DIMENSI TIGA 1. SIMAK UI

(1)

1 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

DIMENSI TIGA

1. SIMAK UI Matematika IPA 914, 2009

Diketahui balok ABCD.EFGH di mana AB = 6 cm, BC = 8 cm, BF = 4 cm. Misalkan  adalah sudut antara AH dan BD, maka cos 2....

A. 61 5 5 B. 8 5 5 C. 3 5 5 D. 8 125 E. 3 125 Solusi: [E] 2 2 8 4 80 4 5 BG     2 2 8 6 100 10 BP     8 32 cos 8 10 5 CP BC CBP   32 8 5 cos 4 5 5 5 BP BG    2 cos 22cos 1 2 8 128 3 2 1 1 125 125 5 5    _ _      

Kubus ABCD EFGH. mempunyai rusuk 5 cm. Titik M adalah perpotongan antara AF dan BE. Jika N adalah titik tengah EH, maka jarak antara BH dan MN sama dengan ....

A. 6 B. 5 6 6 C. 2 6 3 D. 1 ₆ 2 E. 1 6 3 Solusi: [B] 1 5 ₂ 2 2 BM  BE 5 3 BH  sin EH MP BE EBH BE BH      5₂ 2_{5 3}5  5₆ 6

Diketahui kubus ABCD EFGH. dengan panjang sisi 5 cm. Jarak titik B ke diagonal EG adalah .... A. 5 3 2 B. 5 ₆ 2 C. 5 3 D. 128 3 E. 1 6 3 E _F G H A D _C B 4 6 8  4 P E _F  G H A D _C B M N 5  P

(2)

2 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017 Solusi: [B] 1 5 2 2 2 PF FH  2 2 2 ₅2 5 ₂ 2 BG BF FP  _{ } _   25 50 150 5 6 4 4 2    

4. SIMAK UI Matematika IPA 944,2009

Pada bidang empat T.ABC diketahui ABC segitiga sama sisi, rusuk TA tegak lurus bidang alas. Jika panjang rusuk alas 10 cm dan tinggi limas 15 cm, maka jarak titik A ke bidang TBC adalah .... A. 5cm B. 5,5cm C. 7,5cm D. 5 3 cm E. 10 3 cm Solusi: [C] 1 sin 60 10 3 5 3 2 APAB    

 

2 2 15 5 3 225 75 300 10 3 TP       sin TPA TA AQ AP AP    15 _{5 3 7,5cm} 10 3 TA AQ AP AP     

5. SIMAK UI Matematika IPA, 2009

Pada kubus ABCD EFGH. , x adalah sudut antara bidang ACH dan bidang EGD. Nilai sin 2x ....

A. 1 3 B. 2 2 9 C. 1 2 3 D. 4 2 9 E. 2 6 3 Solusi: [D]

Misalnya panjang rusuk kubus adalah 4a.



₂ ₂



2

 

₄ 2 ₂₄ 2 ₂ ₆

NHDM  a  a  a  a

Titik P terletak pada pertengahan DM dan NH, sehingga

6 PM NHa

    

2 2



2 6 6 2 2 cos 2 6 6 a a a x a a      2 2 2 2 6 6 8 1 3 12 a a a a     2 1 8 2 sin 1 2 3 9 3 x  _{ }     2 1 4 sin 2 2sin cos 2 2 2

3 3 9 x x x    E _F G H A D _C B P 5 H _E F G D C _B A P 2a x M N  B A C T 10 15 10 P 5 5 Q

(3)

3 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017 6. SIMAK UI Matematika IPA 964, 2009

