Pertemuan : 1
Materi : Vektor Pada Bidang ( R2), Bab I. Pendahuluan
Standar Kompetensi :
Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat :
1. Memahami kembali pengertian vektor, operasi pada vektor, dan sifat-sifat operasi pada vektor.
2. Penerapan vektor dalam membuktikan masalah-masalah geometri
Kompetensi Dasar :
Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1. Menuliskan kembali pengertian vektor secara geometri dan aljabar.
2. Menuliskan kembali pengertian vektor basis, proyeksi skalar/komponen, dan operasi-operasi pada vektor.
3. Membuktikan secara formal sifat-sifat operasi pada vektor
Uraian Materi 1.1Pengertian Dasar
Kecepatan sebuah mobil yang bergerak dapat dinyatakan oleh sepotong garis yang mempunyai arah. Panjang dari garis tersebut menunjukkan besar kecepatan mobil, dan arah panah dari garis tersebut menunjukkan arah gerak mobil.
Kecepatan adalah salah satu contoh vektor dari banyak vektor yang terdapat di bidang Fisika. Contoh-contoh lain dari vektor adalah gaya, percepatan, momentum, dan sebagainya.
Vektor adalah kombinasi dari suatu besaran dan suatu arah. Maka suatu vektor dapat dinyatakan oleh segmen garis berarah PQ, ditulis
= a
dengan a adalah vektor. Pada umumnya vektor akan ditulis dengan huruf kecil yang dicetak tebal, contoh: a, b, ..., atau dengan huruf besar, contoh: .
a B
A
Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama, akibatnya setiap vektor tidak berubah jika bergerak ke posisi baru dengan tidak mengubah besar dan arah.
1.2Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Cara Jajaran Genjang
Penjumlahan dua buah vektor dilakukan dengan mengimpitkan kedua pangkal vektor tersebut, kemudian buat garis yang panjangnya masing-masing sama dengan panjang vektor semula sehingga membentuk jajaran genjang. Maka hasil dari penjumlahan kedua vektor tersebut adalah vektor yang pangkalnya pada titik pangkal kedua vektor tersebut dan ujungnya adalah pada perpotongan kedua garis tersebut, lihat gambar 1.
a
a a + b
b
b
Gambar 1
Cara Segitiga
Impitkan titik ujung vektor a dengan titik pangkal vektor b, maka vektor hasil penjumlahannya adalah vektor yang bertitik pangkal di a dan titik ujungnya di b, lihat gambar 2.
b
a
a + b
Gambar 2
Lawan dari vektor a adalah vektor –a, yang mempunyai besar yang sama dengan a tapi berlawanan arah. Maka pengurangan vektor adalah dengan menjumlahkan dengan lawan vektor kedua, yaitu
a – b = a + (-b)
Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan 1. a + b = b + a
2. a + (b + c) = (a + b) + c
3. a + b = c jika dan hanya jika b = c – a 4. a + 0 = a, a – a = 0
Bukti nomor 2
Besar atau panjang dari sebuah vektor a ditulis | a | atau a. Panjang dari setiap vektor a dan b mempunyai sifat sebagai berikut:
1. | a | ≥ 0 ; | a | = 0 jika dan hanya jika a = 0. dengan koordinat P(x, 0) dan Q(0, y), vektor basis i dan j didefinisikan sebagai berikut:
Vektor i panjangnya satu searah sumbu x positif, dan vektor j panjangnya satu searah sumbu y positif. Maka vektor dan vektor . Untuk setiap sembarang titik P(x,y) pada sistem koordinat, maka vektor .
Untuk setiap vektor a = a1i + a2j dan b = b1i + b2j , maka penjumlahan dan
Sudut antara dua vektor yang tak nol, a dan b didefinisikan sebagai berikut = (a , b) = AOB
dengan O sebarang titik di bidang dan A, B dipilih sehingga OA = a dan OB = b. Hasil kali skalar a dan b adalah bilangan riil yang dinyatakan oleh
a . b = abcos, dengan = (a , b).
