DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ... i
DAFTAR ISI ... ………… ii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Tujuan Penulisan Modul... ………… 2
C. Sasaran ... 2
D. Ruang Lingkup ... 2
BAB II PENGEMBANGAN MATERI ... 3
KB-1: Konsep Dasar Pecahan ... ………….. 3
A. Kompetensi 4 (Kompetensi Profesional) ... ………… 3
B. Urutan Materi ... …………. 3
1. Pengertian Pecahan ... ……… 3
2. Penulisan dan Pembacaan Pecahan ... ……….. 6
3. Mengenal Konsep Pecahan Biasa ... ……… 7
4. Konsep Pecahan Desimal ... 9
5. Konsep Pecahan Senilai ... ……… 11
6. Konsep Membandingkan dan Mengurutkan Pecahan ... 14
7. Mengubah Bentuk Pecahan ... 17
C. Panduan Belajar ... ………. 20
D. Media Belajar ... 21
E. Evaluasi Belajar ... 21
KB-2 : Operasi Hitung pada Bilangan Pecahan………. ……….. 22
A. Kompetensi 4 (Kompetensi Profesional) ... …………. 22
KB-2 (1): Penjumlahan dan Pengurangan ……….. 22
B. Uraian Materi ……….. 22
1. Penjumlahan Pecahan ... ………. 22
2. Pengurangan Pecahan ... ………. 32
KB-2 (2): Perkalian dan Pembagian ... ……… 35
3. Perkalian Pecahan ... ……… 35
4. Pembagian Pecahan... ………. 44
D. Media Belajar ... 56
E. Evaluasi Belajar ... ………… 57
KB-3: Pecahan Sebagai Rasio atau Perbandingan ……… ……….. 58
A. Kompetensi 4 (Kompetensi Profesional) ……….. 58
B. Uraian Materi ……….. 58
C. Panduan Belajar ... ……… 59
D. Media Belajar ... 60
E. Evaluasi Belajar ... 60
BAB III PENUTUP ... 61
A. Simpulan ... ………….. 61
B. Kunci Jawaban ……… 61
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pecahan merupakan salah satu kajian inti dari materi matematika yang dipelajari peserta didik di Sekolah Dasar (SD)/MI (Madrasah Ibtidaiyah). Pembahasan materinya menitikberatkan pada konsep dan pengerjaan (operasi) hitung dasar yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, baik untuk pecahan biasa, desimal, maupun persen. Inventarisasi masalah yang dilakukan penulis pada saat Diklat (Pendidikan dan pelatihan) di PPPPTK (Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan) Matematika maupun di daerah terhadap guru pemandu dan pengawas SD tentang materi pecahan, menunjukkan adanya kelemahan-kelemahan. Kelemahan-kelemahan tersebut antara lain dalam penguasaan materi, metodologi, maupun media pembelajaran, untuk materi: mengubah pecahan dari bentuk satu ke bentuk yang lain, penjumlahan dan pengurangan pecahan yang berbeda penyebut, perkalian dan pembagian pecahan, serta rasio.
Berbicara mengenai pembelajaran matematika di SD/MI banyaklah kekurangan-kekurangan yang terjadi. Dari hasil diskusi dengan para peserta Diklat guru pemandu Matematika SD/MI di PPPPTK Matematika Yogyakarta dikemukakan bahwa pendekatan abstrak dengan metode ceramah dan pemberian tugas, sangatlah dominan dari setiap kegiatan pembelajaran. Sangat jarang dijumpai guru merencanakan pembelajaran matematika dengan menggunakan pendekatan nyata yang mengaktifkan dan menyenangkan peserta didik. Guru menganggap pembelajaran yang demikian tidak bermanfaat, membingungkan, menyita banyak waktu dan hasilnya belum tentu baik. Disamping itu kenyataan menunjukkan bahwa bekal kemampuan materi matematika dari guru SD/MI masih kurang memadai. Sehingga tidaklah mengherankan bila pembelajaran matematika yang dikelolanya menjadi kurang bermakna. Oleh sebab itu perlu kiranya para guru SD/MI diberikan bekal alternatif pembelajaran pecahan yang mengaktifkan siswa dengan pendekatan PAIKEM (pembelajaran yang aktif, inovatif, kreatif, efektif, dan menyenangkan).
B. Tujuan Penulisan Modul
C. Sasaran
Modul ini diperuntukan bagi para guru SD/MI yang mengikuti diklat pasca UKA (uji kompetensi awal)
D. Ruang Lingkup Isi Modul
Ruang lingkup materi dalam modul ini tersusun sebagai berikut. Bab I
Pendahuluan berisi : latar belakang, tujuan penulisan, sasaran, ruang lingkup penulisan. Bab II
Terdiri dari 3 kegiatan belajar (KB)
KB-1 mengupas tentang konsep dasar pecahan
KB-2 mengupas tentang operasi pecahan yang terdiri dari penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.
KB-3 mengupas tentang rasio atau perbandingan Bab III
BAB II
PENGEMBANGAN MATERI
Pembahasan dalam modul ini terdiri dari 3 kegiatan belajar (KB) sebagai berikut. KB-1 membahas tentang konsep dasar pecahan
KB-2 membahas tentang operasi pecahan meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian
KB-3 membahas tentang rasio atau perbandingan Setiap KB terdiri dari:
A. Kompetensi B. Uraian materi C. Panduan belajar D. Evaluasi belajar
A. Kompetensi 4 (kompetensi profesional)
Menguasai konsep dan metode keilmuan matematika yang mendukung pembelajaran matematika SD/MI
1. Sub kompetensi 4
4.2 Menguasai konsep bilangan, operasi, algoritma, dan sifat-sifat bilangan pecah 2. Indikator esensial
4.2.1 Menganalisis dan menerapkan sifat-sifat urutan bilangan pecah 4.2.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan pecah
B. Urutan Materi
1. Pengertian Pecahan
Pecahan yang dipelajari anak di SD/MI, sebetulnya merupakan bagian dari bilangan rasional yang dapat ditulis dalam bentuk
b a
campuran. Pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan senilai sebagai:
8 4 6 3 4 2 2
1
= ….
Kata pecahan berasal dari bahasa Latin ”fractio” yang berarti memecah menjadi bagian-bagian yang lebih kecil atau bagian dari keseluruhan. Sebuah pecahan mempunyai 2 bagian yaitu pembilang dan penyebut yang penulisannya dipisahkan oleh garis lurus (–) dan bukan garis miring (/). Contoh
3 2 , 2 1
dan seterusnya, bukan 1/2, 2/3. Pecahan biasa adalah lambang bilangan yang dipergunakan untuk melambangkan bilangan pecah dan rasio (perbandingan). Menurut Kennedy (1994:425–427) makna dari pecahan dapat muncul dari situasi-situasi sebagai berikut.
a. Pecahan menyatakan bagian yang berukuran sama dari satu utuh.
Pecahan biasa dapat digunakan untuk menyatakan bagian dari keseluruhan (1 utuh). Beberapa contoh kehidupan sehar-hari yang menggambarkan tentang pecahan, misal:
Apabila ibu mempunyai sebuah apel yang akan diberikan kepada 4 orang anaknya, dan masing-masing harus mendapat bagian sama, maka apel tersebut harus dipotong-potong menjadi 4 bagian yang sama. Sehingga masing-masing anak akan memperoleh
4 1
bagian
dari apel tersebut. Pecahan biasa
4 1
mewakili ukuran dari tiap-tiap potongan apel. Dalam
lambang bilangan
4 1
, ”4” menunjukkan banyaknya bagian-bagian yang sama dari suatu Gambar di samping menunjukkan papaya dipotong menjadi dua bagian yang sama, masing-masing bagian menunjukkan 1 dari 2 bagian
benda utuh dan disebut ”penyebut”. Sedangkan ”1” menunjukkan banyaknya bagian yang menjadi perhatian atau digunakan atau diambil pada saat tertentu dan disebut pembilang.
b. Pecahan menyatakan bagian dari kelompok-kelompok yang beranggotakan sama
banyak, atau juga menyatakan pembagian.
Apabila sekumpulan apel dikelompokkan menjadi 2 bagian yang beranggotakan sama banyak, maka situasinya jelas dihubungkan dengan pembagian. Situasi di mana sekumpulan apel yang banyaknya 12, dibagi menjadi 2 kelompok yang beranggotakan sama banyak, maka kalimat matematikanya dapat 12 : 2 = 6 atau
2
1 12 = 6. Sehingga
untuk mendapatkan 2
1 dari 12 apel, maka kita harus memikirkan 12 apel yang
dikelompokkan menjadi 2 bagian yang beranggotakan sama. Banyaknya anggota masing-masing kelompok, terkait dengan banyaknya apel semula, dalam hal ini
2 1 dari
banyaknya apel semula yaitu 2
1 dari 12.
