Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri

(1)

Kegiatan Belajar 3

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat a. Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri

b. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri

B. Uraian Materi 3

Persamaan Trigonometri

a. Sin x = sin p, cos x = Cos p, tan x = tan p

Pada dasarnya fungsi trigonometri adalah merupakan fungsi priodik, yaitu fungsi yang setiap satu priode, nilai-nilainya berulang, maka untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan sudut derajat dapat digunakan sifat-sifat:

Sin ax = sin pomaka x = po+ k. 360oatau x = (180o– po) + k. 360o Cos x = cos pomaka x = po+ k. 360oatau

x = – po+ k. 360o x = (360 – po) + k. 360o Tan x = Tan pomaka x = po+ k. 180o

Untuk sudut yang bersatuan radian, k adalah bilangan bulat berlaku sifat: Sin ax = sin pomaka x = po+ k.2πatau

x = (π– po) + k. 2π

Cos ax = Cos pomaka x = po+ k. 2πatau

x = - po+ k.2π x = (2π – po) + k.2π

Tan x = tan pomaka x = po+ k.π

Contoh

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45o, untuk 0≤x≤360o

Penyelesaian

(2)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Untuk k = 0 maka

x = 45o+ 0.(360o) atau x = 135o+ 0.(360o)

x = 45o atau x = 135o

Untuk k = 1, maka

x = 45o+ 1(360o) atau x = 135o+ 1 (360o)

x = 405o atau x = 495o

untuk k = 1 tidak memenuhi

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45oadalah {45o, 135o}

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 3 2 1

cosx= , untuk 0o≤x≤720o

Penyelesaian

3 2 1 cosx=

cos x = cos 30o

x = 30o+ k. 360o atau x = - 30o+ k. 360o Untuk k = 0, maka

x = 30o+ 0 (360o) atau x = - 30 + 0 (360o)

x = 30o atau x = - 30→(tidak memenuhi)

Untuk k = 1, maka

x = 30o+ 1 (360o) atau x = - 30o+ 360o

x = 390o atau x = 330o

Untuk k = 2, maka

x = 30o+ 2 (360o) atau x = - 30o+ 2 (360o) x = 30o+ 720o atau x = - 30o+ 720o x = 750o(tidak memenuhi) atau x = 690o Untuk k = 3, maka

x = 300+ 3 (360o) atau x = - 30o+ 3 (360o)

x = 1110o(tidak memenuhi) atau x = 1050o(tidak memenuhi)

(3)

3. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin x = 1, untuk 0o≤x≤360o

Penyelesaian

2 sin x = 1 sin x = ½ sin x = sin 30o

x = 30o+ k. 360o atau x = (180o– 30o) + k. 360o Untuk k = 0, maka

x = 30o atau x = 150o

Untuk k = 1, maka

x = 30o+ 360o atau x = 150o+ 360o

x = 390o(tidak memenuhi) atau x = 510o(tidak memenuhi)

Jadi nilai x yang mmenuhi adalah {30o, 150o}

4. Nilai dari sin 1.140oadalah…

Penyelesaian

sin 1.140o = sin (60o+ 3 x 360o) = sin 60o

= 3

2 1

5. Nilai dari − π

3 7

sin adalah…

Penyelesaian

3 2 1

3 sin

2 . 2 3 sin

3 7 sin 3

7 sin

− =

+ −

= − = −

π

π π

(4)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Jadi nilai x yang memenuhi adalah 6 7π

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos ; 2π 2π

(5)

Untuk k = - 2, maka

(

)( )

(

tidakmemenuhi

)

x

(

tidak memenuhi

)

x

(

tidak memenuhi

)

atau x

(

tidakmemenuhi

)

x

Jadi nilai x yang memenuhi adalah − −

8

c.

Persamaan Trigonometri bentuk a sin x + b cos x = c

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk a sin x + b cos x = c adalah dengan cara menggubah bentuka sin x + b cos x = c menjadi k cos (x – ) = c.

