TINJAUAN PUSTAKA
Profil Kabupaten Jember
Berdasarkan data BPS (2009), Kabupaten Jember secara geografis terletak pada 113030’ - 113045’ Bujur Timur dan 8000’ - 8030’ Lintang Selatan. Wilayah Kabupaten Jember di sebelah utara berbatasan dengan Kabupaten Bondowoso dan Kabupaten Probolinggo, sebelah timur berbatasan dengan Kabupaten Banyuwangi sedangkan sebelah barat berbatasan dengan Kabupaten Lumajang dan sebelah selatan berbatasan dengan Samudra Hindia. Luas wilayah Kabupaten Jember 3 293.34 Km2 yang terbagi menjadi 31 kecamatan terdiri atas 28 kecamatan dengan 225 desa dan 3 kecamatan dengan 22 kelurahan dengan Jember sebagai ibukota kabupaten. Khusus untuk Susenas 2008, desa-desa yang menjadi contoh sebagian besar berada pada kecamatan yang berbeda, hanya sembilan kecamatan yang memiliki lebih dari satu desa yang menjadi contoh dalam survei tersebut.
Kabupaten Jember memiliki potensi sektor pertanian yang cukup tinggi khususnya untuk tanaman padi dan palawija. Pada tahun 2008, Jember memiliki potensi luas panen tanaman padi 143 597 ha dengan produksi 813 995 ton, untuk tanaman jagung berpotensi luas panen 67 869 ha dengan produksi sebesar 396 818 ton, serta tanaman kedelai berpotensi luas panen 12 186 ha dengan produksi 14 545 ton. Pendapatan Asli Daerah (PAD) yang cukup besar yaitu Rp1 366 522 000 000.00 dan menduduki urutan ketiga terbesar di Provinsi Jawa Timur setelah Surabaya dan Sidorajo. Sedangkan Pendapatan Domestik Regional Bruto (PDRB) Kabupaten Jember sebesar Rp9 864 000 000.00 (BPS 2009).
Pengeluaran Per kapita
Beberapa data yang diperoleh dari Susenas 2008 adalah data pengeluaran rumah tangga per bulan dan data pengeluaran per kapita. BPS mendefinisikan pengeluaran rumah tangga sebulan adalah semua biaya yang dikeluarkan rumah tangga selama sebulan untuk memenuhi kebutuhan konsumsi untuk semua anggota rumah tangga. Data pengeluaran per kapita diperoleh dari jumlah pengeluaran rumah tangga sebulan dibagi dengan jumlah anggota rumah tangga tersebut (BPS 2008). Berdasarkan asumsi bahwa penarikan contoh yang dilakukan
berdasarkan penarikan contoh acak sederhana, maka rata-rata pengeluaran per kapita desa diperoleh dengan rumus :
∑
dengan :
= rata-rata pengeluaran per kapita desa ke-i, dengan i = 1,2, . . . , m
= pengeluran per kapita rumah tangga ke – j di desa ke- i , dengan j = 1, 2, . . . ,ni
= jumlah rumah tangga di desa ke-i m = jumlah desa
Pendugaan Area Kecil
Pelaksanaan survei dilakukan untuk melakukan pendugaan parameter populasi. Pendekatan klasik untuk menduga parameter populasi didasarkan pada aplikasi model disain penarikan contoh (design-based), dan penduga yang dihasilkan dari pendekatan itu disebut penduga langsung (direct estimation). Data hasil survei ini dapat digunakan untuk mendapatkan penduga yang terpercaya dari total maupun rata-rata populasi suatu area atau domain dengan jumlah contoh yang besar. Namun, ketika penduga langsung tersebut digunakan untuk suatu area yang kecil, maka akan menimbulkan galat baku yang besar (Ghosh dan Rao 1994). Selain itu, pendugaan langsung tidak dapat dilakukan pada area yang tidak terpilih sebagai contoh, karena tidak adanya data yang dapat digunakan untuk melakukan pendugaan. Suatu area dikatakan kecil jika ukuran contoh dalam domain tersebut tidak cukup memadai untuk mendukung ketelitian penduga langsung (Rao 2003). Area kecil biasanya digunakan untuk mendefinisikan area geografi yang kecil atau domain yang memiliki ukuran contoh sangat kecil.
