PENERAPAN PROGRAM LINIER dalam OPTIMASI PRODUKSI

(1)

PENERAPAN

PROGRAM LINIER

dalam

OPTIMASI PRODUKSI

Ekonomi Teknik / Sigit Prabawa / 1

MASALAH yg banyak dihadapi oleh INDUSTRI

adalah BAGAIMANA MENGGUNAKAN atau

MENENTUKAN ALOKASI PENGGUNAAN

SUMBER DAYA

YG UMUMNYA

TERBATAS

, untuk DAPAT MEMPEROLEH

SUATU

HASIL yang OPTIMAL

HASIL YG OPTIMAL merupakan TUJUAN

untuk MEMAKSIMALKAN KEUNTUNGAN

atau MEMINIMALKAN BIAYA

(2)

PROGRAM LINIER

Linear Programming

Salah satu TEKNIK OPTIMASI yg banyak

berkaitan dg PENGGUNAAN SUMBER

DAYA

MULAI DIKEMBANGKAN oleh GEORGE

DANTZIG pd th 1947 dg suatu teknik yg

disebut METODE SIMPLEX (

simplex method

))

PERSAMAAN

dalam PROGRAM LINIER

FUNGSI TUJUAN (maksimum atau minimum)

menunjukkan tujuan yg ingin dicapai

PERSAMAAN KENDALA (

constraints

))

menunjukkan kondisi keterbatasan

yang ada

(3)

METODE dalam

PROGRAM LINIER

Metode GRAFIK

Metode SIMPLEX

METODE GRAFIK

Untuk MEMECAHKAN MASALAH

PROGRAM LINIER dengan DUA PEUBAH

Untuk TIGA PEUBAH sebenarnya MASIH

DAPAT DITERAPKAN, tetapi AGAK

RUMIT karena HARUS MENGGUNAKAN

GRAFIK TIGA DIMENSI yg sering sulit untuk

diikuti dg jelas

(4)

Contoh 1

Sebuah industri menghasilkan suatu jenis produk dg 2 mutu, yaitu mutu A dan Sebuah industri menghasilkan suatu jenis produk dg 2 mutu, yaitu mutu A dan mutu B. Untuk menghasilkan produk dg 2 mutu tsb digunakan 3 buah mesin, mutu B. Untuk menghasilkan produk dg 2 mutu tsb digunakan 3 buah mesin, dg perlakuan yg berbeda pd tiap mesin, yaitu dlm hal lamanya proses pd setiap dg perlakuan yg berbeda pd tiap mesin, yaitu dlm hal lamanya proses pd setiap mesin seperti pd tabel berikut :

mesin seperti pd tabel berikut :

Setiap mesin hanya dpt digunakan tdk lebih dr 8 jam per hari. Keuntungan yg Setiap mesin hanya dpt digunakan tdk lebih dr 8 jam per hari. Keuntungan yg diperoleh dr tiap produk adalah Rp 5 untuk produk dg mutu A, dan Rp 8 untuk diperoleh dr tiap produk adalah Rp 5 untuk produk dg mutu A, dan Rp 8 untuk produk dg mutu B.

produk dg mutu B.

Berapa jumlah produk A dan B yang optimal ? Berapa jumlah produk A dan B yang optimal ?

Penyelesaian

Peubah yg blm diketahui dan akan dicari adalah

Peubah yg blm diketahui dan akan dicari adalah jumlah produkjumlah produk( ( PP) dg mutu A ) dg mutu A dan B setiap harinya.

dan B setiap harinya.

Fungsi tujuan Fungsi tujuan::

Maksimumkan P = 5A + 8B Maksimumkan P = 5A + 8B

Kendala Kendala:: Kondisi pembatas

Kondisi pembatas jam kerja mesin 8 jam per hari (480 menit/hari)jam kerja mesin 8 jam per hari (480 menit/hari)

(5)

Bentuk persamaan selengkapnya Bentuk persamaan selengkapnya::

Maksimumkan

Maksimumkan P = 5A + 8BP = 5A + 8B Kendala

Kendala 40A + 30B ≤ 480 (kendala mesin 1)40A + 30B ≤ 480 (kendala mesin 1) 24A + 32B ≤ 480 (kendala mesin 2) 24A + 32B ≤ 480 (kendala mesin 2) 20A + 24B ≤ 480 (kendala mesin 3) 20A + 24B ≤ 480 (kendala mesin 3)

A ≥ 0 A ≥ 0 B ≥ 0 B ≥ 0

Alternatif penyelesaian Alternatif penyelesaian::

1.

