iii
iv
ABSTRAK
Penelitian ini menggunakan metode gabungan regresi dan rantai markov multivariat. Regresi digunakan untuk mengestimasi parameter model, sedangkan rantai markov multivariat digunakan untuk menentukan peluang pergerakan naik atau turunnya harga emas. Pergerakan harga emas di pengaruhi permintaan pasar, semakin banyak permintaan akan emas maka harga emas akan naik begitu juga sebaliknya. Selain permintaan akan emas, emas juga dipengaruhi oleh nilai tukar dollar terhadap rupiah. Berdasarkan korelasi data antara harga emas dan nilai tukar dollar terhadap rupiah sebesar 39%, artinya ada hubungan linier positif antara harga emas dan nilai tukar dollar terhadap rupiah. Jika nilai harga emas naik maka nilai tukar dollar terhadap rupiah juga naik dan sebaliknya, jika nilai harga emas turun maka nilai tukar dollar terhadap rupiah juga turun. Tujuan dari penelitian ini adalah dapat membentuk model regresi dan rantai markov multivariat untuk prediksi harga emas di Indonesia berdasarkan nilai tukar dollar terhadap rupiah dan mendapatkan akurasi model regresi dan rantai markov multivariat untuk prediksi harga emas.
Hasil prediksi harga emas menggunakan model regresi dan rantai markov multivariat mempunyai mean absolute percentage error (MAPE) sebesar 10,0738%.
Kata kunci : Harga Emas, Nilai Tukar, Model Regresi, Rantai Markov Multivariat.
v ABSTRACT
This study uses a combination of regression and multivariate Markov chain.
Regression was used to estimate parameters of the model, while the multivariate Markov chain is used to determine the chances of upward movement or in the price of gold. The price movement of gold is influenced market demand, more demand for gold then the price of gold will rise and vice versa. In addition to demand for gold, gold is also affected by the exchange rate of the dollar against the rupiah.
Based on data correlation between the gold price and the exchange rate of the dollar against the rupiah by 39%, meaning that there is a positive linear correlation between the gold price and the exchange rate of the dollar against the rupiah. If the gold price rises, the value of the dollar against the rupiah also rose, and vice versa, if the price of gold down the exchange value of the dollar against the rupiah also dropped. The purpose of this study was able to establish regression models and multivariate Markov chain to prediction of the gold price in Indonesia is based on the exchange rate of the dollar against the rupiah and gain accuracy Markov chain models and multivariate regression for the prediction of the gold price. The results of the gold price predictions using regression models and multivariate Markov chain has a mean absolute percentage error (MAPE) of 10.0738%.
Keywords : Gold Price, Exchange Rate, Regression Model, Multivariate Markov Chain.
vi
LEMBAR PERSEMBAHAN
Alhamdulillahi rabbil ‘alamin, Puji syukur yang sebesar-besarnya penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan ridhonya penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini. Tugas Akhir ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana dari program studi Ilmu Komputasi Telkom University. Dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan, dukungan, semangat, motivasi serta doa sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini. Dengan segala kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas rahmat dan karunia nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini.
2. Nabi Muhammad SAW yang telah mambawa ummatnya dari alam kegelapan menuju alam yang terang benderang dan sebagai teladan bagi umatnya.
3. Kedua orang tua saya yang saya cintai dan saya banggakan, Bapak H.Abdul Said Daulay dan Ibu Hj.Afdelina Nasution yang selalu memberikan arahan, nasehat, semangat baik berupa moral maupun moril dan selalu mendoakan agar diberi kemudahan serta keberkahan dalam segala urusan. Semoga bapak dan ibu sehat selalu, semoga selalu menjadi yang terbaik buat anak-anaknya. Terima kasih atas semua pengorbanan yang telah diberikan.
4. Bapak Rian Febrian Umbara S.Si., M.Si., selaku pembimbing I, yang telah membimbing, berbagi ilmu, arahan, motivasi dalam proses pengerjaan Tugas Akhir ini sehingga dapat terselesaikan dengan baik.
5. Ibu Aniq Atiqi Rohmawati S.Si., M.Si., selaku pembimbing II, yang telah meluangkan waktu dan pemikirannya kepada penulis dalam proses pengerjaan Tugas Akhir ini.
6. Ibu Izzatul Ummah dan bapak Kemas M Lhaksmana selaku dosen wali yang selalu menerima keluhan penulis dibidang akademik dan selalu memmberikan saran serta solusi atas permasalahan yang di alami penulis.
7. Adi Asrullah Daulay, Rina Wahyuni Daulay, Putri Ramadhina Daulay, Terima kasih atas motivasi, semangat, dan doanya. Semoga kita tetap dalam lindungan Allah SWT.
8. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada seluruh dosen Ilmu Komputasi yang telah mendidik, berbagi ilmu pengetahuan, pengalaman selama kuliah di Telkom University, Semoga Ilmu yang didapatkan penulis bermanfaat.
9. Ibu Annisa sebagai salah satu tempat bertanya dan berdiskusi, Terima kasih atas ilmu yang di ajarkan bu.
10. Teman-teman IK-36-02, Angkatan 2012. Terima kasih atas kebersamaan nya senang maupun susah, Sukses buat kita semua.
vii 11. Abdul Maulan Mukhsin, Jeshurun Elizer Cussoy, Bayu Nugroho teman
satu bimbingan dengan bapak Rian Febrian dan Ibu aniq.
12. Dana Marta, Tedo Haris Candra, Choir, oki, M.Fadhil Maulana teman berbagi ilmu pengetahuan, yang membantu penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir.
13. Keluarga besar Himpunan Mahasiswa Ilmu komputasi (HMIK) sebagai tempat untuk menimba pengalaman organisasi dan kepanitian.
14. Keluarga besar nenek ubis yang selalu memberikan motivasi dan semangat serta doa.
15. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada seluruh civitas akademika Universitas Telkom dan pihak-pihak yang tidak disebutkan satu persatu.
Bandung, 16 November 2016 Yang membuat pernyataan,
Budi Ihsan Daulay
viii
KATA PENGHANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Subhanahu Wa Ta’ala karena atas rahmat dan hidayah nya penulis dapat menyelesiakan proses pengerjaan Tugas Akhir ini. Shalawat beriringakan salam ke Rasullallah nabi Muhammad SAW sebagai teladan bagi ummatnya.
Tugas Akhir ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana, Program studi Ilmu Komputasi, Fakultas Informatika, Universitas Telkom. Dengan judul “Prediksi Harga Emas di Indonesia Berdasarkan Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah dengan Menggunakan Regresi dan Rantai Markov Multivariat. Penulis berharap, dengan hasil prediksi harga emas pada Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi penelitian selanjutnya.
Penulis sadar bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna, Oleh karena itu, penulis mengaharapkan kritikan dan saran yang bersifat membangun dari pembaca agar bisa diperbaiki pada penelitian-penelitian selanjut nya. Semoga prediksi harga emas pada Tugas Akhir ini bermanfaat dan dapat digunakan pada prediksi dimasa yang akan dimasa yang akan datang.