Hal lain juga dapat terjadi pada pembagian bilangan yang menghasilan pecahan campuran sebagai berikut ini.
Di dalam kardus terdapat 5 roti mini sisa arisan. Ibu menyuruh 2 anaknya
untuk makan roti tersebut. Berapa bagian diperoleh setiap anak?
Ada 12 apel yang
dikelompokkan menjadi 2. Kalimat matematika
12 : 2 = 6 atau 2 1
c. Pecahan sebagai perbandingan (rasio)
Hubungan antara sepasang bilangan sering dinyatakan sebagai sebuah perbandingan. Berikut diberikan contoh situasi yang biasa memunculkan perbandingan.
Ketiga situasi tersebut semuanya dikenalkan kepada siswa, dengan urutan kelas yang berbeda. Untuk tahap pertama, konsep pecahan dikenalkan dengan memunculkan situasi yang pertama yaitu pecahan sebagai bagian dari yang 1 utuh.
2. Penulisan dan Pembacaan Pecahan
Telah disampaikan pada bagian 1 bahwa secara simbolik pecahan dapat dinyatakan sebagai salah satu dari: pecahan biasa, pecahan desimal, persen dan pecahan campuran. Berdasarkan hal tersebut maka dalam penulisan lambang bilangan, penyebutan nama pecahan maupun pengucapan untuk masing-masing pecahan akan berbeda.
No Penulisan Nama Pecahan Pengucapan
Benar Salah
1.
2
1 pecahan biasa setengah, satu perdua, seperdua 2.
3 2
4 pecahan campuran empat, dua pertiga
(dengan jeda)
empat dua pertiga (tanpa jeda) 3. 0,75 pecahan desimal nol koma tujuh lima Tujuh puluh lima
perseratus/tujuh lima perseratus/nol koma tujuh puluh lima
4. 20% Persen dua puluh persen
buku biru 3 buku merah 7
Dalam kelompok yang terdiri dari 10 buku terdapat 3 buku yang bersampul biru. Perbandingan buku yang bersampul biru terhadap keseluruhan buku adalah 3 : 10 atau buku yang bersampul biru
10
3. Mengenal Konsep Pecahan Biasa.
Untuk mengenal konsep pecahan biasa, dapat dimulai dengan soal cerita sebagai berikut.
Kegiatan pembelajaran untuk mengenal konsep pecahan biasa akan lebih berarti bila didahului dengan soal cerita yang menggunakan obyek-obyek nyata misal: telur, apel, tomat, tahu, martabak, yang dilanjutkan dengan blok pecahan atau kertas yang diarsir.
Menggunakan benda kongkrit
Menggunakan blok pecahan
Peraga selanjutnya dapat berupa daerah-daerah bangun datar beraturan misalnya persegi, persegipanjang, atau lingkaran yang akan sangat membantu dalam memperagakan konsep pecahan. Pecahan
2 1
dapat diperagakan dengan cara melipat kertas berbentuk Ibu mempunyai sebutir telur rebus yang akan diberikan kepada 2 orang anaknya.
Bagaimana caranya agar masing-masing anak mendapat bagian yang sama? Apa yang harus dilakukan ibu? Berapakah bagian yang didapat setiap anak?
bagian yang dilipat dibuka dan diarsir sesuai bagian yang dikehendaki. Sehingga akan didapatkan gambar daerah yang diarsir seperti berikut ini.
yang diarsir menyatakan 2 1
yang diarsir menyatakan 2 1
yang diarsir menyatakan 2 1
Peragaan tersebut di atas dapat dilanjutkan untuk pecahan an 8 1 , an 4 1
dan sebagainya, seperti gambar berikut ini.
yang diarsir menyatakan 4 1
yang diarsir menyatakan 4 2
yang diarsir menyatakan 8 3
(dibaca seperempat atau (dibaca dua perempat) (dibaca tiga perdelapan) satu per empat)
yang diarsir menyatakan
4 1
yang diarsir menyatakan
4 2
yang diarsir menyatakan
8 3
Selain melipat dan mengarsir pada kertas, peragaan dapat pula menggunakan blok pecahan, pita atau tongkat yang dipotong yaitu diartikan sebagai pendekatan pengukuran panjang, yang pada perkembangan berikutnya dapat bermanfaat untuk mengenalkan letak pecahan pada garis bilangan.
Pita dipotong menjadi 2 bagian yang sama panjang untuk memperagakan pecahan . 2 1
0 2 1
1 = 2 2
4. Konsep Pecahan Desimal
Pecahan desimal adalah pecahan yang mempunyai penyebut khusus yaitu sepuluh, seratus, seribu dan seterusnya. Contoh soal cerita yang dapat diangkat untuk belajar pecahan desimal adalah sebagai berikut.
Untuk belajar konsep pecahan desimal, dapat dimulai dengan konsep pecahan persepuluhan dan dilanjutkan dengan pecahan perseratusan. Untuk pecahan perseribuan caranya analog dengan yang lain.
a. Mengenalkan konsep persepuluhan
Mengenal
10 1
dengan peragaan. Cara penulisan dan pembacaan.
Angka yang kita gunakan dalam penulisan ada 10 yaitu 0, 1, 2, …, 9. Karena
10 1
kurang dari 1 maka satuannya adalah 0 dan ditulis 0. Sedangkan angka yang berikutnya disepakati (di Indonesia) dipisahkan dengan tanda koma ( , ) yang menunjukkan persepuluhan. Dalam hal ini pecahan yang dimaksud bukan pecahan campuran.
Cara menuliskan pecahan desimal persepuluhan dapat diurutkan dengan alternatif sebagai berikut ini.
Pembilang dipindahkan dibelakang koma
1 , 0 10
1
(dibaca nol koma satu)
Berikutnya mengenal penulisan dan pembacaan dari pecahan
10 9 ,..., 10
3 , 10
2
Pembilang dipindah dibelakang koma
2 , 0 10
2
(dibaca nol koma dua)
9 , 0 10
9
(dibaca nol koma sembilan)
10 1
satuan
1 angka (persepuluhan)
1 angka
1 angka
Di toko kain Laris dijual obral sisa-sisa kain yang ukuran dan harganya ditulis sebagai berikut. 1,5 m kain katun kembang harga Rp25.000,00; 2,4 m kain katun garis harga Rp70.000,00;
1,25 m kain wool harga Rp75.000,00 dan sebagainya.
Apa yang
dimaksud dengan 1,5 m; 2,4 m; dan 1,25 m?
b. Mengenalkan konsep perseratusan
Dimulai dengan mengenal
100 10
dengan peragaan Pembilang dipindah dibelakang koma
0,10 100
10
Cara penulisan dan pembacaan
10 , 0 100
10
(dibaca nol koma satu nol)
11 , 0 100
11
(dibaca nol koma satu satu)
99 , 0 = 100
99
(dibaca nol koma sembilan sembilan)
Untuk selanjutnya perlu pengalaman dalam menemukan cara menuliskan pecahan perseratusan meliputi
100 9 ,...., 100
2 , 100
1
dalam desimal dan pengucapannya.
, 0 = 100
1 - -
Ternyata semua sudah ada yang menggunakan yaitu
100 19 ,.... 100
13 , 100
12 , 100
11 , 100
10
. Berarti bila 1 terletak di depan salah. Jadi 1 harus terletak dibelakang. Seterusnya, bila 1 terletak di belakang maka yang di depan harus dicari dengan cara seperti tadi.
2 angka
satuan perseratusan
2 angka
harus 2 angka dst
Kesimpulan yang diharapkan adalah: bila penyebut perseratusan maka dibelakang koma ada 2 angka.
Bagaimana memperkirakan cara menulis dan membaca pecahan desimal perseratusan? Menulis 1 ....
100
Jika 0, 100
1
0,11 100
1
sudah ada yaitu
100 11
, jadi angka yang di depan bukan 1
0,21 100
1
sudah ada yaitu
100 21
, jadi angka yang di depan bukan 2 Dan seterusnya, hingga
100 91 100
1
sudah ada yaitu
100 91
, jadi angka yang di depan bukan 9
Setelah dicermati hanya angka 0 yang belum digunakan, maka 0,01 100
1
Selanjutnya mencari cara menuliskan ,... 100
2
100 9
0, 100
2
, 0 100
9
- -
Dengan melaksanakan kegiatan ini diharapkan akan diperoleh pengalaman yang banyak untuk menuliskan pecahan desimal persepuluhan dan perseratusan.
