Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
19
(2007), 231–248
Probl`
eme de Lehmer sur
G
met m´
ethode
des pentes
par
Nicolas RATAZZI
R´esum´e. Soithla hauteur logarithmique absolue de Weil surQ×. En utilisant l’in´egalit´e des pentes de J.-B. Bost, nous donnons dans cet article une preuve du r´esultat suivant dˆu `a Dobrowolski : il existe une constantec >0 telle que
∀x∈Gm(Q)\µ∞ h(x)≥
c D
log log 3D log 2D
3 ,
avecD= [Q(x) :Q] et o`uµ∞ repr´esente le groupe des racines de
l’unit´e.
Abstract. Lethbe the usual absolute logarithmic Weil height onQ×. Using the slopes inequality of J.-B. Bost, we give in this article a proof of the following result of Dobrowolski [?] : there
exists a constantc >0 such that
∀x∈Gm(Q)\µ∞ h(x)≥
c D
log log 3 D log 2D
3 ,
whereD= [Q(x) :Q] and whereµ∞ denote the group of roots of
unity.
NicolasRatazzi
Universit´e Paris-Sud XI Math´ematiques, Bˆatiment 425 91405 Orsay Cedex, France
E-mail:[email protected]
