JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1

(1)

Abstrak— Ukuran keirasionalan barisan dapat disederhanakan dengan menambahkan asumsi – asumsi tertentu sehingga diperoleh batas bawah ukuran keirasionalan dari barisan tersebut. Dalam penelitian ini diuraikan pembuktian dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real beserta akibat - akibatnya, termasuk akibat - akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville, juga proposisi - proposisi yang berkaitan dengan akibat - akibat tersebut.

Kata Kunci—Barisan Liouville, Barisan Bilangan Real, Ukuran Keirasionalan.

I. PENDAHULUAN

ilangan secara umum dapat dibagi menjadi bilangan real dan imajiner. Pada bilangan real, dikenal dua golongan bilangan yaitu bilangan rasional dan irasional.

Bilangan rasional masih dapat dibagi lagi ke dalam jenis bilangan bulat dan pecahan. Sementara bilangan irasional dapat dibagi ke dalam jenis bilangan aljabar dan bilangan transendental.

Euler adalah orang pertama yang mendefinisikan bilangan transendental, mengikuti paper Leibniz pada tahun 1682 yang berisi pembuktian bahwa sin 𝑥𝑥 bukan merupakan fungsi aljabar dari 𝑥𝑥. Bilangan transendental didefinisikan sebagai bilangan yang bukan merupakan akar persamaan polinomial tak konstan dengan koefisien rasional[8].

Definisi tersebut pada tahun 1844 dikembangkan oleh Joseph Liouville yang pada akhirnya berhasil membuktikan eksistensi bilangan transendental. Penelitian Liouville tidak berhenti hanya pada pembuktian tersebut. Pada tahun 1851, Liouville berhasil menentukan suatu konstanta penting yang dikenal dengan sebutan konstanta Liouville, yang kemudian dikembangkan menjadi definisi bilangan Liouville.

Liouville menunjukkan bahwa setiap bilangan Liouville merupakan bilangan transendental[6].

Selain mendefinisikan bilangan dan konstanta Liouville, Joseph Liouville juga merumuskan teorema Liouville.

Teorema Liouville pada akhirnya digunakan untuk menurunkan suatu rumus ukuran keirasionalan bilangan.

Secara sederhana, ukuran keirasionalan, atau yang disebut juga sebagai approximation exponent atau konstanta Liouville - Roth, dari suatu bilangan real 𝑥𝑥 didefinisikan sebagai ukuran seberapa dekat 𝑥𝑥 dapat diperkirakan dalam bilangan rasional[7].

Hasil karya Liouville tersebut juga mengilhami beberapa matematikawan untuk menelaah lebih lanjut, sehingga pada akhirnya lahirlah beberapa kriteria keirasionalan bilangan yang diantaranya diperkenalkan oleh Erdös dan Strauss pada tahun 1974 yang membuktian keirasionalan dan rational independence dari beberapa tipe deret[5]. Kemudian dalam [2] dan [3], Borwein pada tahun 1991 dan 1992, melalui jurnalnya membuktikan beberapa deret yang irasional tetapi tidak Liouville. Demikian halnya dengan Sondow dalam [10] dan Duverney dalam [4] yang juga membahas mengenai keirasionalan bilangan.

Penelitian lain yang dilakukan oleh Jaroslav Hančl yang dituangkan dalam Nagoya Mathematics Journal tahun 2003 membahas secara khusus tentang barisan Liouville beserta dua kriteria baru yang didasarkan pada penelitian Erdös yang berjudul Some Problems and Results on the Irrationality of the Sum of Infinite Series[6]. Pada tahun 2005, Jaroslav Hančl bersama rekannya, Ferdinánd Filip, kembali mempublikasikan hasil penelitiannya yang berhasil merumuskan dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan barisan tertentu melalui Hiroshima Mathematics Journal[7].

Dengan berlatar belakang beberapa hasil penelitian tersebut, makalah ini disusun untuk mengkaji cara menentukan dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real beserta akibat - akibat dari kedua kriteria batas bawah tersebut, juga akibat - akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville.

II. METODEPENELITIAN

Dalam penelitian makalah ini digunakan studi literatur dengan tahapan sebagai berikut:

1. Mengkaji definisi ukuran keirasionalan

2. Mengkaji dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real

3. Mengkaji akibat – akibat dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real

4. Mengkaji akibat – akibat dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real yang berkaitan dengan barisan Liouville

5. Pembahasan proposisi – proposisi 6. Penulisan laporan

III. ANALISISDANPEMBAHASAN A. Ukuran Keirasionalan Bilangan

Definisi dan teorema yang berkaitan dengan ukuran keirasionalan bilangan yang digunakan dalam pembahasan dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real adalah sebagai berikut:

Definisi 2.1.1 [7]

Jika 𝜉𝜉 adalah bilangan irasional, maka bilangan lim sup

𝑞𝑞 → ∞, 𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁 log_𝑞𝑞� min 𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 �𝜉𝜉 −𝑝𝑝

𝑞𝑞��⁻¹ disebut ukuran keirasionalan dari bilangan 𝜉𝜉.