Untuk menggubah bentuk tersebut tersebut menggunakan aturan berikut : Cos (x – ) = cosx. Cos + sin x. sin

(6)

Dari penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa 1. untuk menentukan nilai k adalah

2 2

b a

k = +

2. untuk menentukan adalah

= −

Jadi untuk menyelesaikan persamaana sin x + b cos x = cadalah dengan menyelesaikan

persamaan

(

)

=

α dengan syarat

(7)

(

)

Jadi himpunan penyelesaian adalah {0o, 90o, 360o}

2. Tentukan batas-bataspagar persamaan sin x –p.cos x = p 2 dapat diselesaikan

Penyelesaian

Agar persamaan sin x –p.cos x = p 2 dapat diselesaikan syaratnya adalah

≤

Jadi agar persamaan di atas dapat diselesaikan syaratnya −1≤ p≤1

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3 cos x - sin x = 2 untuk 0 < x≤360

(8)

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {15o, 285o}

c. Persamaan Trigonometri yang Dapat Diselesaikan Dengan Konsep

Persamaan Kuadrat

Persamaan trigonometri yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep persamaan kuadrat adalah persamaan trigonometri yang menggandung sudut rangkap.

Untuk sudut rangkap yaitu:

x

Kita mislakan sin x = p, maka 2p2+ p – 1 = 0

(2p -1)(p + 1) = 0

(9)

p = ½ atau p = - 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

(10)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Untuk m = - ½

cos x = m cos x = - ½ cos x = cos 60o x= 60o

x = (180o- 60o) + k. 360o atau x = (180o+ 60o) + k. 360o

k= 0 x = 120o atau x = 240o

k = 0 x = 480o atau x = 600o

Untuk m = 3

cos x = 3 (tidak ada x yang mmenuhi)

Jadi himpunan penyelesaian adalah {120o, 240o}

3. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + sin x = 1 untuk 0≤x≤180 adalah

Penyelesaian

cos 2x + sin x = 1

Bentuk cos 2x = 1 – 2 sin2x 1 – 2 sin2x + sin x – 1 = 0

- 2 sin2x + sin x = 0 2 sin2x – sin x = 0 Missal sin2x = y

2y2– y = 0 y(2y – 1) = 0

y = 0 atau (2y – 1) = 0 y = 0 atau y = ½

Untuk y = 0 Sin x = 0

Sin x = sin 0o atau sin x = sin 180o x = 0o+ k. 360o atau x = 180 + k. 360o

x = 0o atau x = 180o

Untuk y = ½

Sin x = sin 30o atau sin x = sin 150o x = 30 + k. 360 atau x = 150o+ k. 360o

x = 30o atau x = 150o

(11)

Pertidaksamaan Trigonometri

Penyelesaian pertidaksamaan trigonometri adalah sama seperti penyelesaian pada pertidaksamaan linier atau pertidaksamaan kuadrat, yang sudah kita pelajari. Jadi untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri terlebih dahulu kita menentukan titik pembuat nol atau yang sering di sebut juga dengan titik kritis.

Untuk menentukan titik kritis maka pertidaksamaan trigonometri kita ubah dahulu bentuknya menjadi persamaan trigonometri, setelah mendapatkan titik kritis maka langkah selanjutnya adalah mengmbil titik uji untuk menentukan daerah penyelesaiannya.

Contoh

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x < 1, untuk 0o≤x≤360o

Penyelesaian

titik uji/sampel

negatif

kita tentukan titik pembuat nol/ titik kritis, sehingga kita ubah dahulu menjadi persamaan

(12)

jadi titik kritisnya adalah x = 105odan x = 345o

langkah selanjutnya adalah kita ambil titik uji untuk menentukan daerah penyelesaiannya.

Sebagai titik uji ambil x = 90o, x = 165odan x = 360o

Untuk x = 90okita subtitusikan ke dalam

cos (x – 45o) – ½ =0

cos (90o– 45o) – ½ = 0

0 2 1 2 2 1

=

− (menghasilkan positif)

Untuk x = 165okita subtitusikan ke

cos (x – 45o) 0– ½ =

cos (165o– 45o) – ½ = 0

0 2 1 2 1

= −

− (menghasilkan negatif)

Untuk x = 360okita subtitusikan ke

cos (x – 45o) – ½ = 0

cos (360o– 450) – ½ = 0

2 1 2 2 1

− (menghasilkan positif)

Karena tandanya kurang dari maka yang diambil adalah daerah yang bernilai negatif.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

{

x|105o < x<345o

}

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sinx+ 3cosx<1, untuk0o≤x≤360o Penyelesaian

1 cos 3

sinx+ x< sinx+ 3cosx=1

o

k k

x k

30 3 3 1 tan

2 3 1

1 ) cos( .