5. Konsep Pecahan Senilai
Pecahan senilai biasa disebut juga pecahan ekivalen. Soal cerita yang berhubungan dengan pecahan senilai dapat dicontohkan sebagai berikut.
Dari peragaan menggunakan apel tersebut terlihat bahwa apel yang dimakan adik adalah
4 2
atau
2 1
. Selanjutnya peragaan yang dapat dilakukan untuk menunjukkan pecahan senilai dapat diperagakan sebagai berikut.
2 angka
2 angka
a. Peragaan dengan kertas
Kita akan menunjukkan contoh bahwa
8 4 4 2 2
1
dengan menggunakan 3 lembar kertas yang berbentuk persegipanjang. Anggap selembar kertas itu sebagai 1 bagian utuh. Satu lembar kertas dilipat menjadi 2 bagian yang sama, setiap bagian mewakili bilangan .
2 1
Kemudian 1 lembar yang lain dilipat menjadi 2 bagian yang sama, sehingga bagian yang mewakili 1
2 tadi menjadi 4. 2
Bila digambarkan lipatan-lipatan tersebut sebagai berikut. 1 lembar kertas yang ke 1
Dilipat menjadi 2 bagian yang sama
yang diarsir 2 1
1 lembar kertas yang ke 2
Setiap bagian dilipat lagi menjadi 2 bagian yang sama.
yang diarsir 4 2
1 lembar kertas yang ke 3
yang diarsir 8 4
yang diarsir 8 4
Pada gambar di atas tampak jelas bahwa
2 1
senilai dengan
8 4 dan 4 2
, sehingga
2 4
.
4 8
1
2 Disamping menggunakan kertas yang dilipat, kita dapat pula
memperagakan pecahan senilai dengan blok pecahan.
b. Peragaan dengan garis bilangan
Pecahan senilai dapat pula ditunjukkan dengan menggunakan alat peraga garis bilangan. Berikut ini ditunjukkan beberapa pecahan senilai dengan menggunakan garis bilangan, yang digambarkan pada kertas berpetak.
c. Peragaan dengan tabel pecahan
Pecahan yang senilai dengan
4 digunakan media tabel perkalian. Tabel perkalian tersebut biasa digunakan siswa di kelas sebelumnya.
Tabel perkalian yang digunakan untuk tabel pecahan senilai
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dengan memperhatikan tabel di atas kita akan temukan
28
dan sebagainya. Kegiatan dilanjutkan untuk mencari pecahan-pecahan senilai yang lain. Dari peragaan dapat disimpulkan bahwa untuk mencari pecahan yang senilai dapat
Cara penggunaan tabel Misalnya kita ambil baris pertama sebagai pembilang dan baris keempat sebagai penyebut.
Dengan menggunakan penggaris dapatlah diurutkan dari atas ke bawah dan ditemukan bahwa:
Pada perkembangan berikutnya pecahan senilai dapat dimanfaatkan untuk mempelajari: (1) mengurutkan pecahan; (2) menjumlah dan mengurang pecahan yang berbeda penyebut.
6.Konsep Membandingkan dan Mengurutkan Pecahan
Pada saat siswa belajar membandingkan dan mengurutkan pecahan, diperlukan pengalaman-pengalaman sehingga menghasilkan temuan-temuan khusus. Berikut disajikan alternatif dari kegiatan membandingkan dan mengurutkan pecahan.
a. Penanaman konsep
1) Peragaan dengan menggunakan bangun-bangun geometri atau blok pecahan
Bangun-bangun geometri dapat dimanfaatkan sebagai alat untuk membandingkan dan mengurutkan pecahan biasa. Bahan yang digunakan sebaiknya mudah dilipat, diwarnai atau dipotong untuk mengurutkan luasan dari daerah bangun-bangun, sehingga dapat dilihat urutan dari luasan yang mewakili urutan dari bilangannya.
Dari peragaan bangun tersebut bila luasannya dibanding-bandingkan akan tampak bahwa
, dan seterusnya yang diarsir
2
1 yang diarsir 4
3 yang diarsir 8
yang diarsir
Karena utuh sudah sama maka tinggal melihat yang tidak utuh yaitu
4 1
… 8 5
. Dari gambar terlihat bahwa 4
2) Peragaan dengan menggunakan pita atau kepingan-kepingan pecahan. Kepingan pecahan berguna untuk membandingkan pecahan biasa
Dari peragaan dan gambar tersebut, siswa akan dapat membandingkan dan sekaligus mengurutkan bilangan-bilangan pecahan yang diinginkan.
3) Dengan menyamakan penyebut Kita bandingkan , menentukan pecahan senilainya lebih dulu. Kegiatan ini akan lancar dilakukan oleh siswa bila penanaman konsep pecahan senilai dipahami dan telah dilatihkan keterampilannya oleh guru. Jadi akan ditemukan .
12
penyebutnya sama kita bandingkan pembilangnya. Karena 9 > 8 maka . 12
b. Keterampilan/teknik cepat membandingkan pecahan
Setelah penanaman konsep dipahami oleh siswa, maka kegiatan keterampilan/ teknik cepat perlu pula dilatihkan. Ada beberapa teknik cepat yang biasa dilakukan. 1) Pembilang sama
Dari pengalaman-pengalaman peragaan dapat dilihat bahwa
4 3
>
6 3
>
8 3
;
8 2 6 2 4 2 3
2
. Pada pecahan positip, bila pembilangnya sama, maka pecahan yang nilainya lebih dari adalah pecahan yang penyebutnya mempunyai angka bernilai kecil. Sedangkan untuk pecahan negatip akan terjadi sebaliknya. Mengapa?
2) Penyebutnya sama
Pecahan yang penyebutnya sama mudah dibandingkan melalui peragaan-peragaan luas daerah maupun kepingan-kepingan pecahan.
Contoh.
. 7 5 dengan 7
3
Pada pecahan positip, bila penyebutnya sama, maka pecahan yang lebih dari adalah pecahan yang pembilangnya mempunyai angka lebih dari yang lain.
3) Pembilang dan penyebut tidak sama
Bila pembilang dan penyebutnya tidak sama, maka guru sering kali menggunakan cara silang. Cara silang sebenarnya adalah mencari pecahan senilainya yaitu dengan menyamakan penyebut. Hal ini dapat dibenarkan bila guru telah memberikan konsep atau nalarnya, sehingga siswa mengetahui alasan dari perkalian silang tersebut. Meskipun demikian perkalian silang ini semata-mata hanya teknik supaya cepat dalam menentukan hasil.
5 2 4 3 5 2 ... 4 3
→ berarti
20 8 ... 20 15
. Tanda yang tepat adalah ” > ”, maka 5 2 > 4 3
.
7. Mengubah Bentuk Pecahan x
15 8
Ada 3 keping
7 1
dan 5 keping
7 1
. Maka akan mudah ditentukan bahwa 5 keping sepertujuan akan lebih dari yang 3 keping
a. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal
Untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal, dicari dahulu pecahan senilainya yang penyebutnya berbasis sepuluh (persepuluhan, perseratusan, perseribuan dan sebagainya). Penggunaan pecahan desimal dapat dimunculkan dalam pembelajaran antara lain sebagai berikut.
Contoh. 1)
5 2
5 1 10
5 2 1
ditulis 0,5 dan dibaca nol koma lima
2)
25 4
25 1 100
25 4 1
ditulis 0,25 dan dibaca nol koma dua lima
Untuk mengubah bentuk pecahan biasa menjadi peahan desimal dapat dilakukan dengan cara “menjadikan” penyebutnya dalam 10, 100, 1000, dst.
Contoh:
3) 0,375
1000 375 125
8 125 3 8
3
(dibaca nol koma tiga tujuh lima)
b.Mengubah pecahan biasa menjadi persen atau sebaliknya
Persen artinya perseratus. Sehingga nama pecahan biasa yang penyebutnya seratus diberi nama persen dengan lambangnya %. Untuk mengubah pecahan biasa menjadi persen, dicari lebih dahulu pecahan senilainya yang berpenyebut 100. Pecahan persen seyogyanya dibicarakan saat pembelajaran pecahan desimal yang berpenyebut 100. Contoh penggunaan persen dalam kegiatan sehari-hari disajikan berikut.
melihat peragaan gambar
Gambar di atas menunjukkan suasana toko yang memberikan potongan harga dalam bentuk persen
Cara mengubah pecahan biasa menjadi persen dapat dilakukan seperti contoh ini.
