2.1 Masalah Model Optimisasi Kombinatorial
Masalah optimisasi merupakan suatu proses pencarian varibel bebas yang memenuhi kondisi atau batasan yang disebut kendala dari permasalahan. Proses
selanjutnya adalah pencarian ukuran baik yang bergantung pada variabel-variabel permasalahan yang diistilahkan fungsi objektif. Oleh karena penyelesaian
op-timisasi meupakan himpunan dari nilai-nilai variabel yang memenuhi kendala, sedemikian hingga fungsi objrektif mencapai nilai optimal, maka pada penyelesai-an optimisasi kombinatorial, himpunpenyelesai-an nilai-nilai variabel ypenyelesai-ang dimaksud adalah
himpunan bilangan bulat atau biner.
Untuk memudahkan pengkajian masalah penyelesiannya, masalah optimisasi kombinatorial direpresentasikan sebagai program matematika yang bentuk umum-nya adalah sebagai berikut,
Cari X = (x1, x2, ..., xn) dengan memaksimumkan fungsi tujuan f(X)
dengan kendala gi(X)60, hi(X) = 0,
Fungsi f , gi dan hi dapat berbentuk fungsi linear atau nonlinear dan X adalah
variabel keputusan yang nilainya bilangan bulat atau biner.
Optimisasi dapat diklasifikasikan dalam beberapa kriteria:
1. Berdasarkan bentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala, masalah optimisasi ini diklasifikasikan sebagai masalah program linear dan program non linear.
Jika terdapat fungsi nonlinear diantara fungsi objektif atau fungsi-fungsi kendala maka masalah optimisasi tersebut dinamakan masalah program non linear.
Masalah program non linear mempunyai beberapa tipe:
(a) Program kuadratik
Jika fungsi objektif f(x) harus fungsi kuadrat dan kendala adalah
fungsi-fungsi linear.
(b) Program konveks
i. Fungsi objektiff(x) (memaksimumkan) adalah fungsi konkaf.
ii. Setiap fungsi kendala gi(x) adalah fungsi konveks .
(c) Program separable (terpisah)
i. Fungsi objektiff(x) (memaksimumkan) adalah fungsi konkaf.
ii. Setiap fungsi kendala gi(x) adalah fungsi konveks .
iii. Semua fungsi f(x) dan gi(x) dadalah fungsi separable.
(d) Program Nonkonveks.
Jika fungsi objektif atau fungsi kendala tidak ada asumsi konveks.
masalah optimisasi ini diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman inte-ger dan masalah pemrograman riil. Jika beberapa atau semua variable kepu-tusan xj,(j = 1,2,· · · , n), dibatasi hanya bernilai integer (bilangan bulat)
atau diskrit, masalah tersebut dinamakan masalah pemrograman integer. Jika semua variable keputusan bernilai bilangan real, maka masalah terse-but dinamakan masalah pemrograman bilangan real dan jika ada variabel
keputusan bernilai bilangan real dan ada yang bilangan bulat maka masalah tersebut dinamakan masalah pemrograman mix integer.
Masalah optimisasi kombinatorial dapat diformulasikan dalam bentuk graph dan dalam bentuk program matematika. Berikut ini beberapa contoh masalah
opti-misasi kombinatorial.
2.2 Beberapa Masalah Optimisasi Kombinatorial
Berikut ini disajikan beberapa masalah optimisasi kombinatorial dari graph
yang berbentuk pemrograman non linear integer, khususnya polinomial sehingga model optimisasi kombinatorialnya berbentuk pemrograman polinomial integer.
2.2.1 Himpunan stabil dan bilangan stabil
Definisi 2.2.1: Himpunan Stabil pada suatu graph G = (V, E) adalah himpunan bagian dari vertex-vertex diV, sehingga tidak ada dua vertex di himpunan terse-but yang bertetangga. Ukuran maksimal dari himpunan stabil terseterse-but diseterse-but
Untuk membuat model optimisasi kombinatorial dari suatu graph G = (V, E), yang mempunyai bilangan stabil = k, dimisalkan variable xi yang
me-nyatakan vertex i ∈ V(G) dan vertex i hanya diberi nilai 1 atau 0, yaitu jika
terpilih diberi nilai 1 dan jika tidak dipilih diberi nilai 0. Oleh karena itu bentuk aljabarnya adalah x2
i −xi = 0 untuk setiap i ∈V(G). Selanjutnya karena setiap
vertex yang bertetangga tidak berada dalam satu himpunan, akibatnya jika xi
sudah diberi nilai 1, maka xj harus bernilai 0, untuk setiap verteks i dan vertex
j yang bertetangga. Jadi untuk setiap edge {i, j} ∈E(G), bentuk persamaannya
xixj = 0 sehingga diperoleh total maksimum nilai xi dan misalkan total nilainya
adalah bilangan bulat k. Sehingga optimisasi kombinatorialnya yang diperoleh adalah:
Fungsi tujuan maksimumkan k
Kendala x2
i −xi = 0, untuk setiap vertex i∈V(G)
xixj = 0,untuk setiap edge{i, j} ∈E(G) n
X
i=1
xi =k
(2.1)
Masalah Cost Multicommodity Flow merupakan masalah network (graph) tak
berarah (V, E) dengan himpunan verteks V dan himpunan edge E, misalkan
n=|V| dan m =|E| .