Penanganan masalah galat baku dalam pendugaan area kecil dilakukan dengan menambahkan informasi mengenai parameter yang sama pada area kecil lain yang memiliki karakteristik serupa, atau nilai pada waktu yang lalu, atau nilai dari peubah yang memiliki hubungan dengan peubah yang sedang diamati.
Pendugaan parameter dan inferensinya yang menggunakan informasi tambahan tersebut dinamakan pendugaan tidak langsung (indirect estimation). Metode ini secara statistik memiliki sifat meminjam kekuatan (borrowing strength) dari
informasi mengenai hubungan antara peubah yang diamati dengan informasi yang ditambahkan, sehingga mengefektifkan jumlah contoh yang kecil. Pendugaan tidak langsung berdasarkan pada model implisit atau model eksplisit yang menyediakan suatu link yang menghubungkan area-area kecil melalui data tambahan. Dalam papernya, Petrucci dan Salvati (2004a) menuliskan bahwa penduga tak langsung ini terdiri dari dua tipe, yaitu penduga tak langsung yang berdasarkan pada model implisit, antara lain penduga sintetik (synthetic estimator) dan penduga komposit (composite estimator) serta penduga tak langsung yang berdasarkan pada model eksplisit (berbasis model) yang menggabungkan pengaruh acak antar area.
Asumsi dasar dalam pengembangan model untuk SAE adalah bahwa keragaman di dalam area kecil peubah yang sedang diamati dapat diterangkan oleh hubungan keragaman yang bersesuaian pada informasi tambahan yang disebut sebagai pengaruh tetap. Asumsi lainnya adalah bahwa keragaman khusus area kecil tidak dapat diterangkan oleh informasi tambahan dan merupakan pengaruh acak area kecil. Gabungan dari dua asumsi tersebut membentuk model linier campuran (mixed models). Pendugaan area kecil untuk model pengaruh campuran pertama kali dikembangkan oleh Fay dan Herriot (1979), untuk menduga pendapatan per kapita suatu area kecil berdasarkan data survei Biro Sensus Amerika Serikat (U.S. Bureau of the Cencus). Model ini selanjutnya dikenal dengan model Fay-Herriot yang merupakan model dasar bagi pengembangan pemodelan area kecil, yaitu ; , dimana
adalah penduga langsung bagi area ke-i, merupakan parameter yang menjadi perhatian bagi area ke-i, adalah koefisien regresi, , , … , adalah peubah penyerta, adalah galat contoh pada area ke-i. adalah pengaruh acak area dengan dan saling bebas dengan E = E = 0 dan Var
serta Var τ (i = 1, 2, …, m).
Tipe model pendugaan area kecil terbagi menjadi dua, yaitu model tingkat area (basic area level models) dan model tingkat unit (unit level area models) (Ghosh dan Rao 1994). Model tingkat area digunakan jika data penyerta yang bersesuaian dengan data peubah yang diamati tidak tersedia hingga tingkat unit
pengamatan, sedangkan model tingkat unit digunakan jika data penyerta yang bersesuaian dengan data peubah yang diamati tersedia hingga tingkat unit contoh.
Prediksi Tak Bias Linier Terbaik Empiris
Model pengaruh campuran Fay-Herriot selanjutnya dijabarkan oleh Russo et. al (2005) untuk tingkat area sebagai berikut:
1. , , % , , merupakan vektor data pendukung (peubah penyerta).
2. &, untuk i = 1, 2, …, m. merupakan parameter yang menjadi perhatian dan diasumsikan memiliki hubungan dengan peubah penyerta pada (1).
3. E 0, Var σ
4. , penduga langsung untuk domain ke-i yang merupakan fungsi linier dari parameter yang menjadi perhatian dan galat contoh .