ix
DAFTAR ISI
LEMBAR PERNYATAAN ... ii
LEMBAR PENGESAHAN ... iii
ABSTRAK ...iv
ABSTRACT ... v
LEMBAR PERSEMBAHAN ...vi
KATA PENGHANTAR ... viii
DAFTAR ISI ... ix
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 2
1.3 Batasan Masalah ... 2
1.4 Tujuan ... 2
1.5 Metodologi ... 2
1.6 Sistematika Penulisan ... 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 4
2.1 Emas ... 4
2.2 Model Regresi ... 5
2.3 Rantai Markov ... 5
2.3.1 Rantai Markov Multivariat ... 7
2.3.2 Orde Pertama Rantai Markov Multivariat ... 7
2.3.3 Rantai Markov Multivariat Orde Tinggi ... 8
2.3.4 Rantai Markov Multivariat sebagai Regressor : Estimasi Model ... 8
2.3.5 Estimasi parameter Rantai Markov Multivariat ... 9
2.4 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ... 11
2.4.1 Model Autoregressive (AR) ... 11
2.4.2 Diffrencing (d)... 11
2.4.3 Model Moving Average (MA) ... 11
2.5 ARMA dan ARIMA ... 11
2.6 Menghitung MAPE ... 12
2.6.1 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)... 12
BAB III PERANCANGAN SISTEM ... 13
3.1 Analisis Perancangan Sistem ... 13
x
3.1.1 Data ... 15
3.1.2 Estimasi Parameter 𝛽 dan δ pada model regresi ... 15
3.1.3 Estimasi Parameter Ƞj ... 15
3.1.4 Menghitung Peluang ... 15
3.1.5 Prediksi dengan Model ... 15
3.1.6 Validasi ... 16
3.1.7 Output ... 16
3.3 Diagram Alur Proses ARIMA... 16
3.3.1 Data Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah ... 16
3.3.2 Proses Kestasioneran Data ... 16
3.3.3 Penentuan Orde atau Nilai (p,d,q) dalam ARIMA ... 17
3.3.4 Estimasi Parameter Model ARIMA ... 17
3.3.5 Prediksi Harga Nilai Tukar dengan ARIMA ... 17
3.3.6 Hasil Prediksi (Output) ... 17
3.3.7 Menghitung Error Atau Mape ... 17
BAB IV PENGUJIAN DAN ANALISIS ... 18
4.1 Grafik Data Harga Emas dan Nilai Tukar ... 18
4.2 Pengujian Sistem ... 18
4.3 Analisis Hasil dan Pengujian Sistem ARIMA ... 19
4.3.1 Estimasi Parameter Model ARIMA ... 26
4.3.2 Uji Kebaikan Model (Goodness Of Fit) ... 26
4.4 Rantai Markov Multivariat... 29
4.5 Metode Regresi Linier berganda ... 31
4.6 Hasil Prediksi dari Penelitian Menggunakan Regresi dan Rantai Markov Multivariat... 33
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 36
5.1 Kesimpulan ... 36
5.2 Saran ... 36
DAFTAR PUSTAKA ... 37
LAMPIRAN ... 38
1. Persamaan (1) ... 38
2. Persamaan (2) ... 40
3. Persamaan (3) ... 41
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1 Korelasi Data Harga Emas dan Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah ... 4
Gambar 2 Diagram Alur Perancangan Sistem. ... 14
Gambar 3 Diagram Alur Proses ARIMA ... 16
Gambar 4 Grafik Data Harga Emas ... 18
Gambar 5 Grafik Data Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah [14] ... 18
Gambar 6 Data Nilai Tukar Sebelum Differencing ... 19
Gambar 7 Fungsi Autokorelasi Untuk Data Nilai Tukar ... 20
Gambar 8 Fungsi Parsial Autokorelasi Untuk Data Nilai Tukar ... 21
Gambar 9 Data Nilai Tukar Setelah dilakukan Differencing satu kali ... 22
Gambar 10 Fungsi Autokorelasi untuk Data Nilai Tukar Setelah differencing satu kali ... 23
Gambar 11 Fungsi Parsial Autokorelasi untuk Data Nilai Tukar Setelah di differencing satu kali ... 24
Gambar 12 Histogram Residual {et} ... 25
Gambar 13 Grafik Normal Probability {et} ... 25
Gambar 14 Perbandingan Data Aktual dan Prediksi dengan ARIMA ... 28
Gambar 15 Perbandingan Data Aktual dengan Prediksi ... 35
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 1 Parameter Model ARIMA ... 26 Tabel 2 Hasil Pengujian dengan Ljung Box Model ARIMA (1,1,0). ... 26 Tabel 3 Hasil Pengujian dengan Ljung Box Model ARIMA (0,1,2). ... 27 Tabel 4 Data Pergerakan Harga Emas dan Nilai Tukar Dollar, serta Fungsi
Indikator. ... 30 Tabel 5 Data Perbandingan Antara Data Aktual dengan Prediksi dan Error ... 34
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Emas adalah logam mulia yang mempunyai nilai jual yang sangat tinggi.
Emas juga merupakan salah satu jenis investasi yang sangat menjanjikan untuk dijadikan investasi. Dikarenakan dengan investasi emas investor dapat menghasilkan keuntungan yang cukup besar. Disisi lain juga tingkat liquiditas atau mudah diuangkan sangat tinggi dibandingkan investasi lain seperti properti. Naik turunnya harga emas dipengaruhi oleh nilai tukar dollar, apabila dollar menguat maka harga emas akan naik begitu sebaliknya. Sebenarnya bukan harga emasnya yang naik atau turun, akan tetapi naik turunnya harga emas merupakan refleksi dari seberapa banyak uang dollar yang dikeluarkan untuk membeli emas akibat menguat atau melemahnya dollar. Selain dipengaruhi oleh nilai tukar dollar, harga emas juga dipengaruhi oleh peningkatan supply didalam mekanisme pasar yang sebenarnya.
Supply yang dimaksud adalah jika permintaan akan emas tinggi dikalangan masyarakat, maka harga emas juga akan naik. Jadi untuk menentukan harga emas agar investor dapat menghasilkan keuntungan seperti yang diharapkan dibutuhkan peramalan atau prediksi. Untuk melakukan prediksi atau peramalan ada beberapa metode yang digunakan, salah satu metode yang sudah pernah digunakan adalah metode genetic fuzzy system . Model genetic fuzzy system pada literatur lain digunakan untuk mendapatkan parameter terbaik. Selain metode genetic fuzzy system, metode algoritma genetika juga sudah banyak digunakan dalam penelitian, seperti prediksi harga emas. Tetapi algoritma genetika ini mempunyai kekurangan, antara lain diperlukan percobaan dengan kombinasi inputan, Pc (peluang penyilangan), Pm (peluang permutasi), ukuran populasi dan generasi lebih banyak untuk mendapatkan hasil yang lebih baik [11]. Untuk ukuran populasi dan generasi yang sedikit metode ini tidak disarankan.
Dalam penelitian ini, penulis menggunakan metode regresi dan rantai markov multivariat. Regresi adalah studi bagaimana variabel dependen dipengaruhi oleh satu atau lebih variabel independen dengan tujuan untuk mengestimasi atau memprediksi nilai rata-rata variabel dependen [6]. Rantai markov multivariat merupakan model yang mampu melibatkan banyak variabel dengan beberapa keadaan atau state. Rantai markov sebagai kovariat pendekatannya didasarkan dengan pengamatan kategori atau diskrit. Analisis rantai markov multivariat adalah salah satu analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis banyak data yang terdiri dari banyak peubah bebas [1].
Pentingnya penelitian ini digunakan untuk membentuk model dengan konsep gabungan model regresi dengan rantai markov multivariat untuk menentukan prediksi harga emas di Indonesia berdasarkan nilai tukar dollar terhadap rupiah serta mendapatkan akurasi prediksi yang baik.
2 1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari tugas akhir ini adalah
1. Bagaimana membentuk model regresi dengan menggunakan gabungan model regresi dan rantai markov multivariat untuk prediksi harga emas di Indonesia berdasarkan nilai tukar dollar terhadap rupiah?
2. Bagaimana akurasi model regresi dan rantai markov multivariat untuk prediksi harga emas?
1.3 Batasan Masalah
Berdasarkan perumusan masalah diatas, maka didapat batasan masalah sebagai berikut :
1. Harga emas dalam rupiah.
2. Satuan waktu yang digunakan adalah perminggu.
3. Data yang digunakan adalah harga emas rata-rata perminggu pada tahun 2010-2014.
1.4 Tujuan
Tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah
1. Dapat membentuk model regresi dengan rantai markov multivariat untuk prediksi harga emas di Indonesia berdasarkan nilai tukar dollar terhadap rupiah.