Diketahui prisma tegak ABC.DEF dengan luas bidang dasar 15 cm2_{. Luas segitiga DBC = 25}

cm2_{, BC = 5 cm. Tinggi prisma tersebut adalah ....}

A. 8 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 14 cm E. 16 cm Solusi: [A]



ABC



 1₂BC AP 1 15 5 2 AP    6 AP 



BCD



1₂BC DP 1 25 5 2 DP    10 DP  2 2 ₁₀2 ₆2 _{64 8} AD DP AP    

Jadi, tinggi prisma tersebut adalah 8. 7. SIMAK UI Matematika IPA 503, 2010

Diketahui kubus ABCD EFGH. , dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak C ke bidang BDG adalah.... A. 1 3 3 B. 2 3 3 C. 3 D. 4 3 3 E. 5 3 3 Solusi 1: [D] 2 2 CM 

 

2 2 2 _{2 2} ₄2 ₂₄ _{2 6} GM  CM CG     sin GMC GC CP GM CM    GC CP CM GM   4 2 2 4 4₃ 3 2 6 3     Solusi 2: [D]

Jarak C ke bidang BDG = CP = 1₃panjangdiagonalruang  1₃ 4 34₃ 3 ‘

Pada kubus ABCD EFGH. , titik K terletak pada rusuk GH sehingga HK GH : 1: 2. Titik M terletak pada rusuk EF sehingga EM MF : 1: 2. Jika  adalah sudut yang terbentuk antara irisan bidang yang melalui titik A, C, K dan irisan bidang yang melalui A, C, M, maka nilai dari

cos adalah.... A. 3 11 B. 4 11 C. 5 11 D. 7 11 E. 9 11 Solusi: [-] : 1: 2 HK GH  D E F A C B 5 cm 25 cm2 15 cm2 P G _F E H C D A B P 4 M 

(4)

4 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017 2HK GH

2HKHK GK

HK GK

Tanpa mengurangi keumuman, misalkan panjang rusuk kubus 8. 6 HKHL 1 sin 45 6 2 3 2 2 HR HK     8 MFFN 1 sin 45 8 2 4 2 2 FSMF     12 2 4 2 3 2 5 2 SR    





2 2 TR DT HR RU 



6 2 3 2



2122  18 144  1629 2





2 2 TS TB SF SV 



6 2 4 2



2122  8 144  1522 38

  

2

  

2 2 9 2 2 38 5 2 cos 2 9 2 2 38      162 152 50_{72 19}  11₅₇ 19

Pada kubus ABCD EFGH. , dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P dan Q berturut-turut merupakan pusat bidang EFGH dan ABCD. Jarak antara garis QF dengan DP adalah ....

A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 4 3 3 E. 5 3 3 Solusi: [B] 1_{diagonalruang} 3 BM MNNH 1 1 6 3 2 3 3 3 BM MNNH BH  

Pada kubus ABCD EFGH. , titik K terletak pada rusuk GH sedemikian sehingga HK KG : 1: 2. Jika panjang rusuk kubus adalah a, maka luas irisan bidang yang melalui titik A, C dan K adalah .... A. 2 22 9 a _B.4 2 ₂₂ 9 a _C.2 2 ₂₂ 9 a _D.4 2 ₂₂ 3 a _E. 2 ₂₂ 3 a Solusi: [C] 2 ACa E _F G H A D _C B P 6 Q M N E _F G H A D _C B T 12 N  L M      K 4 6 8 6 P Q R S  U V

(5)

5 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017 2 3 ₂ 1 sin 45 ₂ 3 2 3 2 a HK a a LK      1 sin 45 2 2 3 2 6 a a HP HK     2 2 2 2 6 3 a a a QR    2 2 2 2 2 2 11 2 3 9 9 a a a PQ _ _ a  a    3 11 a 





1 2 2 11 2 3 3 a a ACKL  _a  _   4 2 11 3 6 a a        2 2 22 9 a 

Panjang rusuk kubus ABCD EFGH. = 5 cm. P dan Q masing-masing adalah titik tengah AB dan BC . Luas irisan bidang yang melalui P, Q dan H sama dengan ....

