fungsi

Kendala

CONTOH 2 (PEMBUATAN MODEL)

Seorang petani menyiapkan lahan untuk menanam dan membutuhkan pemupukan. Terdapat dua merek pupuk, Super-grow dan Crop-quick. Setiap merek menghasilkan jumlah nitrogen dan fosfat tertentu, sebagai berikut:

Merek Kontribusi Kimia Nitorgen (kg/kantong) Fosfat (kg/kantong) Super-grow 2 4 Crop-quick 4 3

Lahan petani memerlukan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat. Harga Super-grow $6 per kantong, dan Crop-quick berharga $3. Petani tersebut ingin mengetahui berapa banyak kantong dari setiap merek yang akan dibeli dalam rangka meminimalkan total biaya pemupukan.

6623

6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1515

MODEL CONTOH 2

6623

• X1= jumlah pupuk SG yang dibeli

• X2= jumlah pupuk CQ yang dibeli

Variabel

Keputusan

• Minimalkan Z = 6X1+ 3X2

• Z = total biaya pemupukan • 6X1= harga/biaya dari SG • 3X2= harga/biaya dari CQ

Fungsi

Tujuan

• 2X1+ 4X2≥ 16 (kendala nitrogen) • 4X1+ 3X2≥ 24 (kendala fosfat) • X1; X2≥ 0 (kendala non-negatif)

Fungsi

Kendala

(5)

PEMBUATAN MODEL: ANALISA TITIK IMPAS

• Bagian ini merupakan proses pengembangan dan

pemecahan model sains manajemen melalui analisa

break even atau analisa titik impas.

• Tujuan analisa titik impas adalah untuk menentukan

jumlah unit produk (atau volume produksi) yang akan

dijual dan diproduksi sehingga pendapatan total akan

sama dengan biaya total.

• Titik dimana pendapatan total menyamai biaya total

disebut titik impas atau titik break even, dan pada titik

ini keuntungan sama dengan nol.

17 17 6623

KOMPONEN ANLISA TITIK IMPAS

1

1.. VolumeVolume ((VV))

• Tingkat pendapatan atau produksi perusahaan. • Dapat dinyatak sebagai:

• Jumlah unit (atau kuantitas) yang diproduksi dan dijual. • Volume penjulan dalam satuan mata uang.

• Persentase dari kapasitas yang tersedia.

2

2.. BiayaBiaya ((TCTC))

• Biaya tetap (fixed cost), biaya yang tidak tergantung dengan volume produksi atau penjualan.

• Biaya variabel (variabel cost), biaya yang tergantung dengan volume produksi atau penjualan.

3

3.. KeuntunganKeuntungan ((ZZ))

• Perbedaan antara pendapatan total dan baiaya total.

• Pendapatan total merupakan volume dikali dengan harga per unit.

6623

PERSAMAAN MATEMATIS ANALISA TITIK IMPAS

Dimana :

•TC = biaya total •cf = biaya tetap total

•v = volumen (jumlah unit yang dijual) •cv = biaya variabel per unit

TC

cc

_ff

vc

_vv

Dimana : •Z = keuntungan total •v = volumen (jumlah

unit yang dijual) •p = harga per unit •TC = biaya total

6623

ZZ

vp

TC

CONTOH ANALISA TITIK IMPAS

Kasus:

Sebuah perusahaan memproduksi baju, dengan biaya tetap sebesar $10.000 dan biaya variabel $8 per unit baju. Dalam satu bulan perusahaan dapat menjual 400 unit dengan harga $23. Berapa keuntungan total yang didapat perusahaan?

Jawaban: Z = vp − (c_f+ vc_v) = (400)(23) − {10.000 + (400)(8)} = 9.200 − 13.200 = −$4.000 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 2020 Perusahaan Rugi Perusahaan Rugi Bagaimana agar Bagaimana agar Bagaimana agar Bagaimana agar untung (minimal untung (minimal keuntungan nol) keuntungan nol) ??? ???

(6)

MENGHITUNG TITIK IMPAS

• Dengan menggunakan contoh perusahaan baju, dan jika diasumsikan harga statis, serta biaya tetap dan biaya variabel tidak berubah, maka satu-satunya yang dapat diubah ada volume pendapatan. Sehingga, berapa jumlah volume pendapatan yang dapat menghasilkan keuntungan nol?

• Pada titik impas, dimana pendapatan total sama dengan biaya total, maka keuntungan akan sama dengan nol. Sehingga, jika angka nol dimasukkan pada Z, maka volume dapat ditentukan, yaitu:

Z = vp − (cf+ vcv) 0 = (23) − {10.000 + v(8)} 0 = 23v − 10.000 − 8v 15v = 10.000 v = 666,7 unit baju 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 2121 Titik impas (

Titik impas (break even break even point

point) perusahaan ) perusahaan

6623