2. Mendapatkan akurasi model regresi dan rantai markov multivariat untuk prediksi harga emas.
1.5 Metodologi a). Studi Literatur
Pada tahap ini, dilakukan pencarian sumber literatur dan referensi yang mendukung dan diperlukan untuk tugas akhir ini.
b). Pengumpulan Data
Pada tahap ini, pengumpulan data dan informasi dilakukan untuk menunjang keperluan dari tugas akhir ini, seperti pengumpulan data yang berhubungan dengan harga emas.
c). Perancangan dan Implementasi Sistem
Pada tahap ini, perancangan dan implementasi sistem disesuaikan dengan permasalahan yaitu membuat model regresi dengan rantai markov multivariat untuk prediksi harga emas di Indonesai berdasarkan nilai tukar dollar terhadap rupiah.
d). Analisis Hasil Implementasi Sistem
Pada tahap ini dibahas tentang pengujian dari hasil perancangan sistem yang telah dibuat, dan dilakukan analisis terhadap hasil yang di dapat.
e). Pembuatan Laporan Tugas Akhir
Pada tahap ini adalah dokumentasi dari semua tahap-tahap yang sudah dilalui dengan melakukan penulisan laporan tugas akhir.
3 1.6 Sistematika Penulisan
a). BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dijelaskan tentang latar belakang permasalahan, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, metodologi penyelesaian masalah dan sistematika penulisan.
b). BAB II LANDASAN TEORI
Pada bab ini dijelaskan dan dideskripsikan konsep dan teori dasar atau pendukung untuk topik penelitian membuat model regresi dengan rantai markov multivariat untuk prediksi harga emas di Indonesia bersdasarkan nilai tukar dollar terhadap rupiah.
c). BAB III METODE PERANCANGAN SISTEM
Pada bab ini dijelaskan tentang proses peracangan sistem serta tahap-tahap membuat model regresi dengan rantai markov multivariat untuk prediksi harga emas di Indonesia bersdasarkan nilai tukar dollar terhadap rupiah.
d). BAB IV ANALISIS DAN HASIL PENGUJIAN
Pada bab ini dijelaskan tentang analisis mengenai hasil perancangan sistem yang telah dibuat serta implementasi metode model regresi dan rantai markov multivariat untuk prediksi harga emas di Indonesia bersdasarkan nilai tukar dollar terhadap rupiah.
e). BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini dijelaskan tentang simpulan dari analisis yang telah dilakukan dan pemberian saran untuk pengembangan sistem yang telah dirancang.
4
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Emas
Secara umum komoditi dibagi menjadi dua, yang pertama komoditi yang keras yang umumnya adalah hasil pertambangan seperti emas, perak, minyak, dan komoditi lainnya yang memiliki keterbatasan sumber dibumi, pada umumnya memerlukan sumberdaya dan dana yang tinggi untuk memperolehnya. Komoditi kedua adalah hasil pertanian[4]. Emas adalah logam mulia yang mempunyai nilai jual atau nilai ekonomi yang sangat tinggi dan merupakan barang yang istimewa.
Emas juga bisa dijadikan perhiasan, dimana perhiasaan itu bisa dibentuk sebagai gelang, cincin, kalung, dan lainnya. Dimasa sekarang ini emas bukan hanya menunjukkan sebagai perhiasan saja melainkan juga sangat menarik untuk di investasikan.
Harga emas dunia ini mengacu pada pasar internasional yang menjadi rujukan pasar emas global dalam menentukan patokan harga pasar emas hampir setiap negara termasuk Indonesia [3]. Emas juga merupakan investasi yang sangat menjanjikan bagi para investor,selain saham. Korelasi data antara harga emas dan nilai tukar diperoleh sebesar 39%. Artinya ada hubungan linier positif antara harga emas dan nilai tukar, dengan demikian apabila harga emas naik maka nilai tukar dollar akan naik dan sebaliknya. Berikut grafik korelasi antara harga emas dan nilai tukar dollar terhadap rupiah.
Gambar 1 Korelasi Data Harga Emas dan Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah
Harga emas juga dipengaruhi oleh nilai tukar. Nilai tukar atau kurs adalah harga mata uang suatu negara relatif terhadap mata uang negara lain. Karena nilai tukar mata uang ini mencakup dua mata uang, maka nilai tukarnya ditentukan oleh sisi penawaran dan permintaan dari kedua mata uang tersebut.
0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000
0 5.000.000 10.000.000 15.000.000 20.000.000
Harga Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah
Harga Emas
Korelasi Data Harga Emas dan Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah
5 2.2 Model Regresi
Model Regresi adalah alat statistik untuk melihat atau menyelidi hubungan antara dua variabel. Dalam ilmu statistika, model regresi digunakan untuk menganalis hubungan antara dua atau lebih variabel dan model ini salah satu teknik dalam ilmu statistika untuk membangun persamaan bidang serta bisa dilakukan untuk melakukan peramalan atau prediksi. Model regresi pertama kali dikembangkan dan digunakan pada tahun 1877 oleh Sir Prancis Galton. Untuk model prediksi, digunakan prediktor terbaik untuk kesalahan perkiraan. Model yang dipakai adalah model regresi yang terdiri dari lebih satu variabel tidak bebas yang dikenal dengan model regresi berganda [7]. Model dibawah ini merupakan bentuk umum model regresi dengan sejumlah k variabel bebas dapat ditulis sebagai berikut:
𝑌𝑖 = 𝛽0+ 𝛽1𝑋1𝑖+ 𝛽2𝑋2𝑖+ ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝑒𝑖 (1) Dengan 𝑌𝑖 adalah variabel terikat (dependen), 𝑋1, 𝑋2 dan 𝑋𝑘 adalah variabel bebas (independen), ei adalah variabel gangguan. Simbol i menunjukkan observasi ke-i untuk data. 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝛽𝑘 adalah konstanta dalam model regresi berganda yang disebut koefisien regresi.
2.3 Rantai Markov
Rantai markov dikenalkan oleh tokoh yang bernama Andrei A.Markov ahli matematika dari Rusia yang lahir pada tahun 1856 (Ching dan Ng, 2006). Analisis markov menghasilkan suatu informasi probabilistik yang dapat digunakan untuk membantu pengambilan keputusan, jadi analisis ini bukan optimasi melainkan suatu teknik deskriptif. Analisis markov adalah salah satu bentuk khusus dari model probabilistik yang lebih umum yang disebut dengan proses stokastik [5]. Rantai markov adalah suatu model teoritis yang menjelaskan keadaan sebuah sistem pada suatu tahap tertentu. Model rantai markov dapat memperkirakan perubahan- perubahan pada waktu yang akan datang dalam variabel-variabel pada yang lalu.
Jika 0 <t1<t2 <t3 < ... < tk < t (k = 1,2,...) menyatakan titik dalam waktu, maka himpunan peubah acak {Xtk} disebut proses markov jika memenuhi sifat berikut :
P{Xtk = xk | Xtk-1 = xk-1, xtk-2 = xk-2, ... , Xt0 = x0} = P{Xtk = xk | Xtk-1 = xk-1}
Hillier dan Liebermen (1995) mengatakan nilai dari peubah X pada saat t pada proses ini dinamakan dengan state.
Untuk menerapkan analisis rantai markov kedalam suatu kasus penelitian, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi :
1. Jumlah probabilitas transisi untuk untuk suatu keadaan awal dari sistem sama dengan 1 (satu).
2. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistem,
3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu,
4. Kondisi merupakan kondisi yang independent sepanjang waktu [5].
6 Untuk membentuk sebuah model regresi yang berkaitan 𝑦𝑡 untuk variabel yang memiliki kategori, kemudian konversi kategori 𝑆𝑗𝑡 ke dalam set variabel dummy sebagai berikut :
𝑍𝑗𝑘𝑡 = ℓ(𝑠𝑗𝑡= 𝑘) (2)
Dengan ℓ adalah fungsi indikator, ℓ(𝑠𝑗𝑡= 𝑘) = 1 jika 𝑆𝑗𝑡 = k dan 0 sebaliknya.