1. Hanya memproduksi mutu AHanya memproduksi mutu A 2.

2. Hanya memproduksi mutu BHanya memproduksi mutu B 3.

3. Memproduksi mutu A dan BMemproduksi mutu A dan B

ALTERNATIF 1 ALTERNATIF 1

Mesin 1

Mesin 1 : 40A ≤ 480 , atau A ≤ 12 Jika hanya : 40A ≤ 480 , atau A ≤ 12 Jika hanya AAsaja yangsaja yang Mesin 2 : 24A ≤ 480 , atau A ≤ 20 diproduksi, maka tdk Mesin 2 : 24A ≤ 480 , atau A ≤ 20 diproduksi, maka tdk Mesin 3 : 20A ≤ 480 , atau A ≤ 24 boleh lebih dr Mesin 3 : 20A ≤ 480 , atau A ≤ 24 boleh lebih dr 1212

Keuntungan yg diperoleh = 12 x Rp 5 = Rp 60 / hari Keuntungan yg diperoleh = 12 x Rp 5 = Rp 60 / hari

ALTERNATIF 2 ALTERNATIF 2

Mesin 1

Mesin 1 : 30B ≤ 480 , atau B ≤ 16 Jika hanya : 30B ≤ 480 , atau B ≤ 16 Jika hanya BBsaja yangsaja yang Mesin 2 : 32B ≤ 480 , atau B ≤ 15 diproduksi, maka tdk Mesin 2 : 32B ≤ 480 , atau B ≤ 15 diproduksi, maka tdk Mesin 3 : 24B ≤ 480 , atau B ≤ 20 boleh lebih dr Mesin 3 : 24B ≤ 480 , atau B ≤ 20 boleh lebih dr 1515

Keuntungan yg diperoleh = 15 x Rp 8 = Rp 120 / hari Keuntungan yg diperoleh = 15 x Rp 8 = Rp 120 / hari

ALTERNATIF 3 ALTERNATIF 3

Semua persamaan kendala yang ada digambarkan di dalam suatu grafik yang Semua persamaan kendala yang ada digambarkan di dalam suatu grafik yang sama.

(6)

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 5 10 15 20

Produk B

P

ro

d

u

k

A

Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3

Ternyata memproduksi mutu B saja akan memberikan keuntungan paling Ternyata memproduksi mutu B saja akan memberikan keuntungan paling maksimal

maksimal

Titik kombinasi A = 1,714 dan B = 13,714 diperoleh dr titik potong antara Titik kombinasi A = 1,714 dan B = 13,714 diperoleh dr titik potong antara persamaan kendala mesin 1 dan 2. Apabila perusahaan akan memproduksi persamaan kendala mesin 1 dan 2. Apabila perusahaan akan memproduksi dalam 2 mutu, maka kombinasi tsb merupakan kombinasi terbaik, tetapi bukan dalam 2 mutu, maka kombinasi tsb merupakan kombinasi terbaik, tetapi bukan yg paling menguntungkan

(7)

METODE SIMPLEX

Untuk MEMECAHKAN MASALAH UMUM

PROGRAM LINIER.

SUATU PROSEDUR ALJABAR, yang melalui

SERANGKAIAN OPERASI

SERANGKAIAN OPERASI--OPERASI

OPERASI

BERULANG

DAPAT MEMECAHKAN SUATU MASALAH

yang terdiri dari TIGA PEUBAH atau LEBIH

Contoh 2 :

Sebuah perusahaan memproduksi 2 jenis produk, yaitu X

dan Y. Setiap produk X memberikan keuntungan Rp 4,

dan Y. Setiap produk X memberikan keuntungan Rp

4,--dan produk Y memberikan keuntungan Rp 8,

dan produk Y memberikan keuntungan Rp 8,--. Satu unit

. Satu unit

X memerlukan waktu proses 8 jam pd mesin A dan 4 jam

pd mesin B. Produk Y memerlukan 12 jam pd mesin A,

12 jam pd mesin B, dan 2 jam pd mesin C. Mesin A

mempunyai kapasitas kerja maksimum 240 jam per bulan,

mesin B 144 jam per bulan, dan mesin C hanya 20 jam per

bulan. Berapa jumlah produk X dan Y yg dihasilkan

supaya perusahaan dpt memperoleh keuntungan yg

maksimum ?