A. 125 3 B. 125 9 C. 125 12 D. 175 12 E. 175 24 Solusi: [-]

Perhatikan MAPsama kaki, sehingga

5 2 AM  AP 5 2 2 MP QN  5 15 5 2 2 DM AD AM    15 2 DN DM  2 2 2 2 5 5 5 ₂ 2 2 2 PQ PB BQ   _{ }  _{ }      2 2 2 2 15 15 15 ₂ 2 2 2 MN DM DN  _ _ _ _      5 1 5 sin 45 2 2 2 2 4 BT PB     5 15 5 2 2 2 4 4 DT    2 2 2 ₅2 15 ₂ ₂₅ 450 5 ₃₄ 4 16 4 HT  DH DT  _ _     





1 1 15 2 5 34 75 17 2 2 2 4 8 HMN  MN HT      2 2 2 ₅2 15 ₂₅ 225 325 5 ₁₃ 2 4 4 2 MH DH DM  _ _       E _F G H A D _C B Q a L R     K P 3 a T E _F G H A D _C B Q 5 M R     S P  N T

(6)

6 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017 5 ₃₄ 34 4 sin 15 _{6 13} 13 2 HT HMT MH    



SMP

 

 NRQ





Luasirisanbidang

 

 HMN

 

 SMP

 

 NRQ







HMN

 

2 SMP



75 _{17 2} 1 5 ₂ 5 _{2 sin} 8 2 2 2 HMT       25 17 2 1 5 2 5 2 34 8 2 2 2 6 13       75 17 25 34 8 12 13   75 25 17 442 8 156  

Diberikan prisma tegak segitiga siku-siku ABC.DEF dengan alas ABC siku-siku di B. Panjang rusuk tegak prisma 2 2 satuan, panjang AB = panjang BC = 4 satuan. Maka jarak A ke EF adalah .... satuan.

A. 4 B. 4 2 C. 4 3 D. 2 6 E. 4 6

Solusi 1: [D]

Jarak A ke EF adalah AE.

 

2

2 2 ₄2 _{2 2} ₂₄ _{2 6}

AE AB BE    

Solusi 2: [D]

Jarak A ke EF adalah AE.

2 2 ₄2 ₄2 _{4 2} AC AC CF   

   

2 2 2 2 _{4 2} _{2 2} ₄₀ _{2 10} AF AC CF    





2 2 2 _{2 10} ₄2 ₂₄ _{2 6} AE AF EF    

Jika rusuk kubus = 6 cm, jarak antara C dan bidang DBG adalah .... A. 2cm B. 2 2 cm C. 2 3 cm D. 2 6 cm E. 4 2 cm Solusi 1: [C] 3 2 CQ  1 sin 60 6 2 3 3 6 2 GQ BG     sin GQC GC CP GQ CQ    6 6 3 2 2 3 3 6 3 GC CP CQ GQ       Solusi 2: [C] 1 1 panjangdiagonalruang 6 3 2 3 3 3 CP      E F D B A C 4 4 2 2 E _F G H A D _C B E F G H A D _C B P Q

(7)

Diberikan kubus ABCD EFGH. , dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada rusuk FG sehingga FP2PG. Jika  bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P , maka luas bidang  adalah ... cm2_. A. 8 22 9 B. 6 ₂₂ 9 C. 5 ₂₂ 9 D. 3 ₂₂ 9 E. 1 ₂₂ 9 Solusi: [A] 2 FP PG 2 3 PG  2 2 3 ₂ 1 cos 45 ₂ 3 2 PG PR     2 1 1 sin 45 2 2 3 2 3 GQ PG     1 2 2 2 2 3 3 ST CS CT    2 2 2 2 ₂ ₂2 8 ₄ 44 2 ₁₁ 3 9 9 3 QS ST TQ  _ _       



 

luasbidang



1





2 BDRP    BD PR QS 1 2 2 2 2 2 11 2 3 3    _  _   1 8 2 8 2 11 22 2 3 3 9    _ _   

Diberikan kubus ABCD EFGH. . Titik P terletak pada rusuk FG sehingga PG2FP. Jika  bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P , maka bidang tersebut membagi volume kubus dalam perbandingan ....