Tujuan dari metodologi ini juga mendukung kondisi atau keadaan, dengan 𝑆𝑗𝑡 adalah variabel diskrit ruang keadaan {1,2,...,m}, dengan kondisi tidak ada variabel dummy yang dibutuhkan. Misal diasumsikan, tanpa menghilangkan sifat umumnya, sebuah spesifikasi linier seperti :
𝑦𝑡= 𝑥′𝑡𝛽 + 𝑧′𝑡𝛿 + 𝑢𝑡 Keterangan :
𝑥′𝑡 mungkin menjadi sebuah vektor deterministic dan komponen stokastik, seperti AR (1) atau lainnya Ƒ𝑡−1 atau Ƒ𝑡 suatu hal yang dapat diukur dan telah ditentukan. 𝐹𝑡 merepresentasikan informasi yang tersedia pada saat t, yaitu 𝜎 yang dihasilkan oleh keadaan sampai t.
𝑧′ adalah sebuah vektor dari variabel dummy 𝑍𝑗𝑘𝑡, mengenai rantai markov multivariat yang di jelaskan pada (2).
𝑢𝑡 adalah proses white-noise bebas dari 𝑥′𝑡 dan 𝑧′𝑡. Dengan tidak mengasumsikan setiap distribusi untuk 𝑢𝑡.
Memprediksi 𝑦𝑡+ℎ dengan menggunakan model regresi berdasarkan nilai eror terkecil prediksi yang diharapkan :
𝐸(𝑦𝑡+ℎ|Ƒ𝑡) = 𝐸(𝑥′𝑡+ℎ|Ƒ𝑡)𝛽 + 𝐸(𝑧′𝑡+ℎ|Ƒ𝑡)𝛿 (3) Diberikan exogeneity dari variabel gangguan, yaitu 𝐸(𝑢𝑡|Ƒ𝑡−1) = 0
Diilustrasikan, diasumsikan terdapat 2 variabel kategori (s=2) dan setiap kategori acuan (datum) yang mengambil nilai pada {1,2,3} yaitu m=3. Dengan menjabarkan vektor 𝑧′ dan 𝛿 diperoleh persamaan :
𝑦𝑡+ℎ = 𝑥′𝑡+ℎ𝛽 + 𝛿11ℓ𝑠1𝑡=1+ 𝛿12ℓ𝑠1𝑡=2+ 𝛿21ℓ𝑠2𝑡=1+ 𝛿22ℓ𝑠2𝑡=2+ 𝑢𝑡 (4) dan 𝑆𝑗𝑡 merepresentasikan seri kategori ke j dari rantai markov multivariat (variabel terikat dummy dapat dihindari dengan menggunakan spesifikasi ini). Karena nilai 𝑆𝑗,𝑡+ℎ tidak diketahui dalam memprediksi periode, yaitu untuk h ≥ 1, dengan mencari kemungkinan dependenci antara 𝑆𝑗,𝑡+ℎ dan nilai sebelumnya dari 𝑆1𝑡+ℎ dan 𝑆2𝑡+ℎ dengan menggunakan rantai markov multivariat, untuk memprediksi 𝑆𝑗,𝑡+ℎ dan konsekuensinya, 𝑦𝑡+ℎ. Jika 𝑆1𝑡 dan 𝑆2𝑡 adalah variabel diskrit, persamaan regresinya adalah sebagai berikut :
𝑦𝑡+ℎ = 𝑥′𝑡+ℎ𝛽 + 𝛿1𝑆1𝑡+ℎ + 𝛿2𝑆2𝑡+ℎ+ 𝑢𝑡 (5) Berdasarkan persamaan (4) dan (5), jelas bahwa untuk memprediksi 𝑦𝑡+ℎ juga harus mengevaluasi 𝑃(𝑆𝑗,𝑡+ℎ = 𝑘|Ƒ𝑡), untuk k = 1,2,...,s. Untuk membuat pernyataan tersebut menjadi lebih sederhana, maka ikuti asumsi berikut :
7 Asumsi 1: Rantai markov multivariat orde pertama.
𝑃(𝑆𝑗𝑡 = 𝑘|Ƒ𝑡−1) = 𝑃(𝑆𝑗𝑡 = 𝑘|𝑆1𝑡−1 = 𝑖1, … , 𝑆𝑠𝑡−1 = 𝑖𝑠 (6) 𝑆𝑗𝑡 tidak bergantung dari variabel lain pada Ƒ𝑡−1.
Asumsi 2 : Rantai markov multivariat Homogen.
𝑃(𝑆𝑗𝑡 = 𝑘|𝑆1𝑡−1, … , 𝑆𝑠𝑡−1) = 𝑃(𝑆𝑗𝑡+ℎ = 𝑘|𝑆𝑗𝑡+ℎ−1, … , 𝑆𝑗𝑡+ℎ−1) (7) Asumsi 3 : Istilah kontemporer yang diperlukan.
𝑆𝑗𝑡 adalah variabel bebas dari {𝑆1𝑡, … , 𝑆𝑠𝑡−1 ,𝑆𝑗+1𝑡, … , 𝑆𝑠𝑡} diberikan {𝑆1𝑡−1, … , 𝑆𝑠𝑡−1} yaitu
𝑃(𝑆𝑗𝑡 = 𝑘|𝑆1𝑡 = 𝑘, … , 𝑆𝑗−1𝑡 = 𝑖𝑗−1,𝑆𝑗+1𝑡=𝑖𝑗+1, … , 𝑆𝑠𝑡= 𝑖𝑠, 𝑆𝑡−1, … , 𝑆𝑆𝑡−1 ) =
𝑃(𝑆𝑗𝑡 = 𝑘|𝑆1𝑡−1, … , 𝑆𝑠𝑡−1 (8)
Untuk memperoleh prediksi dari 𝑦𝑡+ℎ dengan menghitung E(𝑥′𝑡+ℎ|Ƒ𝑡) dan E(𝑧′𝑡+ℎ|Ƒ𝑡). Diasumsikan pernyataan sebelumnya diketahui, maka fokus kepada pernyataan yang terakhir. Secara umum elemen dari E(𝑧′𝑡+ℎ|Ƒ𝑡) adalah E(𝑧𝑘𝑗,𝑡+ℎ|Ƒ𝑡) yang mana, asumsi 1. Bisa dituliskan seperti:
E(𝑧𝑘𝑗,𝑡+ℎ|Ƒ𝑡) = P (𝑧𝑘𝑗,𝑡+ℎ = 1|Ƒ𝑡) = P(𝑆𝑗,𝑡+ℎ = 𝑘|Ƒ𝑡) = P(𝑆𝑗,𝑡+ℎ = 𝑘|𝑆𝑡=
𝑖1, … , 𝑆𝑠𝑡 = 𝑖𝑠) (9)
Dengan menggunakan teori rantai markov multivariat untuk mengestimasi persamaan (9), yang pada akhirnya mengarah pada persamaan E(𝑧′𝑡+ℎ|Ƒ𝑡) dan E(𝑦′𝑡+ℎ|Ƒ𝑡). Secara singkat meliputi aspek utama dari teori estimasi rantai markov multivariat pada sesi berikut nya.
2.3.1 Rantai Markov Multivariat
Rantai markov multivariat sebagai kovariat pendekatannya didasarkan dengan pengamatan kategori atau diskrit. Analisis rantai markov multivariat adalah satu analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis banyak data yang terdiri banyak peubah bebas.
2.3.2 Orde Pertama Rantai Markov Multivariat
Orde pertama rantai markov multivariat digunakan untuk beberapa kategori.