= = =

+ =

= −

α α

α

+ 105O

+ 345O

+ + _ __ + +

+ 165O

+ 360O +

(13)

(

)

(

)

Untuk x = 60odisubtitusikan ke

cos (x – 30o) – ½ =0

cos 30o– ½ = 0 (menghasilkan positif)

cos (x – 30o) – ½ = 0

cos 120o– ½ = 0 (menghasilkan negative)

cos (x – 30o) – ½ = 0

cos 330o– ½ = 0 (menghasilkan positif)

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah

{

x|90o < x<3300

}

(14)

Jadi titik kritisnya adalah x =

2 3π

misalkan kita ambil titik ujinya adalah x =

6

π

dan x =

3 5π

Untuk x =

6

π

disubtitusikan ke

2sin2x + 4sin x + 2 = 0

2.sin2

6

π

+ 4. sin

6

π

+ 2 = 0

2 (½)2+ 4 (½) + 2 = 0 →(menghasilkan positif)

Untuk x =

3 5π

disubtitusikan ke

2sin2x + 4sin x + 2 = 0

2 sin2

3 5π

+ 4 sin

3 5π

+ 2 = 0

(

menghasilkan positif

)

→ = + −

+

− 3 2 0

2 1 4 3 2 1 2

2

Sehingga jika kita gambarkan pada garis bilangan adalah

Maka pertidaksamaan diatas tidak memiliki himpunan penyelesaian

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah∅

+ 6 π

+ 3 5π

+ + + +

(15)

C. Rangkuman 3

1. Persamaan trigonometri, untuk sudut bersatuan derajat berlaku : Sin ax = sin pomaka x = po+ k. 360oatau

x = (180o– po) + k. 360o Cos x = cos pomaka x = po+ k. 360oatau

x = – po+ k. 360o Tan x = Tan pomaka x = po+ k. 180o

2. Untuk sudut yang bersatuan radian, k adalah bilangan bulat berlaku sifat: Sin ax = sin pomaka x = po+ k.2πatau

x = (π– po) + k. 2π

Cos ax = Cos pomaka x = po+ k. 2πatau x = - po+ 2π

Tan x = tan pomaka x = po+ k.π

3. Persamaan trigonometri a sin x + b cos x = c dapat diubah menjadi k cos (x – )

2 2

b a

k = +

= −

b a

1

tan

α

3. Persamaan a sin x + b cos x = c adalah dengan menyelesaikan persamaan k.cos (x – ) dengan syarat c≤ k

D. Lembar Kerja 3

1. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut :

a. cos x = 1, untuk 0o≤x≤360o d. cos x = 0,5; untuk 0≤x≤2π

b. cos x = 0,5; untuk 0o≤x≤720o e. tan x = 3 ; untuk 0≤x≤2π

c. 2sin x = 1; untuk 180o≤x≤360o

(16)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. sin65 ; 360 360

2 1

sin − x = untuk− o ≤ x≤

b. tan (x + 15o) = tan 200o; untuk - 270o≤x≤270o

c. x−π = π ;untuk −π ≤ x≤π

5 cos 3

2 sin

d. π ; 0 2π

4 cos 2

3

cos − x = untuk ≤x≤

(17)

3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut, jika 0o≤x≤360o: a. cos x + 3 sin x = 1 d. 4 cos x – 3 sin x = 2

b. 5 cos x + 4 sin x = 6 e. sin x – 2cos x = 1 c. – cos x – sin x = 1

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… 4. Tentukan batas-batas nilai m agar persamaan-persamaan berikut dapat diselesaikan

a. m cos x + (m – 1) sin x = m c. m sin x + m cos x = 2

b. cos x – (1 – m) sin x = m + 1 d.

