PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK KOSINUS

PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK KOSINUS

1. PENYELESAIAN BENTUK Cos px =Cos α °

Cara menyelesaiakannya :

Untuk cosinus Yang bernilai positif berada di kuadran I dan IV maka :

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut ini :

1. Cos x =cos 35° , untuk −90° ≤ x ≤180° 2. Cos 4x= cos 48° , untuk 0° ≤ x ≤360° 3. Cos x =cos 1

4 π , untuk −π ≤ x ≤2π

Penyelesaian :

1. Cos x =cos 35° , untuk −90° ≤ x ≤ 180° Untuk kuadran I

x= α ° + 360° × k

Cos x = cos 35° ⇒ α = 35° maka : x= 35° +360°× k untuk :

k = −1 ⇒ x = 35°+ 360°× −1 = 35°−360° = −325° Tidak Memenuhi k = 0 ⇒ x = 35° + 360° × 0 = 35° Memenuhi

Untuk kuadran IV x= −α ° +360° × k

x= −35° + 360° × k untuk :

k = −1 ⇒ x = −35° + 360° × −1 = −35°− 360° = −395° Tidak Memenuhi k = 0 ⇒ x = −35° + 360° × 0 = −35° Tidak Memenuhi

k = 1 ⇒ x = −35° + 360° × 1= 325° Tidak Memenuhi (karena batas tertinggi 180°) Jadi Himpunan penyelesaian untuk :

Cos x = cos 35° , untuk −90°≤ x ≤ 180 ° adalah :

{

35°

}

Persamaan trigonometri bentuk Cosinus bu yuni Agustus 2022

Cos x = Cos α ° ( untuk derajat ) x = α ° + 360 ° × k → kuadan I dan x = −α ° + 360 ° × k → kuadan IV Untuk Radian

Cos x = Cos α

x = α + 2 π × k → kuadan I dan

x = −α + 2 π × k → kuadan IV

2. Cos 4x = cos 48° , untuk 0° ≤ x ≤ 360 ° α = 48 °

Di kuadran I : x = α + 360 ° × k

4x = 48° + 360° × k → 4x

4 = 48 ° + 360 ° × k 4

x = 12° + 90 ° × k

k = 0 → x =12 ° + 90 ° × 0= 12°

k = 1 → x = 12 ° + 90 ° × 1= 102°

k = 2 → x = 12 ° + 90° × 2= 192°

k = 3 → x = 12 ° + 90 ° × 3= 282°

k = 4 → x = 12 ° + 90° × 4 = 372° Tidak memenuhi Dikuadran IV :

x = −α + 360 ° × k

4x = −48° + 360 ° × k → 4x

4 =−48 ° + 360 ° × k 4

x = −12° + 90 ° × k

k = 0 → x = −12 ° + 90° × 0 = −12° Tidak memenuhi k = 1 → x = −12 ° + 90° × 1 = 78°

k = 2 → x = −12 ° + 90° × 2 = 168°

k = 3 → x = 12 ° + 90 ° × 3= 258° k = 4 → x = 12 ° + 90° × 4 = 348°

Jadi penyelesaian dari Cos 4x = cos 48° , untuk 0° ≤ x ≤ 360 ° adalah : {_{12 ° ,78 ° ,102 ° , 168 ° ,192 ° , 258° , 282 ° , 348 °}}

3. Cos x = cos 1

4 π , untuk −π ≤ x ≤ 2 π α = 1

4 π Di kuadran I : x = α + 2π × k x = 1

4 π + 2π × k k = 0 → x =1

4 π + 2π × 0 = 1 4 π k = 1 → x =1

4 π + 2π × 1 = 21 4 π= 9

4 π Tidak memenuhi Dikuadran IV :

x = −α + 2π × k x = −1

4 π + 2π × k k = 0 → x = −1

4 π + 2π × k × 0 = −1

4 π Tidak memenuhi k = 1 → x = −1

4 π + 2π × k × 1 = 7 4 π Jadi penyelesaian dari Cos x = cos 1

4 π , untuk −π ≤ x ≤ 2 π adalah :

{

¹4 π , 7 4 π

}

2. BENTUK Cos px =a

Untuk bentuk Cos px =a , p dan a merupakan konstanta

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari : 1. Cos 6x = 0 , untuk 0 ° ≤ x ≤ 360 ° 2. Cos x = 1

2 , untuk 0 ≤ x ≤ 2π

3. Cos

(

^{x +1}3 π

)

^{= −1}2

√

^{3 , untuk 0 ≤ x ≤ 2π}

PEMBAHASAN :