Teorema 2.1.2 [8]

Setiap bilangan irasional memiliki ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 2.

Definisi 2.1.3 [6]

Ukuran keirasionalan dari bilangan Liouville adalah tak hingga.

Kajian Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real

Taurusita Kartika Imayanti dan Sunarsini

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

E-mail: [email protected]

B

(2)

B. Kriteria Keirasionalan Barisan

Berikut ini adalah dua definisi untuk kriteria keirasionalan barisan yang telah didefinisikan oleh Erdös dan Strauss pada tahun 1974.

Definisi 2.2.1 [5]

Diberikan {𝑥𝑥_𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ adalah barisan bilangan real positif.

Jika untuk setiap barisan bilangan bulat positif {𝑐𝑐𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ jumlahan dari deretnya adalah

� 1

𝑥𝑥𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=1

merupakan bilangan irasional, maka barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ adalah irasional. Jika {𝑥𝑥𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ bukan merupakan barisan irasional, maka merupakan barisan rasional.

Definisi 2.2.2 [5]

Misal {𝑥𝑥𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ adalah suatu barisan irasional dan Θ adalah himpunan dari semua barisan bilangan bulat positif, Θ = {{𝑐𝑐𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ , 𝑐𝑐𝑛𝑛∈ 𝑁𝑁}, maka bilangan

inf

{𝑐𝑐𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ ∈ 𝛩𝛩 lim sup

𝑞𝑞 → ∞, 𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁log_𝑞𝑞� min

𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 �� 1 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛−𝑝𝑝

𝑞𝑞

∞ 𝑛𝑛=1

��

−1

disebut ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ . C. Lemma yang Berkaitan dengan Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real

Lemma yang digunakan dalam pembahasan kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real dijelaskan sebagai berikut:

Lemma 2.3.1 [7]

Diberikan 𝜀𝜀1 adalah bilangan real positif dengan 𝜀𝜀1< 1.

Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, sehingga memenuhi 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹� dan 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 2^𝑛𝑛 untuk setiap 𝑛𝑛 yang cukup besar, maka untuk setiap 𝜀𝜀2 dengan 𝜀𝜀2> 𝜀𝜀1 dengan 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku

�𝑏𝑏_{𝑛𝑛+𝑗𝑗} 𝑎𝑎_{𝑛𝑛+𝑗𝑗} ≤ 1

𝑎𝑎_𝑛𝑛^1−𝜀𝜀²

∞

𝑗𝑗 =0

Lemma 2.3.2 [7]

Diberikan 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1, dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan 𝜀𝜀₁<_1+𝜀𝜀^𝜀𝜀 dan 𝑆𝑆 >_1−𝜀𝜀¹

1. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, sehingga memenuhi lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 (𝑆𝑆+1)}

⁄ 𝑛𝑛 > 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛= 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹�, dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku 𝑎𝑎_𝑛𝑛 > 𝑛𝑛^1+𝜀𝜀, maka terdapat suatu bilangan real positif 𝛼𝛼 sehingga untuk setiap 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku

�𝑏𝑏𝑛𝑛+𝑗𝑗

𝑎𝑎_{𝑛𝑛+𝑗𝑗} ≤ 1 𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛼𝛼

∞ 𝑗𝑗 =0

Lemma 2.3.3 [7]

Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, serta memenuhi lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 (𝑆𝑆+1)}

⁄ 𝑛𝑛 > 1 dan 𝑏𝑏_𝑛𝑛= 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹� dengan 𝑛𝑛 yang cukup besar, maka �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ merupakan barisan irasional.

D. Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real

Berikut ini adalah dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real:

Teorema 2.4.1 [7]

Diberikan 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1, dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan 𝜀𝜀1<_1+𝜀𝜀^𝜀𝜀 dan 𝑆𝑆 >_1−𝜀𝜀¹

1. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, sehingga memenuhi

lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 (𝑆𝑆+1)}

⁄ 𝑛𝑛 > 1

dan 𝑏𝑏𝑛𝑛= 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹�, dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛> 𝑛𝑛^1+𝜀𝜀, maka �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ adalah barisan irasional yang mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan

max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1)�.

Teorema 2.4.2 [7]

Diberikan 𝜀𝜀 dan 𝑆𝑆 adalah dua bilangan real positif dengan 𝑆𝑆 > 1. Jika {𝑎𝑎_𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ adalah dua barisan bulat positif dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun dan memenuhi

lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 (𝑆𝑆+1)}

⁄ 𝑛𝑛 > 1

dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛> 𝑛𝑛^1+𝜀𝜀, dan untuk setiap bilangan real positif 𝛽𝛽 berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛= 𝑜𝑜�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽�, maka barisan �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ merupakan barisan irasional dengan ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan

max(2, 𝑆𝑆).

