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Journal de Th´

eorie des Nombres

de Bordeaux

19

_{(2007), 231–248}

Probl`

eme de Lehmer sur

G

m

et m´

ethode

des pentes

par

Nicolas RATAZZI

R´esum´e. _{Soithla hauteur logarithmique absolue de Weil sur}Q×. En utilisant l’in´egalit´e des pentes de J.-B. Bost, nous donnons dans cet article une preuve du r´esultat suivant dˆu `a Dobrowolski : il existe une constantec >0 telle que

∀x∈Gm(Q)\µ∞ h(x)≥

c D

log log 3D log 2D

3 ,

avecD= [Q(x) :Q] et o`uµ∞ repr´esente le groupe des racines de

l’unit´e.

Abstract. _{Lethbe the usual absolute logarithmic Weil height} onQ×. Using the slopes inequality of J.-B. Bost, we give in this article a proof of the following result of Dobrowolski [?_{] : there}

exists a constantc >0 such that

∀x∈Gm(Q)\µ∞ h(x)≥

c D

_{log log 3} D log 2D

3 ,

whereD= [Q(x) :Q] and whereµ∞ denote the group of roots of

unity.

NicolasRatazzi

Universit´e Paris-Sud XI Math´ematiques, Bˆatiment 425 91405 Orsay Cedex, France

E-mail_{:nicolas.ratazzi@math.u-psud.fr}