Hendra Gunawan. 21 Maret 2014

(1)

MA1201 MATEMATIKA 2A MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra Gunawan

Semester II, 2013/2014 Semester II, 2013/2014

21 Maret 2014

(2)

Kuliah yang Lalu Kuliah yang Lalu

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba 12.2 Turunan Parsial

12.3 Limit dan Kekontinuan 12.3 Limit dan Kekontinuan

12.4 Turunan fungsi dua peubah 12 5 Turunan berarah dan gradien 12.5 Turunan berarah dan gradien 12.6 Aturan Rantai

12 7 Bidang singgung dan aproksimasi 12.7 Bidang singgung dan aproksimasi 12.8 Maksimum dan minimum

12 9 Metode pengali Lagrange 12.9 Metode pengali Lagrange

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 2

(3)

Kuliah Hari Ini Kuliah Hari Ini

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba 12.2 Turunan Parsial

12.3 Limit dan Kekontinuan 12.3 Limit dan Kekontinuan

12.4 Turunan fungsi dua peubah 12 5 Turunan berarah dan gradien 12.5 Turunan berarah dan gradien 12.6 Aturan Rantai

12 7 Bidang singgung dan aproksimasi 12.7 Bidang singgung dan aproksimasi 12.8 Maksimum dan minimum

12 9 Metode pengali Lagrange 12.9 Metode pengali Lagrange

(4)

12.2 TURUNAN PARSIAL

MA1201 MATEMATIKA 2A

12.2 TURUNAN PARSIAL

• Menentukan turunan parsial dari fungsi dua b h di titik b

peubah di titik sembarang

(5)

Mengukur Laju Perubahan dalam Arah

d b b

Sejajar dengan Sumbu‐x atau Sumbu‐y

Diketahui fungsi dua peubah Diketahui fungsi dua peubah z = f(x,y), dan bayangkan

grafiknya seperti pada gambar ^P

z

grafiknya seperti pada gambar di samping. Bila kita berada di

suatu titik pada permukaan tsb ^y suatu titik pada permukaan tsb

(bayangkan di titik puncaknya)

dan bergerak sejajar dengan ^x dan bergerak sejajar dengan

sumbu‐x, berapakah laju perubahan ketinggiannya?

perubahan ketinggiannya?

(6)

Turunan Parsial terhadap x Turunan Parsial terhadap x

Jika y konstan katakan y = y Jika y konstan, katakan y = y₀, maka z = f(x,y₀) merupakan

fungsi dari x saja Turunannya ^P

z

fungsi dari x saja. Turunannya di x = x₀ disebut sebagai

turunan parsial dari f terhadap ^y turunan parsial dari f terhadap

x di (x₀,y₀) dan dilambangkan

dengan f (x y ) ^x

dengan f_x(x₀,y₀).

) . ,

( )

, lim (

) ,

( ₀ ₀ f x⁰ h y⁰ f x⁰ y⁰ y

x

f_x  



) ,

( 0 0 0

y h

fx h

(7)

Turunan Parsial terhadap y Turunan Parsial terhadap y

Jika x konstan katakan x = x Jika x konstan, katakan x = x₀, maka z = f(x₀,y) merupakan

fungsi dari y saja Turunannya ^P

z

fungsi dari y saja. Turunannya di y = y₀ disebut sebagai

turunan parsial dari f terhadap ^y turunan parsial dari f terhadap

y di (x₀,y₀) dan dilambangkan

dengan f (x y ) ^x

dengan f_y(x₀,y₀).

) . ,

( )

, lim (

) ,

( ₀ ₀ f x⁰ y⁰ k f x⁰ y⁰ y

x

f _y  



) ,

( 0 0 0

y k

f y k

(8)

Contoh Contoh

Diketahui z = f(x,y) = 1 – x² – y². Maka, f_x(x,y) = ‐2x; f_y(x,y) = ‐2y.

Di titik (3,4),

f (3 4) = ‐6; f (3 4) = ‐8 f_x(3,4) = ‐6; f_y(3,4) = ‐8.

Jadi, nilai f turun lebih cepat dalam arah sejajar sumbu‐y daripada dalam arah

sejajar sumbu‐x.

(9)

Turunan Parsial Kedua Turunan Parsial Kedua

Turunan parsial kedua suatu fungsi dua peubah Turunan parsial kedua suatu fungsi dua peubah dapat diperoleh dari turunan parsial pertamanya.

Karena ada dua turunan parsial pertama f dan Karena ada dua turunan parsial pertama, f_x dan f_y, dan masing‐masing mempunyai dua turunan parsial maka kita akan mendapatkan empat

parsial, maka kita akan mendapatkan empat turunan parsial kedua, yaitu

f (f ) f (f ) f (f ) f (f )

f_xx = (f_x)_x, f_xy = (f_x)_y, f_yx = (f_y)_x, f_yy = (f_y)_y

(10)

Contoh Contoh

Diketahui z = f(x,y) = 1 – x² – y².

Turunan parsial pertamanya adalah f (x y) = ‐2x; f (x y) = ‐2y

f_x(x,y) = ‐2x; f_y(x,y) = ‐2y.

Turunan parsial keduanya adalah f_xx(x,y) = ‐2; f_xy(x,y) = 0.

f_yx_yx(x,y) = 0; f_yy_yy(x,y) = ‐2.

Catatan. f_xy dan f_yx disebut sebagai turunan parsial campuran. Secara umum, f_xy ≠ f_yx.

(11)

Soal Soal

Diketahui fungsi dua peubah Diketahui fungsi dua peubah

. 1 x

²

y

²

z   

(a) Tentukan turunan parsial pertamanya.

y

(b) Tentukan turunan parsial keduanya dan periksa apakah kedua turunan parsial

p p p

campurannya sama.

