PENERAPAN NILAI EIGEN TERHADAP MATRIKS LESLIE.

(1)

Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013

Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie

PENERAPAN NILAI EIGEN TERHADAP MATRIKS LESLIE

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari

Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Matematika

Program Studi Matematika

Oleh

MOCHAMMAD IQBAL SAEPUL NUGRAHA

0809119

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG

(2)

Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013

PENERAPAN NILAI EIGEN TERHADAP MATRIKS LESLIE

Oleh

Mochammad Iqbal Saepul Nugraha

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Pendidikan Indonesia

Juni 2013

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian,

(3)

Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013

LEMBAR PENGESAHAN

PENERAPAN NILAI EIGEN TERHADAP MATRIKS LESLIE

Oleh:

Mochammad Iqbal Saepul Nugraha

NIM. 0809119

Disetujui dan Disahkan Oleh,

Pembimbing I

Dr. Elah Nurlaelah, M.Si.

NIP. 196411231991032002

Pembimbing II

Dra. Dian Usdiyana, M.Si.

NIP. 196009011987032001

Mengetahui,

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D.

(4)

Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013

ABSTRAK

Suatu gambaran secara umum mengenai dinamika populasi dalam jangka waktu yang panjang dapat diselidiki menggunakan suatu matriks persegi khusus yaitu matriks Leslie. Misalkan adalah matriks persegi berderajat sedemikian sehingga untuk ; , dimana untuk ; dan untuk dan ; . Matriks disebut Matriks Leslie. Perhatikanlah bahwa setiap pemangkatan dari

matriks Leslie [

] adalah . Pada tulisan ini akan diberikan

karakterisasi matriks Leslie berderajat tiga sedemikian sehingga pemangkatan dari matriks Leslie yaitu , serta penghitungan nilai eigen dan vektor eigen akan diterapkan pada masalah dinamika populasi dengan menggunakan matriks Leslie.

(5)

Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013

ABSTRACT

A general description of the population dynamics in a long period of time can be investigated using a particular square matrix is a Leslie matrix. Let [ ] is a square matrix with degree such that for ; , for ; and for and ; . is called

Leslie matrix. Note that every power of the Leslie matrix [

] are . In this paper will be given a Leslie matrix characterization of three degree such that power of the Leslie matrix are , as well as the calculation of

eigenvalues and eigenvectors will be applied to the problem of population dynamics using the Leslie matrix .

(6)

Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN

LEMBAR PERNYATAAN

ABSTRAK ... i

KATA PENGANTAR ... ii

UCAPAN TERIMAKASIH... iii

DAFTAR ISI ... iv

DAFTAR SIMBOL ... vi

DAFTAR TABEL ... vii

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 3

1.3 Pembatasan Masalah ... 3

1.4 Tujuan ... 3

1.5 Manfaat Penulisan ... 3

1.6 Sistematika Penulisan ... 3

BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1Matriks ... 5

2.2Fungsi ... 23

2.3Bilangan Kompleks ... 26

BAB 3 MATRIKS LESLIE 3.1 Model Leslie... 28

3.2 Matriks Leslie... 32

BAB 4 KESIMPULAN DAN IMPLIKASI 4.1 Kesimpulan ... 54

4.2 Implikasi ... 54

DAFTAR PUSTAKA

(7)

1

Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Suatu bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan

linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear disebut aljabar linear

(id.m.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear). Aljabar linear adalah topik yang

fundamental sehingga menarik untuk dipelajari. Matriks dan operasinya

juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear karena

selain memudahkan menyelesaikan persamaan linear.