Besaran bcos dapat dipandang sebagai komponen dari b dalam arah a, ditulis kompa b = bcos.
b
Maka hasil kali skalar dua vektor dapat ditulis dalam bentuk a . b = a kompa b atau a . b = b kompb a
Pengertian komponen banyak digunakan dalam mekanika. Jika gaya F mempengaruhi sebuah benda bergerak dari A ke B sepanjang segmen AB, maka hanya komponen dari F pada AB yang bekerja. Maka kerja yang dilakukan sama dengan hasil perkalian komponen dan jarak yang dilalui.
Kerja = kompF = F .
Berdasarkan definisi di atas dapat dibuktikan sifat-sifat perkalian skalar sebagai berikut:
1. a . b = 0 , maka a = 0, atau b = 0, atau = 900. 2. a . b = b . a
3. a . (b + c) = a . b + a . c 4. a . (kb) = (kb) . a = k (a . b) 5. a . a = a2
Pertemuan : 2
Materi : Vektor Pada Ruang ( R3), Bab I. Pendahuluan
Standar Kompetensi :
Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat :
1. Memahami kembali pengertian vektor , operasi pada vektor, dan sifat-sifat operasi pada vektor.
2. Penerapan vektor dalam membuktikan masalah-masalah geometri
Kompetensi Dasar :
Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat :
1. Memperluas operasi-operasi vektor pada ruang, serta sifat-sifatnya. 2. Menuliskan kembali pengertian perkalian silang dan sifat-sifatnya.
3. Menggunakan pengertian dan sifat-sifat operasi pada vektor untuk menyebutkan persamaan bidang.
4. Menggunakan pengertian dan sifat-sifat operasi pada vektor untuk membuktikan masalah-masalah geometri.
Uraian Materi
1.1Vektor Pada Ruang
Vektor pada bidang dapat diperluas dengan memandang vektor tersebut pada ruang. Sehingga untuk setiap vektor a pada ruang memiliki tiga komponen, yaitu
a = a1i + a2j + a3k
dengan i, j, dan k masing-masing vektor yang panjangnya satu. Arah i searah sumbu x positif, arah j searah sumbu y positif, dan arah k searah sumbu z positif.
Hasil kali skalar vektor pada ruang adalah
Jawab
n
a
m b
Gambar diatas memberi gambaran bahwa a = m + n, vektor m memiliki panjang sama dengan komponen a dalam arah b. Maka
m = = =
n = a –m =
Persamaan Bidang
Satu cara yang menguntungkan untuk memperoleh persamaan bidang adalah dengan menggunakan konsep vektor. Misalkan W adalah sebarang bidang dan P(x, y, z) sebarang titik di W. Pilih titik tetap Q(a, b, c) di W. Sebut vektor r = dan n = vektor tetap tak nol yang tegak lurus bidang W, maka
n
P W Q r
n . r = 0 A(x – a) + B(y – b) + C(z – c) = 0 (*)
karena P(x, y, z) sebarang titik di W , maka persamaan (*) adalah persamaan bidang W.
Contoh 3
Cari persamaan bidang yang melalui (- 4, - 1, 2) dan tegak lurus n = . Kemudian cari kosinus sudut antara bidang tersebut dengan bidang x – 2y + 7z = 5.
Jawab. Persamaan bidangnya adalah 1(x + 4) + (-5)(y + 1) + (z – 2) = 0 x + 4 – 5y – 5 + z – 2 = 0 x – 5y + z = 3
Vektor m = adalah vektor yang tegak lurus pada bidang x – 2y + 7z = 5. Sudut antara bidang-bidang tersebut adalah sudut antara normal-normalnya. Vektor normal masing-masing bidang tersebut adalah dan . Apabila sudut kedua vektor tersebut,
maka
1.2Perkalian Silang
Akibat definisi di atas, maka dua vektor a dan b pada ruang adalah sejajar jika dan hanya jika a b = 0.
