mat03 persamaan dan ketidaksamaa

(1)

(2)

Persamaan dan

Ketidaksamaan

BAGI AN PROYEK PENGEMBANGAN KURI KULUM

DI REKTORAT PENDI DI KAN MENENGAH KEJURUAN

DI REKTORAT JENDERAL PENDI DI KAN DASAR DAN MENENGAH

DEPARTEMEN PENDI DI KAN NASI ONAL

2004

Kode MAT. 03

-1 1 2 3 4 5 6

4

3

2

1

-1

-2

x + y = 4

(3)

Persamaan dan

Pertidaksamaan

Penyusun:

Drs. R. Sulaiman, M S.

Edit or :

Dr. Manuharawat i, MSi. Dra. Kusrini, M. Pd.

Kode MAT. 03

BAGI AN PROYEK PENGEMBANGAN KURI KULUM

DI REKTORAT PENDI DI KAN MENENGAH KEJURUAN

DI REKTORAT JENDERAL PENDI DI KAN DASAR DAN MENENGAH

DEPARTEMEN PENDI DI KAN NASI ONAL

(4)

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul manual untuk SMK Bidang Adaptif, yakni mata pelajaran Fisika, Kimia dan Matematika. Modul yang disusun ini menggunakan pendekatan pembelajaran berdasarkan kompetensi, sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum SMK Edisi 2004 yang menggunakan pendekatan kompetensi (CBT: Competency Based

Training).

Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum SMK Edisi 2004 adalah modul, baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada Standar Kompetensi Nasional (SKN) atau standarisasi pada dunia kerja dan industri. Dengan modul ini, diharapkan digunakann sebagai sumber belajar pokok oleh peserta diklat untuk mencapai kompetensi kerja standar yang diharapkan dunia kerja dan industri.

Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai dari penyiapan materi modul, penyusunan naskah secara tertulis, kemudian disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi dan diujicobakan empirik secara terbatas. Validasi dilakukan dengan teknik telaah ahli

(expert-judgment), sementara ujicoba empirik dilakukan pada beberapa peserta

diklat SMK. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupakan bahan dan sumber belajar yang berbobot untuk membekali peserta diklat kompetensi kerja yang diharapkan. Namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar supaya selalu relevan dengan kondisi lapangan.

(5)

berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar -besarnya kepada berbagai pihak, terutama tim penyusun modul (penulis, editor, tenaga komputerisasi modul, tenaga ahli desain grafis) atas dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menyelesaikan penyusunan modul ini.

Kami m engharapkan saran dan kritik dari para pakar di bidang psikologi, praktisi dunia usaha dan industri, dan pakar akademik sebagai bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para pemakai berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas, dengan mengacu pada perkembangan I PTEK pada dunia usaha dan industri dan potensi SMK dan dukungan dunia usaha industri dalam rangka membekali kompetensi yang terstandar pada peserta diklat.

Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya peserta diklat SMK Bidang Adaptif untuk mata pelajaran Matematika, Fisika, Kimia, atau praktisi yang sedang mengembangkan modul pembelajaran untuk SMK.

Jakarta, Desember 2004

a. n. Direktur Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah

Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan,

(6)

DAFTAR I SI

?

Halaman Sampul ... i

?

Halaman Francis ... ii

?

Kata Pengantar ... iii

?

Daftar I si …… ... v

?

Peta Kedudukan Modul... vii

?

Daftar Judul Modul ... viii

?

Glosary ……... ix

I . PENDAHULUAN A. Deskripsi ... 1

B. Prasyarat ... 1

C. Petunjuk Penggunaan Modul... 1

D. Tujuan Akhir ... 2

E. Kompetensi... 3

F. Cek Kemampuan ... 4

I I . PEMBELAJARAN A. Rencana Belajar Peserta Diklat ... 6

B. Kegiatan Belajar ... 7

1. Kegiatan Belajar 1... 8

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ... 8

b. Uraian Materi... 8

c. Rangkuman ... 14

d. Tugas ... 15

e. Tes Formatif ... 16

f. Kunci Jawaban Formatif ... 17

2. Kegiatan Belajar 2 ... 19

c. Rangkuman ... 32

d. Tugas ... 33

(7)

c. Rangkuman ... 40

d. Tugas ... 41

f. Kunci Jawaban Tes Formatif ... 42

c. Rangkuman ... 56

d. Tugas ... 57

c. Rangkuman ... 70

d. Tugas ... 72

I I I . EVALUASI ... 74

KUNCI JAWABAN EVALUASI ... 75

I V. PENUTUP ... 76

(8)

PETA KEDUDUKAN MODUL

MAT.10

MAT.15

MAT.01

MAT.03

MAT.02

MAT.05

MAT.07

MAT.08

MAT.09

MAT.11

MAT.12

MAT.14

MAT.06

MAT.04

MAT.13

(9)

Daftar Judul Modul

No. Kode Modul Judul Modul

1 MAT.01 Matrik

2 MAT.02 Logika Matematika

3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan 4 MAT.04 Geometri Dimensi Dua

5 MAT.05 Relasi Dan Fungsi 6 MAT.06 Geometri Dimensi Tiga 7 MAT.07 Peluang

8 MAT.08 Bilangan Real 9 MAT.09 Trigonometri 10 MAT.10 I risan Kerucut 11 MAT.11 Statistika 12 MAT.12 Barisan

13 MAT.13 Aproksimasi Kesalahan 14 MAT.14 ProgramLinier

15 MAT.15 Vektor

(10)

Glossary

I STI LAH

KETERANGAN

Persamaan Linier adalah persamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.

Menyelesaikan suatu persamaan

adalah mencari nilai pengganti dari peubah sehingga menjadi pernyataan yang benar. Tiga Langkag menyelesaikan

persamaan linier

Tiga langkah ber ikut dapat dilakukan dalam m enyelesaikan per sam aan linear dengan sat u peubah, yakni:

( i) Menam bah kedua r uas dengan bilangan yang sam a.

( ii) Mengur angi kedua r uas dengan bilangan yang sam a.

(iii) Membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan yang sama yang bukan nol.

Pertidaksamaan linier satu peubah

adalah pertidaksamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam

menyelesaikan pertidaksamaan linier satu peubah

?

Jika kedua r uas suat u

per t idaksam aan dit am bah at au dikur angi dengan bilangan yang sam a, m aka t anda per t idaksam aan t et ap.

?

Jika kedua r uas suat u

per t idaksam aan dikalikan at au di bagi dengan bilangan posit if yang sam a dan t idak nol, m aka t anda

per t idaksam aan t et ap.

?

Jika J Jika kedua ruas suatu

pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan menjadi sebaliknya

Tiga cara untuk meyelesaikan persamaan kuadrat

cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna dan menggunakan rumus

Bagaimana bentuk umum persamaan kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat (dalam

x

) adalah

ax

2

?

bx

?

c

?

0

;

a

?

(11)

BAB I . PENDAHULUAN

A.

Deskripsi

Modul ini berjudul “Persamaan dan Pertidaksamaan”. Modul ini berisi tentang persamaan dan pertidaksamaan linier satu peubah, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, sistem persaman linier dua peubah, dan sistem persamaan dua peubah, satu linier dan satu kuadrat.

Materi per samaan linier satu peubah merupakan materi yang pernah diperoleh pada saat di SMP, namun pada modul ini tingkat kesulitan soal dan latihan lebih tinggi. Materi persamaan kuadrat menyangkut cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Ada tiga cara yang dibahas pada modul ini yaitu, cara memfaktorkan, cara melengkakan kuadrat, dan cara menggunakan rumus. Cara menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah yang dibahas pada modul ini ada empat yaitu, cara grafik, cara eliminasi, cara substitusi, cara kombinasi eliminasi dan substitusi, dan dengan cara menggunakan invers dan determinan matriks.