(8)

Penyelesaian

LANGKAH I

LANGKAH I : Merumuskan masalah dalam bentuk persamaan: Merumuskan masalah dalam bentuk persamaan

Maksimumkan Z = 4X + 8Y Maksimumkan Z = 4X + 8Y

Persamaan Kendala Persamaan Kendala::

8X + 12Y ≤ 240

8X + 12Y ≤ 240 (kendala mesin A)(kendala mesin A) 4X + 12Y ≤ 144

4X + 12Y ≤ 144 (kendala mesin B)(kendala mesin B) 2Y ≤ 20

2Y ≤ 20 (kendala mesin C)(kendala mesin C) A ≥ 0

A ≥ 0 B ≥ 0 B ≥ 0

LANGKAH II

LANGKAH II : Menyusun peubah slack: Menyusun peubah slack

Perumusan pd Langkah I diubah, sehingga tanda ketidaksamaan ( ≤ ) berubah Perumusan pd Langkah I diubah, sehingga tanda ketidaksamaan ( ≤ ) berubah menjadi persamaan ( = ). Untuk itu diperlukan tambahan peubah yang disebut menjadi persamaan ( = ). Untuk itu diperlukan tambahan peubah yang disebut dg

dg peubah slackpeubah slack((slack variableslack variable), dg simbol S), dg simbol S₁₁, S, S₂₂, S, S₃₃, dan seterusnya, yang , dan seterusnya, yang menunjukkan jumlah sumber daya yang tidak digunakan.

menunjukkan jumlah sumber daya yang tidak digunakan.

8X + 12Y + S 8X + 12Y + S₁₁= 240= 240 4X + 12Y + S 4X + 12Y + S₂₂= 144= 144

2Y + S 2Y + S₃₃= 20= 20

Shg persamaan selengkapnya menjadi : Shg persamaan selengkapnya menjadi :

Z = 4X + 8Y + 0 S

Z = 4X + 8Y + 0 S₁₁+ 0 S+ 0 S₂₂+ 0 S+ 0 S₃₃

8X + 12Y + 1 S

8X + 12Y + 1 S₁₁+ 0 S+ 0 S₂₂+ 0 S+ 0 S₃₃= 240= 240 4X + 12Y + 0 S

4X + 12Y + 0 S₁₁+ 1 S+ 1 S₂₂+ 0 S+ 0 S₃₃= 144= 144 0X + 2Y + 0 S

(9)

Tabel Simplex Awal

Tabel menunjukkan keadaan dimana perusahaan tidak atau belum berproduksi, shg nilai Cj semua sama dg nol, karena kolom ini menunjukkan keuntungan dr peubah pd kolom kedua (msh berisi peubah slack, yg tdk memberikan keuntungan).

• Kolom ke-3 s/d ke-7 menunjukkan koefisien peubah dari setiap

persamaan kendala.

• Kolom terakhir (kuantitas/Q) merupakan jumlah sumber daya

yg tersedia dalam setiap mesin.

• Baris Zj merupakan besarnya keuntungan kotor yg dihasilkan

melalui pemasukan satu unit peubah.

• Nilai Zj di bawah kolom kuantitas adalah keuntungan total.

• Dlm tabel awal tsb, semua nilai Zj sama dengan nol karena tdk

ada produk yg dihasilkan.

(10)

Perhitungan Zj dan Cj

Perhitungan Zj dan Cj–

–Zj

Zj

LANGKAH III

LANGKAH III : Menentukan kolom peubah pengganti: Menentukan kolom peubah pengganti

Dicari nilai Cj

Dicari nilai Cj –– Zj yang positipZj yang positip

Dalam contoh terdapat dua nilai positip. Dalam contoh terdapat dua nilai positip.

Karena dlm masalah ini tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan Karena dlm masalah ini tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan (maksimalisasi), maka dicari nilai yg terbesar, yaitu 8, yg terdapat pd (maksimalisasi), maka dicari nilai yg terbesar, yaitu 8, yg terdapat pd kolom kolom peubah Y

peubah Y..