%
Sebaliknya untuk mengubah persen menjadi pecahan biasa, dapat dilakukan dengan mengubah persen menjadi perseratus, yang selanjutnya diubah menjadi pecahan yang paling sederhana.
Contoh.
Apabila siswa sudah mengenal FPB, dapat diterapkan kegunaannya untuk menyederhanakan pecahan. Contoh FPB (25, 100) = 25. Jadi pembagi untuk pembilang dan penyebutnya adalah 25.
12,5% =
c. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran dan sebaliknya
1) Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran
Mengubah pecahan biasa (yang pembilangnya lebih dari penyebutnya) menjadi pecahan campuran dilakukan dengan cara penanaman konsep (menggunakan peragaan) dan tehnik (menggunakan pembagian bersusun). Permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan hal tersebut dapat diberikan contoh sebagai berikut.
Menggunakan peragaan Ada
2 1
- an kg gula sebanyak 7 kantong atau dalam kalimat matematika
2 7
Ubahlah pecahan
2 7
menjadi pecahan campuran Langkah 1
Wujudkan
2 7
dengan cara menggambar
2 1
-an sebanyak 7 sebagai berikut.
Ibu membeli gula pasir sebanyak 7 kantong plastik. Setiap kantong berisi
2 1
Ada 7 bagian masing-masing setengahan (
2 1
-an) Langkah 2
2 1
Menggunakan pembagian
Bila peragaan telah dilakukan, selanjutnya siswa perlu pula dilatih untuk cara cepat/tehnik dengan pembagian. Hasil bagi (7:2) = 3, sisanya 1. Sehingga
2 1 3 2 7
. Atau dengan cara pembagian bersusun sebagai berikut.
3 7 2
Sehingga diperoleh
2 1 3 2 7
. Secara umum dapat ditulis
2) Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa
Bila siswa mau mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa maka langkahnya merupakan kebalikan dari mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran dengan menggunakan gambar persegi panjang.
Ubahlah 2
3 2
menjadi pecahan biasa.
Dengan peragaan Langkah 1 Dibuat pecahan 2
3 2
yaitu 2 persegi panjang utuh dan
3 2
-an. –
(sisa) (hasil)
b a
hasil bagi (a:b) + ;a b.
b sisa
Jadi
2 7
= 3
2 1
6
1
2
-an untuk persegi panjang yang utuh.
Berilah nomor masing-masing bagian.
Secara mekanik 2
C. Panduan Belajar
Panduan belajar ini menggambarkan proses pembahasan modul yang akan dilaksanakan untuk mapel matematika topik pecahan KB-1.
8
1. Tujuan/kompetensi yang diharapkan 2. Skenario kegiatan
PROSES
Pembahasan topik konsep dasar pecahan:
praktek/demonstrasi/diskusi/ tanya jawab
PENUTUP
1. Evaluasi KB-1 2. Refleksi
Pada tahap proses peserta melakukan kegiatan yang memahamkan konsep-konsep dasar pecahan meliputi konsep pecahan: biasa, senilai, desimal, persen, campuran.
Modul ini digunakan dalam pelatihan guru dengan cara: 1. peragaan/praktek/demonstrasi
2. diskusi 3. tanya jawab
D. Media Belajar
Media yang digunakan untuk membahas KB-1 modul ini meliputi:
1. LCD/laptop
2. papan tulis/whiteboard 3. kertas lipat/tali rafia/pita 4. blok pecahan
E. Evaluasi Belajar
1. Ubahlah pecahan desimal berikut ini menjadi pecahan biasa
a. 0,111….
b. 0,333….
c. 0,666….
2. Hasil dari 6
8
= ….%
3. Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan, masing-masing dikurangai 5,
akan diperoleh pecahan 1
2. Bila pembilang dan penyebut keduanya ditambah
1, maka pecahan sama dengan 2
3. Hitung jumlah pembilang dan penyebut
pecahan itu. (langkah cerdas menuju olimpiade matematika seri 2 halaman 25).
Pada KB-2 ini akan diuraikan tentang operasi hitung pecahan yang meliputi: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Baik untuk pecahan biasa, pecahan campuran, maupun pecahan desimal.
Menguasai konsep dan metode keilmuan matematika yang mendukung pembelajaran matematika SD/MI
3. Sub kompetensi 4
4.2 Menguasai konsep bilangan, operasi, algoritma, dan sifat-sifat bilangan pecah 4. Indikator esensial
4.2.1 Menganalisis dan menerapkan sifat-sifat urutan bilangan pecah 4.2.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan pecah 4.2.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan/rasio.
B. Uraian Materi
1. Penjumlahan Pecahan
a. Penjumlahan pecahan biasa
1) Penjumlahan pecahan biasa berpenyebut sama
Guru dapat menyampaikan soal cerita sebelum pembelajaran dilaksanakan, agar pemahaman anak menjadi utuh tentang permasalahan yang akan dibahas.
Permasalahan tersebut dalam kalimat matematika dapat ditulis
4 1
+
4 1
= ….
Penjumlahan pecahan tersebut dapat diperagakan dengan model kongkret menggunakan media gambar arsiran.
Peragaan digabung
Kakak dan adik masing-masing makan
4 1
bagian dari satu coklat batangan. Berapa bagian jumlah coklat yang dimakan oleh kakak dan adik?
Coklat yang dimakan kakak
Coklat yang dimakan adik
Dalam peragaan terlihat bahwa hasil dari penjumlahan tersebut adalah
4 2
. Dalam kalimat matematika ditulis:
4 1
+
4 1
=
4 2
.
Dengan melihat gambar terlihat bahwa hasil dari penjumlahan tersebut adalah
4 3
. Dalam kalimat matematika dapat
dituliskan:
4 2
+
4 1
=
4 3
.
Guru dapat meningkatkan pemahaman anak dengan menjumlahkan pecahan yang lain. Contoh: ...
6 3 6 2
.
Dengan menggunakan daerah yang diarsir
bagian yang diarsir digabung
Dhika makan
4 2
bagian martabak. Sedangkan Diar makan
4 1
bagian dari martabak yang sama. Berapa bagian jumlah martabak yang dimakan mereka berdua?
Martabak yang dimakan Diar
Yang diarsir martabak yang dimakan Dhika dan Diar Coklat yang dimakan
kakak dan adik
Martabak yang dimakan Dhika
Kegiatan dilanjutkan untuk mencari simpulan secara umum dengan cara anak mengisi LKS ( lembar kerja siswa) individu atau kelompok.
Simpulan yang diperoleh dari kegiatan peragaan tersebut antara lain sebagai berikut.
dan seterusnya.
Peragaan dapat menggunakan garis bilangan sebagai berikut.
bagian yang
diarsir digabung menjadi
Simpulan yang diharapkan didapat anak secara umum adalah penjumlahan pecahan yang berpenyebut sama dapat diperoleh hasilnya dengan menjumlah pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap.
6 5
diperoleh dari melihat gambar
Mulai dari nol (0) kekanan sampai
6 2
dan dilanjutkan
6 3
lagi, sehingga menjadi
6 5
atau .
6 5 6 3 6
2
Garis tebal menggambarkan hasil akhir. Peragaan dapat dilanjutkan untuk pecahan-pecahan yang lain.
2) Penjumlahan pecahan yang beda penyebut
Saat anak mempelajari materi ini, mereka harus diberikan pengalaman-pengalaman dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh dapat dikemukakan cerita berikut ini.
4
1 + 2
1 = 4 3
Pada peragaan ini tampak bahwa hasil akhir adalah , 4
3 berarti
.
4
3
2
1
4
1
Tampak
pula bahwa . 4 2 2 1
Sehingga
4 3 4
2 1 4 2 4 1 2 1 4
1
.
Penjumlahan pecahan berpenyebut tidak sama dapat dipermudah bila diperagakan dengan menggunakan 2 kertas yang dilipat. Kertas yang digunakan sebaiknya berbeda warna, agar terlihat nilai dari masing-masing pecahan yang dijumlahkan. Dalam hal ini pecahan yang dijumlahkan dibatasi hasilnya tidak lebih dari 1 agar tidak membingungkan peserta didik. Sebaiknya penyebut tiap pecahan juga tidak terlalu besar, agar tidak banyak lipatan yang terjadi. Karena lipatan-lipatan tersebut menggambarkan penyebut persekutuan. Proses memperoleh hasil lipatan tidak selalu sama, tergantung penyebut pecahan yang dijumlahkan. Namun
digabung menjadi
Adik mempunyai kue 4
1 bagian yang didapat dari kakak. Kemudian ibu
memberinya sepotong lagi yang besarnya 2 1
bagian. Berapa kue adik sekarang?