Hasil belajar yang diharapkan setelah mempelajari modul ini adalah Anda mampu:

1. Menyelesaikan persamaan linier satu peubah.

2. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. 3. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah.

4. Menyelesaikan sistem persamaan dua peubah, satu linier dan satu kuadrat.

B.

Prasyarat

(12)

perkalian matriks, menentukan determinan suatu matriks dan menentukan invers suatu matriks.

Kemampuan prasyarat itu digunakann khususnya dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara menentukan determinan dan invers matriks. Sedangkan untuk materi lain pada modul ini tidak memerlukan prasyarat, dengan pengertian bahwa bekal awal yang telah dimiliki siswa pada saat di SMP sudah cukup untuk dapat memahami materi lain pada modul ini.

C.

Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut.

1. Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan skema akan menuntun Anda dalam mempelajari modul ini dan kaitannya dengan modul-modul yang lain.

2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal

latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

(13)

D.

Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda sapat:

1. Memahami pengertian dan penyelesaian persamaan linier satu peubah. 2. Memahami pengertian dan penyelesaian pertidaksamaan linier satu

peubah.

3. Memahami pengetian persamaan kuadrat.

4. Mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, menggunakan rumus.

5. Memahami pengertian pertidaksamaan kuadrat. 6. Mampu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. 7. Menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat.

8. Menentukan hasil kali dan jumlah akar -akar persamaan kuadrat. 9. Menyusun persamaan kuadrat jika akar -akarnya diketahui. 10.Memahami pengertian persamaan linier dua peubah.

11.Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara grafik, eliminasi, substitusi, determinan.

12.Memahami pengertian persamaan linier tiga peubah.

13.Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah dengan cara eliminasi, substitusi, determinan.

(14)

E.

Kompetensi

KOMPETENSI : KESAMAAN DAN KETI DAKSAMAAN PROGRAM KEAHLI AN : program adaptif

KODE : MATEMATI KA/ MAT 03 DURASI PEM BELAJARAN : 45 Jam @ 45 menit

MATERI POKOK PEMBELAJARAN SUB KOMPETENSI KRI TERI A KI NERJA LI NGKUP BELAJAR

SI KAP PENGETAHUAN KETERAMPI LAN

1. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier

?Persamaan dan pertidaksamaan linier ditentukan

penyelesaiannya.

?Persamaan dan pertidaksamaan linier serta

penyelesaiannya.

?Teliti dan cermat dalam

menyelesaikan dan menerapkan konsep

persamaan dan pertidaksamaan linier.

?Pengertian persamaan dan pertidaksamaan linier.

?Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier.

(15)

MATERI POKOK PEMBELAJARAN SUB KOMPETENSI KRI TERI A KI NERJA LI NGKUP BELAJAR

SI KAP PENGETAHUAN KETERAMPI LAN

2. Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

?Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat ditentukan penyelesaiannya. ?Persamaan kuadrat

disusun berdasarkan akar-akar yang diketahui.

?Persamaan kuadrat baru disusun

berdasarkan akar-akar persamaan kudrat lain.

?Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat serta penyelesaiannya. ?Akar-akar persamaan

kuadrat dan sifat-sifatnya.

?Menyusun

persamaan kuadrat.

menyelesaikan dan menerapkan konsep

persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

?Pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

?Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

?Menyusun persamaan kuadrat.

3. Menyelesaikan sistem persamaan

?Sistem persamaan ditentukan

penyelesaiannya.

?Sistem persamaan linier dua dan tiga variabel.

?Sistem persamaan dengan dua variabel, satu linier dan satu kuadrat.

menyelesaikan dan menerapkan konsep sistem persamaan.

(16)

F.

Cek kemampuan

1 . I da dan Anis per gi ke per pust akaan sekolah. Mer eka m em baca buku yan g sam a. I da sudah m em baca 12 halam an pert am a. Banyak halam an yang belum dibaca Anis sebanyak 49 halam an. Ter nyat a banyak halam an yang belum dibaca I da adalah dua kali banyak halam an yang t elah dibaca Anis. Ber apakah banyak halam an buku t ersebut ?

2 . Selesaikan per sam aan kuadr at ber ikut ini! a) x2? 2 5x?1? 0

b )

(

m

?

1

)

x

2

?

2

mx

?

(

m

?

1

)

?

0

;

m

?

-1 .

3 . Tent ukan him punan penyelesaian dar i per t idaksam aan

2 2

2 5

3x x x

x ? ? ?

4 . Tent ukan nilai

m

agar per sam aan kuadr at

0

1

)

2

(

)

2

(

m

?

x

2

?

m

?

x

?

m

?

m em punyai dua akar yan g sam a. 5 . Jum lah akar - akar per sam aan kuadr at 2x2 ?2ax?12b? 0 adalah - 5

sedangkan hasilkalinya adalah -24. Tent ukan nilai a2 ?b2.

6 . Selesaikan sist em per sam aan

?

1

2

1

3

1

2

5

3

2

3

2

b

x

b

x

7 . Selesaikan sist em per sam aan

??

?

10

2

4

23

2

3

6

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

8 . Sel esaikan sist em per sam aan

(17)

BAB I I . PEMBELAJARAN

Kompetensi : Mengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan

Sub Kompetensi :

- Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier

- Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

- Menyelesaikan sistem persamaan

Tulislah semua jenis kegiatan yang anda lakukan di dalam tabel kegiatan di bawah ini. Jika ada perubahan dari rencana semula, berilah alasannya kemudian mintalah tanda tangan kepada guru atau instruktur anda.

Jenis

Kegiatan Tanggal Waktu

Tempat Belajar

Alasan perubahan

Tandatangan Guru

(18)

1 .

Kegiat an Belaj ar 1

Per sa m a a n da n Per t idak sam aan Linier Sat u Peubah

a.

Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat:

?

Mem aham i penger t ian per sam aan linier sat u peubah.

?

Mam pu m enyelesaikan per sam aan linier sat u peubah.

?

Mem aham i penger t ian per t idaksam aan linier sat u peubah .

?

Mam pu m enyelesaikan pert idaksam aan linier sat u peubah .

b.

Uraian Materi

Persam aan Linier Sat u Peubah

Pada bagian ini kit a akan m endalam i car a m encar i penyelesaian dar i per sam aan linier sat u peubah.

Pe nge r t ia n

Per sam aan linier sat u peubah adalah per sam aan yang hanya m em uat sebuah peubah dan pangkat dar i peubahnya adalah sat u.

Cont oh 1 :

3

6

7

2

x

?

x

?

, m er upakan per sam aan linier sat u peubah kar ena peubahnya sat u ( yait u

x

) dan pangkat nya adalah 1.

Cont oh 2 :

y

y?4? 5 , m er upakan per sam aan linier sat u peubah kar ena peubahnya sat u ( yait uy) dan pangkat nya adalah 1.

Cont oh 3 :

t

13

2

7

?

, m er upakan per sam aan linier sat u peubah kar ena peubahnya sat u ( yait u

t

(19)

Cont oh 4 :

8 6

3y? m? , bukan per sam aan linier sat u peubah kar ena peubahnya ada d ua ( yait u yd an

m

) .

Cont oh 5 :

0 9 2_? _?

x , bukan per sam aan linier sat u peubah w alaupun peubahnya hanya sat u t et api pangkat dar i peubahnya adalah dua.