A. 18 : 36 B. 19 : 35 C. 19 : 38 D. 20 : 36 E. 20 : 45 Solusi: [B]

Misalnya panjang rusuk kubus adalah 6a. 2 PG FP 2 6 4 3 PG  a a 1 sin 45 4 2 2 2 2 GQ PG   a  a 3 2 CS a CS GQ CU GU CS GQ CG GU GU 3 2 2 2 6 a a a GU  GU 3GU12a2GU 12 GU a

Vol. BCD PGR. = vol. limas U.BCD – vol. U.PGR

3 3 3 1 1 1 1 6 6 18 4 4 12 108 32 76 3 2 a a a 3 2 a a a a a a              Perbandingan volumenya

 

3 3 3 76 76 19 140 35 6 76 a a a       2 T E _F G H A D _C B S 2  R   _P Q U   6a E _F G H A D _C B S 6a  R   _P Q U

(8)

Diberikan prisma segitiga beraturan ABC.DEF dengan BE = 2AC. Titik P dan Q adalah titik pusat sisi ADEB dan CFEB. Titik R adalah titik pusat sisi ABC dan titik S adalah titik tengah rusuk CF. Jika  adalah sudut yang terbentuk antara garis PQ dan garis RS, maka nilai

cos.... A. 1 2 B. 1 3 2 C. 1 3 D. 1 3 4 E. 1 Solusi 1: [D] Jika AC = 6, maka BE = 12. 2 3 3 2 3 3 RC   

Perhatikan CRT sama kaki

1 1 2 3 2 2 ₂ 1 cos 30 ₃ 2 RC CT RT       2 2 ₂2 ₆2 ₄₀ _{2 10} ST CS ST    

 

2 2 2 _{2 3} ₆2 ₄₈ _{4 3} RS RC CS    

  

2



2 2 2 2 2 2 4 3 2 10 cos 2 2 2 4 3 RT RS ST RT RS          4 48 40 12 1 ₃ 4 16 3 16 3     

Diberikan kubus ABCD EFGH. dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada rusuk FG sehingga PG FP . Jika  adalah bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P , maka luas bidang  adalah .... cm2 A. 3 6 2 B. 2 6 C. 3 3 D. 5 2 E. 9 2 Solusi: [E] 1 PG FP  1 2 1 cos 45 ₂ 2 PG PR     1 1 sin 45 1 2 2 2 2 GQ PG     1 1 2 2 2 2 2 ST CS CT    2 2 2 1 ₂ ₂2 2 ₄ 18 3 ₂ 2 4 4 2 QS ST TQ  _ _       



 

luasbidang



1





2 BDRP    BD PR QS  ₂1



2 2 2



₂3 2 

 

3 2 3₄ 2 9₂ Q P D E F C A B S 6 R     T    2 T E _F G H A D _C B S 2  R   _P Q U

(9)

Diberikan bidang empat A.BCD dengan BC tegak lurus BD dan AB tegak lurus bidang BCD. Jika

2 cm

BCBD a dan AB a cm, maka sudut antara bidang ACD dan BCD sama dengan .... A. 6  B. 4  C. 3  D. 3 4  E. 2  Solusi:[B] 1 sin 45 2 2 2 BP BC  a  a 2 3 PG BP  3 _{6 2} 18 ₂ 5 5 BP   





tan ACD BCD, AB a 1 BP a    



,



4 ACD BCD   

19. SIMAK UI Matematika IPA Kode 131, 2013

Diberikan kubus ABCD EFGH. . Titik P terletak pada segmen BG sehingga 3PG 2 BP. Titik Q adalah titik potong HP dan bidang ABCD. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ adalah ... cm2_. A. 9 2 B. 12 2 C. 18 2 D. 27 2 E. 36 2 Solusi: [D] 3PG 2 BP 2 3 PG BP  3 18 6 2 2 5 5 BP   

Perhatikan bahwa QAHQBP.

