Memahami Pembagian Bentuk Aljabar

(1)

Pembagian

Bentuk Aljabar

egiatan

K

3.4 Memahami Pembagian

_{Bentuk Aljabar}

Pada tiga kegiatan sebelumnya, kalian telah membahas operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada bentuk aljabar. Pada kegiatan ini akan kita pelajari operasi pembagian bentuk aljabar. Operasi pembagian bentuk aljabar adalah lawan dari operasi perkalian bentuk aljabar. Sebelum mengikuti Kegiatan 3.4 lebih jauh, silakan kalian baca kembali masalah luas kebun Pak Idris dan Pak Tohir yang disajikan di pengamatan Kegiatan 3.3.

Masalah_3.4

Jika informasi pada permasalahan tersebut diubah, yang diketahui adalah luas = x2_{+ 5}_x − 300 satuan luas, dan panjangnya = _x_{+ 20 satuan panjang, kalian} diminta untuk menentuk bentuk aljabar dari lebarnya. Bagaimana langkah kalian untuk menentukan lebarnya?

Alternatif Pemecahan Masalah

Ayo

Kita Amati

Seperti yang kita ketahui luas = panjang × lebar. Dapat kita tulis

luas lebar =

panjang

Lebar tanah Pak Tohir dapat ditentukan dengan membagi bentuk aljabar dari luas tanah dengan bentuk aljabar dari panjang.

2

5 300

15, 20

x x

lebar x x

x + −

= = − + ≠

+ dengan15,x 20 0 + −

= = − + ≠

+

(2)

Misal :

1. Hasil bagi 2x2_{+ 7}_x − 15 oleh _x_{+ 5} 2. Hasil bagi 6x2 − 7_x − 24 oleh 3_x − 8

Berikut proses membagi bentuk aljabar disajikan dalam Tabel 3.7. Tabel 3.7 Pembagian Bentuk Aljabar

Langkah-langkah

Pembagian Bentuk Aljabar (1)

Hasil bagi x2 + 5_x + 300 oleh x + 20

Keterangan

Berikut alternatif penyelesaiannya disajikan dalam bentuk pembagian bersusun yang disajikan langkah demi langkah

Langkah 1 x+20 x2+5x−300 x2 + 5x – 300 dibagi x –300 dikurangi 0 sama

(3)

Langkah 6 sama dengan 0, –300 dikurangi –300

sama dengan 0.

Jadi, hasil bagi dari x2_{+ 5}_x_{– 300 oleh}_x_{+ 20 adalah}_x_{– 15} Tabel 3.8 Pembagian Bentuk Aljabar

Pembagian Bentuk Aljabar (2) Pembagian Bentuk Aljabar (3)

Tentukan hasil bagi dari 2x2_{+ 7}_x_{– 15 oleh}_x_{+ 5}

(4)

Tabel 3.9 Pembagian Bentuk Aljabar

Pembagian Bentuk Aljabar (4) Pembagian Bentuk Aljabar (5)

Tentukan hasil bagi dari –3x2_{– 5}_x_{+ 2 oleh}_x_{+ 2}

Tentukan hasil bagi dari 2x2_{– 13}_xy_{+ 15}_y2_oleh_x_{– 5}_y

Dari hasil pengamatan kalian terhadap ketiga contoh pada kegiatan ayo kita amati, adakah yang masih belum kalian pahami dari proses membagi bentuk aljabar dengan bentuk aljabar? Apakah pertanyaan kalian seperti berikut? 1. Bagaimana jika pada pembagian bentuk aljabar sisanya tidak nol?

2. Apakah setiap bentuk aljabar bisa dibagi dengan bentuk aljabar yang lain Sekarang cobalah buat pertanyaan yang serupa atau memuat kata “membagi” dan “bentuk aljabar”.

Sedikit Informasi

(5)

Contoh_3.12

Tentukan hasil bagi dari (4x2_{+ 6}_x_{) oleh 2}_x

Penyelesaian Alternatif

Dengan cara membagi bentuk (4x2_{+ 6}_x_{) dengan 2}_x_{kalian bisa menemukan} bentuk aljabar suku dua lainnya.

2

2 3

2 4 6

4

6

0

x

x x x

x

x + +

Jadi, hasil bagi (4x2_{+ 6}_x_{) oleh (}_x_{+ 2) adalah (2}_x_{+ 3)}

Contoh_3.13

Tentukan hasil bagi dari (x2_{+ 7}_x_{+ 10) oleh (}_x_{+ 2).}

Dengan cara membagi bentuk (x2_{+ 7}_x_{+ 10) dengan (}_x_{+ 2) kalian bisa} menemukan bentuk aljabar suku dua lainnya.