Penyelesaian Suat u Persam aan

Menyelesaikan suat u per sam aan ar t inya adalah m encar i nilai penggant i dar i peubah sehin gga m enj adi per nyat aan yang benar .

Cont oh 6 :

11

6

5

t

?

, adalah per sam aan linier sat u peubah.

1

?

t

m er upakan penyelesaian per sam aan it u kar ena j ika

t

digant i dengan –1, m aka per n yat aan 5(?1)?6??11 m er upakan per nyat aan yang benar . Sedangkan

t

?

1

bukan penyelesaian kar ena j ika

t

d igant i dengan 1, m aka per nyat aan 5(1)?6??11 m er upakan per nyat aan yang salah.

Cont oh 7 :

m

m 7 2

3 ? ? , adalah per sam aan linier sat u peubah.

7

?

m

m er upakan penyelesaian per sam aan it u kar ena j ika

m

digant i dengan –7, m aka per nyat aan 3(?7)?7 ? 2(?7) m er upakan per nyat aan yang benar . Sedangkan

m

?

5

b ukan penyelesaian kar ena j ika m digant i dengan 5, m aka per nyat aan

5

t

?

6

?

11

m erupakan pernyat aan yang salah.

Cara m encari penyelesaian persam aan linier sat u peubah

(20)

?

Menam bah kedua r uas dengan bilangan yang sam a.

?

Mengur angi kedua r uas dengan bilangan yang sam a.

?

Mem bagi at au m engalikan kedua r uas dengan bilangan yang sam a yang bukan nol.

Cont oh 8 :

Tent ukan penyelesaian dar i per sam aan

2

x

?

3

?

3

x

?

7

dan t ent ukan him punan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

7

3

2

x

?

x

?

3x?2x?3?3x?(?3x)? 7 . . . ( kedua r uas dit am bah dengan

3

x

)

?

5

x

?

3

?

7

?

5

x

?

3

?

3

?

7

?

3

. . . ( kedua r uas dit am bah 3)

?

5

x

?

10

?

x=2

. . . ( kedua r uas dibagi dengan 5 ) Him punan penyelesaiannya adalah: { 2} .

Cont oh 9 :

Tent ukan penyelesaian dar i per sam aan ?5t?7?? 2t?2 dan t ent ukan him punan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

2 2 7

5 ? ?? ?

? t t

?

? 5t?7?2t ??2t?2?2t

. . . ( kedua r uas dit am bah dengan

2

t

)

?

?3t?7? ?2

?

?3t?7?7? ?2?7 . . . ( kedua r uas dikur angi 7)

?

3

t

?

9

?

t

?

3

_{. . . ( kedua r uas dibagi dengan - 3 )}

(21)

Cont oh 1 0 :

Tent ukan penyelesaian dar i per sam aan 4m?13??8m?17 dan t ent ukan him punan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

17 8 13

4m? ?? m?

?

4m?13?8m??8m?17?8m . . . ( kedua r uas dit am bah dengan

m

8

)

?

12m?13? ?17

?

12m?13?13? ?17?13 _{. . . .}( kedua r uas dit am bah 13)

?

12 4 ? ?

m . . . ( kedua r uas dibagi 12)

?

3 1 ? ? m

Him punan penyelesaiannya adalah: { 3 1 ? } .

Pert idaksam aan linier Sat u Peubah

Pada bagian ini kit a akan m endalam i car a m encar i penyelesaian dar i per t idaksam aan linier sat u peubah.

Pe nge r t ia n

Per t idaksam aan linier sat u peubah adalah per t idaksam aan yang hanya m em uat sebuah peubah dan pangkat dar i peubahnya adalah sat u .

Cont oh 1 1 :

8

7

5

w

?

w

?

, m er upakan per t idaksam aan linier sat u peubah kar ena banyak peu bahnya sat u ( yait u

w

Cont oh 1 2 :

21

9

(22)

Cont oh 1 3 :

12

7

5

t

?

m

?

,

bu k a n

per t idaksam aan linier sat u peubah kar ena peubahnya dua ( yait u

t

d an

m

) .

Cont oh 1 4 :

3

4

?

2

?

y

,

buk a n

per t idaksam aan linier sat u peubah w alaupun peubahnya hanya sat u t et api paubahnya ada yang ber pangkat 2.

Cara m encari penyelesaian pert ida k sa m a a n linier sat u peubah

Hal- hal yang per lu diper hat ikan dalam m enyelesaikan per t idaksam aan linier sat u peubah adalah,

a) Jika kedua r uas suat u per t idaksam aan dit am bah at au dikur angi dengan bilangan yang sam a, m aka t anda per t idaksam aan t et ap. b ) Jika kedua r uas suat u per t idaksam aan dikalikan at au dibagi dengan

bilangan posit if yang sam a dan t idak nol, m aka t anda per t idaksam aan t et ap.

c) Jika kedua r uas suat u per t idaksam aan dikalikan at au dibagi dengan bilangan negat if yang sam a dan t idak nol, m aka t anda per t idaksam aan m enj adi sebaliknya.

Cont oh 1 5 :

Tent ukan penyelesaian dar i per t idaksam aan

4

x

?

7

?

x

?

8

dan t en t u kan him punan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

8

7

4

x

?

x

?

4

x

?

7

?

x

?

x

?

8

?

x

_{. . . ( kedua r uas dikur angi}

x

)

?

3

x

?

7

?

8

?

3

x

?

7

?

7

?

8

?

7

_{. . . ( kedua r uas dit am bah 7)}

?

3

x

?

1

?

3 1 ? ?

x . . . ( kedua r uas dibagi 3)

Him punan penyelesaiannya adalah: {

x

? ?

R

3 1 ? ?

(23)

Cont oh 1 6 :

Tent ukan penyelesaian dar i per t idaksam aan

?

3

t

?

12

?

2

t

?

17

dan t ent ukan him punan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

17

2

12

3

?

t

?

3

t

?

12

?

2

t

?

2

t

?

17

?

2

t

_{. . . ( kedua r uas dikur angi}

2

t

)

?

5

t

?

12

?

17

?

5

t

?

12

?

12

?

17

?

12

. . . ( kedua r uas dikur angi 12)

?

5

t

?

5

?

t

?

1

_{. . . ( kedua r uas dibagi - 5 )}

( per hat ikan bahw a yang sem ula t anda per t idaksam aan

?

kar ena dibagi

dengan bilangan negat if –5, m aka t anda per t idaksam aan m enj adi

?

.)

t

? ?

R

t

?

1

} .

Cont oh 1 7 :

Tent ukan penyelesaian dar i per t idaksam aan 16 2 8 3

1

? ? ?

? x x dan

t ent ukan him punan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

8 2 16 3 1

? ? ?

? x x

?

x

?

48

?

6

x

?

24

. . . ( kedua r uas dikalikan 3)

?

x

?

48

?

48

?

6

x

?

24

?

48

. . . ( kedua r uas dikur angi 48)

?

x

?

6

x

?

72

?

7

x

?

72

. . . ( kedua r uas dikur angi

6

x

)

?

7 72 ?

x . . . ( kedua r uas dibagi - 7 )

x

? ?

R

7 72 ?

x } .

(24)

penyelesaian dengan langkah yang ber beda. Silahkan anda m engam at i per bedaannya.

Ca r a 2

Penyelesaian:

8 2 16 3 1

? ? ?

? x x

?

x

?

48

?

6

x

?

24

. . . ( kedua r uas dikalikan - 3)

?

x

?

48

?

48

?

6

x

?

24

?