AH BP AQ  BQ 18 ₂ 6 2 ₅ 6 BQ  BQ 1 3 6BQ5BQ 5BQ18 3 BQ 9 BQ 





1 ₁₅ 18 ₂ _{27 2 cm}2 2 5 APQ    

Diberikan kubus ABCD EFGH. . Titik P terletak pada segmen BG sehingga 2 PG BP  . Titik Q adalah titik potong HP dan bidang ABCD. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ adalah ... cm2_. A. 3 2 B. 9 2 C. 18 2 D. 27 2 E. 36 2 E _F  G H A D _C B  P Q 6 C B D A 2 a a 2 a P

(10)

10 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017 Solusi: [E] 2 PG BP  1 2 PG BP  2 6 2 4 2 3 BP   

AH BP AQ  BQ 6 2 4 2 6 BQ  BQ 3 2 6 BQ BQ 3BQ12 2 BQ 12 BQ 





1 _{18 4 2} _{36 2 cm}2 2 APQ    

Diberikan kubus ABCD EFGH. . Titik P terletak pada segmen BG sehingga PG 2 BP. Titik Q adalah titik potong HP dan bidang ABCD. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ adalah ... cm2_. A. 18 2 B. 9 2 C. 3 2 D. 4 E. 2 Solusi: [B] 2 PG BP 2 1 PG BP  1 6 2 2 2 3 BP   

AH BP AQ  BQ 6 2 2 2 6 BQ  BQ 3 1 6 BQ BQ E F  G H A D _C B  P Q 6 E _F  G H A D _C B  P Q 6

(11)

11 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017 3BQ 6 BQ 3 BQ 





1 _{9 2 2} _{9 2 cm}2 2 APQ    

Diberikan suatu limas segiempat beraturan T ABCD. dengan sisi tegak berupa segitiga sama sisi. Titik Q terletak di sisi TA, di mana perbandingan TQ QA : 1: 2, sedangkan titik R terletak di sisi TC, dengan perbandingan TR RC : 2 :1. Jika titik S terletak di sisi TB, di mana RS sejajar CB, besar sudut TSQ adalah ....

A. 2  _B. 3  _C. 4  _D. 5  _E. 6  Solusi: [E]

Misalnya panjang rusuk alas limas adalah 3.

1 1 3 1 3 3 TQ TA   2 2 3 2 3 3 TQ TA   2 TS TR  2 ₁2 ₂2 _{2 1 2cos} ₃ 3 QS        3 1 sin sin 3 TSQ    1 sin 3 ₁ 3 2 sin 2 3 3 TSQ      6 TSQ   

23. SIMAK UI Matematika IPA-1, 2014

Diberikan kubus ABCD EFGH. . Titik R terletak pada rusuk EH sedemikian sehingga 3

ER RH dan titik S berada di tengah-tengah rusuk FG. Bidang  melalui titik R, S, dan A. Jika U adalah titik potong antara bidang  dan rusuk BF, dan  adalah sudut yang terbentuk antara garis RS dan AU, maka tan....

A. 18 12 B. 21 12 C. 24 12 D. 5 12 E. 26 12 Solusi: [E]

Tanpa mengurangi keumuman, misalnya panjang rusuk kubus = 4.

2 2 4 3 5 AR    T S Q _  A D _C B 3   R 2 2 1 1 P E _F  G H A D _C B  _U S R _ 3  ₂ 2  4 1

(12)

12 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017 Perhatikan bahwa PREPSF.