Bukti:

Untuk membuktikannya akan digunakan cara kontradiksi.

Andaikan 𝜇𝜇({𝑎𝑎_𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ ) < 𝑆𝑆, dimana 𝜇𝜇({𝑥𝑥𝑛𝑛}) menyatakan ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛}, maka haruslah

𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ ) < 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆1; 𝑆𝑆1∈ ℝ, 𝑆𝑆1→ 0, yaitu artinya

𝑆𝑆1< min �𝑆𝑆 − 1, 𝜀𝜀

1 + 𝜀𝜀� ; ∀𝜀𝜀 ∈ ℝ.

Misalkan ^𝑆𝑆¹

𝑆𝑆 = 𝜀𝜀₁, maka 𝑆𝑆𝜀𝜀₁= 𝑆𝑆₁.

Untuk 𝑏𝑏_𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽�; 𝛽𝛽 ∈ ℝ⁺, ambil 𝜀𝜀₁<_1+𝜀𝜀^𝜀𝜀 ; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀₁∈ ℝ⁺, maka 𝜀𝜀₁⊂ 𝛽𝛽. Sehingga berlaku

𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹�, 𝜀𝜀1< 𝜀𝜀

1 + 𝜀𝜀 ; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀¹∈ ℝ⁺.

Dari sifat notasi 𝑜𝑜 kecil (little o notation) diketahui bahwa 𝑜𝑜(𝑓𝑓) ⊂ 𝑂𝑂(𝑓𝑓), maka

𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀₁� ⊂ 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀₁�,

yang artinya untuk 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹� berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹�.

Sehingga syarat untuk Teorema 2.4.1 terpenuhi. Artinya

�^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ merupakan barisan irasional dengan 𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ ) ≥ max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1)�.

Karena

𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1) = 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆𝜀𝜀1= 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆1, maka terjadi kontradiksi. Sehingga haruslah

𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ ) ≥ 𝑆𝑆, dan diperoleh

𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ ) ≥ max(2, 𝑆𝑆), sehingga Teorema 2.4.2 terbukti.

(3)

E. Akibat – Akibat Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real

Dari dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real, apabila ditambah dengan persyaratan baru akan menghasilkan dua akibat. Dua akibat tersebut dijelaskan sebagai berikut:

Akibat 2.5.1 [7]

Diberikan 𝜀𝜀1 dan 𝑆𝑆 bilangan real positif dengan 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1) > 2. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, dengan

lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 (𝑆𝑆+1)}

⁄ 𝑛𝑛 > 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹�, maka barisan �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1).

Bukti:

Cara membuktikannya adalah dengan membuktikan bahwa Akibat 2.5.1 bersesuaian dengan Teorema 2.4.1.

Karena {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ memenuhi sifat – sifat:

{𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, dan lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 (𝑆𝑆+1)}

⁄ 𝑛𝑛 > 1, serta 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹� yang sesuai dengan Teorema 2.4.1, maka

𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ � ≥ max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1)�,

dimana 𝜇𝜇({𝑥𝑥𝑛𝑛}) menyatakan ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛}.

Karena 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1) > 2; 𝜀𝜀1, 𝑆𝑆 ∈ ℝ⁺, maka 𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ � ≥ 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1),

sehingga Akibat 2.5.1 terbukti.

Akibat 2.5.2 [7]

Diberikan 𝑆𝑆 adalah suatu bilangan real positif dengan 𝑆𝑆 > 2. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛}^∞_𝑛𝑛=1 dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, dengan

lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 (𝑆𝑆+1)}

⁄ 𝑛𝑛 > 1

dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽� untuk setiap bilangan real positif 𝛽𝛽, maka barisan �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝑆𝑆.

Bukti:

Cara membuktikannya adalah dengan menunjukkan bahwa Akibat 2.5.2 bersesuaian dengan Teorema 2.4.2.

Karena {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ memenuhi sifat – sifat:

{𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, dan lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 (𝑆𝑆+1)}

⁄ 𝑛𝑛 > 1, serta 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽� yang sesuai dengan Teorema 2.4.2, maka

𝑏𝑏𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ � ≥ max(2, 𝑆𝑆),

Karena 𝑆𝑆 > 2; 𝑆𝑆 ∈ ℝ⁺, maka 𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ � ≥ 𝑆𝑆,

sehingga Akibat 2.5.2 terbukti.