1.3Penggunaan Vektor untuk Menyelesaikan Masalah-masalah Geometri
Beberapa masalah geometri dapat diselesaikan dengan konsep vektor, diantaranya adalah: 1. Buktikan hukum sinus untuk sebarang segitiga.
Misalkan a = , b = , dan c = pada segitiga ABC. Maka a + b + c = 0.
a b = b c = c a ab sin C = bc sin A = ca sin B
terbukti.
2. Buktikan hukum kosinus untuk sebarang segitiga.
Misalkan a = , b = , dan c = pada segitiga ABC. Perhatikan gambar 4, maka A
b + c = a atau c = a - b
c . c = (a –b) . (a –b) b c
= a . a + b . b – 2a . b C a B
c2 = a2 + b2– 2ab cos C Gambar 4
3. Menghitung luas segitiga dengan menggunakan vektor.
Perhatikan segitiga pada gambar 4. Luas segitiga tersebut adalah , dengan tingginya adalah bsin C , maka
LABC = ab sin C = |a b|
Contoh. Hitung luas segitiga yang mempunyai titik-titik sudut A(1, -1, 2), B(4, 1, -2), dan C(0, 3, 1).
Jawab.
Misalkan a = , dan b = . Maka a = = , dan
b = = .
a b = = - 14i – 7j - 14k
Pertemuan : 3
Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor
Standar Kompetensi :
Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1. Memahami Kalkulus diferensial dari Vektor.
2. Memahami Kelengkungan dan Percepatan
Kompetensi Dasar :
Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1. Menyebutkan kembali pengertian fungsi bernilai vektor 2. Menyebutkan kembali pengertian limit fungsi bernilai vektor 3. Membuktikan teorema-teorema limit fungsi bernilai vektor 4. Menghitung kecepatan dan percepatan gerak pada suatu lintasan.
Uraian Materi
1.1Fungsi Bernilai Vektor
Suatu fungsi F bernilai vektor dengan variabel riil t memetakan setiap bilangan riil t dengan satu vektor F(t). Jadi,
F(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k =
Dengan f, g, dan h adalah fungsi-fungsi bernilai riil.
Contoh. F(t) = t2i + tj. Misalkan daerah asal F adalah {-1, 1}, maka petanya adalah F(-1) = i –j , dan F(1) = i + j
y
-1. 1 F(1)
1. 1 x -1 F(-1)
Daerah asal Daerah hasil
1.2 Kalkulus Fungsi Vektor
Secara intuisi berarti bahwa vektor F(t) menuju vektor L apabila t menuju c atau vetor F(t) –L menuju 0 apabila t menuju c.
F(t) –L F(t)
L
Mengatakan bahwa berarti bahwa untuk setiap > 0 ada bilangan > 0 sedemikian sehingga asal saja dipenuhi .
Teorema A
Misalkan F(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k. Maka F mempunyai limit di c jika dan hanya jika f, g, dan h mempunyai limit di c, yaitu
Contoh. Diketahui F(t) = 2ti + t2j – 5tk . Hitung Jawab
= 2i + j – 5k
Teorema B (Rumus Pendiferensialan)
Misalkan F dan G fungsi vektor yang dapat didiferensialkan, h suatu fungsi skalar yang dapat didiferensialkan dan c sebuah skalar, maka: bergerak ditentukan oleh persamaan parameter x = f(t), y = g(t). Maka vektor
r(t) = f(t)i + g(t)j
yang berpangkal di titik asal dinamakan vektor posisi titik P pada saat t. Apabila t berubah ujung vektor r(t) bergerak sepanjang lintasan titik P. Lintasan ini adalah sebuah kurva dan gerak yang dijalani oleh P dinamakan gerak sepanjang kurva.
Sejalan dengan gerak linier definisi kecepatan v(t) dan percepatan a(t) di titik P adalah
V(t) = r’(t) dan a(t) = r’’(t) Contoh 1
