1
KARYA TULIS ILMIAH
VISUALISASI GERAK PELURU MENGGUNAKAN MATLAB
Oleh:
Drs. Ida Bagus Alit Paramarta, M.Si.
Dra. I.G.A. Ratnawati, M.Si
.JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA
3 ABSTRAK
Telah dibuat visualisasi gerak peluru menggunakan bahasa pemrograman MATLAB. Visualisai meliputi gerak peluru tanpa memperhitungkan hambatan udara dan gerak peluru yang memperhitungkan hambatan udara yang sebanding dengan kecepatan peluru. Hasi pemrograman menunjukan bahwa ada perbedaan yang sangat jelas tinggi maksimum dan jangkaun maksimum yang dicapai oleh peluru untuk kedua kasus tersebut. Ke depannya akan diusahakan untuk membuat visualisasi gerak peluru dengan hambatan udara ynag sebanding dengan kuadrat kecepatan peluru.
Kata kunci: gerak peluru, hambatan udara, ketinggian maksimum, jangkauan uan maksimum
ABSTRACT
Visualisation on projectile motion have been made by means of computer progrem MATLAB. This visualisation including projectile motion without air resistance and with air resistance that propotional to the projectile velocity. From result of thr prograit can be shown that the maximum high and maximum range clearly different for both of the case. For the future, it will be attempt to made a visualisation on projectile motion thac includ the air resistance that propotional to square the velocity of the projectile Key words: projectile motions, air resistance, maximum height, range maximum
4
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehaapan Ida Sang Hyang Widhi Wasa/Tuhan Yang Maha Esa, ata asung kerta wara nugrahanya sehingga penulisan karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik. Makalah ini bertujuan untuk memberikan tambahan pengetahuan kepada pembaca tentang persoalan gerak peluru. Persoalan gerak peluru sudah dibahas sejak SMA hingga perguruan tinggi, teapi tidak ada yang menyertakan hambatan udara di dalam pembahasannya.
Pada makalah ini dibahas persoalan geak peluru dengan menyertakan hambatan udara yang sebanding dengan kecepatan peluru. Persoalan dibatasi hanya untuk gerak peluru dekat permukaan bumi sehingga efek koriolis bumi dapat diabaikan. Juga telah dibuat program untuk menunjukan perbedaan ketinggian maksimum dan jangkauan maksimum yang dicapai peluru untuk gerak peluru tanpa dan dengan hambatan udara. Hasil visualisasi gerak peluru menggunakan bahasa pemrograman MATLAB menunjukan ada perbedaan yang jelas untuk jangkauan maksimum dan ketinggian maksimum yang dicapai peluru untuk kedua kasus yang dibaha.
Penulis menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang elah membantu baik itu rekan-rekan dosen atas masukannya maupun mahasiswa atas koreksinya sehingga penulisan makalah ini dapat diselesaikan dengan baik
Penulis menyadari bahwa meskipun segenap kemampuan telah dicurahkan untuk menyelesaikan karya tulis ilmiah ini tetapi masih banyak kekurangannya. Untuk itu setiap kritik dan saran untuk kesempurnaan karya tulis ini akan diterima dengan tangan dan hati terbuka
Bukit Jimbaran, Desember 2015 Penulis
5 DAFTAR ISI ABSTRAK KATA PENGANTAR Daftar Isi BAB I. PENDAHULUAN 1
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 2
BAB III. HASIL DAN PEMBAHASAN 5
BAB IV. PENUTUP 11
6 BAB I PENDAHULUAN
Dalam pembelajaran fisika persoalan gerak peluru menjadi topik yang sangat penting mulai dari tingkat SMA sampai perguruan tinggi. Banyak hal yang bisa dipelajari dari persoalan gerak peluru, mulai dari konematika yang paling sederhana sampaii penyelesaian secara numerik dan dengan membuat visualisasinya dengan bahasa pemrograman. Persoalan gerak peluru yang paling sederhana adalah dengan menyelesaikannya dengan menggunakan persaman-persamaan kinematika. Penyelesaian kasus seperti ini biasa dilakukan di tingkat SMA dan pada awal-awal kuliah di perguruan tinggi yang terdapat dalam mata kuliah fisika dasar..
