DOKUMEN TENTANG PERSAMAAN TRIGONOMETRI

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Jika ananda menyelesaikan suatu persamaan trigonometri, berarti ananda diharuskan menemukan nilai �, dalam satuan radian maupun derajat, yang memenuhi persamaan tersebut. Sebelum memasuki materi, ada materi prasyarat yang harus ananda kuasai yaitu sebagai berikut.

Contoh :

Tentukan nilai perbandingan dari : 1.

Tan 30

⁰

Dari tabel diatas didapat Tan 30⁰= 1 3

√

³

2. Sin 45⁰ = 1 2

√

²

Anda masih ingatkan? Saat anda belajar di kelas x

Untuk menentukan nilai perbadingan di kuadran II anda menggunakan rumus :

Sin (180− A ) = Sin A

Cos (180 −A ) = − Cos A ( Ingat Cos dan tan di kuadran II bernilai negatif )

Tan (180− A ) = − Tan A

Contoh :

Tentukan nilai perbandingan dari : 1. sin 120⁰= Sin

(

180−30

)

^o =Sin 30⁰ = 1

2 →

(

180−30

)

=120 2. Cos 145⁰= −Cos

(

180−45

)

^o = −cos 45⁰= 1

2

√

^{2 →}

(

¹⁸⁰⁻⁴⁵

)

⁼¹⁴⁵

Persamaan Trigonometri

Dasar Persamaan trigonometri dasar meliputi:

1. sin � = sin � 2. cos � = cos�

3. tan � = tan �

4. sin � = �, � sebuah konstanta 5. cos � = �, � sebuah konstanta 6. tan � = �, � sebuah konstanta

Penyelesaian persamaan trigonometri dasar :

Menyelesaikan persamaan trigonometri dalam bentuk kalimat terbuka yang memuat variabel berarti menentukan nilai variabel yang terdapat dalam persamaan tersebut sehingga persamaan itu menjadi benar.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin � = sin�, cos � = cos � dan tan � = tan �, perhatikan tanda (positif atau negatif)

untuk sin �, cos �,tan � pada tiap kuadran dan sudut berelasi pada kuadran masing-masing.

PENYELESAIAN PERSAMAAN BENTUK :

1. BENTUK :

Sin x = Sin α °

Dalam derajat :

Nilai sinus suatu sudut positif di kuadran 1 dan 2 sehingga untuk persamaan

Sin x = Sin α °

penyelesaiannya adalah:

x = { α ° + k × 360 ° −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Kuadran 1 ( 180 °− α ° ) + k × 360 ° −−−−−−−−−−−−−−− Kuadran 2 k adalah bilangan bulat ( ...., −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , .... )

Dalam Radian : Sin x = Sin α

penyelesaiannya adalah:

x = { α + k × 2 π −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Kuadran 1 ( 180− α ) + k × 2 π −−−−−−−−−−−−−−− Kuadran 2 k adalah bilangan bulat ( ...., −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , .... )

Materi persamaan sinus 17 Juli 2021

Contoh 1:

Tentukan akar-akar dari persamaan trigonometri berikut kemudian tuliskan himpunan penyelesaiannya.

a.

Sin x = Sin 70 ° , untuk 0 ° ≤ x ≤ 360°

b.

Sin 3 x = Sin 60 ° , untuk 0 ° ≤ x ≤ 360°

c. Sin 1

2x = Sin 1

3π , untuk 0° ≤ x ≤ 2π Penyelesaiannya :

a.

Sin x = Sin 70 ° , untuk 0 ° ≤ x ≤ 360°

Sin x = Sin 70 ° , dalam hal ini α = 70 ° jadi :

untuk yang ada di kuadran 1

x

₁

= 70 ° + k × 360 ° −−−−−−−−−−−¿ ( kuadran 1 )

kita mulai mengganti k dengan bilangan bulat (baik neg maupun positi ) k = −1 → x

₁

= 70 ° + ( −1 × 360 ° ) = 70 ° − 360 ° = − 290 ° ( tidak memenuhi ) k = 0 → x

₁

= 70 ° + ( 0 × 360 ° ) = 70 ° = 70° ( memenuhi )

k = 1 → x

₁

= 70 ° + ( 1 × 360 ° ) = 70° + 360° = 430 ° ( tidak memenuhi )

Sin x = Sin 70 ° , dalam hal ini α = 70 ° jadi :

untuk yang ada di kuadran 2 ( x

2

= (180 − α ) ° + k × 360 ° ) maka :

x

₂

= (180−70 )° + k × 360 ° −−−−−−−−−−−¿ ( kuadran 2 ) x

₂

= 110° + k × 360 °

kita mulai mengganti k dengan bilangan bulat (baik neg maupun positi )

k = −1 → x

₂

= 110° + (−1 × 360°) = 110 ° − 360 ° = − 250 ° (tidak memenuhi ) k = 0 → x

₂

= 110 ° + ( 0 × 360 °) = 110° = 110 ° ( memenuhi )

k = 1 → x

₂

= 110 ° + (1 × 360 °) = 110° + 360° = 470 ° ( tidak memenuhi )

Kenapa −250 ° dan 470 ° tidak memenuhi karena −250 ° dan 470 ° tidak masuk dalam Interval 0 ° ≤ x ≤ 360°

Kenapa −290° dan 430 ° tidak memnuhi kalian perhatikan di soal bahwa himpunan yang diminta berada pada interval 0 ° ≤ x ≤ 360 ° artinya himpunan terkecil 0 ° sedangkan

−290 ° < 0 ° ( lebih kecil, sehingga −290° tidak menjadi himpunan penyelesaiannya / ¿

¿ tidak memenuhi ),demikian juga untuk :

430 ° > 360 ° ( 430 ° lebih besar 360 ° , sehingga 430 ° tidak menjadi himpunan penyelesaiannya /tidak memenuhi karena himpunan penyelesaian yang dimint a tertinggi/ terbesar adalah 360 ° )

Jadi Himpunan penyelesaian yang memenuhi

adalah :

b.

