Bab 2
LANDASAN TEORI
2.1. Uji Kecukupan Sampel
Dalam melakukan penelitian ini yang berhubungan dengan kecukupan sampel maka langkah awal yang harus dilakukan adalah pengujian terhadap jumlah sampel . Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah data yang diperoleh dapat diterima sebagai sampel .
Hipotesis yang diuji adalah :
: Ukuran sampel telah memenuhi syarat : Ukuran sampel belum memenuhi syarat
Rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah sampel adalah :
[ √ ∑ ∑ ∑ ]
Dengan :
= ukuran sampel yang dibutuhkan N = ukuran sampel percobaan
= data aktual t = 1, 2,3,...,n Kriteria pengujian :
diterima jika : ditolak jika :
Regresi linier adalah regresi yang variabel bebasnya ( variabel X ) berpangkat paling tinggi satu . Dalam regresi linier sederhana terdapat hanya satu variabel bebas X yang dihubungkan dengan satu variabel .
Y = a + b
Sedangkan dalam regresi linier ganda terdapat sejumlah k buah variabel bebas ( k
yang dihubungkan dengan Y linier atau pangkat satu dalam semua variabel bebas sehingga terbentuk model :
Analisis regresi mempelajari hubungan kausal antara variabel tak bebas dan variabel bebas .
2.3. Model Regresi Linier Ganda
Bentuk umum persamaan regresi linier ganda adalah
Dimana :
variabel dependen atau variabel terikat
konstanta regresi
koefisien regresi
variabel independen atau variabel bebas = galat error
Bentuk data yang akan diolah dari hasil pengamatan adalah sebagai berikut : Tabel 2.1 Bentuk Pengolahan Data
No
Observasi
Variabel Tak Bebas
Variabel Bebas
...
2
3
. . . .
. . . .
. . . . . . .
N ...
Untuk memperkirakan parameter ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil biasa , sehingga
∑ = minimum ( terkecil ) . Hal ini diperoleh dengan jalan menurunkan secara parsial terhadap dan menyamakan nol.
Dirumuskan sebagai berikut :
∑ = ∑ (
∑
∑
∑
= 2∑ ( -1 ) = 0 ∑
= 2∑ ( ) = 0 ∑
= 2∑ ( - ) = 0
Sehingga diperoleh persamaan normal sebagai berikut :
∑
∑
∑
∑
∑
2.4 Model Regresi Linier Dengan Pendekatan Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom . Bilangan bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan element atau anggota matriks . Dengan representasi matriks , perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur . Pemanfaatanya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier , transformasi koordinat , dan lainnya .
Bentuk matriks :
Secara umum , invers dari matriks persegi A atau ditulis adalah sebagai berikut :
Dengan :
Det ( A ) = determinan matriks A dan Adj ( A ) adalah adjoin matriks A Adjoin matriks A = transpose dari matriks kofaktor A
Invers matriks digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks dan sistem persamaan liniear .
Seperti pada persamaan 1 akan lebih sederhana dengan menggunakan matriks : Y = Xb +
Y = [ ] , X =[
] , b =[ ] , [ ]=
Maka untuk mendapatkan penafsir kuadrat terkecil bagi b yang minimum
∑
(Y-Xb )
= )
Berdasarkan sifat dari transpose matriks yaitu = karena ) adalah suatu scalar ( bilangan nyata = real number ) maka sama dengan transposenya
) = Xb
Sehingga persamaan (2 ) menjadi :
∑
∑
Dengan penurunan terhadap elemen elemen :
∑
Kemudian disamakan dengan nol , maka setelah diperoleh
( Persamaan normal ) B= , dengan syarat ada invers
[
Metode yang digunakan adalah Metode bertatar (Stepwise ) . Metode ini digunakan untuk menentukan suatu persamaan regresi linier variabel respon ( Y ) terhadap varibel variabel bebas ( X ) adalah dengan cara menyusupkan peubah satu demi satu sampai diperoleh persamaan regresi yang memuaskan . Urutan menyisipannya
ditentukan dengan menggunakan koefisien korelasi parsial sebagai ukuran pentingnya peubah yang masih diluar persamaan .Prosedur dasarnya , langkah pertama adalah memilih X yang paling berkorelasi dengan Y ( misalkan ) kemudian dihitung persamaan regresi linier antara Y dengan . Setelah itu diuji apakah peubah tersebut nyata atau tidak . Jika tidak nyata proses berhenti dengan mengambil model
Y = Ŷ sebagai yang terbaik . Jika peubah tersebut nyata , dicari peubah peramal
persamaan regresi . Peubah X yang mempunyai koefisien korelasi parsial tertinggi dengan Y yang dipilih ( misalkan ) dan selanjutnya persamaan regresi kedua antara Y , , dan dihitung . Kemudian persamaan regresi tersebut diuji . Dan nilai F persial untuk kedua peubah yang ada di dalam persamaan diuji . Nilai F persial terendah ( misalnya ) kemudian dibandikan dengan nilai F tabel . Jika peubah tersebut nyata , dicari peubah peramal selanjutnya untuk dimasukkan kedalam peubah persamaan regresi . Namun juka tidak nyata maka proses diberhentikan dengan mengambil model regresi antara Y dengan sebagai persamaan regresi linier terbaik .