Pengetahuan tentang populasi sebagai bagian dari pengetahuan

ekologi telah berkembang menjadi semakin luas. Dinamika populasi

tampaknya telah berkembang menjadi pengetahuan yang dapat berdiri

sendiri. Dinamika populasi merupakan ilmu yang mempelajari pertumbuhan

serta pengaturan populasi. Hal ini tentu berkaitan dengan parameter

populasi.Khusus di dalam pengaturan kerapatan populasi dikenal adanya

mekanisme “density dependent” (mekanisme yang bergantung kepada kerapatan) dan mekanisme “density independent” (mekanisme yang tidak

bergantung kepada kerapatan). Dalam perkembangannya dinamika populasi

banyak mengembangkan kaidah-kaidah matematika terutama dalam

pembahasan kepadatan dan pertumbuhan populasi. Pengembangan

kaidah-kaidah matematika itu sangat berguna untuk menentukan dan

memprediksikan pertumbuhan populasi organisme di masa yang akan

datang. Penggunaan kaidah matematika itu tidak hanya memperhatikan

pertumbuhan populasi dari satu sisi yaitu jenis organisme yang di pelajari,

tetapi juga memperhatikan adanya pengaruh dari faktor-faktor lingkungan,

baik biotik maupun abiotik. Pengetahuan tentang dinamika populasi

menyadarkan orang untuk mengendalikan populasi dari pertumbuhan

meledak ataupun punah. Misalnya masalah penangkapan ikan dengan

dinamit menyebabkan populasi hewan laut akan mengalami kepunahan (Tn.

(8)

2

Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013

Pada skripsi ini terdapat konsep model Leslie sebagai pengantar

dalam memahami matriks leslie. Model Leslie merupakan suatu metode

yang baik yang dapat digunakan untuk menentukan pertumbuhan populasi

serta distribusi usia dalam suatu populasi dari waktu ke waktu dan

merupakan salah satu model yang paling umum dari pertumbuhan penduduk

yang digunakan oleh pakar demografi sejak tahun -an (Anton,H dan

Rorres, C., 2005: 1062). Matriks Leslie dapat diperoleh dari penurunan

vektor kolom distribusi usia pada waktu pengamatan , setiap entri

pada vektor didefinisikan sebagai banyaknya perempuan dalam kelompok

usia kepada waktu . Pada waktu pengamatan , banyaknya perempuan

dalam kelas usia pertama ditentukan dari jumlah anak yang lahir dari setiap

kelas usia perempuan diantara waktu dan sehingga diperoleh entri

pada baris pertama matriks yang merupakan kelompok usia subur,

sedangkan pada kelas usia selanjutnya ditentukan dari peluang

kelangsungan hidup sehingga diperoleh entri pada subdiagonal matriks

(Simanihuruk, M. dan Hartanto, 2006). Hal yang menarik dalam skripsi ini

yaitu mengenai cara menentukan dinamika populasi jangka panjang serta

untuk menentukan apakah populasi meningkat, menurun, atau konstan

dengan menggunakan teorema-teorema yang terkait dengan nilai eigen dan

vektor eigen dari matriks leslie berorder tersebut (Sumini, Wa, 2010).

Dalam kasus tertentu pada suatu populasi yang berkaitan dengan nilai

eigen positif dari matriks leslie, yaitu populasi akan bertambah jika nilai

eigen positif lebih besar dari satu, sedangkan populasi akan menurun jika

nilai eigen positif kurang dari satu dan populasi akan stabil jika nilai eigen

positif sama dengan satu. Jadi, nilai eigen berperan penting dalam

menentukan angka pertumbuhan populasi, sedangkan vektor eigen berperan

(9)

3

Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013

1.2 Rumusan masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, maka rumusan masalah

pada skripsi ini sebagai berikut:

1. Bagaimana hubungan antara nilai eigen dan vektor eigen terhadap

matriks Leslie?

2. Apamanfaat matriks Leslie dalam kehidupan sehari-hari?

3. Bagaimana karakterisasi matriks Leslie berderajat tiga?

1.3 Pembatasan masalah

Pembuktian untuk teorema yang terkait dengan nilai eigen dominan dari

matriks Leslie, dibatasi pada matriks Leslie dan . Pengkajian

matriks Leslie dari sudut pandang aljabar linear secara keseluruhan

dibutuhkan materi yang cukup luas dan mendalam. Selanjutnya pada skripsi

ini akandibahas mengenai model Leslie yangmenekankan pada pembuktian

teorema yang berkaitan dengan matriks Leslie.