F. Akibat – Akibat Kriteria Batas Bawah Ukuran

Keirasionalan pada Barisan Bilangan real yang Berkaitan dengan Barisan Liouville

Selain dua akibat yang telah diuraikan, terdapat dua akibat lain dari kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada

barisan bilangan real, yaitu yang berkaitan dengan barisan Liouville. Uraian mengenai dua akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville tersebut adalah sebagai berikut:

Akibat 2.6.1 [7]

Diberikan 𝜀𝜀 dan 𝜀𝜀1 adalah dua bilangan real positif dengan 𝜀𝜀1<_1+𝜀𝜀^𝜀𝜀 . Juga diberikan dua barisan bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, dan berlaku 𝑏𝑏_𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹�. Jika untuk setiap bilangan real positif 𝑆𝑆 berlaku

lim sup 𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 𝑆𝑆}

⁄ 𝑛𝑛 = ∞

dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku 𝑎𝑎_𝑛𝑛 > 𝑛𝑛^1+𝜀𝜀, maka barisan �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ adalah Liouville.

Bukti:

Cara membuktikannya adalah dengan menunjukkan bahwa untuk setiap barisan bilangan bulat positif {𝑐𝑐𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ jumlahan deretnya

� 𝑏𝑏𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛

∞

adalah bilangan Liouville. 𝑛𝑛=1

Dari Teorema 2.4.1, terdapat 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1, 𝑆𝑆 ∈ ℝ⁺ sehingga 𝜀𝜀1<_1+𝜀𝜀^𝜀𝜀 dan 𝑆𝑆 >_1−𝜀𝜀¹

1. Juga terdapat {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ naik, dan berlaku 𝑏𝑏_𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹� serta

lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 (𝑆𝑆+1)}

⁄ 𝑛𝑛 > 1, sehingga

𝑏𝑏𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ � ≥ max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀₁)�,

Untuk setiap 𝑆𝑆 anggota bilangan real positif, jika lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 𝑆𝑆}

⁄ 𝑛𝑛 = ∞, maka

lim sup 𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛

1 �(𝑆𝑆−1)+1�⁄ ^𝑛𝑛

= ∞.

Ambil 𝑆𝑆 → ∞, maka 𝑆𝑆 − 1 → ∞. Akibatnya lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 (𝑆𝑆+1)}

⁄ 𝑛𝑛 > 1,

Yang artinya memenuhi Teorema 2.4.1 dan berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀₁�, sehingga

𝑏𝑏_𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ � ≥ max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀₁)�.

Karena 𝑆𝑆 sebarang, maka untuk 𝑆𝑆 → ∞ berlaku 𝜇𝜇 ��^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ � → ∞. Akibatnya

𝑏𝑏𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ � = ∞.

Dari Definisi 2.2.2, ukuran keirasionalan dari barisan

�^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ didefinisikan sebagai

{𝑐𝑐𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞inf ∈ 𝛩𝛩 lim sup

𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 �� 𝑏𝑏𝑛𝑛

𝑥𝑥𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛−𝑝𝑝 𝑞𝑞

∞ 𝑛𝑛=1

��

−1

, untuk setiap {𝑐𝑐𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ barisan bilangan bulat positif.

Karena 𝜇𝜇 ��^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ � = ∞, maka artinya

{𝑐𝑐𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞inf∈ 𝛩𝛩 lim sup

𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 �� 𝑏𝑏𝑛𝑛

𝑥𝑥𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛−𝑝𝑝 𝑞𝑞

∞ 𝑛𝑛=1

��

−1

= ∞,

(4)

untuk ∀𝑐𝑐_𝑛𝑛 ∈ ℕ. Akibatnya lim sup

𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 �� 𝑏𝑏_𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛−𝑝𝑝

𝑞𝑞

∞ 𝑛𝑛=1

��

−1

= ∞, ∀𝑐𝑐𝑛𝑛∈ ℕ.

Sesuai dengan Definisi 2.1.3, maka persamaan tersebut menunjukkan bahwa

� 𝑏𝑏_𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=1

merupakan bilangan Liouville. Sehingga �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞

merupakan barisan Liouville dan Akibat 2.6.1 terbukti.

Akibat 2.6.2 [7]

Diberikan 𝜀𝜀 adalah suatu bilangan real positif. Juga diberikan dua barisan bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, dan untuk setiap bilangan real positif 𝛽𝛽 berlaku 𝑏𝑏_𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽�. Jika untuk setiap bialngan real positif 𝑆𝑆 berlaku

lim sup 𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 𝑆𝑆}

⁄ 𝑛𝑛 = ∞

dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku 𝑎𝑎_𝑛𝑛 > 𝑛𝑛^1+𝜀𝜀, maka barisan �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

Bukti:

Cara membuktikannya adalah dengan menunjukkan bahwa Akibat 2.6.2 memenuhi semua syarat pada Akibat 2.6.1, sehingga �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ merupakan barisan Liouville.

Karena telah memenuhi untuk lim sup 𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 𝑆𝑆}

⁄ 𝑛𝑛 = ∞; 𝑆𝑆 ∈ ℝ⁺ dan 𝑎𝑎_𝑛𝑛 > 𝑛𝑛^1+𝜀𝜀, maka akan dibuktikan memenuhi

𝑏𝑏_𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹�, 𝜀𝜀₁< 𝜀𝜀

1 + 𝜀𝜀; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀₁∈ ℝ⁺.