48

. . . ( kedua r uas dit am bah 48)

?

x

?

6

x

?

72

?

7

x

?

72

. . . ( kedua r uas dit am bah

6

x

)

?

7 72 ?

x . . . ( kedua r uas dibagi 7)

Him pu n an pen yelesaiannya adalah: {

y

?

7 72 ?

x } .

c.

Rangkuman 1

?

Per sam aan linier sat u peubah adalah per sam aan yang hanya m em uat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah sat u.

?

Menyelesaikan suat u per sam aan ar t inya adalah m encar i nilai pengganti dar i peubah sehingga m enj adi per nyat aan yang benar .

?

Tiga langkah ber ikut dapat dilakukan dalam m enyelesaikan p er sam aan linier dengan sat u peubah:

o

Menam bah kedua r uas dengan bilangan yang sam a.

o

Mengur angi kedua r uas dengan bilangan yang sam a.

o

Mem bagi at au m engalikan kedua r uas dengan bilangan yang sam a yang bukan nol.

?

Per t idaksam aan linier sat u peubah adalah per t idaksam aan yang hanya m em uat sebuah peubah dan pangkat dar i peubahnya adalah sat u .

(25)

?

Jika kedua r uas suat u per t idaksam aan dit am bah at au dikur angi dengan bilangan yang sam a, m aka t anda per t idaksam aan t et ap.

?

Jika kedua r uas suat u per t idaksam aan dikalikan at au dibagi

dengan bilangan posit if yang sam a dan t id ak nol, m aka t anda per t idaksam aan t et ap.

?

Jika kedua r uas suat u per t idaksam aan dikalikan at au dibagi dengan bilangan negat if yang sam a dan t idak nol, m aka t anda per t idaksam aan m enj adi sebaliknya.

d.

Tugas 1

Kerj akan soal - soal ber ikut secar a indiv idu, j ika ada kesulit an diskusikan dengan t em an anda!

1. Sebuah kelom pok sir kus m em punyai 6 har im au, t iga j ant an dan t iga bet ina.

a) Jika set iap har i pem iliknya m em ber ikan 39 kg daging unt uk m akanan sem ua h ar im au it u dan t iap h arim au m endapat bagian yan g sam a, ber apakah ber at daging yang dim akan oleh set iap h ar im au dalam sehar i?

b ) Jika t iap singa m em akan n kg sehar i, dan daging yang dim akan oleh keenam singa it u 45 kg, t ulis per sam aan yang ber kait an dengan ber at daging yang dim akan oleh keenam sin g a t ersebut dalam sehar i!

c) Jika seekor h ar im au j ant an m akan daging dua kali yang dim akan seekor Har im au bet ina dan daging yang dim akan keenam h ar im au it u 36 kg, ber apa kilogr am daging yang dim akan t iap h ar im au j ant an?

(26)

halam an yang t elah dibaca Anis. Ber apakah banyak halam an bu ku t ersebut ?

e.

Tes Formatif 1

1 . Selesaikan per sam aan ber ikut ini : a.1 0x – 21 = 2 x

?

1

b .7 x + 13 = - 2x + 40 c. 4 x + 2 = - 2x + 5

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini!

a. 5y = y – 40

b. 2q + 4 = 4 – 2q

c. 2r + 16 = r – 25

d. x + 2 =

2

1

_{(x + 1)} e. (x – 4) = 2x + 6 f.

4 3

x =

2 1

+ 3 2

x

g. 3 1

(x – 7) = 5x

3 . Ali dan Udin kakak ber adik. Mer eka ber sepeda dar i alun- alun ke r um ahnya m elew at i j alan yang sam a. Ali ber sepeda dengan kecepat an 12 km / j am sedangkan Udin 8 km / j am . Ali t iba di r um ahnya 15 m enit sebelum Udin t iba. Ber ap a lam a Ali ber sepeda dar i alun- alun ke rum ahnya?

4 . Jum lah t iga bilangan genap yang ber ur ut an adalah 48. Tent ukan ket iga bilangan it u!

(27)

6 . Sebuah pabr ik r ot i m enggaj i sem ua kar yaw annya Rp 120.000,00 t iap har i. Biaya lain unt uk t i ap rot i adalah Rp 600,00. Harga t iap rot i Rp 1. 200, 00. Apa yang har us dilakukan agar pabr ik it u t idak m engalam i ker u gian ?

f.

Kunci jaw aban formatif 1

1 a)

2 5 ; 20 8x? x?

b ) 9x? 27;x ? 3 c)

2 1 ; 3 6x ? x ?

2 a) 4y? ?40;y? ?10 e) ? x ?1?;x? ?10 HP = { - 10 } HP = { -10 } b ) 4q ? 0;q ? 0 f ) ; 6

2 1

12 1

? ? x x

HP = { 0 } HP = { 6 } c) HP = { -41 } g )

2 1 ;

7 14 ; 3 7

3 14

? ? ? ? ?

? x x

x

d ) 2x? 4? x?1;x ? ?3 HP = { -2 1

} HP = { - 3 }

3 . s = V. t U U A

A

t

V

t

V

.

?

.

12.

t

_A = 8.( ) 4 1 ? A t

A

(28)

4 . x? (x?2)? (x?4) ? 48 14

; 42 3x ? x?

Jadi ket iga bilangan t er sebut adalah 14, 16 dan 18.

5 . 6 0 .

t

_M= 45. (

(

t

_M

?

2

)

M

t

.

15

= 9 0

jam

t

_M

?

6

Jadi w akt u w akt u yang diper lukan m obil adalah 6 j am dan w akt u yang diperlukan sepeda m ot or adalah 8 j am .

(29)

2 .

Ke gia t a n Be la j a r 2

Per sa m a a n da n Per t ida k sa m a a n Kua dr a t

a.

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:

?

Mem aham i penger t ian per sam aan kuadr at.

?

Mam pu m enyelesaikan persam aan kuadrat dengan cara m em f akt or kan.

?

Mam pu m enyelesaikan per sam aan kuadr at dengan m elengkapkan kuadr at sem pur na.

?

Mam pu m enyelesaikan per sam aan kuadr at dengan m engg unakan r u m u s.

?

Mem aham i pen ger t ian per t idaksam aan kuadr at .

?

Mam pu m enyelesaikan pert idaksam aan kuadrat .

b.

Uraian Materi

Persam aan Kuadrat

Pada bagian ini kit a akan m endalam i car a m encar i penyelesaian dar i per sam aan kuadr at .

Pe nge r t ia n

Per sam aan kuadr at ( dalam

x

) adalah per sam aan dim ana pangkat dar i

x

adalah bilangan asli dan pangkat t er t ingginya adalah 2. Secar a um um per sam aan kuadr at ( dalam

x

) berbent uk:

a

c

bx

ax

2

?

0

;

?

0.

Cont oh 1 :

0 6 3

2 2 ? ? ?

x

,

adalah per sam aan kuadr at dalam

x

kar ena pangkat dar i

x

adalah bilangan asli dan pangkat t er t inggi dar i

x

adalah 2.

(30)

Cont oh 2 :

4 8 8

3 2 ? ? ?

m

,

m

adalah bilangan asli dan pangkat t ert inggi dari

m

adalah 2. Per sam aan kuadr at di at as dapat dit ulis sebagai 3m2 ?8m?12 ? 0. Dalam h al in i n ilai a ? 3, b? ?8 danc ??12.

Per sam aan kuadr at 3m2?8? 8m?4 d apat pula dit ulis sebagai 0

12 8

3 2? ? ?

? m m .

Cont oh 3 :

1 4

8? t2?