ER FS EP  FP 3 2 4 FP  FP 3FP 8 2FP 8 FP  2 2 ₁₂2 ₃2 _{144 9} _{153 3 17} PR PE ER       2 2 ₁₂2 ₄2 _{144 16} _{160 4 10} PA PE AE      



 

2



2 ₂ 3 17 4 10 5 cos 2 3 17 4 10      153 160 25 24 170    288 12 24 170 170   26 tan 12  

24. SIMAK UI Matematika IPA-2, 2014

Diberikan kubus PQRS.TUVW. Titik A terletak di tengah rusuk VW dan titik B terletak di rusuk RV sedemikian sehingga VB2BR. Titik C terletak di perpanjangan rusuk UV sedemikian sehingga UV2VC. Bidang  melalui A, B, dan C. Jika  adalah sudut terkecil yang terbentuk antara bidang  dan perpanjangan rusuk QU, maka tan 2 ....

A. 4 2 3  B. 24 2 23  C. 3 2 8 D. 24 ₂ 23 E. 4 ₂ 3 Solusi: [D]

Tanpa mengurangi keumuman, misalnya panjang rusuk kubus adalah 12. 6

VC 

Perhatikan AVCsiku-siku sama kaki, dengan AV VC 6

2 2 ₆2 ₆2 _{6 2}

AC AV VC   

WEA

 siku-siku sama kaki dengan WE EA sehingga sin 45 6 1 2 3 2 2 WEAW     6 2 3 2 9 2 CE AC EA    12 2 3 2 9 2 EU WU WE   

KarenaVB2BR, maka VB 8dan _{BR }4

2 2 ₆2 ₈2 ₁₀ BC CV BV   2 2 ₆2 ₈2 ₁₀ AB AV BV   CV FR BV BR 6 8 4 FR  3 FR  12 3 9 QF QR FR     12 6 18 UC UV VC     UC QF UD QD 18 9 12 QD QD 2QD12QD 12 170 





2 ₂ 170 12  26 G A T U  V W P S _R Q  D B C    12     12 E F 8 4 6 12 9 3 12

(13)

13 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017 12 QD  9 2 3 2 tan 24 8 EU UD     2 2 3 2 3 2 2 2 tan ₈ ₄ 48 2 48 2 24 tan 2 2 18 64 18 46 23 1 tan _{3 2} ₁ 1 ₆₄ 8              _ _ _  _ _  

Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak di rusuk CG sedemikian sehingga PG2CP. Titik Q dan R berturut-turut berada di tengah rusuk AB dan AD. Bidang  adalah bidang yang melalui titik P, Q, dan R. Jika  adalah sudut terbesar yang terbentuk antara bidang  dan bidang ABCD, maka nilai tan....

A. 2 2 9 B. 2 9 C. 2 9  D. 2 2 9  E. 1 Solusi: [D]

Tanpa mengurangi keumuman,

misalnya panjang rusuk kubus adalah 12. KarenaPG2CP, maka PG 8dan _{CP }4

6 ARAQ sin 45 6 1 2 3 2 2 AU AR     CU  AC AU 12 2 3 2 9 2 tan _CUPC  _{9 2}4  2 2₉

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Di dalam kubus tersebut terdapat sebuah limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi 1

3a. Perbandingan volume kubus dengan volume ruang yang dibatasi oleh bidang PBC, PAD, dan BCFG adalah ....

A. 6 : 1 B. 9 : 4 C. 5 : 2 D. 6 : 3 E. 9 : 6 Solusi: [E]

Volume ruang yang dibatasi oleh bidang PBC, PAD, dan BCFG barangkali maksudnya adalah volume ruang yang berada di luar limas P.ABCD dan limas P.EFGH.

Perbandingan volume kubus dengan volume ruang yang dibatasi oleh bidang PBC, PAD, dan

BCFG 3 3 1 1 1 2 3 3 3 3 a a a a a a a a          3 3 1 3 2 3 9 9 a a a a    3 3 9 1 2 9 a a    9 6  E _F G H A D _C B Q a P 2 3a R 1 3a T  U    S _Q H _E F G D C _B A P  6   12 R 8 4  

(14)

14 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017 27. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2016

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 24. Di dalam kubus tersebut terdapat sebuah limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi 5. Titik Q terletak pada rusuk EF sehingga QF = EQ. Jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah ….