Ambil 𝜀𝜀₁<_1+𝜀𝜀^𝜀𝜀 ; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀₁∈ ℝ⁺, maka 𝜀𝜀₁⊂ 𝛽𝛽. Sehingga berlaku

𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀₁�, 𝜀𝜀1< 𝜀𝜀

1 + 𝜀𝜀; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1∈ ℝ⁺.

Dari sifat notasi 𝑜𝑜 kecil (little o notation) diketahui 𝑜𝑜(𝑓𝑓) ⊂ 𝑂𝑂(𝑓𝑓), sehingga 𝑜𝑜�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹� ⊂ 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹�. Artinya untuk 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀₁� berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀₁�.

Sehingga syarat untuk Akibat 2.6.1 terpenuhi, dan berakibat �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ merupakan barisan Liouville. Artinya Akibat 2.6.2 terbukti.

G. Proposisi – Proposisi yang Berkaitan dengan Akibat – Akibat Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real

Akibat dari dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan barisan bilangan real tersebut apabila diaplikasikan pada barisan tertentu dengan syarat khusus akan menghasilkan beberapa proposisi. Berikut disajikan beberapa proposisi yang berkaitan dengan akibat – akibat tersebut.

Proposisi 1

Diberikan K suatu bilangan bulat positif dengan 𝐾𝐾 �1 −

1

log₂𝑒𝑒� > 2. Jika lcm(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) menyatakan least common multiply atau kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛, maka barisan

�lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)^𝑛𝑛) + 𝑛𝑛 2^(𝐾𝐾+1)^𝑛𝑛 + 𝑛𝑛² �

𝑛𝑛=1

∞

mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝐾𝐾 �1 −_log¹

2𝑒𝑒�.

Bukti:

Dari barisan �lcm(1,2,…,(𝐾𝐾+1)^𝑛𝑛)+𝑛𝑛 2^{(𝐾𝐾+1)𝑛𝑛}+𝑛𝑛² �

𝑛𝑛=1

∞

diketahui terdapat dua barisan bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, yaitu 𝑎𝑎𝑛𝑛=lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)^𝑛𝑛) + 𝑛𝑛 dan 𝑏𝑏_𝑛𝑛 = 2^(𝐾𝐾+1)^𝑛𝑛 + 𝑛𝑛².

Kemudian ditunjukkan bahwa 𝑎𝑎𝑛𝑛 da 𝑏𝑏𝑛𝑛 memenuhi:

1. lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 (𝑆𝑆+1)}

⁄ 𝑛𝑛 > 1 2. 𝑏𝑏_𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹�.

Untuk syarat 1, lim sup

𝑛𝑛 → ∞ (lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)^𝑛𝑛) + 𝑛𝑛)^{1 (𝑆𝑆+1)}^⁄ ^𝑛𝑛

= inf sup

𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 (lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)^𝑛𝑛) + 𝑛𝑛)^{1 (𝑆𝑆+1)}^⁄ ^𝑛𝑛

= inf𝑘𝑘 ≥ 1(lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)^𝑘𝑘) + 𝑘𝑘)^{1 (𝑆𝑆+1)}^⁄ ^𝑘𝑘

= (lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)^𝑘𝑘) + 𝑘𝑘)^{1 (𝑆𝑆+1)}^⁄ ^𝑘𝑘; 𝑘𝑘 ≥ 1

Karena kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif, maka lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)^𝑘𝑘) ≥ 1, sehingga lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)^𝑘𝑘) + 𝑘𝑘 > 1, dan berakibat (lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)^𝑘𝑘) + 𝑘𝑘)^{1 (𝑆𝑆+1)}^⁄ ^𝑘𝑘 > 1, sehingga syarat 1 terpenuhi.

Untuk syarat 2, 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹� artinya terdapat suatu bilangan real M sehingga |𝑏𝑏𝑛𝑛| ≤ 𝑀𝑀�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1�. Karena untuk 𝑎𝑎_𝑛𝑛=lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)^𝑛𝑛) + 𝑛𝑛 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2^(𝐾𝐾+1)^𝑛𝑛+ 𝑛𝑛² terdapat suatu bilangan real M yang memenuhi

�2^(𝐾𝐾+1)^𝑛𝑛 + 𝑛𝑛²� ≤ 𝑀𝑀|(lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)^𝑛𝑛) + 𝑛𝑛)^𝜀𝜀¹|

|𝑏𝑏𝑛𝑛| ≤ 𝑀𝑀�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1�, maka syarat 2 terpenuhi.

Karena memenuhi kedua syarat, maka contoh tersebut bersesuaian dengan Akibat 2.5.1, yaitu

𝐾𝐾 �1 − 1

log2𝑒𝑒� > 2 ≅ 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1) > 2, yang artinya 𝑆𝑆 = 𝐾𝐾 dan 𝜀𝜀1=_log¹

2𝑒𝑒. Sehingga sesuai dengan Akibat 2.5.1

𝜇𝜇 ��^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ � ≥ 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1)

= 𝐾𝐾 �1 −_log¹

2𝑒𝑒�, dan proposisi tersebut terbukti.