,

t

adalah 2.

Cont oh 4 :

x x

x 5 2

2 3? 2? ?

, bukan

per sam aan kuadr at kar ena pangkat t er t inggi dar i

x

adalah 3.

Cont oh 5 :

0 2 5

3 2

1 2? ? ?

t

, bu k a n

persam aan kuadrat karena pangkat dari

t

ada yang bukan bilangan asli, yait u

2 1

.

Ca r a m enyelesaik an persam aan kuadrat

Ada t iga car a unt uk m enyelesaikan per sam aan kuadr at yait u car a m em f akt or kan, car a m elengkapkan kuadr at sem pur na dan m enggunakan r um us. Masing -m asing car a di at as diur aikan ber ikut ini.

1 . Cara M em fakt orkan

Car a ini didasar i oleh sif at per kalian dua bilangan riel . Jika a dan b adalah bilangan riel sehingga a.b= 0, m aka a= 0 at au b= a. Dem ikian pula sebaliknya, j ika a at au b adalah nol m aka a.b= 0.

(31)

m asing -m asing adalah linier . Unt uk lebih j elasnya per hat ikan cont oh ber ikut ini.

Cont oh 1 :

Tent ukan penyelesaian dar i per sam aan x2 ? x ? 2.

Penyelesaian:

2

2? ?

x x

?

x2? x? 2? 0

?

(x?2)(x?1) ? 0

?

(x?2) ? 0 at au (x?1)? 0

?

x? ?2 atau x?1

Bagaim ana cara m e m fakt orkan?

Ber ikut ini adalah langkah -langkah yang dapat dilakukan unt uk m er ubah suat u bent uk kuadr at ke dalam per kalian dua suku yang m asin g- m asing linier .

Per hat ikan bent uk um um per sam aan kuadr at

ax

2

?

bx

?

c

?

0

;

a

?

0. Langkah-langkah:

a) Per sam aan kuadr at dinyat akan dalam bent uk

ax

2

?

bx

?

c

?

0

;

a

?

0 . b ) Kedua r uas dibagi dengan

a

sehingga koef isien dar i 2

x adalah 1, akhir nya per sam aan kuadr at sem ula ber bent uk x2 ?bx?c ? 0. c) Ten t u kan du a bu ah f akt or

c

kalau dij um lahkan sam a dengan

b

,

m isalkan dua f akt or it u adalah q d an

s

, m ak a

0

)

)(

(

2

?

s

x

q

x

c

bx

x

,

sehingga (x? q)? 0 at au (x? s)? 0.

Jadi penyelesaiannya adalah x ? ?q at au

x

?

s

.

Cont oh 2 :

Tent ukan penyelesaian dar i per sam aan 2x2 ?2x?12? 0.

b

s

q

?

c

s

(32)

Penyelesaian:

0 12 2

2 2 ? ? ?

x x

a) 2 2 ? 2 ?12? 0 x

x

?

2? ? 6? 0

x

x ( kedua r uas dibagi 2) b ) f akt or - f akt or -6 kalau dij um lahkan sam a dengan 1 adalah 3 dan

- 3.

Diper oleh, 0 12 2

2x2 ? x? ?

?

x2? x? 6? 0

?

x

2

?

x

?

6

?

(

x

?

3

(

x

?

2

)

?

0

Sehin gga (x?3)? 0 at au

x

?

3

?

x

?

3

at au

x

?

2

.

Cont oh 3 :

Tent ukan penyelesaian dar i per sam aan 3 4 0 2

1 ₂

? ? ? x

x .

Penyelesaian:

0 4 3 2 1 ₂

? ? ? x x

a) 3 4 0

2

1 2 ? ? ?

x

?

x2 ?6x?8? 0( ked u a r uas dibagi 2 1

, at au dikalikan 2)

b ) f akt or - f akt or 8 kalau dij um lahkan sam a dengan 6 adalah 2 dan 4. Diper oleh,

0 8 6

2 ? ? ?

x

?

(x? 2)(x?4)? 0

Seh in gga (x?2) ? 0 at au (x?4)? 0

?

x

?

2

at au

x

?

4

.

Cont oh 4 :

Tent ukan penyelesaian dar i per sam aan 3 2 ?12 ?63? 0 x

x .

Penyelesaian:

0 63 12

3x2 ? x? ?

?

x2 ? 4x? 21? 0

(33)

?

(x?7) ? 0 at au (x?3)? 0

?

x

?

7

at au

x

?

3

.

Jika koef isien x2 bukan 1, anda dapat langsung m em f akt or kan t anp a t er lebih dahulu m em bagi kedua r uas dengan a. Car a m em f akt or kan adalah sepert i berikut .

?

Menyat akan ax2 ?bx? csebagai hasil kali dua bent uk linier , yait u

0

)

)(

(

2

?

s

rx

q

px

c

bx

ax

?

Selanj ut nya (px? q)? 0 at au (rx? s) ? 0

?

Penyelesaiannya adalah

p q

x? ? at au

t s x ? ? .

Cont oh 5 :

Tent ukan penyelesaian dar i per sam aan 3x2 ?12x?63? 0.

Penyelesaian:

0

)

7

1

)(

9

3

(

63

12

3

x

2

?

x

?

x

?

x

?

Cont oh 6 :

Tent ukan penyelesaian dar i per sam aan 4x2 ?4x?24 ? 0.

Penyelesaian:

0 24 4

4 2 ? ? ?

x

?

(4x?8)(x?3)? 0

?

4

x

?

8

?

0

at au

x

?

3

?

0

?

x

?

2

at au

x

?

3

a

r

p

.

?

c

s

q

.

?

b

r

q

s

p

.

?

.

?

(34)

2 . Ca r a melengkapkan kuadrat sem purna

Bent uk kuadrat sem purna

Ben t u k x2? 2x?1 disebut bent uk kuadr at sem pur na karena 1

2

2? ?

x

x dapat di nyat akan sebagai kuadr at dar i bent uk yang lain, yakni 2? 2 ?1

x

x =

(

x

?

1

)

2. Dem ikian pu la 4 2 ?16 ?16 x

x m er upakan bent uk kuadr at sem pur na kar ena 4x2 ?16x?16=

(

2

x

?

4

)

2. Jadi bent uk kuadr at sem pur na adalah bent uk yang dapat dinyat akan sebagai kuadr at dar i bent uk yang lain.

Bagaim ana cara m enget ahui suat u bent uk m erupakan

bent uk kuadrat sem purna at au bukan?

Per hat ikan bahw a

(

x

?

a

)

2

?

x

2

?

2

ax

?

a

2d an

(

x

?

a

)

2

?

x

2

?

2

ax

?

a

2. Dengan m em per hat ikan hal it u dapat disim pulkan bahw a bent uk

q

px

x

2

?

m er upakan bent uk kuadr at sem pur na j ika dapat dinyat akan dalam bent uk 2 ₂ 2

a ax

x ? ? at au 2 ₂ 2

a ax

x ? ?

( k onst ant anya merupakan kuadrat dari set engah koef isien

x

) .

Cont oh 7 :

Apakah x2? 6x? 9 m er upakan bent uk kuadr at sem pur na? Jika ya, nyat akan dalam kuadr at dar i bent uk yang lain!

Penyelesaian:

Per hat ikan bent uk x2? 6x? 9

Koef isien

x

adalah –6 dan konst ant anya adalah 9. Ber ar t i, set en g ah dari koef isien

x

adalah –3. Ter nyat a 9 ( konst ant a) = . Jadi,

9 6

2? ?

x

x m er upakan bent uk kuadr at sem pur na.