A. 288 5 B. 288 7 C. 288 9 D. 288 11 E. 288 13 Solusi: [E]



PTQ

 

 STQU

 

 PQU

 

 PST



12 24       1₂ 12 19 1₂ 12 5 144 2 2 ₁₂2 ₅2 _{169 13} PT PS ST    



PTQ



 1₂PT QR 1 144 13 2 QR    288 13 QR 

Jadi, jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah 288 13 . 28. SIMAK UI Matematika IPA Kode 2, 2016

Diberikan kubus ABCD EFGH. dengan rusuk a dan limas segiempat beraturan . ' ' ' '

P A B C D dengan P pada bidang EFGH, AA' 2 ' A E, BB' 2 ' B F, CC' 2 ' C G, DD' 2 ' D H. Volume ruang P A B C D ABCD. ' ' ' '. adalah ....

A. 8 3 9a B. 3 7 9a C. 3 6 9a D. 3 5 9a E. 3 4 9a Solusi: [B]

Volume ruang P A B C D ABCD. ' ' ' '.

= Vol. balok ABCD A B C D. ' ' ' '+ vol. limas P A B C D. ' ' ' '

2 1 1 3 3 3 a a a a a a        3 3 2 1 3a 9a   3 7 9a  E F G H A D _C B P T 24 Q R S  5 U E F H G A D C B P a  A B C D E F H G D C B A

(15)

15 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017 29. SIMAK UI Matematika IPA Kode 2, 2016

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6. Di dalam kubus tersebut terdapat sebuah limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi 4. Titik Q terletak pada rusuk FG sehingga

2

QG FQ. Jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah …. A. 1

2 B.

1 ₃

2 C. 1 D. 3 E. 2

Solusi: [-]

Jarak titik Q ke bidang PAB sama dengan jarak dari titik Q ke bidang PAB. Titik Q terletak pada pertengahan QV dengan QV sejajar EF.



PTQ'

 

 STQ U'

 

 PQ U'

 

 PST



 ₂13₂36     _{2 2}1 3 2 1₂ 3 4    27 3 12₂  ₂ ₂ 12₂ 6 2 2 ₄2 ₃2 _{25 5} PT PS ST    



'



1 ' 2 PTQ  PT Q R 1 6 5 ' 2 Q R    12 5 QR 

Jadi, jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah 12 5 . 30. SIMAK UI Matematika IPA, 2017

Diberikan kubus ABCD EFGH. dengan panjang rusuk 5a. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga CP PG : 2 : 3. Bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian dengan perbandingan volume .... B. 1:14 B. 1:13 C. 1:12 D. 1:11 E. 1:10 Solusi: [A] Perbandingan volumenya

 

3 1 1 5 5 2 3 2 1 1 5 5 5 2 3 2 a a a a a a a           3 3 3 25 3 25 125 3 a a a   25 375 25   25 1 350 14  

Diberikan kubus ABCD EFGH. dengan panjang rusuk 8. Di dalam kubus tersebut terdapat sebuah limas segiempat beraturan P ABCD. dengan tinggi a. Jika titik Q terletak pada rusuk FG sehingga QG = FG dan jarak antara titik Q ke bidang PCD adalah 4. Maka nilai a adalah ....

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7 E F G H A D _C B P 5a  H _E F G E D C _B A P T 6 Q R S 4 U   Q  3 3 V

(16)

16 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017 Solusi: [A]

Jarak Q ke bidang PCD sama dengan jarak Q ke garis ST. ' SR Q U RP UP 4 4 aUP UP a





2 2 ₄2 ₈ a   a 2 _{16 64 16} 2 a    a a 16a 48 3 a  E F G H A D _C B Q 8  Q P a 8  a 4 U R S T