5. & , untuk i = 1, 2, …, m merupakan gabungan dari (2) dan (4) yang terdiri dari pengaruh acak dan pengaruh tetap sehingga menjadi bentuk khusus dari model linier campuran dengan struktur peragam yang diagonal.
Model nomor (5) tersebut merupakan model tingkat area, yaitu:
& untuk i = 1, 2, …, m (1) dengan adalah peubah penyerta tingkat area dan & adalah insiden matriks.
Model persamaan (1) merupakan kasus khusus dari model linier campuran terampat dengan struktur koragam diagonal. Teknik penyelesaian model tersebut untuk memperoleh BLUP bagi & telah dikembangkan oleh Henderson (1953,1975), dengan asumsi σ diketahui. Penduga BLUP dari
berdasarkan persamaan (1) adalah:
) ) *+ )
* 1 + * ) (2) dengan * &/ & dan ) adalah koefisien regresi yang diduga
dengan generalized least square (GLS), yaitu ) ./0. 0./0. Kuadrat tengah galat (Mean square error,MSE) dari 1 2 adalah:
MSE1 2 5 5
dengan 5 dan 5 sebagai berikut : 5 & & 0 *
5 1 + * 6∑ / &
70
Metode BLUP yang dikembangkan Henderson (1953, 1975) mengasumsikan diketahuinya komponen ragam pengaruh acak dalam model linier campuran, padahal dalam kenyataannya, komponen ragam ini tidak diketahui.
Oleh karena itu maka penduga ini harus terlebih dahulu diduga. Harville (1977) dalam papernya menulis tentang pendugaan komponen ragam dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum (ML) dan metode kemungkinan maksimum terkendala (REML). Pendugaan baik dengan metode ML maupun metode REML dilakukan dengan metode algoritma scoring (scoring algorithm).
Rumus-rumus yangdigunakan untuk menduga dapat dilihat pada Lampiran 1.
Penduga EBLUP telah dibahas lebih lengkap oleh Ghosh and Rao (1994), Rao (1999), Datta dan Lahiri (2000) dan Rao (2003). Penduga EBLUP dengan mengganti nilai dengan penduganya 9 adalah sebagai berikut:
) *9 1 + *9 ) ( 3) Penduga EBLUP yang diperoleh dengan metode ML maupun REML adalah penduga tak bias jika galat dan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 .
MSE dari EBLUP (Rao 2003) adalah :
MSE1)2 : 5 5 5;
dengan 5; <&< & 0;= 9 . = 9 adalah ragam asimtot dari
9 dengan rumus ;
= 9 6> 70 2 @A&</ & B
C
0
Penghitungan MSE1)2 dilakukan dengan menghitung penduganya. Rumus dari penduga MSE1)2adalah:
mse) 5 9 5 9 25; 9
dimana mse) adalah penduga bagi MSE1)2. Pada model tingkat area, ada dua pilihan mse) , yaitu :
mse) 5 9 5 9 25;G9, dan
mse) 5 9 5 9 5; 9 5;G9, dengan
5;G, 6&<</ & <7+ ) = 9
Prediksi Tak Bias Linier Terbaik Empiris Spasial
Misalkan didefinisikan vektor HI , … , B , J , … , B dan K , … ,B , dan matriks . , … , B dan L diag &,… , &B .
Berdasarkan definisi vektor dan matriks tersebut, maka persamaan (1) dalam notasi matriks adalah :
HI . LJ K (4) Model pada persamaan (4) mengasumsikan bahwa terdapat pengaruh acak area, namun pengaruh tersebut saling bebas antar area. Pada kenyataannya, sangat beralasan untuk mengatakan bahwa ada korelasi antar area yang berdekatan.
Korelasi tersebut akan semakin berkurang seiring dengan jarak yang bertambah.
