BAHAN KULIAH KALKULUS LANJUT. Disusun Oleh: Dr. Andri Suryana

(1)

i

BAHAN KULIAH KALKULUS LANJUT

Disusun Oleh:

Dr. Andri Suryana

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN BIOLOGI

FAKULTAS TEKNIK, MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI

2017

(2)

ii

KATA PENGANTAR

Bismillaahirrahmaanirrahiim,

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan karunia sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan Bahan Kuliah Kalkulus Lanjut dengan baik. Sholawat serta salam tidak lupa penulis panjatkan kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat, keluarga serta para pengikutnya sampai akhir zaman.

Bahan kuliah ini disajikan terutama untuk para mahasiswa, khususnya Program Studi Pendidikan Biologi dalam menemukan informasi terkait kalkulus integral dan dapat menerapkannya dalam memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Penulis ingin berterima kasih kepada orang-orang yang secara langsung atau pun tidak langsung telah berkontribusi besar dalam membantu menyelesaikan bahan kuliah ini, terutama Dra. Yulistiana, M.Pd selaku Ketua Program Studi Pendidikan Biologi Fakultas Teknik, Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indraprasta PGRI.

Penulis menyadari bahwa bahan kuliah ini masih banyak kekurangannya, baik bentuk, isi, maupun teknik penyajian. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritikan yang bersifat membangun dari berbagai pihak demi kesempurnaan bahan kuliah ini. Akhir kata, semoga bahan kuliah ini dapat bermanfaat. Amin.

Jakarta, 2017

Penyusun

(3)

iii DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR ... ii

DAFTAR ISI ... iii

ATURAN PERKULIAHAN ... iv

BAB 1 BENTUK-BENTUK INTEGRAL TAK TENTU ... 1

A. Integral Bentuk Aljabar ... 1

B. Integral Bentuk Trigonometri ... 2

C. Integral Bentuk Fungsi Lain ... 4

BAB 2 TEKNIK PENGINTEGRALAN ... 6

A. Integral Substitusi I ... 6

B. Integral Parsial ... 7

C. Integral Substitusi II ... 8

D. Integral Substitusi III ... 12

E. Integral Fungsi Rasional dengan Fraksi Parsial ... 13

BAB 3 APLIKASI INTEGRAL ... 17

A. Integral Tentu ... 17

B. Luas Suatu Daerah ... 17

C. Volume Benda Putar ... 18

BAB 4 INTEGRAL TAK WAJAR ... 21

A. Integral Tak Wajar Jenis I (Selang Tak Terhingga) ... 21

B. Integral Tak Wajar Jenis II (Integran Tak Kontinu) ... 21

C. Uji Perbandingan untuk Integral Tak Wajar ... 22

BAB 5 PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL ... 24

BAB 6 PENGANTAR INTEGRAL LIPAT ... 27

A. Integral Lipat Dua ... 27

B. Integral Lipat Tiga ... 29

DAFTAR PUSTAKA ... 31

(4)

iv

ATURAN PERKULIAHAN

MATA KULIAH KALKULUS LANJUT PROGRAM STUDI PENDIDIKAN BIOLOGI

UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI

Materi Kalkulus Lanjut:

1) Bentuk-bentuk Integral Tak Tentu 2) Teknik Pengintegralan

3) Aplikasi Integral 4) Integral Tak Wajar

5) Pengantar Persamaan Diferensial 6) Pengantar Integral Lipat

Literatur:

• Stewart, J. (2003). Kalkulus Jilid 1. Ed. Ke-4. Jakarta: Erlangga.

• Stewart, J. (2003). Kalkulus Jilid 2. Ed. Ke-4. Jakarta: Erlangga.

• Purcell, E. J. dan D. Verberg. (1999). Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid I. Ed. ke-5. Terjemahan I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita dan Rawuh.

Jakarta: Erlangga.

• Purcell, E. J. dan D. Verberg. (1999). Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid 2. Ed. ke-5. Terjemahan I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita dan Rawuh.

Jakarta: Erlangga.

• Buku Lain yang relevan dengan Mata Kuliah Kalkulus Lanjut.

Penilaian:

• UTS : 30%

• UAS : 50%

• TUGAS : 20%

Catatan:

• Tugas meliputi: Tugas Individu, Quiz, Absensi, dan Keaktifan/Sikap di Kelas.

• Tugas individu meliputi Tugas Terstruktur 1 sampai 6.

• Quiz diberikan 2 kali (sebelum UTS dan sebelum UAS)

• Keaktifan/Sikap berbentuk mengerjakan soal ke depan kelas atau menjawab soal secara lisan dalam sesi tanya jawab/diskusi.

• Nilai absensi diperhitungkan untuk membantu nilai akhir.

• Tugas individu dikumpul paling lambat saat UAS dalam kertas polio bergaris. Tugas dikumpul secara terpisah dari kertas jawaban UAS.