1.4 Tujuan penulisan

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut

1. Mengetahui hubungan antara nilai eigen dan vektor eigen dari matriks

Leslie

2. Mengetahui manfaat matriks Leslie dalam kehidupan sehari-hari

3. Mengetahui karakterisasi matriks Leslie berderajat tiga

1.5 Manfaat Penulisan

Menambah dan memperluas pengetahuan tentang matriks, khususnya yang

berhubungan dengan matriks Leslie, dimana untuk mengetahui penyebaran

populasi pada manusia maupun hewan (perempuan/betina).

1.6 Sistematika Penulisan

(10)

4

BAB I Pendahuluan

Mengemukakan latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan

penulisan, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.

BAB II Landasan Teori

Mengemukakan landasan teori yang mendukung Bab III,

diantaranya menjelaskan tentang teori matriks, teori kalkulus dan

teori bilangan kompleks, dan lain-lain.

BAB III Matriks Leslie

Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks leslie beserta

manfaat dalam kehidupan sehari-hari.

BAB IV Kesimpulan dan Saran

Mencoba merangkum keseluruhan hasil pembahasan dalam bentuk

kesimpulan dan implikiasi

Lampiran

(11)

54

Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013

BAB 4

KESIMPULAN DAN IMPLIKASI

4.1Kesimpulan

Dari pembahasan yang telah dipaparkan diperoleh kesimpulan

sebagai berikut:

1. Hubungan antara nilai eigen dan vektor eigen terhadap Matriks

Leslie yaitu sebagai pembanding terhadap distribusi usia populasi

dengan ditentukan oleh nilai eigen positif yang dominan dari

Matriks Leslie dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai

eigen tersebut dan terdapat tiga kasus yang berhubungan dengan

nilai eigen positif yaitu:

i. Populasi akan meningkat jika

ii. Populasi akan menurun jika

iii. Populasi akan stabil jika

2. Manfaat menggunakan matriks Leslie dalam kehidupan sehari-hari

yaitu dapat dibuat sebagai model kebijakan pemanenan atau untuk

memprediksi suatu pertumbuhan populasi perempuan pada masa

mendatang.

3. Karakteristikdari matriks Leslie berderajat tiga yaitu

dengan syarat merupakan matriks diagonal positif dimana setiap

diagonal utamanya bernilai .

4.2Implikasi

Pada skripsi ini hanya dibahas pada matriks Leslie berderajat tiga.

Kami sarankan agar peneliti lain meneliti lebih lanjut dari Teorema dan

(12)

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga.

Anton, H dan Rorres,C., (2005). Elementary Linear Algebra with

Applications. New York: John Wiley and Sons Inc.

Purcell. (2003). Kalkulus Edisi Kedelapan. Jakarta: Erlangga.

Ayres, FJR. (1962). Theory and Problems of Matrices. New York: Mc Graw

Hill Book Company.

Haberman, R (1977). Mathematical Models: Mechanical Vibration,

Population Dynamics, and Traffic Flow. New Jersey: Prentice Hall Inc.

Wikipedia (2013). Aljabar Linear. From

http://id.m.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear, [27 Februari 2013].

Simanihuruk, M. dan Hartanto (2006). Karakterisasi Matriks Leslie Ordo

Tiga. Universitas Bengkulu. Vol. 2 No.1 Januari 2006 :134-138. [Online].

Tersedia: http://gradienfmipaunib.files.wordpress.com/2008/07/mudin.pdf.

[27 Februari 2013].

Slideshare (2013), Makalah Seminar Matematika Djuwita. From

http://fr.slideshare.net/trisnawatidjuwita/makalah-seminar-matematika-djuwita-trisnawati, [27 Februari 2013]

Eprints (2013), Analisis Nilai Eigen Dan Vektor Eigen Pada Matriks Leslie. From

http://eprints.unipa.ac.id/180/1/Sumini,Wa_Analisis%20Nilai%20Eigen%20

%26%20Vektor%20Eigen%20pd%20Matriks%20Leslie.pdf, [27 Februari

2013]

Scribd (2013). Dinamika Populasi. From