LANGKAH IV

LANGKAH IV : Menentukan peubah yg diganti: Menentukan peubah yg diganti

Untuk menentukan baris peubah yg akan diganti, perlu dilakukan perhitungan dg Untuk menentukan baris peubah yg akan diganti, perlu dilakukan perhitungan dg membagi setiap bilangan dlm kolom Q dg kolom terpilih (peubah Y), dan dipilih membagi setiap bilangan dlm kolom Q dg kolom terpilih (peubah Y), dan dipilih hasil bagi yang terkecil

hasil bagi yang terkecil

Baris S

Baris S₁₁: 240/12: 240/12 = 20= 20 Baris S

Baris S₂₂: 144/12: 144/12 = 12= 12 Baris S

Baris S₃₃: 20/2: 20/2 = 10= 10

Karena hasil bagi terkecil adalah 10 maka

Karena hasil bagi terkecil adalah 10 maka SS₃₃akan digantiakan diganti. Ini merupakan . Ini merupakan jumlah Y maksimum yg dpt dimasukkan dlm penyelesaian, yg berarti bahwa jumlah Y maksimum yg dpt dimasukkan dlm penyelesaian, yg berarti bahwa produksi lebih dr 10 unit Y akan melebihi kapasitas mesin C.

(11)

LANGKAH V

LANGKAH V : Menghitung nilai baris baru: Menghitung nilai baris baru

Baris terpilih (baris S

Baris terpilih (baris S₃₃) digantikan dg peubah dr kolom terpilih (Y).) digantikan dg peubah dr kolom terpilih (Y).

Nilai untuk baris ini diperoleh dg membagi setiap nilai sekarang dg nilai dlm Nilai untuk baris ini diperoleh dg membagi setiap nilai sekarang dg nilai dlm kolom Y pd baris yg sama, yaitu angka 2. Nilai ini disebut elemen perpotongan kolom Y pd baris yg sama, yaitu angka 2. Nilai ini disebut elemen perpotongan ((intersectional elementintersectional element), karena terletak pd perpotongan antara baris dan kolom ), karena terletak pd perpotongan antara baris dan kolom terpilih.

terpilih.

Perubahan baris lama menjadi baris baru (Y) adalah sbb. : Perubahan baris lama menjadi baris baru (Y) adalah sbb. :

Baris lama ( S

Baris lama ( S₃₃) : ) : 0 2 0 0 1 200 2 0 0 1 20

Baris baru ( Y ) :

Baris baru ( Y ) : 0 1 0 0 1/2 100 1 0 0 1/2 10

Nilai kolom Cj pd unsur baris yg diganti (nilai lama 0), diubah menjadi nilai dr Nilai kolom Cj pd unsur baris yg diganti (nilai lama 0), diubah menjadi nilai dr baris Cj pd kolom yg menggantikan, yaitu dr nilai keuntungan Y (nilainya 8). baris Cj pd kolom yg menggantikan, yaitu dr nilai keuntungan Y (nilainya 8).

LANGKAH VI

LANGKAH VI : Mengganti nilai baris lainnya: Mengganti nilai baris lainnya

Diupayakan nilai pd baris yg lain (S

Diupayakan nilai pd baris yg lain (S₁₁dan Sdan S₂₂), unsur pd kolom terpilih diubah ), unsur pd kolom terpilih diubah menjadi nol. Unsur ini adalah 12 untuk S

menjadi nol. Unsur ini adalah 12 untuk S₁₁dan 12 untuk S2 (kebetulan sama).dan 12 untuk S2 (kebetulan sama).

Perhitungan dilakukan dg cara semua unsur pd baris yg diubah dikurangi dg Perhitungan dilakukan dg cara semua unsur pd baris yg diubah dikurangi dg semua unsur pd baris baru sebelumnya (baris S3 yg telah diubah menjadi baris Y), semua unsur pd baris baru sebelumnya (baris S3 yg telah diubah menjadi baris Y), dg dikalikan suatu faktor yg besarnya sama dg unsur pd baris tsb yg harus dibuat dg dikalikan suatu faktor yg besarnya sama dg unsur pd baris tsb yg harus dibuat nol.

(12)

( hasil perhitungan langkah 3

( hasil perhitungan langkah 3 –

– 6 )

6 )

Keuntungan yg diperoleh Rp

80,-Perbaikan kombinasi msh mungkin dilakukan karena msh ada nilai positip pd baris Cj – Zj

Tahap berikutnya diulang lagi dr langkah 3. Tahap berikutnya diulang lagi dr langkah 3.

Dari Tabel Simplex Kedua diperoleh nilai positip tertinggi dr baris Cj

Dari Tabel Simplex Kedua diperoleh nilai positip tertinggi dr baris Cj –– Zj adalah Zj adalah angka 4, atau kolom peubah X.

angka 4, atau kolom peubah X.