Proposisi 2

Diberikan S suatu bilangan bulat positif dengan 𝑆𝑆 > 2.

Jika diasumsikan 𝜋𝜋(𝑥𝑥) adalah bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan x, maka barisan

{𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)^𝑛𝑛)! + 1}𝑛𝑛=1∞

mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan S.

Bukti:

Dari barisan {𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)^𝑛𝑛)! + 1}𝑛𝑛=1∞ diketahui terdapat dua barisan bilangan bulat positif {𝑎𝑎_𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏_𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, yaitu 𝑎𝑎𝑛𝑛=𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)^𝑛𝑛)! + 1 dan 𝑏𝑏_𝑛𝑛 = 1.

1. lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 (𝑆𝑆+1)}

⁄ 𝑛𝑛 > 1 2. 𝑏𝑏_𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽�.

Untuk syarat 1,

(5)

lim sup

𝑛𝑛 → ∞ (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)^𝑛𝑛)! + 1)^{1 (𝑆𝑆+1)}^⁄ ^𝑛𝑛

= inf sup

𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)^𝑛𝑛)! + 1)^{1 (𝑆𝑆+1)}^⁄ ^𝑛𝑛

= inf𝑘𝑘 ≥ 1(𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)^𝑘𝑘)! + 1)^{1 (𝑆𝑆+1)}^⁄ ^𝑘𝑘

= (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)^𝑘𝑘)! + 1)^{1 (𝑆𝑆+1)}^⁄ ^𝑘𝑘; 𝑘𝑘 ≥ 1.

Karena bilangan prima terkecil adalah 2, maka 𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)^𝑘𝑘)! > 1, sehingga 𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)^𝑘𝑘)! + 1 > 1, dan berakibat (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)^𝑘𝑘)! + 1)^{1 (𝑆𝑆+1)}^⁄ ^𝑘𝑘 > 1, sehingga syarat 1 terpenuhi.

Untuk syarat 2, 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽� artinya ∀𝜀𝜀 > 0 ∃𝑁𝑁 ∋ |𝑏𝑏𝑛𝑛| ≤ 𝜀𝜀�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽�; ∀𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁, atau untuk 𝑎𝑎_𝑛𝑛 ≠ 0 berlaku lim𝑛𝑛 → ∞^𝑏𝑏^𝑎𝑎^𝑛𝑛𝑛𝑛𝛽𝛽 = 0.

Karena untuk 𝑎𝑎_𝑛𝑛=𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)^𝑛𝑛)! + 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 1 berlaku 𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽 > 𝑏𝑏_𝑛𝑛, maka

𝑛𝑛 → ∞lim ^{(𝜋𝜋((𝑆𝑆+1)}¹^𝑛𝑛^)!+1)^𝛽𝛽 = 0 𝑛𝑛 → ∞lim

𝑏𝑏_𝑛𝑛

𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽 = 0, maka syarat 2 terpenuhi.

Karena memenuhi kedua syarat, maka contoh tersebut bersesuaian dengan Akibat 2.5.2, yaitu

𝑆𝑆 > 2 ≅ 𝑆𝑆 > 2.

Sehingga sesuai dengan Akibat 2.5.2 𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏_𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ � ≥ 𝑆𝑆,

dan proposisi tersebut terbukti.

Proposisi 3

Diberikan 𝐾𝐾 adalah suatu bilangan bulat positif dengan 𝐾𝐾 > 3. Juga diberikan [𝑥𝑥] adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan 𝑥𝑥, maka barisan

�2^{𝑛𝑛+(𝐾𝐾+1)}²²[log 2 log 2 𝑛𝑛]

+ 𝑛𝑛² 2^{1+(𝐾𝐾+1)}²²[log 2 log 2 𝑛𝑛]

+ 𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞

mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan ^2𝐾𝐾

3. Proposisi 4

Diberikan 𝐾𝐾 adalah suatu bilangan bulat positif dengan 𝐾𝐾 > 2, maka barisan

�2^{𝑛𝑛+(𝐾𝐾+1)}²²[log 2 log 2 𝑛𝑛]

+ 𝑛𝑛!

2^{𝜋𝜋�(𝐾𝐾+1)}²²

[log 2 log 2 𝑛𝑛]�

+ 𝑛𝑛^𝑛𝑛

�

𝑛𝑛=1

∞

mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝐾𝐾.

Proposisi 5 Barisan

�2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛 2^𝑛𝑛!+ 𝑛𝑛! �_𝑛𝑛=1

∞

adalah Liouville.

Bukti:

Dari barisan �²₂^(2𝑛𝑛)!_𝑛𝑛!_+𝑛𝑛!^+𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞

diketahui terdapat dua barisan bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, yaitu 𝑎𝑎_𝑛𝑛=2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛 dan 𝑏𝑏_𝑛𝑛 = 2^𝑛𝑛!+ 𝑛𝑛!.