Penyelesaian persoalan gerak peluru menjadi tidak sederhana ketika hambatan udara disertakaan dalam pembahasannya. Untuk persoalan seperti ini gerak peluru tidak dapat lagi diselesaikan secara analiktik tetapi harus dengan pendekatan tertentu. Misalnya untuk peluru yang bergerak dengan kecepatan samapi 24 m/s hambatan udara sebanding dengan kecepatan udara dan untuk kecepatan peluru yang lebih besar dari nilai tersebut tetapi di bawah kecepatan suara, hambatan udara berbanding lurus dengan kuadrat kecepatan peluru. ( Marion , 1988)
Hambatan udara yang disertakan dalam pembahsan gerak peluru akan memberikan pemahaman yang lebih kepada mahasiswa tentang bagaimana sutu teori fisika digunakan dan batasan-batasan teori tersebut berlaku dan benar untuk menyelesaikan suatu persoalan fisika. Dengan memasukan hambatan udara dalam pembahasan gerak peluru dapat dilihat bahwa ada koreksi terhadap pengidealan kasus gerak peluru dengan mengabaikan hambatan udara. Ketinggian maksimum, jangkauan maksimum yang dicapai peluru akan berkurang dengan adanya hambatan udara. Mahasiswa akan menyadari bagaimana transisi dari teori yang ideal menjadi teori dengan kenyataan yang sebenarnya. Ketika hambatan udara menjadi semakin kecil dan bisa diabaikan, penyelesaian geak peluru dengan menyertakan hambatan udara harus bisa dikembalikan ke hasil ketika gerak peluru dianggap ideal, yaitu tidak ada hambatan udara.
7 BAB II
TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Gerak Peluru
Gerak peluru merupakan gabungan antara gerak dengan kecepatan tetap/Gerak Lurus Beraturan (GLB) pada arah horizontal serta gerak dengan percepatan tetap /Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) pada arah vertikal. Gerak peluru selalu mempunyai kecepatan awal. Walaupun demikian, tidak berarti setiap gerakan yang mempunyai kecepatan awal termasuk gerak peluru. Gerak Peluru adalah gerak dimana suatu benda diberi kecepatan awal dan bergerak sejauh lintasan yang dipengaruhi gaya gravitasi bumi (lintasannya berbentuk parabola).
Gambar 2.1 Lintasan Gerak Parabola
(Suryani, Gita. 2015)
Kecepatan awal kearah horizontal (sumbu X)
𝑉0𝑥 = 𝑉0𝑐𝑜𝑠 ∝ (2.1)
Kecepatan awal kearah vertikal (sumbu Y)
𝑉0𝑦 = 𝑉0𝑠𝑖𝑛 ∝ (2.2)
2.1.1 Persamaan Gerak Peluru tanpa Memperhitungkan Hambatan Udara