2

5

2 7 10

2

5 10

0

x

x x x

x x

x

x +

+ + +

(6)

“Pada pembagian bentuk aljabar tidak selalu bersisa 0. Berikut contoh pembagian bentuk aljabar yang sisanya bukan 0”.

Contoh_3.14

Tentukan hasil bagi 2x2_{+ 3}_x − 4 oleh _x_{+ 3.}

2

2 3

3 2 3 4

2 6

3 4

5 x

x x x

x x

x

−

+ + −

+ −

− − −

Jadi, hasil bagi 2x2_{+ 3}_x − 4 oleh _x_{+ 3. adalah 2}_x − 3 dengan sisa 5.

Ayo Kita Mencoba

1. Tentukan hasil bagi bentuk aljabar berikut. a. 8x2_{+ 4}_x − 16 oleh 4

b. x3_{+ 2}_x2 − 5_x − 6 oleh _x − 2 c. x3_{+ 2}_x2 − 5_x − 6 oleh _x2 − _x − 2 d. 3x3 − 5_x2 − 12_x_{+ 20 oleh x}2 − 4

2. Bentuk aljabar x2 − 7_x − 44 jika dibagi suatu bentuk aljabar hasilnya adalah x + 4. Tentukan bentuk aljabar pembagi tersebut.

(7)

Ayo Kita Menalar

Setelah kalian melakukan kegiatan mengamati dan memahami sedikit informasi, sekarang coba diskusi jika diketahui hasil bagi bentuk aljabar A oleh B adalah (x + 1). Tentukan kemungkinan bentuk aljabar A dan B yang dapat kalian temukan.

Ayo Kita Berbagi

Presentasikan hasil bernalarmu di depan kelas. Tanggapi jawaban dan kesimpulan yang diperoleh kelompok lain jika berbeda dengan jawaban dan kesimpulan kelompok kalian.

1. Tentukan hasil bagi a. 12x3_{+ 4}_x2_{oleh 2}_x2 b. x2_{+ 5}_x_{+ 6 oleh}_x_{+ 2} c. 2x2 − _x − 10 oleh _x_{+ 2}

d. 2x3_{+ 7}_x2 − 14_x − 40 oleh 2_x − 5 e. 3x3 − 4_x2 − 5_x_{+ 6 oleh}_x_{+ 2} 2. Tentukan hasil bagi 4x + 6 oleh 2x + 8

3. Tentukan suatu bentuk aljabar yang menurutmu bisa dibagi oleh 3x − 1. Kemudian tentukan hasil baginya.

4. Tentukan suatu bentuk aljabar dengan pangkat tertingginya 3, yang menurutmu bisa dibagi oleh 3x + 1. Kemudian tentukan hasil baginya.

Ayo Kita

!

?

!

?

(8)

5. Nilai rata-rata ujian 5 orang siswa adalah 80. Andi yang kemudian menyusul ikut ujian mengatakan bahwa “Nilai rata-rata ujian kita berenam sekarang menjad 85”. Apakah ucapan Andi itu masuk akal kalau maksimal nilai ujian yang mungkin dicapai adalah 100? Mengapa? 6. Bentuk aljabar x2 − 4_x − 60 jika dibagi suatu bentuk aljabar hasilnya

adalah x − 10. Tentukan bentuk aljabar pembagi tersebut.

7. Tentukan bentuk aljabar yang bila dibagi x + 2 hasilnya adalah 2x − 6. 8. Suatu bentuk aljabar memiliki tiga faktor, x + 3, x − 6, dan 2x + 7.

Tentukan bentuk aljabar tersebut jika dibagi 6 − x.

9. Diketahui hasil bagi bentuk aljabar A oleh B adalah (2x – 1). Tentukan kemungkinan bentuk aljabar A dan B yang dapat kalian temukan

Materi

Pengayaan

egiatan

K

3.5 Memahami Cara

Menyederhanakan Pecahan

Bentuk Aljabar

Dalam bentuk aljabar juga ada bentuk aljabar pecahan, misal bentuk aljabar pada Latihan 3.4 soal nomor 2. Ketika kalian membagi 4x + 6 dengan 2x + 8 kalian tidak mendapatkan hasil seperti pada nomor 1 kegiatan 3.4. Dalam hal ini hasil baginya bisa disajikan dalam bentuk aljabar pecahan

8 2

6 4

+ +

x x

. Bentuk

pecahan

8 2

6 4

+ +

x x

bisa kita ubah menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan

cara membagi dua pembilang dan penyebutnya, menjadi

4 3 2

+ +

x x

. Bentuk

4 3 2

+ +

x x

(9)

memiliki nilai yang sama dengan bentuk

. Selain itu, suatu bentuk aljabar dikatakan lebih sederhana jika mengandung operasi yang lebih sedikit. Misalkan ada permasalahan seperti berikut. Sederhanakan bentuk aljabar berikut! a. 10 8

Untuk memahami penyederhanaan bentuk aljabar di atas, mari kalian amati beberapa penyederhanaan bentuk aljabar berikut.