2.6 Membentuk Matriks Koefisien Korelasi
Koefisien korelasi yang dicari adalah koefisien korelasi linier sederhana antara Y dan
Dengan rumus :
∑( ̅ ( ̅
√∑( ̅ ∑( ̅
Dengan :
̅ = ∑
̅ = ∑
i = 1, 2, 3, ... , n j =1, 2, 3, ... , n
Bentuk matriks koefisien korelasi sederhana antara Y dan :
r =
[
2.7 Membentuk Regresi Pertama
Variabel pertama yang diregresikan adalah variabel yang mempunyai harga mutlak koefisien korelasi yang terbesar antara Y dan , misalkan . Dari variabel ini dibuat persamaan regresi linier Y = + + , dengan cara sebagai berikut :
X = [
] [ ∑
∑ ∑ ]
Y=[ ] [ ∑
∑ ]
β= . Y = [ ]
Keberartian regresi diuji dengan tabel analisis variansi ( Anava ) Perhitungan untuk membuat Anava adalah sebagai berikut : SSR = - ( = ∑ ∑ - ∑
SST = = ∑ -∑ Dengan :
SSR = Sum Square Regresion ( Jumlah Kuadrat Regresi ) SST = Sum Square Total ( Jumlah Kuadrat Total )
J=
[
]
J = Matriks berordo n x n dengan semua nilai adalah 1 SSE = SST – SSR
MSR = MSE =
SSE = Sum Square Error ( Jumlah Kuadrat Kesalahan ) MSE = Mean Square Error ( Rata Rata Kuadrat Kesalahan )
Tabel 2.2 Analisa Variansi Untuk Uji Keberartian Regresi
Source DF SS MS
Regresi p-1 SSR MSR
MSR/ MSE
Residu n – p SSR MSE
Total SST
Uji Hipotesa :
: Regresi antara Y dengan tidak signifikan : Regresi antara Y dengan signifikan
Keputusan :
Bila < maka terima Bila ≥ maka terima Dengan :
Cara menyelesaikan variabel yang kedua diregresikan adalah memilih parsial korelasi variabel sisa yang terbesar . Untuk menghitung harga masing masing korelasi parsial bisa digunakan rumus :
= √( √( Dengan :
= Koefisien korelasi Y atas dengan sebagai variabel kontrol = Koefisien korelasi antara Y dengan
Koefisien korelasi antara dan Koefisien korelasi antara Y dengan
2.9 Membentuk Regresi Kedua
Dengan memilih parsial korelasi variabel sisa terbesar untuk variabel tersebut masuk dalam regresi kedua dibuat :
Dengan cara sebagai berikut :
X=[
] ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
[ ]
[ ∑
β= [ ]
Uji keberartian regresi dengan tabel anava sama dengan langkah kedua yaitu dengan menggunakan tabel 2.2 . Berikutnya dicek apakah koefisien regresi signifikan , dengan hipotesa :
= 0
≠ 0
(
Sedangkan
Keputusan :
Bila terima artinya dianggap sama dengan nol , maka proses distop dan persamaan yang terbaik Y = . Bila tolak
artinya tidak sama dengan nol , maka variabel tetap di dalam penduga .