Apabila telat, tugas tidak diterima dan mendapat nilai 0.

(5)

v

• Apabila terbukti tugas individu dikerjakan oleh orang lain, maka tugas mendapat nilai 0.

• Bagi mahasiswa yang berhalangan hadir (sakit atau izin), wajib memberikan informasi kepada dosen yang bersangkutan.

(6)

1

BAB 1

BENTUK-BENTUK INTEGRAL TAK TENTU

A. INTEGRAL BENTUK ALJABAR Formula:

1 1

, 1 1

n n

x dx x c n

n

= + +  −



+ Catatan:

• a a^m ⁿ =a^{m n}⁺

• ^a^m_n a a^m ⁿ a^{m n} a

− −

= =

• ^xa^y =a^y^x

•

( )

^ab ⁿ ⁼^{a b}ⁿ ⁿ

•

n n

n

a a

b b

  =

   Latihan 1

1)

_ (

^x³⁺⁵^x²⁺²⁰¹²

)

^dx

2) ⁷ ⁶ 20 ⁴ 1000

5x x dx

 + + 

 

 



3) x x ⁷₅ ³ x⁵ dx x

 + + 

 

 



4) x⁷ x ¹⁰₁₀ ³ x⁸ dx x

 + + 

 

 



5)

2

5

2010 x x x

x dx

 + + 

 

 



6)

6 3

9

2 8 10

2

x x x

x dx

 + + 

 

 



7)

_ (

²^x²⁺ ^x

)(

^x⁴⁺² ^{x dx}

)

8) 2

(

³ ⁶

)

3x 1 2x 5x dx x

 +  +

 

 



9)

 (

^{x x x dx}

)

10) x² x x⁵ dx

 

 



(7)

2

B. INTEGRAL BENTUK TRIGONOMETRI Formula:

Untuk a  : 0

1)



sinxdx= −cosx+c 2) sinaxdx ¹cosax c

= −a +



3)



cosxdx=sinx+c 4) cosaxdx ¹sinax c

= a +



5)



tanxdx=ln secx + = −c ln cosx +c

6) tanaxdx ¹ln secax c ¹ln cosax c

a a

= + = − +



7)



cotxdx=ln sinx +c 8) cotaxdx ¹ln sinax c

=a +



9)



secxdx=ln secx+tanx +c 10) secaxdx ¹ln secax tanax c

=a + +



11)



cscxdx=ln cscx−cotx +c 12) cscaxdx ¹ln cscax cotax c

= a − +



13)



sec²xdx=tanx+c 14) sec²axdx ¹tanax c

=a +



15)



csc²xdx= −cotx+c 16) csc²axdx ¹cotax c

= −a +



17)

 (

^sec^x

)(

^tan^{x dx}

)

=^sec^x+^c 18)

(

^sec^ax

)(

^tan^{ax dx}

)

¹^sec^ax ^c

=a +



19)

 (

^csc^x

)(

^cot^{x dx}

)

^{= −}^csc^x⁺^c

20)

(

^csc^ax

)(

^cot^{ax dx}

)

¹^csc^ax ^c

= −a +



21) ₂¹ ₂ ¹tan ¹ x

dx c

x a a a

  = −  +

 +   

   



22) 2 ¹

( )

1 tan

1 dx x c

x

  = − +

 + 

 



(8)

3

23) ¹

2 2

1 sin x

dx c

a x a

  = −  +

 −    

 



24) ¹ ₂ ^sin ¹

( )

1

dx x c

x

  −

= +

 

 − 



Catatan:

• tan ^sin cos x x

= x

• cot ¹ ^cos

tan sin x x

x x

= =

• sec ¹

x cos

= x

• csc ¹

x sin

= x

• sin²x+cos²x=1 (persamaan identitas)

• sin 2x=2sin cosx x

• cos 2x=2 cos² x−1

2

2 2

1 2sin cos sin

x

x x

= −

• tan² x+ =1 sec²x

• cot²x+ =1 csc²x

• ^sin

( )

^{− = −}^x ^sin^x

• ^cos

( )

^{− =}^x ^cos^x

Latihan 2

1)



^{sin 10}

( )

^x +^{5 cos 7}

( )

^x +^{tan 2}

( )

^x ^dx 2) ^{7 sin 8}

( )

⁵^{cos 5}

( )

^{2 tan 3}

( )

x 8 x x dx

 + + 

 

 



3)



^{10 cot 10}

( )

^x +^{sec 9}

( )

^x +^{csc 12}

( )

^x ^dx 4) ^{2 cot 19}

( )

^{4 sec 8}

( )

²^{csc 15}

( )

x x 7 x dx

 + + 

 

 



5) ^sec²

( )

² ^csc² ³ ^sin

(

⁴

)

x 5x x dx

 +  + − 

   