Ayo

Kita Amati

Perhatikan bentuk aljabar pada Tabel 3.10 dan 3.11 berikut. Untuk memahami proses penyederhanaan berikut, sebaiknya ingat kembali sifat-sifat penjumlahan dan perkalian bentuk aljabar.

Tabel 3.10 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

No. Bentuk Aljabar Bentuk Sederhana

(10)

Tabel 3.11 Mengoperasikan kemudian Menyederhanaan Bentuk Aljabar

No. Bentuk Aljabar dioperasikan _{dengan Bentuk Aljabar} Bentuk Sederhana

1. 10 8

3x+3x

6 x

2. 2 4

1 2

a− +a+

(

)(

)

6

3 2

a a− a+

3. 4 4

3 2 a x− x

(

4 6

)

3 a

x

−

4. 2 2 6

3 12 a x

x a

−

×

(

3

)

9 x

x

−

5. xy x

z ÷ yz

y2

Ayo Kita Menanya

?

Berdasarkan hasil pengamatan kalian, tuliskan pertanyaan tentang hal yang masih belum kalian pahami dari kegiatan pengamatan.

Pertanyaan kalian sebaiknya memuat kata “menyederhanakan” dan “bentuk aljabar”.

Sedikit Informasi

Untuk mengetahui cara menyederhanakan pecahan bentuk aljabar perhatikan dan pahami uraian berikut.

Contoh_3.15

(11)

Cara untuk membagi bentuk aljabar dari 18a2_{: 6}_a_{adalah sebagai berikut} 18a2_{: 6}_a₌

2

18 6

a a

=

2

18 6

a a    

      

= (3)(a) = 3a

Jadi, sederhana dari bentuk aljabar dari 18a2_{: 6}_a_{adalah 3}_a.

Contoh_3.16

Sederhanakan pembagian bentuk aljabar dari 48x5_y4_z_{: 12}_x3_y

Cara untuk membagi bentuk aljabar dari 48x5_y4_z_{: 12}_x3_y_{adalah sebagai berikut}

48x5_y4_z_{: 12}_x3_y₌

5 4

3

48 12

x y z x y

=

5 4

3

48

12 1

x y z

x y

  

   

  

   

    

= (4)(x2₎₍_y3₎₍_z₎ = 4x2_y3_z

Jadi, sederhana dari bentuk aljabar dari 48x5_y4_z_{: 12}_x3_y_{adalah 4}_x2_y3_z.

Contoh_3.17

(12)

Contoh 3.17 ini sama seperti Contoh 3.12. Untuk soal model seperti ini masih ada alternatif lain cara menentukan bentuk sederhananya. Kenapa? Coba pikirkan?

Cara menyelesaikan operasi pecahan bentuk aljabar sama halnya dengan menyelesaikan operasi bentuk bilangan bulat, yaitu sebagai berikut.

Tabel 3.12 Sifat-sifat Operasi Pecahan Bentuk Aljabar

Penjumlahan Pecahan Bentuk Aljabar

(i) a c ad bc a

Contoh3.18 Contoh3.19

(13)

Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar

Contoh3.20 Contoh3.21

24 14

Berdasarkan pada pengamatan di atas dan hasil informasi yang kalian dapatkan, sederhanakan dari bentuk aljabar berikut.

1. 5 3

1. Jelaskan bagaimana langkah-langkah menyederhanakan pecahan bentuk aljabar!

2. Apakah terdapat perbedaan cara menyederhanakan operasi pecahan bilangan bulat dengan operasi pecahan bentuk aljabar ada perbedaannya? Jelaskan.

3. Buatlah kesimpulan tentang bagaimana suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana!

(14)

Ayo Kita Berbagi

Sajikan jawaban kalian semenarik dan sejelas mungkin. Bandingkan dengan jawaban teman kalian. Lalu presentasikan di depan kelas.

Ayo Kita

!

?

!

?

Berlatih

3.5

Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut. 1. 3

3

b bx cx c

− −

2. 3

3

b bx cx c

− −

3. 3 3

1 1

x+ + x−

4. x y x+y +x−y

5. 4 4

3 2

a x− x

6.

₍

2

_{) (}

3

₎

3 2

x+ − x−

7. 3 4

2 6

x x

− ×

8. ab2 b c ÷ac

9. 2 3 18

3 6

x y xy z ÷

10.

2 2 x y

x y x y y x