Dari langkah 4, kolom Q menghasilkan nilai : Dari langkah 4, kolom Q menghasilkan nilai :

Baris S

Baris S₁₁: 120/8: 120/8 = 15= 15 Baris S

Baris S₂₂: 24/4: 24/4 = 6= 6 Baris Y : 10/0

Baris Y : 10/0 = ∞= ∞

Karena nilai terkecil di atas adalah 6, maka baris yg diganti adalah baris kedua Karena nilai terkecil di atas adalah 6, maka baris yg diganti adalah baris kedua (baris S

(baris S₂₂), dan digantikan dg peubah X.), dan digantikan dg peubah X.

Dengan menggunakan cara yg sama untuk langkah

Dengan menggunakan cara yg sama untuk langkah--langkah berikutnya maka langkah berikutnya maka diperoleh Tabel Simplex Ketiga.

(13)

Tabel Simplex Ketiga

104,-Perbaikan kombinasi msh mungkin dilakukan karena msh ada nilai positip pd baris Cj – Zj

Tabel Simplex Keempat

128,-Perbaikan kombinasi tdk dilakukan karena tdk ada lagi nilai positip pd baris Cj – Zj : OPTIMAL

(14)

Masalah TRANSPORTASI

SALAH SATU MASALAH KHUSUS dlm

MASALAH PROGRAM LINIER

Ada sejumlah TITIK ASAL yg bersifat sbg

TITIK PRODUSEN, yang perlu

mendistribusikan sejumlah barang ke beberapa

TITIK TUJUAN yang bersifat sbg TITIK

KONSUMEN

Umumnya menyangkut ALOKASI

PENYEBARAN atau PENGANGKUTAN

BARANG dr titik asal ke titik tujuan

Contoh 3 :

Sebuah perusahaan pupuk mempunyai 2 pabrik yg

terletak di kota A dan B. Pabrik tsb mempunyai

kapasitas masing

kapasitas masing--masing 6 dan 8 ton per hari.

masing 6 dan 8 ton per hari.

Kedua pabrik tsb mempunyai 2 daerah pemasaran,

yaitu kota C dan D, yg masing

yaitu kota C dan D, yg masing--masing memerlukan

masing memerlukan

10 dan 4 ton pupuk per hari. Ongkos angkut

ditentukan sebesar Rp 1000/ton/km. Skema jalan

angkutan dan jarak yg harus ditempuh

digambarkan sebagai berikut :

(15)

Dari gambar di atas dpt dilihat beberapa kemungkinan cara pengangkutan

yg dpt dilakukan, yaitu dr A C D

D

B C D

D

Penyusunan tabel dimulai dg asumsi bahwa semua produk dr A diangkut ke C Penyusunan tabel dimulai dg asumsi bahwa semua produk dr A diangkut ke C semaksimal mungkin.

semaksimal mungkin.

Karena C memerlukan 10 ton, sedangkan A memproduksi 6 ton, maka yg dpt diangkut Karena C memerlukan 10 ton, sedangkan A memproduksi 6 ton, maka yg dpt diangkut maksimal adalah 6 ton, shg dr A ke D tdk ada yg perlu diangkut.

maksimal adalah 6 ton, shg dr A ke D tdk ada yg perlu diangkut.

Sedangkan dr B perlu diangkut ke C sebanyak 4 ton untuk menambah kekurangan dari Sedangkan dr B perlu diangkut ke C sebanyak 4 ton untuk menambah kekurangan dari kebutuhan sebanyak 10 ton, dan sisanya 4 ton diangkut ke D.

kebutuhan sebanyak 10 ton, dan sisanya 4 ton diangkut ke D.

(16)

Minimumkan biaya angkut Minimumkan biaya angkut Z = 150.000 X

Z = 150.000 XACAC+ 100.000 X+ 100.000 XADAD+ 80.000 X+ 80.000 XBCBC+ 75.000 X+ 75.000 XBDBD

Persamaan Kendala Persamaan Kendala::

X

X_AC_AC+ X+ X_AD_AD= 6 = 6 (ketersediaan di kota A)(ketersediaan di kota A) X

X_BC_BC+ X+ X_BD_BD= 8 = 8 (ketersediaan di kota B)(ketersediaan di kota B) X

X_AC_AC+ X+ X_BC_BC= 10 = 10 (ketersediaan di kota C)(ketersediaan di kota C) X

X_AD_AD+ X+ X_BD_BD= 4 = 4 (ketersediaan di kota D)(ketersediaan di kota D)