 



6) ^2sec² ¹ ^csc²

( )

³ ^cos

(

⁵

)

2x x x dx

   + + − 

   

 



7)

 

sec 2 tan 2x x+csc 3 cot 3x x+4 sin cosx x dx



8)



sec 5 tan 5x x+2 cos²x−1dx

(9)

4

9) ₂

2

8 10

81 36

x x dx

  + 

 +   − 

  

 



10) ₂

2

2 3

5 144 9 4

x x dx

  + 

 +   − 

  

 



C. INTEGRAL BENTUK FUNGSI LAIN Formula:

Untuk a  : 0

1) ¹ dx ln x c

  =x +

  



2) ¹ dx ¹ ¹ dx ¹ln x c

ax a x a

  =   = +

   

   

 

3)



e dx^x =e^x+c 4) e dx^ax ¹e^ax c

= a +



5) ¹ , 1

ln

x x

a dx a c a

a

 

=  + 



Latihan 3

1) ¹ ⁷ 5

5

e x dx x

 + + 

 

 



2) ⁸ ² ¹⁰ ⁵

7 5 7

e x dx x

 + + 

 

 



3)

2 1

8 7

x x

x dx

 + 

 + 

 



4)

2

1

5 8

x

x dx

+ +

 

 

 



5)

32 5 2

x x

x dx

 + 

 

 



(10)

5

TUGAS TERSTRUKTUR 1 Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.

1) 4

( )

9

( )

5 3

8 3

b b

c c

a a

x x dx

x x

+ +

 +  + 

+ +

  

  

 



2)

( )

⁽ ⁾

( )

⁽ ⁾

( )

6 3

4

1 8 2

1

b a

b

b x x a x x c x

a b c x dx

+ +

+

 + + + + + 

 

+ + +

 

 



3) ⁽^a⁺³⁾x⁽^c⁺²⁾ x⁽^b⁺³⁾ x⁽^a⁺⁴⁾ x dx

 

 



4) ^cos ⁵

(

^{7 sin}

) (

³⁵

)

3

b x c b x dx

c

  +  + +  − 

  +    

 



5)

( )

( ) ( )

²

2

3 5

a dx

b c x

 + 

 

 + − + 

 



6)

(

^{7 sec}

) ( (

⁸

) )

^tan

( (

⁸

) ) (

^{10 csc}

)

² ²

8

c b x b x a b x dx

c

 + + + + +  +  

    +  

 



7)

(

^{5 tan}

)

²

( )

⁹ ^csc ⁶ ^cos

( (

²⁵

) )

5 2

b c

c x x c x dx

a b

 + + +   +  + − 

   +   +    

 



8)

( )

(

⁵

)

²³

(

⁴

)

3

a x x

c b

e a b c dx

b x

 + 

− + 

 + 

+ + + + +

 

 + 

 



9)

( )

2

5

5 8

x b

x a

b dx

c

+ + + +

 + 

 

 + 

 



10)

( ) ( )

( )

2 1 2

3

5 3

6

x c x b

x a

a b

dx c

+ + + +

+ +

 + + + 

 

 + 

 



SELAMAT MENGERJAKAN

Catatan:

Nilai a, b, dan c diambil dari 3 digit terakhir NPM Anda. Contoh: 20114150035, maka nilai a = 0, b = 3, dan c = 5.

(11)

6

BAB 2

TEKNIK PENGINTEGRALAN

Catatan: (Review Diferensial) Untuk a  : 0

• y=xⁿ →y'=nxⁿ⁻¹

• y=sinax→y'=acosax

• y=cosax→y'= −asinax

• y=tanax→ y'=asec²ax

• y=cotax→y'= −acsc²ax

• ^y⁼^sec^ax^{→ =}^y^' ^a

(

^sec^ax

)(

^tan^ax

)

• ^y⁼^csc^ax^{→ = −}^y^' ^a

(

^csc^ax

)(

^cot^ax

)

• y ln x y' ¹

= → = x

• y=e^x→y'=e^x

• y=e^ax →y'=ae^ax

• y=a^x →y'=a^xln , a a1

• ¹

( )

2

tan ' 1

y x y 1

x

= − → =

+

• ^sin ¹

( )

^' ¹ ₂

1

y x y

x

= − → =

− A. Integral Substitusi I

Contoh:

( )

2 3

cos 1

x x + dx



Penyelesaian:

Misalkan u=x³+1, maka 3 ² ² 3

du= x dx du =x dx, sehingga:

( ) ( )

2 3 3 2

cos 1 cos 1

x x + dx= x + x dx

 

( )

(

³

)

cos 3

1 cos 3 1sin 3

1sin 1

3

u du

udu

u c

x c

 

=  

=

= +

= + +



(12)

7 Latihan 4

1)

_

²^{x x}

(

²⁺⁹

)