Hal ini sesuai dengan hukum pertama tentang geografi yang dikemukakan oleh Tobler (Tobler’s first law of geography) dalam Schabenberger dan Gotway (2005) yang merupakan pilar kajian analisis data spasial, yaitu “everything is realted to everything else, but near things are more related than distant things”. Segala sesuatu saling berhubungan satu dengan yang lainnya, tetapi sesuatu yang lebih dekat akan lebih berpengaruh daripada sesuatu yang jauh.
Model SAE dengan memasukkan korelasi spasial antar area pertama kali diperkenalkan oleh Cressie (Cressie 1991 diacu dalam Rao 2003), dengan mengasumsikan ketergantungan spasial mengikuti proses Conditional Autoregressive (Otoregresif bersyarat, CAR). Model SAE ini kemudian dikembangkan lagi oleh beberapa peneliti, diantaranya Salvati (2004), Pratesi dan Salvati (2008), Singh et al. (2005) dengan mengasumsikan bahwa Ketergantungan spatial yang dimasukkan ke dalam komponen galat dari faktor acak mengikuti proses Simultaneous autoregressive (Simultan otoregresif, SAR). Model SAR sendiri pertama kali diperkenalkan oleh Anselin (Anselin 1992 diacu dalam Chandra, Salvati, Chambers 2007) dimana vektor pengaruh acak area memenuhi:
J PJ Q (5) Koefisien dalam persamaan (5) adalah koefisien otoregresif spasial yang
menunjukkan kekuatan dari hubungan spasial antar pengaruh acak. Nilai berkisar antara -1 hingga 1. Nilai R 0 menunjukkan bahwa suatu area dengan nilai parameter yang tinggi cenderung dikelilingi oleh area lain dengan nilai parameter yang tinggi pula dan sebuah area dengan nilai parameter yang rendah dikelilingi oleh area dengan nilai parameter yang rendah pula. Disisi lain, S 0 menunjukkan bahwa suatu area dengan nilai parameter yang tinggi dikelilingi oleh area lain dengan nilai parameter yang rendah, atau sebaliknya (Savitz dan Raudenbush 2009). W adalah matriks pembobot spasial yang menggambarkan struktur ketetanggaan dari area kecil dalam bentuk standarisasi baris (jumlah setiap baris pada matriks W adalah 1), J adalah pengaruh acak area dan Q adalah vektor galat dari pengaruh acak area dengan rata-rata sama dengan nol dan ragam
TB. Persamaan (5) dapat ditulis kembali sebagai berikut :
J T + P 0Q (6) dengan T adalah matriks identitas berukuran m U m. Dari persamaan (6) terlihat bahwa rata-rata V adalah 0 dan matriks koragam V (G) adalah sebagai berikut :
W X6 T + P T + P 70
Persamaan (6) dimasukkan ke dalam persamaan (4) menghasilkan : HI . L T + P 0Q K
Matriks koragam dari HI dengan Y diag adalah :
V= R + ZGZT = diag LX6 T + P T + P 70L (7) Penduga Spasial BLUP untuk parameter dengan , dan diketahui adalah:
)Z , [ \]6 T + P T + P 70^L
U ]diag LQ6 T + P T + P 70L^0θ + .[
Dimana [ ./0. 0./0 dan \ adalah vektor berukuran 1 U n (0, 0,
…0, 1, 0,…0) dengan 1 menunjuk pada lokasi ke-i. Penduga Spasial BLUP tersebut diperoleh dengan memasukkan matriks koragam pada persamaan (7) ke dalam penduga BLUP. Spatial BLUP akan sama dengan BLUP jika 0.
Perhitungan MSE dari Spatial BLUP dapat diperoleh seperti dalam Rao (2003), yaitu :
MSE1)Z , 2 5 , 5 , dengan 5 , dan 5 , adalah sebagai berikut :
5 , b]6 T + P T + P 70+ 6 T + P T + P 70L U ]diag L6 T + P T + P 70L^0L
U 6 T + P T + P 70^ab
5 , + b6 T + P T + P 70L
U ]diag L6 T + P T + P 70L^0. U .]diag L6 T + P T + P 70L^0. 0 U + \6 T + P T + P 70L
U ]diag L6 T + P T + P 70L^0.