1 2 sin

1 cos

+ + = +

+

m m x m

m x

(18)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd ……… ……… ………

5. Tentukan penyelesaian persamaan berikut, untuk 0o≤x≤360o

a. 2 cos2x = 1 c. cos 2x + cos x + 1 = 0

b. tan2x – tan x – 2 = 0 d. cos 2x = - sin x

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… 6. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk 0o≤x≤360o

a. 2 sin x < 1 d. 3 tan 2x – 1≥0

b. cos (x – 30o) 2 1

≥ e. cos 2x > 0

(19)

……… ……… 7. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, 0o≤x≤360o

a. 3 cos x + sin x > 1 b. sin x – cos x≤1

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… 8. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk 0o≤x≤360o a. 6 sin2x−sin x−1 = 0

b. cos 2x + sin x = 1

(20)

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd E. Tes Formatif 3

1. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin x − 3 = 0, 0≤x≤ π adalah a.

3 2 , 3

π π

d.

6 5 , 3

π π

b.

6 , 3

π π

e.

6 5 , 3 2π π

c.

2 , 3

π π

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos 2x ≤ ½ 3 , untuk 0≤x≤180 adalah

a. 15 ≤ x ≤ 105 d. 15 ≤ x ≤ 165

b. 75 ≤ x ≤ 165 e. 105 ≤ x ≤ 165

c. 75 ≤ x ≤ 105

3. Himpunan penyelesaian sin ( 2x−30 ) = ½ untuk 0≤x≤360 adalah a. { 0 , 60 , 180 , 240 } d. { 30 , 90 , 270 }

b. { 0 , 30 , 150 , 180 } e. { 60 , 90 , 120 , 240 } c. { 0 , 60 , 180 }

4. Penyelesaian dari 3

2 1 3

cos x=− , untuk 0o≤x≤360oadalah.. a. 50o dan 70o d. 40o dan 50o

b. 40o dan 70o e. 70o dan 80o c. 50o dan 80o

5. Nilai dari cos 1110oadalah…

a. 3 d. 3

2 1

−

b. 3

2 1

e. 2 1

c. - 3

6. Penyelesaian persamaan

(

)

3

2 1 45

sin − o =

x , untuk 0o≤x≤360oadalah.. a. 75o, 150o d. 0o, 75o, 165o, 360o

b. 75o, 165o e. 0o, 105o, 165o, 360o c. 105o, 165o

7. Himpunan penyelesaian dari persamaan 3 cos x + sin x = 2 untuk 0 < x≤360 adalah

a. { 75 , 285 } d. { 15 , 345 }

b. { 15 , 285 } e. { 25 , 75 }

c. { 75 , 345 }

(21)

a. −2≤p≤3 d. p≤1 atau p≥5

b. 1≤p≤5 e. p≤ −5 atau p≥1

c. p≤2 atau p≥3

9. Agar persamaan 3 cos x−m sin x = 3 5 dapat diselesaikan maka nilai m adalah….

a.−3 6≤m≤3 6 d. m≤ −3 6 atau m≥3 6

b.−6≤m≤6 e. m≤ −6 atau m≥6

c. 0≤m≤36

10. Selisih dari anggota himpunan penyelesaian persamaan 3 cos x + sin x = 1, untuk 360

0≤x≤ , adalah:

a. 90 d. 220

b. 135 e. 240

c. 160

11. Nilai tan x yang memenuhi persamaan cos 2x + 7 cos x−3 = 0 adalah….

a. 3 d. ½

b. ½ 3 e. 1/5 5

c. 1/3 3

12. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2x sinx – cos 2x = 0 dalam interval

π ≤ ≤x

0 , adalah.... a.. π π π π

6 , 5 , 4 ,

3 d.

π π

6 5 , 4

b. π π π π

6 5 , 4 3 , 6 ,

2 e.

π π

4 3 , 6

c. π π π π

6 5 , 4 3 , 4 , 6

13. Nilai tan x°yang memenuhi persamaan cos 2x°– 5 cos x°- 2 = 0, untukπ< x < ₂3_π

adalah …

a. 3 d. ₃1 3

b. ₂1 _e.

2 1

c. ₂1 3

14. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos 2x ≤ ½ 3 , untuk 0≤x≤180 adalah

a. 15 ≤ x ≤ 105 d. 15 ≤ x ≤ 165

b. 75 ≤ x ≤ 165 e. 105 ≤ x ≤ 165

c. 75 ≤ x ≤ 105

15. Himpunan penyelesaian dari

2 1

sinx> untuk 0o≤x≤360oadalah… a. 0o< x < 30o d. 180o< x < 210o

(22)

20. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tan 2x ≤ 3 3

1 _dengan _π_≤ _≤ _π

2 3 x adalah ….