BAB VII. TRIGONOMETRI

(1)

Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen

Sin α =

Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :

1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B

Rumus Jumlah Fungsi :

Perkalian Æ jumlah/selisih

1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B)

Jumlah/selisih Æ perkalian

(2)

7. SOAL-SOAL TRIGONOMETRI

Gunakan pengertian sinus,cosinus dan tangen

jawabannya adalah A EBTANAS2002

Lihat aturan sinus & cosinus : Luas ∆ ABC =

Jawabannya adalah E EBTANAS1999

lihat hubungan nilai perbandingan sudut:

sin 3000 = sin (360 - 600 0) = - sin 600 = - 3

2 1

(3)

UMPTN1990 tidak ada jawaban yang tepat

UAN 2002

(4)

UAN2006

jawabannya dalah A UAN2005

lihat di tabel sudut-sudut istimewa:

α = 600 jawabannya adalah A UAN2003

8. Persamaan grafik di bawah adalah =….

(5)

jawab:

Fungsi grafik adalah fungsi sinus, fungsi umumnya adalah:

y = A sin (

Jadi persamaan grafiknya adalah y = 2 sin (x + 2 π

)

jawabannya adalah C

UAN2005 dijabarkan menjadi :

2y2 + 5 y – 3 = 0

jawabannya adalah E

UAN2006

10. Himpunan penyelesaian persamaan

(6)

(ingat cos + di kuadran I ( 00 - 900) dan di kuadran IV (2700 - 3600) )

Jadi himpunan penyelesaiannya :

{ 1050, 3450}

Jawabannya adalah E.

(7)

Sudut-sudut istimewa :

Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :

II I

Sin + Semua + III IV

Tan + Cos +

Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant:

Kuadrant I

Sin (900 - θ ) = cos θ Cos (900 - θ ) = sin θ tan (900 - θ ) = cotan θ

Kuadratn II :

Sin (1800 - θ ) = sin θ Cos (1800 - θ ) = -cos θ tan (1800 - θ ) = -tan θ

Kuadrant III :

Sin (1800+ θ ) = -sin θ Cos (1800+ θ ) = -cos θ tan (1800 + θ ) = tan θ

Kuadrant IV :

Sin (3600 - θ ) = -sin θ Cos (3600 - θ ) = cos θ tan (3600 - θ ) = -tan θ

Aturan sinus dan cosinus

C

b γ a

α β A c B

aturan sinus

α sin

a =

β sin

b =

γ sin

c

Aturan cosinus

1. a2= b2+ c2 - 2bc cos α

2. b2= a2+ c2 - 2ac cos β

3. c2= a2+ b2 - 2ab cos γ

Luas Segitiga

Luas segitiga = 2 1

ab sin γ

= 2 1

ac sin β

= 2 1

bc sin α

α 0

0 30 0 45 0 60 0 900 Sin 0

2 1

2

1 ₂

2

1 _{3 1} Cos 1

2 1 ₃

2

1 ₂

2

1 0 Tan 0

3

1 _{3 1} ₃ ~

Kuadrant I α

Kuadrant II

0

180 - α

Kuadrant III

0

180 + α

Kuadrant IV

0

360 - α

Sin + + - -

Cos + - - +

(8)

Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :

P(x,y) Æ koordinat cartesius P(r,α0_{)Æ koordinat kutub}

y

α0 x P (x,y) → P (r, α0)

r = x2 +y2

0

α didapat dari tan α0 = x y

P (r, α0) → P (x,y)

x = r cos α0 ; y = r sin α0

jadi , p (x,y) = p(r cos α0, r sin α0)

Nilai Maksimum dan Minimum

1. Jika y = k cos (x + nπ) dengan k > 0 maka

a. maksimum jika y = k dimana cos (x + nπ) = 1 sehingga (x + nπ)= 0

b. minimum jika y = -k dimana cos (x + nπ) = -1 sehingga (x + nπ)= π

2. Jika y = k sin (x + nπ) dengan k > 0 maka

a. maksimum jika y = k dimana sin (x + nπ) = 1 sehingga (x + nπ)=

2 π

b. minimum jika y = -k dimana sin (x + nπ) = -1 sehingga (x + nπ)=

2 3π

Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri

1. Persamaan

Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah :

a. sin x = sin α , maka x₁= α + k.360 0

x₂= (180 - 0 α ) + k.360 0

b. cos x = cos α , maka x₁_,₂= ±α + k.360 0

c. tan x = tan α , maka x = α + k. 180 0

Persamaan umum trigonometri adalah :

a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - α )

dengan k = a2 +b2 :

persamaan lengkapnya:

a cos x + b sin x = k cos (x - α) = c

α didapat dari tan α = a b

Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai jawaban adalah :

c2 ≤ a2 + b2

2. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat

diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti :

(9)

Fungsi Trigonometri:

1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x

.

Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1

b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2π

d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2π) = sin x, k ∈ bilangan bulat

2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x

Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x

a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1

b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2π

(10)

2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x

Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah :

a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga) b. Mempunyai perioda sebesar π