Seperti halnya dengan penduga EBLUP, penduga SEBLUP )Z 9, 9 diperoleh dari Spasial BLUP dengan mengganti nilai , dengan pendugaanya.
Asumsi kenormalan dari pengaruh acak digunakan untuk menduga dan dengan menggunakan prosedur baik ML maupun REML dengan fungsi log- likelihood memiliki maksimum global dan beberapa maximum lokal (Patresi dan Salvati 2005 diacu dalam Pratesi dan Salvati 2008). Pendugaan tersebut dapat diperoleh secara iteratif dengan menggunakan algoritma Nelder-Mead (Nelder dan Mead 1965) dan algoritma scoring. Penggunaan dua prosedur ini secara berurut perlu dilakukan karena metode algoritma Nelder-Mead tidak tergantung pada pemilihan titik awal tetapi tidak terlalu efisien dan hasil yang diperoleh mendekati maksimum global, sedangkan algoritma scoring memerlukan titik awal yang tepat untuk mendapatkan fungsi yang maksimum. Fungsi kemungkinan logaritma yang digunakan untuk menduga dan dapat dilihat pada Lampiran 2 sesuai dengan yang dihasilkan oleh Patresi dan Salvati (2008). Hasil pendugaan tersebut kemudian digunakan untuk melakukan pendugaan terhadap SEBLUP, dengan rumus penduga EBLUP adalah:
)Z 9, 9 [ \]96 T + 9P T + 9P 70^L
U ]diag L96 T + 9P T + 9P 70L^0θ + .[
MSE1)Z 9, 9 2 untuk model spatial EBLUP dengan pengaruh acak berdistribusi normal, adalah :
cde1)Z 9, 9 2 MSE1)Z , 2 e1)Z 9, 9 + )Z , 2
Bentuk e1)Z 9, 9 + )Z , 2 ditaksir dengan Taylor dan dilambangkan dengan 5; , ( Kackar dan Harville 1984 diacu dalam Pratesi dan Salvati 2008), yaitu :
5; , fg hibj0L/0 j0L +/0Lj0L/0 bkL/0 j0L +/0LkL/0 l / U ibj0L/0 j0L +/0Lj0L/0
bkL/0 j0L +/0LkL/0 l
= 9, 9 m
Penduga dari MSE1)Z 9, 9 2 diperoleh dengan mengikuti hasil dari Harville dan Jeske (Harville dan Jeske 1992 dalam Pratesi dan Salvati 2008) dan kemudian dikembangkan menjadi model dengan koragam terampat (generalized covariances) oleh Zimmerman dan Cressie (Zimmerman dan Cressie 1992 dalam Pratesi dan Salvati 2008), yaitu :
mse1)Z 9, 9 2 : 5 9, 9 5 9, 9 25; 9, 9 dimana 9 dan 9 adalah penduga yang diperoleh dengan menggunakan metode REML. Jika menggunakan 9 dan 9 dengan prosedur ML, penghitungan mse1)Z 9, 9 2 sebagai berikut :
mse1)Z 9,9 2 :
5 9, 9 + bML 9, 9 p5 9, 9 5 9, 9 25; 9, 9 dengan bML 9,9 p5 9,9 diperoleh dari bentuk berikut :
p5 ,
bqrs j0+ 6j0L/0Lj0 j0L +/0Lj0L/0 Lj0 j0L/0Lj07
k + 6kL/0Lj0 j0L +/0LkL/0 Lj0 j0L/0Lk7 t\i
dan
bML u2, 12vw>+1u2, xfgyz.r/+1.{+1.rz+/+1Lj+1Lr/+1{.| fgyz.r/+1.{+1.rz+/+1LkLr/+1{.| }~
Bentuk bML 9, 9 p5 9,9 adalah bentuk tambahan yang merupakan bias tambahan dari 5 9, 9 . Jika hal ini diabaikan maka penggunaan penduga ML akan menghasilkan nilai yang lebih kecil dari penduga MSE.