Persamaan yang digunakan pada gerak peluru tanpa memperhitungkan hambatan udara sebagai berikut:
8
Kecepatan peluru saat t sekon: Pada sumbu X :
Karena jenis geraknya GLB (gerak lurus beraturan) maka kecepatannya selalu konstan , sehingga akan sama dengan kecepatan awal untuk sumbu X yaitu:
𝑉𝑥 = 𝑉0𝑥 = 𝑉0𝑐𝑜𝑠 ∝ (2.3)
Pada sumbu Y:
Jenis gerakan pada sumbu Y adalah GLBB (gerak lurus berubah beraturan), rumus untuk mencari kecepatan saat t yaitu Vt = Vo - gt dengan Vo disini diganti Vo
miliknya Y atau Voy , yaitu:
𝑉𝑦 = 𝑉0sin ∝ −𝑔𝑡 (2.4)
Saat t sekon, ketinggian peluru (y) adalah: 𝑦 = 𝑉0𝑠𝑖𝑛 ∝ 𝑡 −1
2𝑔𝑡
2 (2.5)
Saat t sekon, jarak mendatar peluru (x) adalah:
𝒙 = (𝑽𝟎𝒄𝒐𝒔 ∝) ∙ 𝒕 (2.6)
Tinggi maksimum 𝑌𝑚𝑎𝑘𝑠 yang bisa dicapai peluru adalah: 𝑌𝑚𝑎𝑘𝑠 = (𝑉02𝑠𝑖𝑛2∝
2𝑔 ) (2.7)
Jarak terjauh 𝑋𝑚𝑎𝑘𝑠 yang dicapai peluru adalah: 𝑋𝑚𝑎𝑘𝑠 = (
𝑉02𝑠𝑖𝑛 2∝
𝑔 ) (2.8)
2.1.2 Persamaan Gerak Peluru yang Memperhitungkan Hambatan Udara
Persamaan yang digunakan pada gerak peluru yang memperhitungkan hambatan udara sebagai berikut:(Marion, 1988)
Kondisi awal: 𝑥(𝑡 = 0) = 0 𝑦(𝑡 = 0) = 0 𝑉𝑥(𝑡 = 0) = 𝑉0cos ∝ 𝑉𝑦(𝑡 = 0) = 𝑉0sin ∝ Persamaan Gerak: 𝑚 𝑎𝑥 = −𝑘 𝑚 𝑉𝑥 (2.9) 𝑚 𝑎𝑦= −𝑘 𝑚 𝑉𝑦− 𝑚 𝑔 (2.10)
9 Persamaan gerak kearah X:
𝐹 = 𝑚 𝑎𝑥 𝑚 𝑎𝑥 = 𝑚 𝑑 𝑉𝑥 𝑑𝑡 = −𝑘 𝑚 𝑉𝑥 𝑑 𝑉𝑥 𝑑𝑡 = −𝑘 𝑉𝑥 (2.11)
Dimana (𝑘 𝑚 𝑉𝑥) adalah besarnya gaya hambat dengan k = konstanta. Dengan
mengintegrasikan persamaan (2.11), didapatkan persamaan sebagai berikut: ∫𝑑𝑉𝑥
𝑉𝑥 = − 𝑘 ∫ 𝑑𝑡
ln 𝑉𝑥= −𝑘 𝑡 + 𝐶1 (2.12)
Konstanta integrasi pada persamaan (2.12) didapat jika ditentukan kondisi awal
𝑉(𝑡 = 0)= 𝑉0cos ∝ sehingga diperoleh 𝐶1 = ln (𝑉0cos ∝)
ln 𝑉𝑥= −𝑘 𝑡 + 𝐶1 ln 𝑉𝑥= −𝑘 𝑡 + ln (𝑉0cos ∝) ln 𝑉𝑥− ln (𝑉0cos ∝) = −𝑘 𝑡 𝑙𝑛 𝑉𝑥 𝑉0𝑐𝑜𝑠 ∝= −𝑘 𝑡 𝑉𝑥 𝑉0𝑐𝑜𝑠 ∝= 𝑒 −𝑘 𝑡
Sehingga diperoleh kecepatan dalam arah X yaitu:
𝑉𝑥 = 𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑒−𝑘 𝑡 (2.13)
Dengan menggunakan persamaan tersebut, didapat persamaan perpindahan X sebagai fungsi waktu:
𝑉𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑒 −𝑘 𝑡 𝑥 = 𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝ ∫ 𝑒−𝑘 𝑡𝑑𝑡 𝑥 = −𝑉0 𝑐𝑜𝑠∝ 𝑘 𝑒 −𝑘 𝑡+ 𝐶 2 (2.14)
Dengan kondisi awal 𝑥(𝑡 = 0) = 0 dan 𝐶2 =
𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝
10 𝑥 = −𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑘 𝑒 −𝑘 𝑡+𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑘 𝑥 =𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑘 (−𝑒 −𝑘 𝑡+ 1) 𝑥 =𝑉0 𝑐𝑜𝑠∝ 𝑘 (1 − 𝑒 −𝑘 𝑡) (2.15)
Dimana nilai ≪ 1 , dengan menggunakan deret exponensial didapat: 𝑥 ≈𝑉0cos ∝ 𝑘 (𝑘𝑡 − 1 2𝑘 2𝑡2+1 6𝑘 3𝑡3− ⋯)
Dengan mengambil 2 suku pertama dari deret tersebut, diperoleh jarak mendatar peluru: 𝑥 = 𝑉0cos ∝ (𝑡 −
1 2𝑘𝑡
2) (2.16)
Persamaan gerak kearah Y:
𝐹 = 𝑚 𝑎𝑦 𝑚 𝑎𝑦= 𝑚 𝑑 𝑉𝑦 𝑑𝑡 = −𝑘 𝑚 𝑉𝑦− 𝑚 𝑔 𝑑 𝑉𝑦 𝑑𝑡 = −𝑘 𝑉𝑦− 𝑔 𝑑 𝑉𝑦 𝑘 𝑉𝑦+𝑔= − 𝑑 𝑡 (2.17)
Dimana (𝑘 𝑚 𝑉𝑥) adalah besarnya gaya hambat dengan k = konstanta. Dengan mengintegrasikan persamaan (2.17), didapatkan persamaan sebagai berikut:
∫ 𝑑 𝑉𝑦 𝑘 𝑉𝑦+ 𝑔 = − ∫ 𝑑𝑡 1 𝑘 ln(𝑘 𝑉𝑦+ 𝑔)= − 𝑡 + 𝐶1 ln(𝑘 𝑉𝑦+ 𝑔)= − 𝑘𝑡 + 𝑘𝐶1 𝑘 𝑉𝑦+ 𝑔 = 𝑒−𝑘𝑡+𝑘𝐶1 (2.18)
Dengan cara yang sama pada persamaan (2.12), diperoleh kecepatan dalam arah Y yaitu: 𝑉𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =− 𝑔 𝑘+ 𝑘 (𝑉0sin∝)+𝑔 𝑘 (𝑒 −𝑘𝑡) (2.19)
11
Dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan (2.14), didapat persamaan perpindahan Y sebagai fungsi waktu:
𝑉𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =− 𝑔 𝑘+ 𝑘 (𝑉0sin ∝)+ 𝑔 𝑘 (𝑒 −𝑘𝑡) 𝑦 =−𝑔𝑡 𝑘 + 𝑘 (𝑉0sin∝)+𝑔 𝑘2 (1 − 𝑒 −𝑘𝑡) (2.20)
Dimana nilai ≪ 1 , dengan menggunakan deret exponensial didapat: 𝑦 ≈−𝑔𝑡 𝑘 + 𝑘 (𝑉0sin ∝)+ 𝑔 𝑘2 (𝑘𝑡 − 1 2𝑘 2𝑡2+1 6𝑘 3𝑡3− ⋯)
Dengan mengambil 2 suku pertama dari deret tersebut, diperoleh ketinggian peluru:
𝑦 = 𝑉0sin ∝ (𝑡 −1
2𝑘𝑡 2) −1
2𝑔𝑡
2 (2.21)
Waktu untuk mencapai jarak terjauh: 𝑡𝒙 = (2𝑉0𝑠𝑖𝑛∝
𝑔 ) (1 −
𝑘(𝑉0sin∝)
3𝑔 ) (2.22)
Tinggi maksimum 𝑌𝑚𝑎𝑘𝑠 yang bisa dicapai peluru adalah:
𝑌𝑚𝑎𝑘𝑠 =𝑔 2( 𝑉0sin∝ 𝑔 (1 − 𝑘(𝑉0sin∝) 3𝑔 )) 2 (2.23)
Jarak terjauh 𝑋𝑚𝑎𝑘𝑠 yang dicapai peluru adalah: 𝑋𝑚𝑎𝑘𝑠 = (𝑉02𝑠𝑖𝑛 2∝
𝑔 ) (1 −
4𝑘 (𝑉0sin∝)
3𝑔 ) (2.24)
2.2 MATLAB (MATRIX LABORATORY)
MATLAB singkatan dari Matrix Laboratory, merupakan bahasa pemrograman yang dikembangkan oleh The Mathwork Inc. Bahasa pemrograman ini bersifat extensible, yang artinya seorang pengguna dapat menulis fungsi baru untuk ditambahkan pada library. (Benny,2013). Matlab yang digunakan pada karya tulis ilmiah ini adalah versi 7.8.0.347 (R2009a).
Program yang lengkap untuk menunjukan hasil dari karya ilmiah ini ada pada penulis. Pembaca yang tertarik dengan program untuk menampilkan hasil visualisasi gerak peluru ini bisa menghubungi penulis.