(12)

Fungsi Harmonik Fungsi Harmonik

Fungsi z = f(x y) disebut fungsi harmonik bila Fungsi z = f(x,y) disebut fungsi harmonik bila memenuhi persamaan Laplace: f_xx + f_yy = 0.

Buktikan bahwa kedua fungsi berikut harmonik:

1. f(x,y) = x³y – xy³. 2. F(x,y) = ln(x( ,y) ( ² + yy )²).

(13)

12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

MA1201 MATEMATIKA 2A

12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

• Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik tertentu dan

mempunyai limit di titik tertentu dan menentukan limitnya (bila ada)

• Memeriksa kekontinuan fungsi dua peubah

• Memeriksa kekontinuan fungsi dua peubah di titik tertentu

(14)

Limit Fungsi Dua Peubah Limit Fungsi Dua Peubah

Diberikan suatu fungsi dua peubah, sebutlah z = f(x,y).

Bila (x,y) mendekati (x₀,y₀), apa

L

Bila (x,y) mendekati (x₀,y₀), apa yang terjadi dengan f(x,y)?

Def. apabila

untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0

(x₀,y₀)

L y

x

y f

x y

x 

 ( , )

lim( , ) )

,

( ₀ ₀

p p

sedemikian sehingga

) (

0  x y  x y    f x y  L  

. )

, ( )

, (

) ,

(

0  x y x

₀

y

₀

   f x y L  

(15)

Beberapa Catatan Beberapa Catatan

• Limit f di (xt f d ( ₀₀,y,y₀₀) sama dengan L ) sa a de ga apabila untuk setiap (x,y) yang

berada dalam radius δ dari (x₀,y₀),

k l k ( ) d l ^y

kecuali mungkin (x₀,y₀) sendiri, nilai f(x,y) berada dalam radius ε dari L.

D l h l i i il i f( ) h

y

• Dalam hal ini, nilai f(x,y) harus

menuju L, bagaimanapun caranya (x,y) mendekati (x₀,y₀).

(x,y) mendekati (x₀,y₀).

• Jika melalui lintasan berbeda f

menuju nilai yang berbeda, maka f

x

j y g , f

tidak mempunyai limit di (x₀,y₀).

(16)

Teorema Substitusi Teorema Substitusi

Jika f(x,y) merupakan polinom dalam x dan y, Jika f(x,y) merupakan polinom dalam x dan y, yakni





ⁿ ^m

c

_ij

x

ⁱ

y

^j

y

x

f ( , ) ,

maka

 

i 0 j 0

).

, ( )

, ( lim

) ( )

(

f x y f a b

b a y

x





Jika f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) dengan p dan q polinom dalam x dan y maka

) , ( ) ,

(x y  a b

dalam x dan y, maka

) , , (

) , ) (

, ( lim

) ( , )

,

(

q a b

b a y p

x

b

f

a y

x





asalkan q(a,b) ≠ 0.

)

,

(

q

(17)

Contoh Contoh

1

lim ( x

²

 y

²

)  3

²

 4

²

 25

1.

lim ( ) 3 4 25 .

) 4 , 3 ( ) ,

(

   



x y

y x

2. ₂ ₂ tidak ada, karena

) 0 0 ( ) (

lim 1

y x

xy

y

x





pembilangnya menuju 1 sementara

b j 0

) 0 , 0 ( ) ,

(^x ^y ^

x  y

penyebutnya menuju 0.

(18)

Contoh Contoh

3

lim xy

tidak ada karena alasan

3. tidak ada, karena alasan

sebagai berikut:

2 ) 2

0 , 0 ( ) ,

(

lim

y x

y

x ^



g

Sepanjang garis y = mx, kita amati bahwa

2

m

mx xy

2 2

2 0 2

2 ) 2

0 , 0 ( ) ,

(

lim lim 1

m m x

m x

mx y

x

xy

x y

x

mx

y

 



^





yang bergantung pada nilai m. Jadi tidak ada nilai tertentu yang dituju ketika (x,y) men‐

dekati (0,0).

(19)

Soal Soal

Selidiki apakah limit berikut ada/tidak ada Selidiki apakah limit berikut ada/tidak ada.

lim

xy

2

1.

lim

₂ ₄

.

) 0 , 0 ( ) ,

(

x y

y

x ^



4

y

x 

2.

lim

₂ ₂

.

) 0 , 0 ( ) ,

(

x y

y x

y

x





(20)

Kekontinuan Kekontinuan

Fungsig f(x,y)f( ,y) dikatakan kontinu di (a,b)( , ) apabilap

).

, ( )

, ( lim

) ( , )

,

(

f x y f a b

b a y

x





Sebagai contoh, polinom kontinu di setiap titik.

) , ( ) , ( y

Teorema: Jika g(x,y) kontinu di (a,b) dan f(t) kontinu di g(a,b), maka f ◦ g kontinu di (a,b).

Sebagai contoh, kontinu di setiap titik (x y)

2

:

2

) ,

( x y x y

f  

setiap titik (x,y).

(21)

Kesamaan Turunan Parsial Campuran Kesamaan Turunan Parsial Campuran

Jika f dan f kontinu pada suatu cakram di Jika f_xy dan f_yx kontinu pada suatu cakram di sekitar (a,b), maka f_xy(a,b) = f_yx(a,b).

Contoh fungsi yang turunan parsial campuran‐

id k dib ik di b k P ll (S l nya tidak sama diberikan di buku Purcell (Soal 12.3 no. 42). Lihat slide berikut… 