Persamaan trigonometri bentuk Cosinus bu yuni Agustus 2022

diubah terlebih dahulu kedalam bentuk dasar persamaan Trigonometri

1. Cos 6x = 0 ,untuk 0 ° ≤ x ≤ 360 °

Besar sudut yang nilai eksaknya = 0 adalah 90° , sehingga persamaan Cos 6x = 0 diubah menjadi Cos 6x = Cos 90° maka :

Cos 6x = Cos 90 °

∗6x = 90 ° + 360°× k → 6x

6 = 90 ° + 360 °× k 6

x = 15 ° + 60 ° × k

k = 0 ⇒ x = 15 ° + 60 ° × 0= 15 ° Memenuhi k = 1 ⇒ x = 15 ° + 60 ° × 1= 75 ° Memenuhi k = 2 ⇒ x = 15 ° + 60 ° × 2= 135 ° Memenuhi k = 3 ⇒ x = 15° + 60 ° × 3= 195° Memenuhi k = 4 ⇒ x = 15 ° + 60 ° × 4 = 255 ° Memenuhi k = 5 ⇒ x = 15° + 60 ° × 5= 315° Memenuhi

∗6x = −90° + 360 °× k → 6x

6 = −90 ° + 360°× k 6

x = −15° + 60 ° × k

k = 0 ⇒ x = −15 ° + 60 ° × 0 = −15 ° Tidak Memenuhi k = 1 ⇒ x = −15 ° + 60 ° ×1 = 45 ° Memenuhi

k = 2 ⇒ x = −15 ° + 60 ° × 2 = 105 ° Memenuhi k = 3 ⇒ x = −15 ° + 60 ° × 3 = 165 ° Memenuhi k = 4 ⇒ x = −15 ° + 60 ° × 4 = 225° Memenuhi k = 5 ⇒ x = −15 ° + 60 ° × 5 = 285 ° Memenuhi k = 6 ⇒ x = −15° + 60 ° × 6 = 345° Memenuhi

Jadi himpunan penyelesaian dari Cos 6x = 0 ,untuk 0 ° ≤ x ≤ 360 ° adalah : {15° , 45° , 75 ° , 105 ° , 135 ° , 165 ° , 195 ° , 225° , 255° , 285° , 315 ° , 345 ° }

2. Cos x = 1

2 ,untuk 0 ≤ x ≤ 2 π Besar sudut yang nilai eksaknya =1

2 adalah 1

3 π , sehingga persamaan Cos x = 1

2 diubah menjadi Cos x = Cos 1

3 π maka : Cos x = Cos 1

3 π

∗x = 1

3 π + 2 π× k k = 0 ⇒ x = 1

3 π + 2 π × 0 = 1

3 π Memenuhi k = 1 ⇒ x = 1

3 π + 2 π × 1 = 7

3 π Tidak Memenuhi

∗x = −1

3 π + 2 π × k k = 0 ⇒ x = −1

3π + 2 π × 0= −1

3 π Tidak Memenuhi k = 1 ⇒ x = −1

3 π + 2 π × 1 = 5

3 π Memenuhi Jadi himpunan penyelesaian dari Cos x = 1

2 , untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah :

{

¹3 π , 5 3 π

}

Persamaan trigonometri bentuk Cosinus bu yuni Agustus 2022

3 . Cos

(

^{x +} 3 π

)

^{= −}2√^{3 , untuk 0 ≤ x ≤ 2π}

Besar sudut yang nilai eksaknya = −1

2 √^{3 adalah 5}₆ ^{π (ngat cos} bernilainegatif dikuadran II ), sehingga persamaan

Cos

(

^{x + 1}3π

)

^{= −1}2 √³ diubah menjadi Cos

(

^{x +1}3 π

)

^{= Cos 5}6π maka : Cos

(

^{x +1}3 π

)

^{= Cos 5}6 π

∗x +1

3 π =5

6 π + 2 π× k → x = 5

6 π − 1

3π + 2 π× k =

(

⁵⁻²6

)

^{π + 2 π× k}

x = 3

6 π + 2π × k = 1

2 π + 2π × k x = 1

2 π + 2 π× k k = 0 ⇒ x = 1

2 π + 2 π × 0 = 1

2 π Memenuhi k = 1 ⇒ x = 1

2 π + 2 π ×1 = 5

2 π Tidak Memenuhi

∗x +1

3 π = −5

6 π + 2 π× k → x= −5

6 π − 1

3 π + 2π × k =

(

⁻⁵⁻²6

)

^{π + 2 π× k}

k = 0 ⇒ x = −7

6π + 2 π × 0 = −7

6 π Tidak Memenuhi k = 1 ⇒ x = −7

6 π + 2 π × 1 = 5

6 π Memenuhi

Jadi himpunan penyelesaian dari Cos

(

^{x +1}3 π

)

^{= −1}2√^{3 , untuk 0≤ x ≤ 2π adalah :}

{

¹2 π , 5 6 π

}