Dengan asumsi bahwa ada s kategori dan masing-masing memiliki m kondisi (state) dan distribusi keadaan ke-j dengan urutan waktu t = r + 1 tergantung pada probabilitas semua keadaan pada waktu t = r. Dalam orde pertama rantai markov multivariat yang diusulkan, hubungan berikut dapat diasumsikan :
𝑥𝑟+1𝑗 = ∑𝑠𝑘=1λ𝑗𝑘𝑝(𝑗𝑘)𝑥𝑟(𝑘), untuk j = 1,2,...,s dan r = 0,1,...,s dengan 𝜆𝑗𝑘 ≥ 0, 1 ≤ j, k ≤ s dan ∑𝑠𝑘=1 𝜆𝑗𝑘 = 1 untuk j = 1,2,...,s.
Pjk = Peluang transisi dari j ke k
8 2.3.3 Rantai Markov Multivariat Orde Tinggi
Dalam rantai markov multivariat orde tinggi, diasumsikan bahwa distribusi probabilitas keadaan ke-j pada waktu t = r + 1 tergantung distribusi semua keadaan (termasuk dirinya sendiri) pada waktu t = r, r-1,..., R-n+1.
Hubungan berikut dapat diasumsikan : 𝑥𝑟+1𝑗 = ∑𝑠𝑘=1∑𝑛ℎ=1𝜆𝑗𝑘ℎ𝑃ℎ𝑗𝑘𝑥𝑟−ℎ+1𝑘 , untuk j = 1,2,...,s, r = n-1,... dengan inisialisai 𝑥0𝑘, 𝑥1𝑘, … , 𝑥𝑛−1𝑘 (k = 1,2,...s).
2.3.4 Rantai Markov Multivariat sebagai Regressor : Estimasi Model
Pada bagian ini dijelaskan cara untuk memprediksi parameter yang difenisikan pada persamaan:
𝑦𝑡 = 𝑥′𝑡𝛽 + 𝑧′𝑡𝛿 + 𝑢𝑡 (10)
ψ = (𝛽,δ) dan parameter yang terkait dengan rantai markov multivariat yang dilambangkan dengan ղ. Misalkan ɵ = (ψ,ղ) adalah vektor parameter lengkap, B dan D ruang parameter dari ψ = (𝛽,δ) masing-masing. Mengingat dari struktur model, ψ dan ղ adalah bebas variasi (dilihat Engle et al.(1983). Karena (ψ,ղ) ϵ B x D, ψ dan ղ tidak terbatas pada cross, maka untuk setiap nilai spesifik diterima di B untuk ψ, ղ dapat mengambil nilai di D. Dalam keadaan ini distribusi bersyarat dari yt | St , Ƒt-1 tergantung pada ψ saja dan distribusi bersyarat dari St | Ƒt-1 tergantung pada ղ saja. Sehingga dapat dituliskan :
𝑓(𝑦0,𝑦1, … , 𝑦𝑛; 𝑠𝑗0,𝑠𝑗1, … , 𝑠𝑗𝑛; ɵ) = ∏ 𝑓(𝑦𝑡, 𝑠𝑡|Ƒ𝑡−1; ɵ)
𝑛
𝑡=1
= ∏ 𝑓(𝑦𝑡|𝑠𝑡, Ƒ𝑡−1; 𝜓) ∏ 𝑃(𝑠𝑡|Ƒ𝑡−1 ; ղ)
𝑛
𝑡=1 𝑛
𝑡=1
(11) Untuk peluangnya P (St | Ƒt-1;ղ) = P (S1t,...,Sst | Ƒt-1;ղ) maka dapat ditulis :
𝑃(𝑆1𝑡, … , 𝑆𝑠𝑡|Ƒ𝑡−1; ղ ) = 𝑃(𝑆1𝑡, … , 𝑆𝑠𝑡|𝑆𝑡−1, … , 𝑆𝑠𝑡−1; ղ)
= ∏ 𝑃(𝑆𝑗𝑡|𝑠𝑡−1, … , 𝑆𝑠𝑡−1; ղ)
s
j=1
=∏𝑠𝑗=1𝑃(𝑆𝑗𝑡|𝑆1𝑡−1, … , 𝑆𝑠𝑡−1; ղ𝑗) (12) Pada persamaan (12) ղ diuraikan menjadi ղ =(ղ1,...,ղs), dengan ղj parameter yang terkait dengandistribusi bersyarat Sjt | S1t-1 ,..., Sst-1. Seperti sebelumnya dengan ψ dan ղ, parameter vektor ղ1,...,ղs bebas variasi.[2] Dengan demikian diperoleh
𝑓(𝑦0,𝑦1, … , 𝑦𝑛; 𝑠𝑗0,𝑠𝑗1, … , 𝑠𝑗𝑛; ɵ)
= ∏ 𝑓(𝑦𝑡|𝑠𝑡, Ƒ𝑡−1; 𝜓) ∏ ∏ 𝑃(𝑠𝑗𝑡|𝑠1𝑡, … , 𝑠𝑠𝑡−1; 𝑛𝑗 )
𝑛
𝑡=1 𝑛
𝑡=1 n
t=1
9 = ∏ 𝑓(𝑦𝑡|𝑠𝑡, Ƒ𝑡−1; 𝜓)
n
t=1
∏ 𝑃(𝑠1𝑡|𝑠1𝑡−1, … , 𝑠𝑠𝑡−1; 𝑛𝑗)
n
t=1
… ∏ 𝑃(𝑠1𝑡|𝑠1𝑡−1, … , 𝑠𝑠𝑡−1; 𝑛𝑗)
n
t=1
(13) dan log likehood
log 𝑓(𝑦0, 𝑦1, … , 𝑦𝑛, 𝑠𝑗0, 𝑠𝑗1 , … , 𝑠𝑗𝑛; ɵ) = ∑ 𝑙𝑜𝑔𝑓(
n
t=1
(𝑦𝑡|𝑠𝑡, Ƒ𝑡−1; 𝜓)
+ ∑nt=1log 𝑃(𝑠1𝑡|𝑠1𝑡−1, … , 𝑠𝑠𝑡−1; ղ𝑗) + ⋯ + ∑nt=1log 𝑃(𝑠1𝑡|𝑠1𝑡−1, … , 𝑠𝑠𝑡−1; ղ𝑠) (14) Dekomposisi ini menunjukkan bahwa parameter dapat di perkirakan secara terpisah, dengan memaksimalkan berbagai ekspresi di persamaan sebelumnya, tanpa menghilangkan konsistensi dan efisiensi. Karena itu, ψ = (𝛽,δ) diperkirakan atau diestimasi. Untuk contoh, menggunakan persamaan 𝑦𝑡 = 𝑥′𝑡𝛽 + 𝑧′𝑡𝛿 + 𝑢𝑡, dan ղ𝑗 (𝑗 = 1, … , 𝑠) diestimasi mengambil setiap distribusi bersyarat 𝑆𝑗𝑡|𝑆1𝑡−1, … , 𝑆𝑠𝑡−1 , yang akan di jelaskan di bagian berikutnya (lihat contoh persamaan (16)).
2.3.5 Estimasi parameter Rantai Markov Multivariat
Tujuan dari estimasi ini adalah untuk mengestimasi atau memperkirakan parameter ղj dengan menggunakan maksimum likehood (14). Seperti terbukti dalam bagian sebelumnya, persamaan : ∑nt=1log 𝑃(𝑠𝑗𝑡|𝑠1𝑡−1, … , 𝑠𝑠𝑡−1; ղ𝑗) bisa dimaksimalkan secara independen dari suku-suku yang lain yang terkandung dalam fungsi log-likelihood dari persamaan (14). Misalkan 𝑃𝑗(𝑖0|𝑖1, … , 𝑖𝑠) ≡ 𝑃(𝑠𝑗𝑡 = 𝑖0| 𝑠1,𝑡−1= 𝑖1, … , 𝑠𝑠,𝑡−1 = 𝑖𝑠 ) dengan j∈ {1,2, … , 𝑠} dan 𝑖1, … , 𝑖𝑠 ∈ {1,2,...,m}.