Misalkan pada sebuah network terdapatKbuah flow komoditi, dan setiap
komodi-ti k ∈K, mempunyai sources dan sinks. Misalkan vektor persediaan dinotasikan dengan bk
i, i∈V.ϕij(0) = 0, untuk{i, j} ∈E.Untuk sebuah edge{i, j} ∈E dan
xk
berlawanan atau menyatakan flow untuk comoditi k dari j ke i. Total cost dari route flow pada edge {i, j}adalah
Ï•ij
Route Flow pada setiap komoditi yang memenuhi permintaan pada semua sinks dengan meminimalkan total cost route, sehingga optimisasi kombinatorial dari
masalah ini adalah :
Fungsi tujuan Minimum P
{i,j}∈E
2.3 Hubungan Masalah Kombinatorial dengan Optimisasi Kombinato-rial
Berikut ini disajikan bahwa keberadaan penyelesaian dari suatu masalah kombi-natorial suatu graph dapat diketahui berdasarkan keberadaan penyelesaian dari
masalah optimisasi kombinatorialnya.
Hubungan optimisasi kombinatorial dan masalah kombinatorial bilangan stabil dan bilangan stabil pada suatu disajikan dalam Lemma berikut.
Lemma 2.3.2. Suatu graph G(V, E) mempunyai bilangan kromatik paling besar
k jika dan hanya jika optimisasi kombinatorial (2.1) mempunyai penyelesaian.
Berikut ini adalah syarat perlu dan cukup agar masalah optimisasi kombi-natorial bilangan stabil dan bilangan kromatik tidak mempunyai penyelesaian.
2.4 Jaminan Nullstellensatz dan Optimisasi Kombinatorial
Loera et al (2008), memperlihatkan bahwa masalah kombinatorial adalah infeasi-ble, yakni jika diperoleh sistem persamaan polinomialJ dengan koefisien
bilang-an kompleks C dengan, J = {f1(x) = 0, f2(x) = 0, ..., fr(x) = 0} ⊆ C[x1, ..., xn]
tidak punya solusi di Cn jika dan hanya jika ada polinomial α1, α2, ..., α
r ∈
C[x1, x2, ..., xn] sedemikian hinggaPαifi = 1. Untuk mencari polinomialα1, α2, ...
, αr ∈ C[x1, x2, ..., xn] digunakan sebuah Algoritma yang disebut Nullstellensatz
certificates.
Berikut adalah hasil penelitian yang diperoleh Loera, et al.(2008), yang
me-nyatakan bahwa graph komplit dengan vertex lebih besar atau sama dengan empat tidak mempunyai bilangan kromatik sama dengan tiga. Polinomialα1, α2, ..., αr∈
C[x1, x2, ..., xn] sedemikian hingga Pαifi = 1.
Teorema 2.4.1: Untuk graph komplitKndengann≥4, tidak mempunyai bilangan
Bukti: Dari (2.2) diperoleh persamaan polinomial dari graph komplit Kn yang
mempunyai bilangan kromatik 3 yaitu,
f1(x) = (x3
terdapat jaminan Nullstellensatz untuk graph berdegree tepat sama dengan 4 atau terdapatg1(x) = (x3
4x2) sedemikian hingga g1(x)f1(x) + ...+ g4(x)f4(x) = 1 sehingga diperoleh jaminan Nullstellensatz, akibatnya untuk graph komplit Kn dengan
n≥ 4 tidak mempunyai bilangan kromatik sama dengan 3, karena ada polinomial g1, g2, g3 ∈R[x] sedemikian hingga
3 P
i=1
gifi = 1.
2.5 Definisi dan Notasi
Definisi 2.5.1 : Polinomial f dengan variable x1, . . . , xn dan koefisien atas Z
adalah kombinasi linear berhingga dari monomial-monomial, dinotasikan dengan
aα ∈Z, f =P α
aαxα,
Definisi 2.5.2 : Misalkan fungsi f : S→R.
Matriks turunan ordo dua ( Matriks Hess) dari f(x) pada x∗ adalah
H|x=x∗ =
Misalkan Rn adalah ruang Eucledian dimensin. Vectorx ∈Rn dinotasikan
seba-gai vektor kolom dengan ukurann×1, sedangkan vektor baris dinotasikan dengan
xT. Akibatnya perkalian vektor baris dengan vektor kolom menghasilkan opersai
digunakan untuk barisan. Barisan vector di ditulis sebagai{xk}untukk= 0,1, ...
atau disederhanakan {xk}. Suatu sub barisan ditulis{xk} untuk k ∈ K, dengan
k ∈ {1,2,3. . .}. Suatu barisan{xk}diRndikatakan konvergen kexditulisxk →x
untuk k ∈ K. Suatu vector yang koordinatnya semuanya 1, dinotasikan dengan e. Jika x ∈ Rn dan x ≥ 0 berarti untuk setiap i= 1,2, . . . , n, dan x
i ≥0,06= x
berarti ada i sehingga xi 6= 0 dan suatu barisan titik-titik{xk} diR1 dikatakan
monoton naik jika xk ≤ xk+1
untuk semua k dan dikatakan monoton turun jika xk ≥xk+1