Contoh :
2 1
+
4 1
= …….. Langkah 1
Ambil 2 kertas yang mempunyai panjang sama, dan warna yang berbeda. Kertas ke-1 bentuklah menjadi pecahan
2 1
dengan cara melipat menjadi 2 bagian yang sama , diberi garis pada lipatannya dan 1 bagian diarsir yang menggambarkan nilai dari pecahan tersebut. Selanjutnya kertas ke 2 dilipat menjadi 4 bagian sama, diberi garis pada setiap lipatan, dan 1 bagian diarsir untuk menggambarkan pecahan
4 1
.
Langkah 2
Setelah masing-masing pecahan terbentuk, maka gabungkan bagian-bagian yang diarsir dengan cara kertas ke-2 dilipat dan hanya diperlihatkan pecahan
4 1
-an saja, kemudian tempelkan terus pada kertas yang ke-1 seperti berikut ini.
Langkah 3
Lipatlah sisa atau bagian yang tidak diarsir kebelakang dan kedepan dengan ukuran sama dengan sisa yang ada. Dalam hal ini baik kertas yang ke-1 maupun yang ke-2 ikut dilipat. Lipatan diteruskan sampai semua kertas terlipat habis dengan ukuran Panjang kertas sama dan warna berbeda
kertas ke-1
kertas ke-2
Kertas ke-2 dilipat dan hanya diperlihatkan 4
1
-annya atau diperlihatkan arsirannya saja. kertas ke-2
Lipatan 4 1
-an digabung dengan lipatan
2 1 kertas ke-1
Sisa dari kertas ke-1 4
1 2 1
4 1
sama. Maka akan terlihat lipatan-lipatan yang menunjukkan penyebut persekutuan seperti gambar.
Langkah 4
Bukalah lipatan-lipatan dari 2 kertas yang ada. Maka akan terlihat bahwa pecahan
2 1
menjadi
4 2
dan pecahan
4 1
masih tetap. Dari kegiatan ini anak mendapat pengalaman bahwa 2 pecahan menjadi sama penyebutnya dan hasil dari penjumlahan akan terlihat.
Bila peragaan tersebut diulang untuk penjumlahan pecahan yang lain, maka anak akan mempunyai pengalaman bahwa:
Sisa dilipat ke belakang
Hasil akhir dari lipatan
bila menjumlah pecahan dengan penyebut tidak sama, supaya dapat memperoleh hasil maka penyebutnya harus disamakan terlebih dahulu, dengan cara mencari pecahan senilainya
sisa dilipat lagi
30 Peragaan dan soal di atas masih mudah, karena penyebut yang satu merupakan kelipatan dari yang lain. Bila permasalahan berkembang menjadi
6 1 8 3
maka anak harus mencari penyebut persekutuan. Kendala timbul bila anak belum belajar KPK. Satu cara untuk membantu menentukan penyebut persekutuan adalah dengan mendaftar pecahan-pecahan yang senilai untuk setiap pecahan. Sehingga anak mempunyai pengalaman untuk memperoleh penyebut yang senilai paling kecil yang tepat untuk diambil.
56 bahwa beberapa pecahan mempunyai penyebut yang sama. Ini membantu siswa menyadari, bahwa terdapat lebih dari satu pasang penyebut persekutuan untuk kedua pecahan. Salah satu pasangan (ternyata penyebutnya merupakan KPK dari kedua penyebut) dapat digunakan untuk menjumlah atau mengurangi pasangan pecahan yang tidak sama penyebutnya.
Bila KPK sudah dipelajari maka selanjutnya model abstrak dapat dilakukan.
sebagai kunci untuk menentukan penyebut persekutuan dari penjumlahan beberapa pecahan yang berbeda penyebut sebagai berikut.
Bila tiap-tiap penyebut merupakan bilangan prima, misal 2, 3, dan 5. Maka penyebut persekutuannya adalah perkalian dari ke tiga bilangan tersebut, yaitu 2 3 5 = 30.
Bila penyebut yang satu merupakan kelipatan dari penyebut-penyebut yang lain atau penyebut yang satu dapat dibagi oleh penyebut-penyebut yang lain, misal penyebut pecahan adalah 2, 4, dan 8, maka penyebut persekutuannya adalah penyebut yang paling besar. Karena 8 dapat dibagi 2 dan 8 dapat dibagi 4.
b. Penjumlahan pecahan desimal
Penjumlahan pecahan desimal dapat diperagakan menggunakan gambar yang diarsir dengan cara mengacu pada pecahan biasa dan pecahan campuran yang berpenyebut persepuluhan. Peragaan tersebut hanya merupakan jembatan untuk menghitung secara mekanik. Agar notasi bilangan yang dijumlahkan lurus, maka guru dapat memulai pembelajaran dengan menggunakan kertas berpetak dan penjumlahan dilakukan dengan cara susun ke bawah .
1). Penjumlahan pecahan desimal yang bukan pecahan campuran
Contoh 1: 0, 4 + 0, 8 = ….
Untuk membelajarkan pecahan desimal seperti di atas, jika masih diperlukan guru dapat memulainya dengan merubah penjumlahan pecahan desimal menjadi pecahan biasa, kemudian dicari hasilnya sesuai aturan penjumlahan pecahan yang berpenyebut sama.
10 4
+
10 8
=
10 12
= 1
10 2
Hasil penjumlahan yang telah ditemukan dicocokkan dengan hasil penjumlahan bilangan yang menggunakan aturan penjumlahan bilangan asli susun ke bawah.
0 , 4
0 , 8 +
Dalam melakukan penjumlahan seyogyanya guru melatih peserta didik mengetahui dan dapat mengucapkan kedudukan dari setiap bilangan sesuai nilai tempatnya.
Contoh pengucapan untuk soal di atas sebagai berikut. Menyimpan 1
1
0 , 4
0 , 8 +
1 , 2
2). Penjumlahan pecahan desimal campuran
Contoh 1 : 22,5 + 18,2 =…… menyimpan 1
1
2 2 , 5
1 8 , 2 +
4 0 , 7
Contoh 2: 12,5 + 8,25=……
menyimpan 1 1
1 2 , 5 0
8 , 2 5 +
2 0 , 7 5
Dalam pikiran diberi tambahan nol, agar memudahkan siswa dalam menambahkan. Karena 12,5 sama nilainya dengan 12,50
“Nol koma empat ditambah nol koma delapan. Empat dan delapan nilai tempatnya per sepuluhan”. Pengucapan untuk penjumlahan susun ke bawah sebagai berikut.
” Empat persepuluhan ditambah delapan
persepuluhan, hasilnya dua belas persepuluhan. Dua persepuluh ditulis ditempat persepuluhan, sedangkan sepuluh persepuluhan atau satu kemudian ditambah nol satuan hasilnya satu, dan ditulis di tempat satuan”. Koma untuk hasil lurus dengan koma yang lain. Hasilnya adalah satu koma dua.
c. Penjumlahan pecahan campuran
Materi ini dipelajari anak pada kelas V dan pada umumnya guru melaksanakan pembelajaran dengan tehnik atau cara singkat. Oleh sebab itu pada alternatif pembelajaran kali ini diperagakan dengan menggunakan bangun geometri seperti contoh berikut ini.
Mewakili 1 kg
....
2 1 1 4 3
2
Bagian yang tidak utuh digabung, kemudian dibandingkan dengan yang satu utuh. Maka dapat diketahui hasilnya lebih dari 1.
4 3
2 1
4 3
4 2
3
2
Bagian yang utuh digabung
Ayah membeli 2 ekor ayam. Berat tiap-tiap ayam adalah 2
4 3
kg dan 1
2 1
kg. Berapa kg berat 2 ekor ayam tersebut?
4
3 1
2 1
Selanjutnya proses penjumlahan berbeda penyebut (telah dipelajari sebelumnya), namun tidak menggunakan peraga lipatan.
Dari peragaan di atas kemudian dialihkan menjadi penjumlahan dengan simbol.
2. Pengurangan Pecahan
a. Pengurangan pecahan biasa
Pengurangan pecahan biasa dapat diragakan dengan model kongkret berikut ini.