1. lim sup 𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 𝑆𝑆}

⁄ 𝑛𝑛 = ∞, 𝑆𝑆 ∈ ℝ⁺ 2. 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹�.

⁄ 𝑛𝑛 = lim sup𝑛𝑛 → ∞ �2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛�^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛

= inf sup

𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘�2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛�^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛 Karena untuk 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 ∈ ℕ berlaku 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘, maka berakibat

�2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛� ≥ �2^(2𝑘𝑘)!+ 𝑘𝑘�, dan berlaku

�2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛�^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛 ≥ �2^(2𝑘𝑘)!+ 𝑘𝑘�^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑘𝑘, sehingga barisan ��2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛�^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞

merupakan barisan naik. Kemudian ambil sebarang 𝑀𝑀 ∈ ℝ, 𝑀𝑀 > 0, maka terdapat 𝑛𝑛 ∈ ℕ sedemikian hingga

�2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛�^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛 > 𝑀𝑀.

Akibatnya ��2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛�^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞

tak terbatas. Karena

��2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛�^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞

merupakan barisan dalam ℝ^⋇, maka 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘�2sup ^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛�^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛 = ∞.

Sehingga lim sup

⁄ 𝑛𝑛 = lim sup𝑛𝑛 → ∞ �2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛�^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛

= inf sup

𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘�2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛�^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛

= inf𝑘𝑘 ≥ 1∞

= ∞, sehingga syarat 1 terpenuhi.

Untuk syarat 2, 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹� artinya terdapat suatu bilangan real M sehingga |𝑏𝑏𝑛𝑛| ≤ 𝑀𝑀�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1�. Karena untuk 𝑎𝑎_𝑛𝑛=2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛 dan 𝑏𝑏_𝑛𝑛 = 2^𝑛𝑛!+ 𝑛𝑛! terdapat suatu bilangan real M yang memenuhi

|2^𝑛𝑛!+ 𝑛𝑛!| ≤ 𝑀𝑀��2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛�^𝜀𝜀¹�

|𝑏𝑏𝑛𝑛| ≤ 𝑀𝑀�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝜀𝜀¹�, maka syarat 2 terpenuhi.

Karena untuk setiap n m,endekati tak hingga berlaku 2^(2𝑛𝑛)!+ 𝑛𝑛 > 𝑛𝑛^1+𝜀𝜀,

maka sesuai Akibat 2.6.1, �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ adalah Liouville dan proposisi terbukti.

�2^(3𝑛𝑛)^𝑛𝑛 + 1 2^𝑛𝑛^𝑛𝑛 + 1 �

𝑛𝑛=1

∞

adalah Liouville.

�𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1 2^𝑛𝑛!+ 1�_𝑛𝑛=1

∞

adalah Liouville.

Bukti:

Dari barisan �^𝑛𝑛₂^𝑛𝑛!_𝑛𝑛!₊₁⁺¹�

𝑛𝑛=1

∞

diketahui terdapat dua barisan bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛}_𝑛𝑛=1^∞ tidak turun, yaitu 𝑎𝑎_𝑛𝑛=𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1 dan 𝑏𝑏_𝑛𝑛= 2^𝑛𝑛!+ 1.

(6)

1. lim sup 𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎^𝑛𝑛^{1 𝑆𝑆}

⁄ 𝑛𝑛 = ∞, 𝑆𝑆 ∈ ℝ⁺ 2. 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽�.

⁄ 𝑛𝑛 = lim sup𝑛𝑛 → ∞(𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1)^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛

= inf sup

𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘(𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1)^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛 Karena untuk 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 ∈ ℕ berlaku 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘, maka berakibat

(𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1) ≥ (𝑘𝑘^𝑘𝑘!+ 1), dan berlaku

(𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1)^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛 ≥ (𝑛𝑛^𝑘𝑘!+ 1)^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑘𝑘,

sehingga barisan �(𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1)^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛�_𝑛𝑛=1^∞ merupakan barisan naik. Kemudian ambil sebarang 𝑀𝑀 ∈ ℝ, 𝑀𝑀 > 0, maka terdapat 𝑛𝑛 ∈ ℕ sedemikian hingga

(𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1)^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛 > 𝑀𝑀.

Akibatnya �(𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1)^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛�_𝑛𝑛=1^∞ tak terbatas. Karena �(𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 11𝑆𝑆𝑛𝑛𝑛𝑛=1∞ merupakan barisan dalam ℝ⋇^{, maka}

𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘(𝑛𝑛sup ^𝑛𝑛!+ 1)^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛 = ∞.

Sehingga lim sup

⁄ 𝑛𝑛 = lim sup𝑛𝑛 → ∞(𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1)^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛

= inf sup

𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘(𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1)^{1 𝑆𝑆}^⁄ ^𝑛𝑛

= inf𝑘𝑘 ≥ 1∞

= ∞, sehingga syarat 1 terpenuhi.