Hal ini diketahui bahwa memodelkan peluang probabilitas ini ketika s dan m relatif besar dan ukuran sampelnya kecil atau moderat adalah tidak layak karena jumlah parameter adalah ms (m-1). Untuk mengatasi masalah ini Raftery (1985) mengusulkan hipotesis yang menyederhanakan pemodelan rantai markov orde tinggi (HOMC) [2]. Nicolau mengusulkan sebuah persamaan sebagai alternatif, yaitu model MTD-probit :
𝑃𝑗(𝑖0|𝑖1, … , 𝑖𝑠) = 𝑃𝑗𝛷(𝑖0| 𝑖1, … , 𝑖𝑠 )
≡ 𝛷 (ղ𝑗0+ ղ𝑗1𝑃𝑗1(𝑖0|𝑖1)+, … , ղ𝑗𝑠𝑃𝑗𝑠(𝑖0|𝑖𝑠))
∑𝑚𝑘=1𝛷 (ղ𝑗0 + ղ𝑗1𝑃𝑗1(𝑘|𝑖1)+, … , ղ𝑗𝑠𝑃𝑗𝑠(𝑘|𝑖𝑠)) (15)
10 dengan ղ𝑗𝑖 ∈ R ( j=1,...,s;i=1,...,m) dan 𝜱 fungsi distribusi normal standar. Jika Sjt
adalah variabel dependen, maka likelihoodnya adalah
log 𝐿 = ∑𝑖1,𝑖2…𝑖𝑖𝑠,𝑖0ղ𝑖1𝑖2… 𝑖𝑖𝑠𝑖0log (𝑃𝑗𝛷(𝑖0|𝑖1, … , 𝑖𝑠 ))
(16) dan estimasi maximum likelihood didefenisikan sebagai
ղ̂𝑗 = 𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑎𝑥ղ𝑗1,…ղ
𝑗𝑠log 𝐿 (17)
Parameter 𝑝̂𝑗𝑘 (𝑖0|𝑖1), 𝑘 = 1, … , 𝑠 bisa di estimasi terlebih dahulu, melalui estimator yang konsisten 𝑝̂𝑗𝑘 (𝑖0|𝑖1) =∑ 𝑛𝑖1𝑖0
𝑛𝑖1𝑖0 𝑛𝑖0=1
dengan 𝑛𝑖1𝑖0 adalah jumlah transisi dari 𝑆𝑘,𝑡−1 = 𝑖1 𝑘𝑒 𝑆𝑗𝑡= 𝑖0 . Prosedur ini menyederhanakan prosedur estimasi dan tidak mengubah konsistensi MLE ղ̂𝑗estimator, karena 𝑝̂𝑗𝑘 adalah estimator yang konsisten dari 𝑝𝑗𝑘.
Model prediksi harga emas terhadap nilai tukar dollar :
𝛦(𝑦𝑡+1| Ƒ𝑡 ) = 𝛦(𝑥′𝑡+1| Ƒ𝑡)𝛽 + 𝛦 (𝑧′𝑡+1| Ƒ𝑡)δ (18) Keterangan : 𝛦(𝑦𝑡+ℎ| Ƒ𝑡) adalah prediksi harga emas
𝛦(𝑥′𝑡+1| Ƒ𝑡) adalah nilai tukar dollar
𝛦 (𝑧′𝑡+ℎ| Ƒ𝑡) adalah fungsi indikator atau kategori 𝛽 dan δ adalah koefisien regresi
Untuk membentuk model regresi yang berkaitan dengan yt ,dengan mengubah Sjt
menjadi satu set dummy, yaitu :
𝑧𝑗𝑘𝑡 = ℓ(𝑠𝑗𝑡 = 𝑘) (19)
𝑧𝑡′= (𝑧11𝑡,𝑧12𝑡,𝑧21𝑡,𝑧22𝑡, = 𝑘)
ℓ adalah fungsi indikator, nilainya 0 atau 1. Jika Sjt = k nilai nya dan jika Sjt ≠ k nilai nya 0. Sjt ≡ data kategori yang berupa S1t dan S2t, dengan S1t adalah fungsi indikator pergerakan harga emas, S2t adalah fungsi indikator pergerakan harga nilai tukar dollar.
Keterangan :
S1t = { 1, harga emas naik 2, harga emas turun S2t = { 1, nilai dollar naik
2, nilai dollar turun Dengan peluang transisi:
𝑃(𝑆𝑗𝑡+ℎ = 𝑖0|𝑆1𝑡= 𝑖1, … , 𝑆𝑠𝑡 = 𝑖𝑠) (20)
11 2.4 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) adalah metodologi yang di kembangkan oleh Box-Jenkin. Model Box-jenkin merupakan salah satu teknik peramalan model time series berdasarkan data variabel yang di amti. Model Box-Jenkin ini secara teknis dikenal sebagai model Autoregressive Integrated moving Average (ARIMA). Model Box-jenkin ini terdiri dari beberapa model antara lain : Autoregressive (AR), Moving Average (MA) [7]. Model ARIMA dinotasikan atau dirumuskan dengan simbol berikut :
ARIMA (p,d,q) Keterangan :
p adalah orde pada Autoregressive (AR) d adalah orde Differencing
q adalah orde pada Moving Average (MA) 2.4.1 Model Autoregressive (AR)
Model Autoregressive (AR) adalah salah satu model pembentuk model ARIMA. Model Autoregressive secara umum sebagai berikut [7]:
𝑦𝑡= ∅1𝑦𝑡−1+ ∅2𝑦𝑡−2+ ⋯ + ∅𝑝𝑦𝑡−𝑝+ 𝛿 + 𝜀𝑡 (21)
2.4.2 Diffrencing (d)
Proses differencing perlu dilakukan agar data menjadi stasioner. Dengan menghitung selisih nilai observasi. Proses differencing ini mempengaruhi orde d pada madel ARIMA (p,d,q). Dapat dituliskan dengan persamaan sebagai berikut:
∆𝑦𝑡 = 𝑦𝑡− 𝑦𝑡−1 (22)
2.4.3 Model Moving Average (MA)
Proses MA (q) adalah suatu pola univariat yang menunjukkan bahwa realisasi data pada waktu t adalah suatu nilai rata-rata tertimbang dari realisasi white noise pada t-1,t-2,...,t-q.[10] Model Moving Average (MA) secara umum sebagai berikut [11]:
𝑦𝑡= 𝜇 + 𝜀𝑡− 𝜃1𝜀𝑡−1− 𝜃2𝜀𝑡−2− ⋯ − 𝜃𝑞𝜀𝑡−𝑞 (23) 2.5 ARMA dan ARIMA
Auto Regressive Moving Average (ARMA) adalah suatu proses data secara statistik dapat didekati dengan proses AR, MA atau hasil persilangan keduanya.
Suatu proses data disebut dengan ARMA jika memiliki karakteristik AR dan MA, yaitu fungsi ACF dan PACF memiliki kecenderungan penurunan yang perlahan [12]. Secara matematis proses ini dapat diberikan sebagai berikut:
𝑦𝑡= 𝜇 + ∅1𝑦𝑡−1+ ∅2𝑦𝑡−2+ ⋯ + ∅𝑝𝑦𝑡−𝑝+ 𝜃1𝜀𝑡−1+ ⋯ + 𝜃𝑞𝜀𝑡−𝑞+ 𝜀𝑡 (24) Sedangkan model ARIMA adalah implementasi ARMA (p,q) dengan data telah distasionerisasi melalui proses diferensi pertama atau lebih (orde q).[12] Untuk
12 differensi pertama 𝑍𝑡 = ∆𝑌 = 𝑌𝑡− 𝑌𝑡−1 , sehingga untuk differensi pertama sebagai berikut :
𝑦𝑡= 𝜇 + (1 + ∅1)𝑦𝑡−1+ (−∅1+ ∅2)𝑦𝑡−2+ ∅2𝑦𝑡−3+ ⋯ + 𝜃1𝜀𝑡−1− 𝜃2𝜀𝑡−2+
𝜀𝑡 (25)
2.6 Menghitung MAPE
MAPE adalah salah satu metode untuk menguji kebaikan model dengan mengacu pada tingkat kesalahannya. Data yang digunakan untuk perhitungan nilai MAPE adalah nilai data hasil prediksi dari data sebenarnya. Nilai MAPE berada antara 0 hingga 1 atau 0% - 100%. Semakin kecil nilai error (MAPE) maka semakin baik model tersebut.