3) Dengan menggunakan luas daerah
Contoh peragaan diperluas sehingga anak mempunyai pengalaman-pengalaman yang banyak. Dari peragaan-peragaan dapatlah disimpulkan bahwa:
4) Dengan menggunakan garis bilangan dihapus arsirannya
5 1
pengurangan pecahan yang berpenyebut sama dapat dilakukan dengan
5 1 3 = 5 2 = 5 1 5
3
Catatan : garis tebal menggambarkan hasil akhir. b. Pengurangan pecahan campuran
Contoh: ....
4 2 2 4 1 5
Hasil akhir
3
4 1
5
diambil 2
ta
h
a
p
1
3
ta
h
a
p
2
4 5 2
ta
h
a
p
2
bila diambil 4 2
kurang
sehingga mengambil yang utuh.
adalah 4
Hasil lipatan yang sisa
5 3
Secara mekanik sebagai berikut
1 2
5 2 ....
4 4
51 22= 5 2 +
1 2= 3 +1 2= 2 + 1 1 24 4 44 44 4 4
= 2 1 1 2
4 4
= 2 1 4 2
4 4 4
=
4 3 2 4 2 4 1
2
3. Perkalian Pecahan
a. Perkalian pecahan biasa
1) Perkalian bilangan asli dengan pecahan biasa
Permasalahan bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan ada dalam kehidupan nyata sehari-hari dengan contoh-contoh sebagai berikut.
Dalam pelaksanaan pembelajaran diharapkan diberikan contoh-contoh permasalahan sehari-hari untuk memahamkan konsep kepada anak. Benda-benda kongkret sederhana seperti pita atau tali dapat dijadikan media pembelajaran sebelum masuk pada tahap semi kongkret berupa gambar. Berikut ini diberikan contoh alternatif penyelesaian dari 2 permasalahan.
Contoh 1
Setiap anak memerlukan 5
1 meter pita untuk membuat kerajinan bunga. Berapa meter pita yang diperlukan bila ada 3 anak yang mau membuat kerajinan bunga?
Setiap anak memerlukan 5
2 meter pita untuk membuat tali kado. Berapa meter pita yang diperlukan oleh 3 anak untuk membuat tali kado?
Setiap resep kue kering memerlukan 4
1 kg gula
halus. Berapa kg gula yang diperlukan bila bu Adit mau membuat 10 resep kue?
Ani, Beta, dan Cica akan membuat bunga dengan masing-masing memerlukan 5 1 meter pita. Berapa meter pita yang diperlukan untuk 3 anak?
Bila setiap anak memerlukan
Dengan menggunakan konsep penjumlahan berulang akan didapat konsep perkalian sebagai berikut.
pita. Berapa meter pita yang diperlukan untuk 3 orang anak?
Bila setiap anak memerlukan
5
2 m pita, maka 3 anak memerlukan … m pita.
Kalimat matematika yang bersesuaian adalah 3 5 perkalian.
Jadi pita yang diperlukan 5
6 atau 1 5
1 meter dan setelah diukur hasilnya adalah 1
meter lebih 20 cm.
Contoh-contoh tersebut dapat dilanjutkan untuk perkalian-perkalian yang lain. Dari contoh tersebut dapat dibuat kesimpulan berdasar pola yang terjadi sebagai berikut.
Dalam kalimat sederhana dapat dinyatakan bahwa:
2) Perkalian pecahan dengan bilangan asli
Permasalahan perkalian pecahan dengan bilangan asli ada dalam kehidupan sehari-hari dengan contoh-contoh sebagai berikut.
Dalam pelaksanaan pembelajaran benda kongkret dapat diganti dengan gambar-gambar yang disusun dalam LK (Lembar Kerja). Gambar-gambar-gambar yang tercantum pada LK hendaknya sederhana sehingga siswa mudah menentukan bagian-bagian dari bangun tersebut. Materi prasyarat yang harus diingat adalah bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan (karena pada hakekatnya pecahan yang dikalikan dengan bilangan asli merupakan bentuk komutatif dari bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan) ; pecahan senilai; dan pecahan campuran. Pada akhir kegiatan perlu rangkuman dengan menggunakan skema yang telah disiapkan seperti contoh.
bilangan asli dikalikan dengan pecahan biasa hasilnya adalah bilangan asli dikalikan pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap atau dalam bentuk umum tetangga. Berapa buah mangga yang diberikan kepada tetangga?
Dita mempunyai pita yang panjangnya 3 meter, dan 3
2 bagian dari pita tersebut akan dibuat bunga. Berapa meter pita yang dibuat bunga?
Dinda mempunyai tali yang panjangnya 5 meter, dan 5
3 bagian dari tali dipakai untuk mengikat kardus. Berapa meter panjang tali yang digunakan untuk mengikat kardus?
Luas kebun Diar adalah 500 m2, dan 5
Contoh 1
Keisya mempunyai 30 mangga hasil panen dan 5
2 akan diberikan kepada tetangga. Berapa buah mangga yang diberikan kepada tetangga?
Alternatif penyelesaian
Kalimat matematika yang bersesuaian adalah 5
2dari 30 atau 5
2 30 = …..
Ternyata terlihat bahwa 5
1 bagian ada 6 buah. Jadi kalau 5
2bagian ada 2 6 = 12.
Jadi 5
2 30 = 60
5 = 12 atau 5
2 30 = 2 6 = 12.
Contoh 2
Dita mempunyai pita yang panjangnya 3 meter, dan 3
2bagian dari pita tersebut akan dibuat bunga. Berapa meter pita yang dibuat bunga?
Alternatif penyelesaian
Kalimat matematika yang bersesuaian adalah 3
2 dari 3 atau 3
2 3 = ….
3
2 dari 3 m
Dari gambar terlihat bahwa 3
2 dari 3 m adalah 2 m atau 3
2 3 = 2
Bila dicocokkan 3
2 3 = 3
3 2 =
3
6 = 2. Jadi 3
2 3 = 3
3 2
Contoh 3
Dinda mempunyai tali yang panjangnya 5 meter, dan 5
3bagian dari tali dipakai untuk 3 meter
1 meter 1 meter 1 meter
Tali diukur panjangnya 5 meter dan setiap panjang 1 meter diberi tanda.
Tali dibagi menjadi 5 bagian yaitu berdasar penyebut dari pecahan yang digunakan dan menentukan
5
3 bagiannya serta menetapkan hasil yaitu 3 m.
Untuk kalimat matematikanya dapat dituliskan 5 kebun yang ditanami cabe?
Alternatif penyelesaian dengan gambar
Dari gambar terlihat bahwa luas kebun yang akan ditanami cabe adalah 200 m2 atau 5
Dalam kalimat sederhana dapat dinyatakan bahwa:
Sifat komutatif dari pecahan biasa yang dikalikan dengan bilangan asli dan bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan biasa adalah sebagai berikut.
3 3 2 =
3 2 3 5
5 3 =
5
3 3 dan seterusnya
3) Perkalian pecahan dengan pecahan
Permasalahan pecahan yang dikalikan dengan pecahan ada dalam kehidupan nyata sehari-hari dengan contoh-contoh sebagai berikut.
Materi prasyarat yang harus diingat meliputi bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan; pecahan yang dikalikan dengan bilangan asli; pecahan senilai; dan pecahan campuran. Adapun alternatif penyelesaian sebagai berikut.
Contoh 1
Ibu mempunyai 4
3 bagian kue taart. Jika ibu menghidangkan 3
2 dari kue tersebut, maka yang dihidangkan = … bagian dari kue taart.
Hasil perkalian bilangan asli dengan pecahan biasa adalah pecahan yang diperoleh dari bilangan asli dikalikan dengan pembilang pecahan biasa dengan penyebut pecahan tetap. Atau dalam bentuk umum….
b c a c b
a
Ibu mempunyai 4
3 bagian dari satu kue. Jika ibu menghidangkan 3 2 dari yang ada untuk tamu, maka berapa bagian dari kue tersebut yang dihidangkan untuk tamu?
Satu resep kue kering membutuhkan 5
3 bagian coklat batangan. Jika kakak membuat
2
Permasalahan tersebut dapat dinyatakan dalam kalimat matematika
3 2 dari
4
3 yang secara matematis ditulis
3
3 bagian dibagi menjadi 3 sama besar dan diambil 3
diarsir dobel) atau 3
Peragaan dengan menggunakan model luas daerah. Hasilnya yang diarsir dobel. Setiap petak mewakili
12
1 . Dari gambar dapat dilihat
bahwa ada 6 petak 12
1 an atau dalam kalimat matematika
3
Satu resep roti membutuhkan 5
3 bagian dari coklat batangan. Jika kakak membuat 2 1
resep maka coklat yang dibutuhkan … bagian.