2 2

)

3

(

9

6

?

x

.

(35)

Apakah

2 1 2

2x2 ? x? m er upakan bent uk kuadr at sem pur na? Jika ya, nyat akan dalam kuadr at dar i bent uk yang lain!

Penyelesaian:

) 4 1 (

2 2 1 2

2x2 ? x? ? x2? x? .

Koef isien

x

dar i bent uk ) 4 1

(x2? x? ad alah 1 dan konst ant anya adalah

4 1

. Ber ar t i, set engah dar i koef isien

x

adalah 2 1

. Ter nyat a 4 1

( kon st an t a) = ( 2 1

)2

. Jadi, ) 4 1 ( 2? ?

x

x m er upakan bent uk kuadr at

sem pur na dan )2 2 1 (x? .

Jadi, 2 2 2 ))2

2 1 ( 2 ( ) 2 1 ( 2 ) 4 1 (

2 2 1 2

2x ? x? ? x ? x? ? x? ? x? .

Dengan dem ikian

2 1 2

2 2 ? ?

x

x m er upakan bent uk kuadr at sem pur na.

M enyelesa ik a n per sam aan k uadr at dengan m elengkapkan

kuadrat sem purna

Car a ini dilakukan dengan m engubah salah sat u r uas per sam aan kuadr at m enj adi bent uk kuadr at sem pur na. Dengam m enggunakan sif at x2 ? a

?

x

?

a

(

a

?

0

) , m aka per sam aan kuadr at dapat dit ent ukan penyelesaiannya.

Cont oh 9 :

Selesaikan persam aan kuadr at x2? 8x?15? 0.

Penyelesaian:

Koef isien

x

pada bent uk 2? 8 ?15 x

x adalah 8, sehingga set engah dar i koef isien

x

ad alah 4 d an 42 ?16

. Dengan dem ikian, bent uk 16

8

2? ?

x

x m er upakan bent uk kuadr at sem pur na. Sehingga per sam aan kuadr at x2?8x?15? 0 dapat dir ubah m enj adi

0 1 16 8

2? ? ? ?

x

(36)

0 1 16 8

2? ? ? ?

x

?

x2 ?8x?16? 1

?

(

?

4

)

2

?

1

x

?

(x? 4)? ? 1

?

x

?

4

?

1

?

x

?

3

at au

x

?

5

Cont oh 1 0 :

Selesaikan per sam aan kuadr at 2 ? ? 20? 0. x

x

Penyelesaian:

Koef isien

x

pada bent uk x2 ?x?20adalah – 1, sehingga set engah dar i koef isien

x

adalah

-2 1

d an

4 1 ) 2 1

(? 2 ? . Dengan dem ikian , bent uk

4 1

2? ?

x

x m er upakan bent uk kuadr at sem pur na. Sehingga per sam aan kuadr at 2? ? 20? 0

x

x dapat dir ubah m enj adi 0

4 1 20 4 1

2? ? ? ?

x

x .

0 4 1 20 4 1

2? ? ? ?

x

?

4 1 20 4 1

2 ? ? ?

x x

?

4 81 ) 2 1 (x? 2 ?

?

4

81

)

2

1

(

x

?

4

81

2

1

?

x

?

2 9

2 1

? ? x

?

2 9

2 1

? ?

x at au

2 9

2 1

? ? x

(37)

Cont oh 1 1 :

Selesaikan per sam aan kuadr at 2? 4 ?96? 0 x

x .

Penyelesaian:

0 96 4

2? ? ?

x

?

x2? 4x? 4?100 ? 0

?

x2 ? 4x? 4?100

?

(

?

2

)

2

?

100

x

?

x

?

2

?

100

?

x

?

2

?

10

?

x

?

12

at au

x

?

8

Cont oh 1 2 :

Selesaikan per sam aan kuadr at 3x2 ? 30x? 72? 0.

Penyelesaian:

0 72 30

3 2 ? ? ?

x

?

2 ?10 ? 24? 0

x x

?

2?10 ?25?1? 0 x

x

?

x2?10x? 25?1

?

(

x

?

5

)

2

?

1

?

x

?

5

?

1

?

x

?

4

at au

x

?

6

3 . Dengan m enggunakan r um us

Menyelesaikan per sam aan kuadr at j uga dapat dilakukan dengan m enggunakan r um us. Penur unan r um us dilakukan dengan car a m elengkapkan kuadr at sem pur na. Ber ikut adalah ur aian penur unan r um us it u.

Per hat ikan bent uk um um per sam aan kuadr at

a

c

bx

ax

2

?

0

;

?

0.

(38)

0

2 ? ? ?

c bx

ax

?

2? ? ? 0

a c x a b

x

?

) 0

2 ( ) 2

( 2 2

2? ? ? ? ?

a c a b a b x a b x

?

a c a b a b x a b

x2? ? 2 ? )2 ?

2 ( ) 2 (

?

2 2₂ ₂

4

)

2

(

a

ac

a

b

a

b

x

?

2 2 ₂

4

)

2

(

a

ac

b

a

b

x

?

b ac a

b x

a ) 4

2 (

4 2 ? 2 ? 2?

?

b ac a

b x

a )] 4

2 ( 2

[ ? 2 ? 2?

?

a

ac

b

a

b

x

2

4

2

?

a

ac

b

a

b

x

2

4

2

?

a

ac

b

a

b

x

2

4

2

2 1

?

at au

a

ac

b

a

b

x

2

4

2

2 2

?

Secar a singkat dapat dit ulis

a

ac

b

x

2

4

2 2 , 1

?

. ac

b2? 4 ser ingkali dit ulis dengan D ( kependekan dar i

disk rim inan

). Sehingga akar - akar persam aan t erseb ut dit ulis

a D b x 2 2 , 1 ? ? ? .

Jika D=

b

2

?

4

ac

?

0

, m aka per sam aan kuadr at

ax

2

?

bx

?

c

?

0

;

a

?

0 t idak m em punyai akar - akar bilangan riel .

Cont oh 1 3 :

Selesaikan per sam aan kuadr at x2?11x? 28? 0.

Penyelesaian:

(39)

)

1

(

2

)

28

)(

1

(

4

)

11

(

11

2 2 , 1

?

x

2 112 121 11 2 , 1 ? ? ? ? x 2 9 11 2 , 1 ? ? ? x 2 3 11 1 ? ? ? x , 2 3 11 2 ? ? ? x

4

1

?

x

,

x

₂

?

7

.

Cont oh 1 4 :

Selesaikan per sam aan kuadr at x2? 2x? 32? ?2x?13.

Penyelesaian:

13 2 32 2

2? ? ? ? ?

x x

x

?

x2? 4x? 45? 0

a ?1;b ? 4;c? ?45

)

1

(

2

)

45

)(

1

(

4

)

4

(

4

2 2 , 1

?

x

2 180 16 4 2 , 1 ? ? ? ? x 2 196 4 2 , 1 ? ? ? x 2 14 4 1 ? ? ? x , 2 14 4 2 ? ? ? x

5

1

?

x

,

x

₂

?

9

.

Cont oh 1 5 :

Selesaikan per sam aan kuadr at 4x2 ?13x?3? 0.

Penyelesaian:

a ? 4;b? ?13;c ? 3

(40)

8 48 169 13

2 , 1

? ?

? x

8 11 13

2 , 1

? ? x

x

1

?

3

,

4 1

2 ?

x .

Pert idaksam aan Kuadrat

Pada bagian ini kit a akan m endalam i car a m encar i penyelesaian dari per t idaksam aan kuadr at .