Sin 3 x = Sin 60 ° , untuk 0 ° ≤ x ≤ 360 °

Sin 3x = Sin 60° , α = 90°

dikuadran 1 3x = 60° + k× 360° x = 60° + k× 360°

3 = 20° + k × 120°

yo kita mulai dengan logika kita α = 90°> 0° , batas interval diminta juga positif (0°≤ x ≤360°) , mulailah

k diganti dengan 0 righ¿

¿¿

¿ ( )

¿

¿

k = 0 → x = 20° + 0 × 120° = 20° (memenuhi)

¿

k = 1 → x = 20° + 1 × 120° = 20° + 120° = 140° (memenuhi)

¿

k = 2 → x = 20° + 2 × 120° = 20° + 240° = 260° (memenuhi) k = 3 → x = 20° + 3 × 120° = 20° +¿360°= 380° (tidak memenuhi > 360°)

¿ dikuadran¿ 2

3x = (180−60)¿ ° + k× 360°

¿ x = 120°+ k× 360°

3 = 60° + k ×120° yo kita mulai dengan logika kita α = 90°> 0° , batas interval diminta juga positif (0°≤ x ≤360°) , mulailah

k diganti dengan¿ 0

¿

(¿^{) (}¿^{) (}¿⁾¿

¿ ¿ ¿

c. Sin 1

2x = Sin 1

3π , untuk 0° ≤ x ≤ 2π

Materi persamaan sinus 17 Juli 2021

Jadi himpunan penyelesaian dari : Sin 3 x = Sin 60 ° , untuk 0 ° ≤ x ≤ 360° adalah :

{ 20 ° , 60 ° , 140° , 180° , 260° , 300° }

Sin 1

2 x = Sin 1

3 π , α = 1

3 π ( dalam radian ) Dikuadran 1 :

1 2 x = 1

3 π + k × 2 π → x = 2 ( 1 3 π + k × 2 π ) = 2 3 π + k × 4 π x = 2

3 π + k × 4 π ( k dim ulai dari nol mengapa ? ... ) k = 0 → x = 2

3 π + 0 × 4 π = 2

3 π ( memenuhi ) k = 1 → x = 2

3 π + 1 × 4 π = 2

3 π + 4 π = 14

3 π ( Tidak memenuhi mengapa ? ... ) Dikuadran 2 :

1

2 x = ( π− 1 3 π ) + k × 2 π → = 2 3 π + k × 2 π x = 2 ( 2 3 π + k × 2 π ) = 4 3 π + k × 4 π x = 4

3 π + k × 4 π ( k dim ulai dari nol mengapa ? ... ) k = 0 → x = 4

3 π + 0 × 4 π = 4

3 π ( memenuhi ) k = 1 → x = 4

3 π + 1 × 4 π = 4

3 π + 4 π = 16

3 π ( Tidak memenuhi mengapa ? ... )

2. BENTUK Sin p x = a

Penyelesaian trigonmetri bentuk

Sin x = a

harus diubah dulu kedalam bentuk dasar persamaan trigonometri yang berbentuk

sin x = sin α

_,

p dan a merupakan kons tanta / bilangan real

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut :

a. sin 2x = 1

2 , untuk 0° ≤ x ≤360°

b. sin 1

3x = 1

2

√

^{3 , untuk 0 ≤ x ≤ 2π}

Penyelesaian : a. sin 2x = 1

2 , untuk 0° ≤ x ≤360°

Himpunan penyelesaian dari :

Sin 1

2 x = Sin 1

3 π, untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah :

{ 2 3 π , 4 3 π }

sin 2x = 1 2 , 1

2 diubah ke perbandingan trigonometri dengancara sudut berapa derajatkah yang nilai sinusnya = 1

2 , besar sudutnya adalah 30°

righ¿

¿¿

¿ ( )

¿

sin 2x =¿ sin 30°

¿¿

(¿^{) (}¿⁾¿

¿ ¿¿

¿

di kuadran 2 :

2 x = ( 180−30 ) ° + k × 360 °

2 x = 150 ° + k × 360° → x = 150 ° + k × 360°

2 = 75 ° + k × 180 °

x = 75 ° + k × 180 °

k = 0 → x = 75° + 0 × 180 ° = 75 ° ( memenuhi )

k = 1 → x = 75 ° + 1 × 180° = 75 ° + 180 ° = 255 ° ( memenuhi ) mengapa ibu tdak memasukkan k =2 ?

b. sin 1

3x = 1

2

√

^{3 , untuk 0 ≤ x ≤ 2π}

sin 1

3 x = 1

2 √ 3 , anda coba sudut berapa radian yang nilai sin usnya 1 2 √ 3

Sin ... π = 1

2 √ 3 , sehingga

sin 1

3 x = 1

2 √ 3 → sin 1 3 x = Sin ... π

Untuk kuadran 1 : 1

3 x = ... π + k × ... π

x = 3 ( ... π + k × ... π ) = π + k × 6 π k = 0 → x = π + 0 × 6 π = ....

k = 1 → x = π + 1 × 6 π = ....

Materi persamaan sinus 17 Juli 2021

Himpunan penyelesaian dari :

Sin 2x = 1

2 , untuk 0 ° ≤ x ≤ 360 ° adalah :

{ 15 ° , 75 ° , 19 5° , 255 ° }