Untuk mengkongkretkan masalah di atas dapat digunakan media kertas yang mudah dilipat sebagai media individual.
Tahap 1
Kertas yang mewakili coklat batangan dilipat menjadi 5 bagian sama sesuai penyebut pecahan
5
3 . Arsir 3 bagian dari lipatan untuk membentuk pecahan 5 3 .
Tahap 2
yang diarsir mewakili bilangan
4 3
(yang diarsir dobel mewakili 3
Lipat yang 5
3 bagian menjadi 2 bagian sama. Tiap bagian mewakili 2 1 dari
5
3 , maka akan terbentuk lipatan kecil.
Ikuti lipatan kecil tersebut sampai seluruh kertas membentuk lipatan kecil yang sama. Maka akan terbentuk 10 lipatan kecil, dan
2 1 dari
5
3 tersebut ternyata sama dengan 3
lipatan kecil dari 10 lipatan atau 10
3 . Kalimat matematikanya 2
Atau dengan model luas daerah didapat gambar sebagai berikut. Digambar 1 utuh, kemudian diambil
5
3 bagian dari 1 utuh. Dari 5
3 tersebut diambil
2
1bagiannya.
Setiap petak mewakili 10
1 . Dari gambar dapat dilihat
bahwa ada 3 petak
Dalam kalimat dapat disimpulkan bahwa: 2
pecahan dikalikan pecahan hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya dikalikan pembilang dan penyebutnya dikalikan penyebut” atau secara matematis ditulis
Contoh dapat diperbanyak untuk mendapatkan bentuk perkalian yang lain sehingga menambah pemahaman peserta didik tentang materi yang disajikan.
b. Perkalian pecahan campuran
Permasalahan perkalian bilangan asli dengan pecahan campuran ada dalam kehidupan nyata dengan contoh-contoh sebagai berikut.
Kalimat matematika dari permasalahan tersebut di atas adalah: 5 1
2 1
= ….. Dengan menggunakan penjumlahan berulang akan didapat hasil berikut.
5 1
Untuk memahamkan anak guru dapat pula membimbing siswa dengan format berikut. Banyak
toples
Mentega dalam ons Kalimat perkalian Hasil
1
Setiap toples kue kering memerlukan 1
2 1
Selanjutnya dapat langsung sebagai berikut 5 1
Untuk perkalian pecahan campuran dengan pecahan campuran dapat diberikan contoh permasalahan sehari-hari sebagai berikut.
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, dapat mengisi format berikut.
Berat daging dalam kg
Kalimat penjumlahan Kalimat perkalian Santan yang
diperlukan dalam liter 1
Jadi santan yang diperlukan untuk membuat rendang seberat 3
2
Selanjutnya dapat langsung sebagai berikut 3
2
c. Perkalian pecahan desimal
Permasalahan dalam topik perkalian pecahan desimal dapat dihubungkan dengan permasalahan perkalian pecahan campuran pada pembahasan nomor 3.
Untuk membuat rendang dari 1 kg daging dibutuhkan 2
2 1
liter santan. Bila ibu
mau membuat rendang dari 3
2 1
kg daging, berapa liter santan yang diperlukan?
Untuk memudahkan dan mengecek hasil, guru dapat memulai membimbing dengan cara perkalian pecahan biasa dengan alternatif penyelesaian sebagai berikut.
3,5 2,5 = 3
10 5
2
10 5
=
10 35
10 25
=
100 875
= 8,75
87 5
4. Pembagian Pecahan
a. Pembagian pecahan biasa
1) Pembagian bilangan asli dengan pecahan biasa
Permasalahan pembagian bilangan asli dengan pecahan ada dalam kehidupan nyata sebagai berikut.
Dalam pelaksanaan pembelajaran diharapkan dapat diangkat permasalahan-permasalahan nyata seperti tersebut di atas yang disertai dengan media sederhana misal obyek nyata, pita, tali, tali dan sebagainya untuk memperagakan permasalahan yang dibicarakan. Siswa dibagi dalam kelompok-kelompok untuk mendiskusikan permasalahan yang ada dan guru bertugas membimbing bila kelompok memerlukan. Apabila tugas kelompok telah selesai maka guru memberi kesempatan siswa untuk mengkomunikasikan hasil kerjanya. Pada akhir kegiatan merangkum sebagian dari materi yang dibahas dengan menggunakan obyek nyata atau media gambar.
3 , 5 2 , 5
17 5 70 +
Karena penyebut seratus maka letak koma dihitung 2 langkah dimulai dari belakang
Bapak mempunyai 5 kg gula pasir yang disediakan untuk membuat minuman. Setiap hari keluarga Pak Joko memerlukan
2
1 kg gula. Berapa hari gula tersebut dapat memenuhi kebutuhan keluarga Pak Joko?
Kakak mempunyai 2 m pita dan akan dibuat bunga. Masing-masing bunga memerlukan pita
4
Untuk menjawab permasalahan di atas, kita gunakan media gambar dari pita. Ada 2 m pita yang dibuat bunga. Setiap kali membuat bunga berarti kita mengurangi secara berulang
4
1 m dari 2 m yang ada sampai pita habis dibuat bunga.
Atau 2 – 4 1 –
4 1 –
4 1 –
4 1 –
4 1 –
4 1 –
4 1 –
4
1. Dalam kalimat matematika tentang
pembagian menjadi 2 : 4
1= …..
Dengan melihat gambar ternyata ada 8 bunga yang dapat dibuat dari 2 m pita tersebut. Atau dalam kalimat matematika adalah 2 :
4
1= 8. Bagaimana bila setiap bunga
memerlukan 4 3m?
Ternyata ada 2 bunga yang dapat dibuat dan pitanya masih sisa. Apabila digambarkan dalam bentuk bunga dapat seperti berikut.
1 bunga
2 m pita
1 bunga 1 bunga
terdiri dari 3 kelopak
terdiri dari 3 kelopak
hanya dapat dibuat 2 kelopak dari 3 kelopak yang seharusnya ada 1 bunga 1 bunga 1 bunga 1 bunga
2 meter pita
Sehingga 2 :
Contoh-contoh kongkret yang lain dapat diperbanyak untuk mengembangkan pemahaman kepada siswa tentang materi yang disajikan. Pada tahap berikutnya dapat diulang dengan menggunakan peragaan garis bilangan.
Contoh 2 : 3
1 = … dapat diartikan sebagai ada berapa 3
1an dalam 2.
0 1 2 Tampak bahwa dalam 2 ada
3
Dari garis bilangan tampak bahwa dalam 2 ada 3
2an sebanyak 3 atau secara matematis
ditulis 2 :
3an atau secara matematis ditulis
2 : Dengan garis bilangan
Dari peragaan-peragaan tersebut ternyata ada pola hubungan sebagai berikut
Pola hubungan yang terbentuk merupakan kunci yang harus diingat oleh siswa
Hasil dari peragaan-peragaan telah didapat pola hubungan sebagai berikut
2 :
Cara pembuktian pembagian antara bilangan asli dengan pecahan dapat pula dijelaskan secara aljabar seperti berikut.
Contoh pembuktian dengan cara aljabar untuk 2 : 4
Agar pecahan masih senilai maka dikalikan
Contoh pembuktian dengan cara aljabar untuk 2 :
2) Pecahan biasa dibagi bilangan asli
Permasalahan pembagian pecahan dengan bilangan asli dapat dimunculkan dari contoh sehari-hari sebagai berikut.
Dalam melaksanakan pembelajaran seyogyanya mengangkat permasalahan-permasalahan nyata seperti tersebut di atas yang dapat dituangkan dalam bentuk LK. Contoh materi yang dibahas dapat dibuat sebagai berikut.
Contoh 1. Ibu mempunyai
4
3 pizza yang akan diberikan kepada 2 anaknya yang masing-masing harus mendapat bagian sama. Maka setiap anak mendapat … bagian.
Permasalahan di atas dalam kalimat matematika
4
3 : 2 = …
Dari gambar tampak bahwa bagian dari masing-masing anak adalah
8 yang diarsir menunjukkan
4 3
bagian dari masing-masing adalah 2
Ibu mempunyai 4
Contoh 2.
Adik mempunyai 2
1 batang coklat yang akan diberikan kepada 3 temannya. Setiap teman
harus mendapat bagian sama. Setiap teman adik mendapat coklat … bagian.
Penjelasan dapat menggunakan kertas yang dilipat-lipat untuk memperagakan batangan coklat yang dimaksud dalam soal dan diarsir.