12 BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Perbandingan antara Gerak Peluru tanpa Memperhitungkan Hambatan Udara dan Gerak Peluru yang Memperhitungkan Hambatan Udara dengan Sudut Elevasi yang Berbeda
Masukkan nilai dari ‘Kecepatan Awal’, ‘Sudut Elevasi’ dan ‘Gravitasi’ pada panel ‘input’, selanjutnya klik ‘Hitung’ pada kedua panel
Gambar 4.3 Simulasi Grafik dengan Kecepatan Awal = 50 m/s, Sudut Elevasi = 60°, Gravitasi = 9,8 m/s2, Koefisien Hambatan = 0,02
Dengan mengubah besaran sudut, dapat diketahui bahwa nilai besaran sudut berpengaruh terhadap ketinggian maksimum (Ymax) tersebut.
13
4.2 Perbandingan antara Gerak Peluru tanpa Memperhitungkan Hambatan Udara dan Gerak Peluru yang Memperhitungkan Hambatan Udara dengan Koefisien Hambatan yang Berbeda
Gambar 4.6 Simulasi Grafik dengan Kecepatan Awal = 50 m/s, Sudut Elevasi = 60°, Gravitasi = 9,8 m/s2, Koefisien Hambatan = 0,03
Dengan mengubah beberapa nilai koefisien hambatan, dapat diketahui pengaruh dari hambatan udara yang bekerja pada gerak peluru tersebut. Semakin besar nilai koefisien hambatan udara, maka jarak tempuh peluru semakin kecil. Hal ini dikarenakan lintasan yang bekerja pada peluru tidak hanya seutuhnya dipengaruhi oleh gaya gravitasi, melainkan juga dipengaruhi oleh hambatan udara yang arahnya berlawanan dengan arah kecepatan.
14 BAB IV PENUTUP
5.1 Simpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, dapat disimpulkan bahwa:
1) Hambatan udara sangat berpengaruh terhadap pergerakan kebanyakan benda, oleh karena itu anggapan bahwa efek-efek hambatan udara sangat kecil sehingga dapat diabaikan tidaklah selalu benar. Penggunaan software MATLAB dalam melakukan perhitungan pada gerak peluru tanpa memperhitungkan hambatan udara dan gerak peluru yang memperhitungkan hambatan udara setidaknya mampu meminimalisir kesalahan dari anggapan-anggapan tersebut.
2) Terlihat perbedaan grafik yang terjadi antara gerak peluru tanpa memperhitungkan gaya hambat udara maupun gerak peluru yang memperhitungkan gaya hambat udara dimana semakin besar nilai koefisien hambatan udara, maka semakin pendek jarak tempuh (X max) peluru.
5.2 Saran
Dalam pembuatan program simulasi dengan MATLAB ini tentu masih banyak kekurangan dan kesalahan sehingga untuk penelitian lebih lanjut dapat disempurnakan, dibuat lebih menarik dan data yang disajikan bisa lebih banyak lagi serta lebih teliti dalam pembuatan program ataupun persamaan yang digunakan sehingga hasilnya lebih akurat.
16
DAFTAR PUSTAKA
Benny. 2013. Pengertian MATLAB (Matrix Laboratory). http://bennyadiwijaya. blogspot.co.id/2013/02/pengertian-matlab-matrix-laboratory.html (diakses tanggal 17 November 2015)
Marion, J.B. and Thornton, S.T. 1988. Classical Dynamics of Particles & Systems. Edisi 3. Harcourt Brace Jovanovich: United States of Amerika
Sari, S.R. Prihanto, Agus. 2013. Simulasi Gerak Peluru yang Dipengaruhi Gaya
Hambat Udara Beserta Analisisnya dengan Menggunakan Bahasa Pemrograman Delphi 7.0. Vol 02 No 01. Halaman 01-05
Suryani, Gita. 2015. Gerak Peluru. https://istanafisika.wordpress.com/2015/09/27/soal-dan-pembahasan-fisika-gerak-peluru/(diakses tanggal 17 November 2015)
Widagda, IGA. 2012. Pemrograman Komputer dengan Matlab. Fisika FMIPA Universitas Udayana