2.6.1 Mean Absolute Percentage Error (MAPE) Rumus MAPE adalah :
𝑀𝐴𝑃𝐸 = 1
𝑛∑ |𝑌𝑖− Ŷ𝑖
𝑌𝑖 |
𝑛𝑖=1 (26)
13
BAB III
PERANCANGAN SISTEM
3.1 Analisis Perancangan Sistem
Pada tugas akhir ini, akan dibentuk sebuah model yang akan digunakan untuk menentukan prediksi harga emas dengan nilai tukar dollar terhadap nilai tukar rupiah dengan menggunakan metode gabungan model regresi linier berganda dengan rantai markov multivariat dengan berbagai pendekatan.
Proses untuk menghasilkan model gabungan model regresi linier berganda dengan rantai markov multivariat untuk menentukan harga emas dengan nilai tukar dollar terhadap nilai tukar rupiah yang akan dibentuk dengan beberapa tahap, tahap pertama menentukan harga emas perminggu. Selanjutnya perumusan model. Poses ini dilakukakan dengan memanfaatkan konsep metode gabungan model regresi linier berganda dengan rantai markov multivariat, yang terkhir dilakukan uji validasi model dan diperoleh sebuah hasil. Berikut adalah diagram alur penelitian untuk prediksi harga emas :
14 Gambar 2 Diagram Alur Perancangan Sistem.
15 3.1.1 Data
Data yang digunakan adalah data harga emas dan data nilai tukar dollar rata-rata perminggu pada tahun 2010-2014.
3.1.2 Estimasi Parameter 𝛽 dan δ pada model regresi
Pada tahap ini dilakukan estimasi parameter untuk mengestimasi atau menentukan nilai parameter 𝛽0, 𝛽1,𝛿11, 𝑑𝑎𝑛 𝛿21 . Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter tersebut adalah ordinary least square (ols) dengan bantuan minitab 17 statistical software. Nilai parameter regresi ini nantinya yang akan digunakan dari model yang sudah dibentuk.
3.1.3 Estimasi Parameter Ƞj
Parameter yang ditaksir pada tahap ini adalah Ƞ10, Ƞ11, Ƞ12, dan Ƞ20, Ƞ21, Ƞ22, yang merupakan parameter dari rantai markov multivariat. Parameter-parameter tersebut diestimasi dengan cara menghitung Ƞ̂𝑗 = arg 𝑚𝑎𝑥Ƞ𝑗1…𝑛𝑗𝑠log 𝐿 dengan log 𝐿 = ∑𝑖1,𝑖2...𝑖𝑠,𝑖0𝑛𝑖1,𝑖2…𝑖𝑆,𝑖0log (𝑃𝑗𝛷 = (𝑖0|𝑖1, … , 𝑖𝑠)), dan 𝑃𝑗𝛷(𝑖0| 𝑖1, … , 𝑖𝑠 ) ≡ 𝛷(ղ𝑗0+ղ𝑗1𝑃𝑗1(𝑖0|𝑖1)+,…,ղ𝑗𝑠𝑃𝑗𝑠(𝑖0|𝑖𝑠))
∑𝑚𝑘=1𝛷 (ղ𝑗0+ղ𝑗1𝑃𝑗1(𝑘|𝑖1)+,…,ղ𝑗𝑠𝑃𝑗𝑠(𝑘|𝑖𝑠)) . (27) Sebelum mencari peluang tersebut, terlebih dahulu dideskripsikan dan dihitung peluang 𝑝̂𝑗𝑘 (𝑖0|𝑖1) = 𝑛𝑖1𝑖0
∑𝑛𝑖0=1𝑛𝑖1𝑖0 dengan 𝑛𝑖1𝑖0 adalah jumlah transisi dari 𝑆𝑘,𝑡−1 = 𝑖1 𝑘𝑒 𝑆𝑗𝑡= 𝑖0 . Jadi inti dari proses ini menaksir parameter Ƞ̂𝑗 dengan memaksimumkan fungsi log L. Metode yang digunakan untuk memaksimumkan log L adalah gradient ascent dengan bantuan Software Maple 18.
3.1.4 Menghitung Peluang
Setelah parameter Ƞ̂𝑗 diperoleh, kemudian dihitung peluang dengan persamaan
𝑃(𝑆𝑗𝑡+1= 𝑘|𝑆1𝑡, … , 𝑆𝑠𝑡) (28)
yang terlampir di lampiran, yaitu persamaan 1.
3.1.5 Prediksi dengan Model
Membentuk model prediksi sebagai berikut:
𝛦(𝑦𝑡+1| Ƒ𝑡 ) = 𝛦(𝑥′𝑡+1| Ƒ𝑡)𝛽 + 𝛦 (𝑧′𝑡+1| Ƒ𝑡)δ (29) Keterangan:
𝛦(𝑦𝑡+1| Ƒ𝑡 ) adalah ekspektasi bersyarat harga emas pada waktu t+1.
𝛦(𝑥′𝑡+1| Ƒ𝑡) adalah ekpekstasi bersyarat harga nilai tukar dollar terhadap rupiah pada saat t+1.
𝛦 (𝑧′𝑡+1| Ƒ𝑡) adalah ekspektasi bersyarat fungsi indikator pergerakan harga emas dan nilai tukar dollar terhadap rupiah pada saat t+1.
𝛦 (𝑧′𝑡+1| Ƒ𝑡) dihitung dengan peluang 𝑃𝑗𝛷(𝑖0| 𝑖1, … , 𝑖𝑠 ).
𝛦(𝑥′𝑡+1| Ƒ𝑡) dihitung dengan model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).
16 3.1.6 Validasi
Validasi yang dilakukan dengan melihat selisih data asli dengan data prediksi dengan pendekatan mean absolute percentage error (MAPE). Semakin kecil selisih yang diperoleh semakain baik model yang digunakan.
3.1.7 Output
Setelah dilakukan validasi terhadap model regresi dan rantai markov multivariat, maka diperoleh hasil prediksi harga emas terhadap nilai tukar dollar dengan harapan eror yang kecil.
3.3 Diagram Alur Proses ARIMA
Gambar 3 Diagram Alur Proses ARIMA
Berdasarkan gambar 4 penjelasan gambaran proses ARIMA sebagai berikut:
3.3.1 Data Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah
Data yang digunakan dalam proses ARIMA ini adalah data nilai tukar dollar terhadap rupiah pada tahun 2010 sampai dengan 2014. Data nilai tukar dollar yang digunakan adalah mingguan.
3.3.2 Proses Kestasioneran Data
Pada proses ini dilakukan pengecekan data dengan menggunakan bantuan minitab 17 Statistical Software dilihat dari mean dan variansi. Apabila data tidak stasioner, maka dilakukan proses diffrencing data agar data menjadi stasioner.
Proses differencing adalah proses mencari perbedaan antara data satu periode dengan periode sebelumya secara berurutan. Data yang dihasilkan disebut data differencing satu kali atau tingkat pertama [10].
17 3.3.3 Penentuan Orde atau Nilai (p,d,q) dalam ARIMA
Penentuan orde atau nilai (p,d,q) dalam ARIMA ditentukan berdasarkan hasil plot ACF dan PACF. Penentuan orde ini dilakukan untuk menentukan Model ARIMA yang sesuai.