Lipat 2
1 bagian tadi menjadi 3 bagian lagi ( menggambarkan dibagi untuk 3 orang) dan
teruskan lipat sampai 1 bagian utuh, sehingga terlihat bahwa
Permasalahan di atas dalam kalimat matematika adalah 2
1 : 3 = ….
Pada gambar tampak bahwa bagian dari masing-masing anak adalah 6
Atau bagian dari masing-masing anak adalah 3 1 dari
2
1dan dapat ditulis 3
yang diarsir 3
2 karena dibagi 5 maka dilipat menjadi 5 bagian
Pada gambar terlihat bahwa 3 2 : 5 =
15
2 (yang diarsir dobel)
Dari contoh tersebut ternyata terdapat pola hubungan sebagai berikut.
4
yang diarsir 2 1
batang coklat.
bagian masing-masing anak
3
Kunci dari pola hubungan tersebut adalah sebagai berikut.
Cara pembuktian pembagian antara bilangan asli dengan pecahan dapat pula secara aljabar berikut ini.
4
Pada tahap berikutnya diberikan soal-soal yang dapat dikerjakan siswa secara individu dan dimantapkan dengan PR. Soal-soal yang diberikan dapat dalam bentuk soal cerita maupun soal bukan cerita.
3) Pecahan biasa dibagi pecahan biasa
Permasalahan pecahan yang dibagi dengan pecahan dapat dicontohkan dalam kehidupan sebagai berikut.
Pada hakekatnya konsep pembagian merupakan pengurangan berulang. Dalam melaksanakan pembelajaran ini materi prasyarat yang harus diingat adalah konsep pembagian merupakan pengurangan berulang, pecahan campuran, garis bilangan, dan
Kakak mempunyai 4
3 m pita yang akan dibuat hiasan. Satu hiasan
memerlukan pita 4
1 m. Berapa banyak hiasan yang dapat dibuat?
Ibu mempunyai gula 4
3 kg untuk dibuat kue. Satu resep kue memerlukan 2 1
kg gula. Berapa resep yang dapat dibuat ibu?
Bu Andi mempunyai gula 4
3 kg untuk membuat minuman. Setiap hari bu Andi
menggunakan 4
1kg. Berapa hari gula tersebut dapat digunakan? Apabila pecahan biasa dibagi dengan bilangan asli maka hasilnya
adalah pembilang dari pecahan tersebut tetap sedangkan penyebutnya
dikalikan dengan bilangan aslinya. Atau pecahan yang dibagi tetap
sedangkan tanda pembagian menjadi perkalian dan bilangan asli yang
membagi menjadi pecahan yang pembilangnya 1. Atau dalam bentuk
umum a:c a a: a 1
KPK. Guru dapat mengangkat permasalahan-permasalahan nyata yang dapat dituangkan dalam bentuk LK. Sedangkan contoh rangkuman dapat disampaikan berikut ini.
Contoh 1.
Kakak mempunyai 4
3 m pita yang akan dibuat hiasan, dan setiap hiasan memerlukan 4 1
m pita. Hiasan yang dapat dibuat ada ….
Dalam kalimat matematika adalah
4 3 :
4 1= …
Dari gambar tampak bahwa ada 3 hiasan yang dapat dibuat dari 4 gula. Banyaknya resep yang dapat dibuat ….
Kalimat matematika dari soal di atas adalah 4 3 :
2 1 = …
Gula yang ada digambarkan ditempatkan pada kantong sebagai berikut.
2
Jadi dari gambar terlihat bahwa 4
3kg gula dapat digunakan untuk 1 2
1 resep. Kalimat matematika yang bersesuaian adalah
4
Soal di atas dapat pula digambarkan dengan menggunakan luas daerah sebagai berikut. 2
1 : 4
3 = …dapat diartikan sebagai ada berapa 2
1an pada bilangan 4 3.
1 satuan dari pengambilan an. 2 1
Jadi hasil dari
2
pengurangan berulang dengan penyebut yang sama. Agar hasil bagi langsung menunjuk ke bentuk paling sederhana penyamaan penyebut dapat menggunakan KPK.
...
3 : . Dengan peragaan garis bilangan akan dapat ditemukan hasilnya.
satuan an
5 dapat diartikan sebagai ada berapa an 3
Dari kedua contoh di atas diperoleh hasil pembagian
hasil perkalian
2
Dari uraian di atas dapat disimpulkan secara umum bahwa: 4
satuan dari pengambilan 3 1
an
1 satuan dari pengambilan 3 1
an
b.Pembagian pecahan campuran
Permasalahan sederhana sehari-hari yang dapat disampaikan saat awal pembelajaran diberikan contoh berikut.
Penyelesaian dari permasalahan tersebut dapat diperagakan dengan gambar arsiran. Contoh 1
Dinda mempunyai gula seberat 6 kg yang akan digunakan untuk membuat sirup. Setiap botol sirup memerlukan 1
2 1
kg gula. Berapa botol sirup yang dapat dibuat? Langkah 1
1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg
Langkah 2
Jadi 6 kg gula dapat dibuat 4 botol sirup yang masing-masing botol menggunakan 1
2 1
kg gula. Dalam kalimat matematika 6 : 1
2 1
= 4 atau 6 :
2 3
= 4
Bila anak telah memahami konsep melalui peragaan maka dilanjutkan dengan cara formal pembagian pecahan sebagai berikut.
6 : 11 = 6 : 3= 6 2= 12 = 4
Dinda mempunyai gula seberat 6 kg yang akan yang akan digunakan untuk membuat sirup. Setiap botol sirup memerlukan 1
2 1
kg gula. Berapa botol sirup yang dapat dibuat?
Bu Edi menjual 3
2 1
kg beras yang dimasukkan ke dalam 2 kantong , sehingga setiap kantong memuat beras yang sama berat. Berapa kg berat beras di setiap kantong?
Contoh 2
Bu Edi menyediakan 12
2 1
kg beras untuk dimasak selama beberapa hari. Bila setiap
hari bu Edi memasak 2
2 1
kg beras, maka berapa hari beras tersebut akan habis? Contoh penyelesaian sederhana dengan gambar sebagai berikut
Langkah 1.
Setiap persegi mewakili 1 kg beras. Ada 12
2 1
kg beras
Langkah 2 Dikelompokan 2
2 1
kg beras untuk dimasak setiap hari
Dalam kalimat matematika 12
2 1
: 2
2 1
= …. Cara formal (secara matematis) sebagai berikut.
12
2 1
: 2
2 1
=
2 25
2 5
=
2
25
5 2
=
5 2
2 25
=
10 50
= 5. Jadi beras dapat digunakan selama 5 hari.
Hari ke-5 (2
2 1
kg)
hari-4 (2
2 1
kg) hari ke-3 (2
2 1
kg)
hari ke-2 (2
2 1
kg) hari ke-1 (2
2 1
kg)
Jadi 12
2 1
5. Rangkuman Perkalian dan Pembagian
Dari pembahasan perkalian dan pembagian pecahan biasa tersebut, dapat merangkum dalam sebagai berikut.
1. Perkalian Pecahan Biasa
1) Bilangan asli dikalikan pecahan biasa
Dalam kalimat sederhana: ”apabila bilangan asli dikalikan dengan pecahan biasa maka hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya bilangan asli dikalikan pembilang pecahan semula dan penyebutnya sama dengan penyebut pecahan semula”.
Secara umum: a
c b a c b
2) Pecahan biasa dikalikan bilangan asli
Dalam kalimat sederhana: ”apabila pecahan biasa dikalikan dengan bilangan asli maka hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya pembilang pecahan semula dikalikan dengan bilangan asli, sedangkan penyebutnya tetap seperti pecahan semula”.
Secara umum:
b c a c b
a
3) Pecahan biasa dikalikan pecahan biasa
Dalam kalimat sederhana: ”apabila pecahan biasa dikalikan dengan pecahan biasa maka hasilnya adalah pecahan biasa di mana pembilang pecahan pertama dikalikan pembilang pecahan ke dua dan penyebut pecahan pertama dikalikan penyebut pecahan ke dua”.
Secara umum:
d b
c a d c b a
2. Pembagian pecahan biasa
a. Bilangan asli dibagi pecahan biasa
Dalam kalimat sederhana: ”apabila bilangan asli dibagi dengan pecahan biasa maka hasilnya sama dengan perkalian bilangan asli itu dengan kebalikan dari pecahan biasa semula (penyebut menjadi pembilang dan pembilang menjadi penyebut)”.
Secara umum: a :
b c a b c a c
b
b. Pecahan biasa dibagi bilangan asli