Pe nge r t ia n

Per t idaksam aan kuadr at ( dalam

x

) adalah per t idaksam aan dim ana pangkat dar i

x

adalah bilangan asli dan pangkat t er t ingginya adalah 2.

Cont oh 1 :

0 12 6

2x2 ? x? ?

,

adalah per t idaksam aan kuadr at dalam

x

adalah 2 .

Cont oh 2 :

6 8 5

3 2? ? ? ?

? m m

,

m

adalah bilangan asli dan pangkat t ert inggi dari

m

adalah 2.

Ca r a m enyelesaik an pert idaksam aan kuadrat

Langkah-langkah unt uk m enyelesaikan per t idaksam aan kuadr at adalah sebagai ber ikut :

a) Nyat akan per t idaksam aan kuadr at ke bent uk salah sat u r uas sam a dengan nol dan r uas yang lain adalah bent uk kuadr at .

b ) Tent ukan pem buat nol dar i bent uk kuadr at it u. c) Let akkan pem buat nol dalam gar is bilangan .

(41)

e) Tent ukan penyelesaiannya sesuai yang dikehendaki pada per t idaksam aan.

Unt uk lebih j elasnya per hat ikan beber apa cont oh ber ikut ini.

Cont oh 3 :

Tent ukan him punan penyelesaian dar i per t idaksam aan x2? 5x? ?6.

Penyelesaian:

6 5

2? ? ?

x

?

x2 ?5x? 6? 0

Pem bu at n ol dar i x2? 5x? 6 adalah nilai -nil ai

x

sehingga x2? 5x? 6? 0. 0

6 5

2? ? ?

x

?

(x? 2)(x?3)? 0

?

x

?

2

at au

x

?

3

Kar ena daer ah yang dim int a yang lebih kecil nol, m aka

x

yang m em enuhi adalah diant ar a –3 d an –2. Jadi him punan penyelesaiannya adalah {

x

?

R

?

-3 < x < -2 }

Cont oh 4 :

Tent ukan him punan penyelesaian dar i per t idaksam aan ? x2?5x?14 ? 0.

Penyelesaian:

Pem bu at n ol dar i ? 2? 5 ?14 x

x adalah nilai -nilai

x

sehingga 0

14 5

2? ? ?

? x x . 0 14 5

2? ? ?

? x x

?

(?x? 7)(x? 2)? 0

?

x

?

7

at au

x

?

2

Kar ena daer ah yang dim int a yang lebih kecil at au sam a dengan nol, m ak a

x

yang m em enuhi adalah lebih kecil at au sam a dengan –7 at au lebih besar at au sam a dengan 2. Jadi him punan penyelesaiannya adalah {

x

?

R

?

x? ?7 atau x ? 2} .

-3

-2

+ + + +

- - - -

-7

2

(42)

c.

Rangkuman 2

?

Bent uk um um per sam aan kuadr at ( dalam

x

) adalah

a

c

bx

ax

2

?

0

;

?

0.

?

Ada t iga car a unt uk m enyelesaikan per sam aan kuadr at yait u car a m em f akt or kan, m elengkapkan kuadr at sem pur na dan m enggunakan r um us.

?

Langkah-langkah m en y elesaikan per sam aan kuadr at

a

c

bx

ax

2

?

0

;

?

0 dengan m em f akt or kan:

?

Menyat akan ax2 ?bx? c_{sebagai hasil kali dua bent uk linier , yait u}

0

)

)(

(

2

?

s

rx

q

px

c

bx

ax

?

Selanj ut nya (px? q)? 0 at au (rx?s)? 0

?

Penyelesaiannya adalah

p q

x? ? at au

t s x ? ? .

?

Jika

a

?

1

, m aka per sam aan kuadr at 2 ? ? ? 0 c bx

x diubah m enj adi

0

)

)(

(

2

?

s

x

q

x

c

bx

x

sehingga penyelesaiannya adalah x? ?q at au

x

?

s

?

Penyelesaian dar i per sam aan kuadr at

ax

2

?

bx

?

c

?

0

;

a

?

0 adalah

a ac b

b x

2 4

2 2

, 1

? ? ? ?

unt uk

b

2

?

4

ac

?

0

a

r

p

.

?

c

s

q

.

?

b

r

q

s

p

.

?

.

?

b

s

q

?

c

s

(43)

d.

Tugas 2

Kerj akan soal - soal ber ikut secar a indiv idu, j ika ada kesulit an diskusikan dengan t em an anda!

Selesaikan per sam aan kuadr at ber ikut ini! 1 . 2

?

2

?

0

x

2 . x2?2 5x?1? 0 3 . 2x2 ?9x?35 ? 0

4 .

(

m

?

1

)

x

2

?

2

mx

?

(

m

?

1

)

?

0

;

m

?

- 1.

Tent ukan him punan penyelesaian dar i per t idaksam aan ber ikut ! 5 . 4x2 ?12x ? ?9

6 . x2?3x ? 5x?2x2

e.

Tes Formatif 2

Selesaikan per sam aan kuadr at ber ikut ini dengan car a m em f akt or kan ! 1 . 2? ?30 ? 0

x x

2 . x2 ?3x?28? 0 3 . 2x2 ?5x?3? 0

Selesaikan per sam aan kuadr at ber ikut ini dengan car a m elengkapkan kuadr at sem pur na!

4 . x2? 4x?12 5 . 4x2 ?12x? 8? 0

Selesaikan per sam aan kuadr at ber ikut ini dengan m enggunakan r um us! 6 . x2? 2 2 x?1

7 . 2x2 ? x? 2 ? 0

Tent ukan him punan penyelesaian dar i per t idaksam aan ber ikut ! 8 .

(

x

?

5

)

?

2

(

x

2

?

2

)

9 .

3

1

4

3

2

?

(44)

f.

Kunci jaw aban formatif 2

1 . x2? x?30 ? 0

?

(x? 6)(x?5) ? 0

?

x ? ?6 atau x? 5 2 . x2 ?3x?28? 0

?

(x?7)(x? 4)? 0

?

x ? 7 atau x? ?4 3 . 2x2 ?5x?3? 0

?

(2x?3)(x?1)? 0

?

1

2 3

? ? ?

? atau x x

4 . x2? 4x?12

?

x2 ?4x? 4?16

?

(

?

2

)

2

?

4

x

?

(x?2) ?? 4

?

x?0atau x? ?4 5 . 4 2 ?12 ?8? 0

x

?

4 2 ?12 ? 9?1

x

x 2

?

(

2

x

?

3

)

2

?

1

?

2x? 3??1

?

x??2atau x ?1 6 .

) 1 .( 2

) 1 ).( 2 .( 4 ) 2 2 ( 2

2 2

2 , 1

? ?

? x

x₁ ? x₂ ? 2

7 .

) 2 .( 2

) 2 ).( 2 .( 4 ) 1 (

1 2

2 , 1

? ?

? ? ? x

2 ;

2 2 1

2 1 ? ? x ? ?

x

8 .

(

x

?

5

)

?

2

(

x

2

?

2

)

?

2x2 ? x?1? 0

?

(2x?1)(x?1)? 0

1

-2 1

(45)

HP = {

x

? ?

R

1 2

1

? ?

? atau x

x } .

9 .

3

1

4

3

2

?

x

?

3x2 ?9 ? 4x2?4x?4

?

x2 ? 4x? 5? 0

?

(x? 5)(x?1)?0

HP = {

x

? ?

R

? 5? x? 1}

1

5

?

(46)

3 .

Kegiat an Belaj ar 3

Menyusun Persamaan Kuadrat yang diket ahui Akar-akarnya

a.