2.10 Seleksi Variabel Ketiga Diregresikan
Dipilih kembali harga parsial korelasi parsial variabel sisa terbesar . Menghitung harga masing masing parsial korelasi variabel sisa menggunakan rumus:
= ( √( √(
Dengan :
= Koefisien korelasi antara Y dengan
= Koefisien korelasi antara Y atas dengan sebagai variabel kontrol
2.11 Membentuk Persamaan Regresi Ketiga ( Regresi Ganda ) Dengan memilih parsial korelasi terbesar , persamaan regresi dibuat :
Dimana adalah variabel sisa yang mempunyai parsial korelasi terbesar , dengan cara sebagai berikut :
[
]
[
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ ]
[ ∑
∑ ∑ ∑ ]
Untuk proses selanjutnya , dilakukan dengan cara yang sama seperti di atas .
Persamaan penduga Ŷ = dimana adalah semua variabel X yang masuk ke dalam penduga ( Faktor penduga ) dan adalah koefisien regresi untuk .
2.12.1 Pertimbangan Terhadap Penduga
Sebagai pembahasan suatu penduga , untuk menanggapi kococokan penduga yang diperoleh ada dua hal yang dipertimbangkan yakni :
a. Pertimbangan berdasarkan
Suatu penduga sangat baik digunakan apabila persentase variabel yang dijelaskan sangat besar atau → 1
b. Analisa Residu
Suatu regresi adalah berarti dan model regresinya cocok ( sesuai berdasarkan nilai observasi ) apabila asumsi dibawah ini dipenuhi :
berarti residu ( mengikuti distribusi normal dengan mean ( e ) = 0 dan varian ( = konstanta
Asumsi ini dibuktikan dengan analisa residu . Untuk langkah ini pertama tama dihitung residu ( sisa ) dari penduga , yaitu selisih dari respon observasi terhadap hasil keluaran oleh penduga berdasarkan prediktor observasi . Dengan rumus : dimana tabelnya seperti dibawah ini : Tabel 2.3. Residu
No . Observasi Respon ( Y ) Penduga ( ) Residu ( )
1
2
3
. . . .
. . . .
. . . .
N Y
Jumlah ∑
Asusmsi
a. Rata –rata residu sama dengan nol ( ē = 0 ) b. Varian ( varian (
Keadaan ini dibuktikan dengan uji statistik dengan mengggunakan uji korelasi Rank
Spearman ( Spearman „s Rank Correlation Test ) . Uji Spearman merupakan salah
satu uji statistik non parameteris . Digunakan apabila ingin mengetahui kesesuaian antara 2 subjek dimana skala datanya adalah ordinal . Karena uji kesesuaian , maka jelas sifat hubungan kedua variabel adalah simetris , bukan resiprocal . Skala data jelas adalah nominal ( 2 subjek ) dengan interval yang diubah menjadi peringkat . Langkah – langkah yang dilakukan dalam analisis korelasi Rank Spearman adalah sebagai berikut :
1. Hipotesa
: Tidak ada hubungan antara variabel faktor – faktor yang mempengaruhi kriminalitas dengan jumlah kriminalitas
: ada hubungan antara variabel faktor – faktor yang mempengaruhi kriminalitas dengan jumlah krminalitas
2. Kriteria Pengujian Hipotesa
ditolak bila harga > dari diterima bila harga ≤ dari
Untuk uji ini , data yang diperlukan adalah Rank ( ) dan Rank ( ) , dimana :
= Rank ( ) - Rank ( ) . Hal ini ditunjukan dengan tabel berikut :
Jumlah ∑
Koefisien korelasi Rank Spearman ( :
∑
Keterangan :
= koefisien korelasi Rank Spearman
= perbedaan (selisih) dari pasangan rank ke- i n = Jumlah Observasi atau banyaknya pasangan rank
1. Tentukan nilai estimasi Y terhadap X untuk mendapatkan nilai residu 2. Susun nilai dari X , menurut susunan menaik atau menurun ( tanpa memperhatikan nilai ( + ) atau ( - ) dari karena kita mengambil nilai absolut untuk menghitung koefisien korelasi Rank Spearman . Untuk nilai ini data yang diperlukan adalah Rank ( dan Rank ( )
3. Lakukan pengujian koefisien rank spearman dengan uji t : √
√
N = Banyaknya data observasi / banyaknya individu atau pengamatan yang di rank –kan ; n – 2 adalah derajat kebebasan dan adalah taraf nyata hipotesa