Untuk syarat 2, 𝑏𝑏_𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽� artinya ∀𝜀𝜀 > 0 ∃𝑁𝑁 ∋ |𝑏𝑏_𝑛𝑛| ≤ 𝜀𝜀�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽�; ∀𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁. Karena untuk 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2^𝑛𝑛!+ 1 terdapat suatu bilangan real N yang memenuhi

|2^𝑛𝑛!+ 1| ≤ 𝜀𝜀�(𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1)^𝛽𝛽�

|𝑏𝑏𝑛𝑛| ≤ 𝜀𝜀�𝑎𝑎_𝑛𝑛^𝛽𝛽�,

Untuk setiap 𝜀𝜀 > 0, maka syarat 2 terpenuhi.

Karena untuk setiap n m,endekati tak hingga berlaku 𝑛𝑛^𝑛𝑛!+ 1 > 𝑛𝑛^1+𝜀𝜀,

maka sesuai Akibat 2.6.2, �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ adalah Liouville dan proposisi terbukti.

�2^{(𝑛𝑛+1)!}+ 1 2^𝑛𝑛!+ 1 �_𝑛𝑛=1

∞

adalah Liouville.

IV. PENUTUP A. Kesimpulan

a. Dari definisi kriteria keirasionalan, barisan bilangan real, dan ukuran keirasionalan dapat ditentukan dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real, yaitu:

1. Jika diberikan 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1, dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan 𝜀𝜀1<_1+𝜀𝜀^𝜀𝜀 dan 𝑆𝑆 >_1−𝜀𝜀¹

1, maka �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞

mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan max �2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1)�. [Teorema 3.4.1]

2. Jika diberikan 𝜀𝜀 dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan 𝑆𝑆 > 1, maka �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ mempunyai ukuran

keirasionalan lebih besar atau sama dengan max (2, 𝑆𝑆). [Teorema 3.4.2]

b. Dari dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real dapat ditentukan dua akibat sebagai berikut:

1. Jika diberikan 𝜀𝜀1 dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1) > 2, maka �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1). [Akibat 3.5.1]

2. Jika diberikan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan 𝑆𝑆 > 2, maka �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞ mempunyai ukuran

keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝑆𝑆. [Akibat 3.5.2]

c. Dari dua krirteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real dapat ditentukan dua akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville sebagai berikut:

1. Jika diberikan 𝜀𝜀 dan 𝜀𝜀1 adalah bilangan real positif dengan 𝜀𝜀₁<_1+𝜀𝜀^𝜀𝜀 , maka �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

[Akibat 3.6.1]

2. Jika diberikan 𝜀𝜀 adalah bilangan real, maka �^𝑎𝑎_𝑏𝑏^𝑛𝑛

𝑛𝑛�

𝑛𝑛=1

∞

adalah Liouville. [Akibat 3.6.2]

B. Saran

Pada penelitian ini hanya dikaji dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real, akibat – akibatnya, dan akibat – akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville dengan beberapa asumsi. Oleh karena itu penelitian ini dapat dikembangkan lebih lanjut dengan mengubah atau meminimalisir asumsi – asumsi yang ada.

DAFTARPUSTAKA

[1] Bartle, R. G., Sherbert, D. R. “Introduction to Real Analysis”. John Wiley & Sons. Inc, (1994).

[2] Borwein, P. B. “On the Irrationality of ∑ 1/(𝑞𝑞^𝑛𝑛+ 𝑟𝑟)”. J. Number Theory Vol. 37, (1991) Hal. 253-259.

[3] Borwein, P. B. “On the Irrationality of Certain Series”. Math. Proc.

Camb. Phil. Soc. Vol. 122, (1992) Hal. 141-146.

[4] Duverney, D. “Number Theory An Elementary Introduction Through Diophantine Problems”. World Scientific, (2010).

[5] Erdös, P., Strauss, E.G. “On the Irrationality of Certain Series”.Pacific Journal of Mathematics Vol. 55, (1974) Hal 85-92.

[6] Hančl, J. “Liouville Sequences”. Nagoya Math. J. Vol. 172, (2003) Hal.173-187.

[7] Hančl, J., Filip, F. “Irrationality Measure of Sequences”. Hiroshima Math. J. Vol. 35, (2005) Hal. 183-195.

[8] Hardy, G. H., Wright, E. M. “An Introduction to the Theory of Numbers, 4th ed”. Oxford: Clarendon Press, (1968).

[9] Jain, P. K., dan Gupta, V.P. “Lebesgue Measure and Integration”.

Wiley Eastern Limited, (1986).

[10] Sondow, J. “Irrationality Measures, Irrationality Bases, and a Theorem of Jarnik”. Journal du Theorie des Nombres Bordeaux, (2003).

[11] MIT. “Big O Notation”. web.mit.edu.