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:

?

Menent ukan j enis akar - akar per sam aan kuadr at .

?

Menent ukan hasil kali akar - akar per sam aan kuadr at .

?

Menent ukan j um lah akar - akar per sam aan kuadr at.

?

Menyusun per sam aan kuadr at j ika diket ahui akar - akar nya.

b.

Uraian Materi

Jenis akar persam aan kuadrat

Telah diur aikan bahw a akar - akar dar i per sam aan kuadr at

a

c

bx

ax

2

?

0

;

?

0 adalah ,

2

1

a D b

x ? ? ?

a D b x

2

? ?

? .

?

Jika D> 0, m aka kedua akar per sam aan kuadr at it u adalah bilangan riel yan g ber beda

?

Jika D= 0, m aka kedua akar per sam aan kuadr at it u adalah dua bilangan riel yang sam a yait u

a b 2 ?

.

?

Jika D< 0, m aka per sam aan kuadr at it u t idak m em punyai akar bilangan riel.

Cont oh 1 :

Per sam aan kuadr at 2 ?5 ?3? 0 x

(47)

Cont oh 2 :

Per sam aan kuadr at 2? 2 ?6? 0 x

x t idak m em punyai akar riel karena D=

(

2

)

2

?

4

(

1

)(

6

)

?

20

< 0.

Cont oh 3 :

Per sam aan kuadr at x2?6x?9? 0 m em punyai dua akar riel yang sam a kar ena D=

(

6

)

2

?

4

(

1

)(

9

)

?

0

.

Cont oh 4 :

Tent ukan nilai

m

agar per sam aan kuadr at 2 2 ?2 ? 2 ?3 ?3? 0 m

x mx x

m em punyai dua akar riel yang sama.

Penyelesaian:

0 3 3 2 2

2 2 ? ? ? ? ?

m x mx

x

?

2

?

(

2

?

2

)

?

(

3

?

3

)

?

0

m

x

m

x

Agar per sam aan kuadr at it u m em punyai dua akar yang sam a, m aka diskr im inannya har us sam a dengan nol.

D=

(

?

2

m

?

2

)

2

?

4

(

2

)(

3

m

?

3

)

= 0.

?

4 2 ?8 ? 4?24 ? 24? 0 m

m m

?

4m2 ?16m?20 ? 0

?

m2 ?4m?5? 0

?

(m?5)(m?1)? 0

?

m? 5 atau m? ?1.

Jum lah dan hasil kali akar- akar persam aan kuadrat

Akar - akar dar i per sam aan kuadr at

ax

2

?

bx

?

c

?

0

;

a

?

0 adalah ,

2

1

a D b

x ? ? ?

a D b x

2

? ?

? .

Jika kedua akar t er sebut dij um lahkan, m aka diper ol eh

x

₁

?

x

₂= -a b

,

sedangkan j ika kedua akar it u dikalikan m aka diper oleh

x

1

.x

2=

a c

(48)

Cont oh 5 :

Jika akar - akar per sam aan kuadr at x2 ? 7x?12? 0 adalah

?

d an

?

, m aka t ent ukan:

a)

?

+

?

b )

?

.

?

c)

? ?

2

?

2

Penyelesaian:

a)

?

+

?

= 7

1 7

? ? ? ? ?

a b

b )

?

.

?

= 12 1 12

? ? a c

c)

?

2

?

2

?

(

?

)

2

?

2

?

.

?

=

(

?

7

)

2

?

2

(

12

)

?

25

.

Cont oh 6 :

Jika akar - akar per sam aan 6x2 ?36?18? 0 adalah ? d an

?

, t ent ukan: a)

?

1 1

? ? b )

?

Penyelesaian:

a) 2

3 6

6 18

6 36

. 1 1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

a c

a b

? ? ?

b )

(

?

)

2

??

2

?

2

?

2

= ? 2?_?2?2? _? =

(

?

)

2

?

4

?

=

(

?

6

)

2

?

4

(

?

3

)

= 4 8

(49)

M enyusun persam aan kuadrat yang diket ahui akar- ak arnya

Dar i u r aian sebelum nya t elah kit a ket ahui bahw a j um lah akar -akar per sam aan kuadr at

ax

2

?

bx

?

c

?

0

;

a

?

0 adalah

x

1

?

x

2=

-a b

,

sedangkan j ika kedua akar it u dikalikan m aka diper oleh

x

₁

.x

₂= a c

. Dar i d u a kesam aan it u diper oleh hubungan

b

?

a

(

x

₁

?

x

₂

)

dan

c

?

a

(

x

₁

.

x

₂

)

. Jika niali

b

dan

c

ini disubst it usikan ke per sam aan sem ua, yait u

0

2 ? ? ?

c bx

ax , m aka diper oleh 2

?

(

₁

?

₂

)

?

(

₁

.

₂

)

?

0

x

a

x

a

ax

.Jika kedua

r u as dibagi dengan

a

diper oleh ax2 ?bx?c ? 0

?

0

)

.

(

)

(

₁ ₂ ₁ ₂

2

?

x

. Dengan dem ikian per sam aan kuadr at j ika diket ahui akar - akarnya

?

dan

?

adalah

x

2

?

(

?

)

x

?

(

?

.

?

)

?

0

.

Cont oh 7 :

Susunlah per sam aan kuadr at yang akar - akar nya - 2 3 1

dan 5 4

.

Penyelesaian:

- 2 3 1

+ 5 4

=

15 23

15 12 35

5 4

3

7 ?

? ? ? ? ? ?

( - 2 3 1

) . ( 5 4

) =

15 28

5 4

3

7 ?

? ? ?

Jadi per sam aan kuadr at nya adalah 0 15

28

15 23

2? ? ? ?

x

x at au dapat dit ulis 0

28 23

15x2 ? x? ? .

Cont oh 8 :

Susunlah per sam aan kuadr at yang akar akarnya 2 lebihnya dari akar -akar per sam aan 2 ?5 ? 6? 0

x

x .

Penyelesaian:

(50)

diper oleh hubungan

?

=

?

+ 2 dan

?

=

?

+ 2. Per sam aan yang dim int a adalah 2

?

(

?

)

?

(

?

.

?

)

?

0

x

.

?

+

?

= (

?

+

?

) + 4= 5+ 4= 9.

?

.

?

= (

?

+ 2) (

?

+ 2) =

?

.

?

+ 2 (

?

+

?

) + 4 = 6+ 2( 5) + 4 = 20.

Jadi, persam aan kuadrat yang dim int a adalah x2?9x? 20? 0.

Cont oh 9 :

Susunlah per sam aan kuadr at yang akar - akar nya enam kali akar - akar per sam aan 6 2? ?1? 0

x

x .

Penyelesaian:

Misalkan akar - akar per sam aan 6x2? x?1? 0 adalah

?

d an

?

dan m isalkan akar - akar per sam aan yang dim int a adalah

?

d an

?

. Maka diper oleh hubungan

?

= 2

?

d an

?

= 2

?

. Per sam aan yang dim int a adalah

x

2

?

(

?

)

x

?

(

?

.

?

)

?

0

.

?

+

?

= (2

?

+ 2

?

) = 2 (

?

+

?

) = 2 ( 6

1 ?

) = 3

1 ?

?

.

?

= ( 2

?

) ( 2

?

) = 4

?

.

?

= 4 ( 6

1 ?

) = 3

2 ?

Jadi, p er sam aan kuadr at yang dim int a adalah 0 3 2

3 1

2 ? ? ?

x

x at au dapat dit ulis 3