3.3.4 Estimasi Parameter Model ARIMA
Setelah Model ARIMA didapatkan, tahap selanjutnya mengestimasi parameter dari model. Misalkan model yang didapatkan ARIMA (0,1,2) dengan persamaan 𝑦𝑡= 12,531 + 𝑦𝑡−1+ 𝜀𝑡− 𝜃1. 𝜀𝑡−1− 𝜃2. 𝜀𝑡−2 memiliki parameter 𝜃1 dan 𝜃2 yang di estimasi dengan bantuan software Minitab 17. Kemudian parameter tersebut di uji untuk melihat signifikansi, dengan tingkat kepercayaan 90% atau α = 10% yang sudah ditetapkan. Dimana setiap parameter harus signifikan kurang dari α yang sudah ditetapakan.
3.3.5 Prediksi Harga Nilai Tukar dengan ARIMA
Setalah melakukan uji terhadap model, kemudian melakukan prediksi atau peramalan berdasarkan model yang terpilih.
3.3.6 Hasil Prediksi (Output)
Memperoleh hasil prediksi dari model ARIMA yang terpilih untuk beberapa minggu kedepan.
3.3.7 Menghitung Error Atau Mape
MAPE adalah salah satu metode untuk menguji kebaikan model dengan mengacu pada tingkat kesalahannya. Data yang digunakan untuk perhitungan nilai MAPE adalah nilai data hasil prediksi dari data sebenarnya. Nilai MAPE berada antara 0 hingga 1 atau 0% - 100%. Semakin kecil nilai eror (MAPE) maka semakin baik model tersebut.
18
BAB IV
PENGUJIAN DAN ANALISIS
4.1 Grafik Data Harga Emas dan Nilai TukarData yang digunakan adalah data harga emas dan nilai tukar dollar dari tahun 2010-2014. Dengan daftar harga emas mengikuti perubahan nilai tukar dollar terhadap rupiah perminggunya. Harga emas yang digunakan dalam satuan troy ounce, 1 troy ounce = 31,1 gram. Sumber data diambil dari www.gold.org.
Gambar 4 Grafik Data Harga Emas
Gambar 5 Grafik Data Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah [14]
4.2 Pengujian Sistem
Pada tahap ini, dilakukan pengujian terhadap model regeresi dan rantai markov multivariat yang sudah dibentuk. Model regresi digunakan untuk mencari atau menaksir parameter atau koefisien regresi yang akan digunakan pada model.
Sedangkan rantai markov multivariat digunakan untuk menentukan kondisi atau state pada data pergerakan harga emas dan pergerakan nilai tukar dollar.
0 5.000.000 10.000.000 15.000.000 20.000.000
1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197 211 225 239
Nilai Harga Emas
Waktu (Minggu)
Data Harga Emas
0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000
1 14 27 40 53 66 79 92 105 118 131 144 157 170 183 196 209 222 235
HargaNilaiTukarDollar
Waktu (Minggu)
Data Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah
19 4.3 Analisis Hasil dan Pengujian Sistem ARIMA
Gambar 5 adalah hasil plot grafik data nilai tukar dollar terhadap rupiah mulai dari minggu ke-1 sampai minggu ke-244 pada tahun 2010-2014.
Gambar 6 Data Nilai Tukar Sebelum Differencing
Dari grafik diatas, data nilai tukar dollar terhadap rupiah dari minggu ke 72 sampai dengan minggu ke 90 mengalami peurunan harga. Kemudian dari minggu ke 96 sampai dengan minggu ke 240 cenderung mengalami kenaikan harga. Dilihat dari pergerakan harga nilai tukar dollar terhadap rupiah belum stasioner dikarenakan mean dan variansinya tidak konstan. Oleh karena itu perlu dilakukan proses differencing data agar stasioner.
20 Gambar 6 berikut adalah hasil plot grafik Autocorrelation Function (ACF) data nilai tukar.
Gambar 7 Fungsi Autokorelasi Untuk Data Nilai Tukar
Dari gambar 6 plot grafik Autocorrelation Function (ACF) dari data nilai tukar dollar terhadap rupiah cut-off antara lag dengan lag yang lainnya tidak ada.
Sehingga tidak ada model yang diperoleh dari grafik tersebut.
21 Gambar 7 berikut adalah hasil plot grafik Partial Autocorrelation Function (PACF) data nilai tukar. Dari plot grafik terlihat data cut-off setelah lag ke 1.
Gambar 8 Fungsi Parsial Autokorelasi Untuk Data Nilai Tukar
Gambar 7 plot grafik Partial Autocorrelation Function (PACF) dari data nilai tukar dollar terhadap rupiah turun secara perlahan atau eksponensial. Untuk lagnya cut- off setelah lag ke 1, artinya jika fungsi Partial Autocorrelation Function (PACF) setelah lag ke k adalah nol, lag terakhir yang bukan nol disebut orde Autoregressive atau AR (p). Jadi berdasarkan gambar 6 diperoleh model AR (1).
22 Gambar 8 berikut adalah hasil plot grafik data nilai tukar setelah dilakukan differencing data. Proses differencing yang dimaksud adalah menghitung perubahan atau selisih nilai observasi. Proses differencing ini dilakukan untuk menstasionerkan data. Artinya rata-rata dan variansi data konstan atau tetap.
Gambar 9 Data Nilai Tukar Setelah dilakukan Differencing satu kali
Gambar 8 adalah plot grafik data nilai tukar dollar terhadap rupiah yang sudah dilakukan proses differencing data satu kali. Dilihat dari rata-rata dan variansinya sudah stasioner, artinya data linier terhadap rata-rata dan memiliki variansi yang konstan.
23 Gambar 9 berikut adalah hasil plot grafik Autocorrelation Function (ACF) data nilai tukar setelah di differencing satu kali. Terlihat dari plot grafik data cut-off setelah lag ke 2.
Gambar 10 Fungsi Autokorelasi untuk Data Nilai Tukar Setelah differencing satu kali
Berdasarkan gambar 9, plot grafik Autocorrelation Function (ACF) dari data nilai tukar dollar terhadap rupiah setelah dilakukan proses stasioner data. Proses stasioner dilakukan dengan differencing data satu kali, differencing adalah menghitung selisih nilai observasi. Proses differencing mempengaruhi orde d pada model ARIMA (p,d,q). Dilihat dari plot Autocorrelation Function (ACF) dari data nilai tukar dollar terhadap rupiah cut-off setelah lag ke 2, dengan demikian dapat diperoleh model ARIMA (0,1,2). Model ARIMA adalah suatu proses data secara statistik dapat didekati dengan proses AR (p), differencing (d), MA (q).
24 Gambar 10 berikut adalah hasil plot grafik Partial Autocorrelation Function (PACF) data nilai tukar setelah dilakukan proses differencing satu kali. Terlihat dari plot grafik data cut-off setelah lag ke 1.
Gambar 11 Fungsi Parsial Autokorelasi untuk Data Nilai Tukar Setelah di differencing satu kali
Jadi dapat diambil kesimpulan berdasarkan hasil plot grafik Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) dari data nilai tukar dollar terhadap rupiah diperoleh model AR (1) atau ARIMA (1,0,0), ARI (1,1) atau ARIMA (1,1,0), IMA (1,2) atau ARIMA (0,1,2), dan ARIMA (1,1,2). Dari model tersebut akan akan dipilih satu model terbaik untuk digunakan dalam peramalan atau prediksi data nilai tukar dollar terhadap rupiah.
25 Gambar 12 Histogram Residual {𝑒𝑡}
Dari gambar 12 terlihat histogram residual {et} atau eror berdistribusi normal dengan rata-rata nol. Semakin kecil eror yang diperoleh maka model yang digunakan semakin baik.
Gambar 13 Grafik Normal Probability {et}
Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa residual {et} mendekati distribusi normal dengan mean = 0. Residual (𝑒𝑡) ~ N (0,1).