⁵^dx

2)

_

^x²

(

^x³⁺²⁰¹²

)

¹⁰^dx

3) 2

4 5

2 5 10

x dx

x x

 + 

 

+ +

 



4)

3

4 2

2 8

x x x x dx

 + 

 + + 

 



5)

_ (

^cos⁵^x

) ⁽

^sin^{x dx}

⁾

6) ^^sin⁵² ^x^

(

^cos^{x dx}

)

 



7)



x e dx^{3 x}⁴ 8) 5 ( )x⁶ ¹

x e ⁺ dx



9)

_

^e^x^sin

( )

^e^x ^dx

10) ¹

ln dx

x x

 

 

 



B. Integral Parsial Formula:

udv=uv− vdu

 

Contoh:

xe dxx



Penyelesaian:

Misalkan u= , maka du dxx = , dan dv=e dx^x , maka v=



e dx^x =e^x^, sehingga:

xe dxx =uv− vdu

 

x x

xe e dx xe e c

= −

= − +



Latihan 5 1)



2 sinx xdx 2)



^x^{cos 3}

( )

^{x dx}

3)

1

7xe dx2^x



(13)

8 4)

 (

⁸^x⁺²

)

^e⁻⁵^x^dx

5)

_

²^x

( )

⁸^x ^dx

6)

_ (

¹⁰^x⁺^{1 5}

) ( )

^x ^dx

7)



xtan⁻¹xdx 8)



xlnxdx 9)



e^xcosxdx 10)



^x²^{sin 5}

( )

^{x dx}

C. Integral Substitusi II

1. Strategi untuk menghitung:

_ (

^sin^m^x^cosⁿ ^{x dx}

)

a) Jika pangkat dari cosinus adalah bilangan ganjil

(

ⁿ⁼²^k^{+ ,}¹

)

maka simpan satu faktor cosinus dan gunakan formula

2 2

cos x= −1 sin x untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam sinus, yaitu:

( )

2 1

2

sin cos

sin cos cos sin 1 sin cos

m k

x x dx

x x x dx

 + 

 

 

=  

 

=  − 



kemudian substitusikan u=sinx.

b) Jika pangkat dari sinus adalah bilangan ganjil

(

^m⁼²^k^{+ ,}¹

)

maka simpan satu faktor sinus dan gunakan formula

2 2

sin x= −1 cos x untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam cosinus, yaitu:

( )

2 1

2

sin cos

sin sin cos 1 cos sin cos 1 cos cos sin

k n

x x dx

x x x dx

 + 

 

 

=  

 

=  − 

 

=  − 



kemudian substitusikan u=cosx.

c) Jika pangkat dari sinus maupun cosinus adalah bilangan ganjil, maka salah satu dari

( )

^{a atau}

( )

b dapat digunakan.

d) Jika pangkat dari sinus maupun cosinus adalah bilangan genap, maka gunakan kesamaan sudut paruh berikut ini!

➢ ^{cos 2} ^{1 2sin}² ^sin² ¹

(

^{1 cos 2}

)

x= − x x=2 − x

(14)

9

➢ ^{cos 2} ^{2 cos}² ¹ ^cos² ¹

(

^{1 cos 2}

)

x= x−  x= 2 + x

➢ sin 2 2 sin cos sin cos ¹sin 2

x= x x x x= 2 x

_ (

^tan^m^x^secⁿ^{x dx}

)

a) Jika pangkat dari secan adalah bilangan genap

(

ⁿ⁼²^k

)

^{, maka}

simpan satu faktor sec x² dan gunakan formula

2 2

sec x= +1 tan x untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam tan x, yaitu:

( )

2

2 1 2

tan sec tan sec

tan sec sec

tan 1 tan sec

m k

x x dx

x x dx

x x x dx

−

 

 

 

=  

 

=  

 

=  + 



kemudian substitusikan u=tanx.

b) Jika pangkat dari tangen adalah bilangan ganjil

(

^m⁼²^k^{+ ,}¹

)

maka simpan satu faktor sec tanx x dan gunakan formula

2 2

tan x=sec x−1 untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam sec x , yaitu:

( )

2 1

tan sec

tan tan sec sec tan sec sec tan sec 1 sec sec tan

k n

x x dx

x x x x dx

+

−

 

 

 

=  

 

=  

 

=  − 



kemudian substitusikan u=secx.

c) Jika pangkat bilangan ganjil dari tan x muncul bersama pangkat bilangan genap dari sec x , maka maka salah satu dari

( )

^{a atau}

( )

d) Jika pangkat bilangan genap dari tan x muncul bersama pangkat bilangan ganjil dari sec x , maka nyatakan integran dalam bentuk sec x semuanya, kemudian gunakan integral parsial.

_ (

^cot^m^x^cscⁿ ^{x dx}

)

a) Jika pangkat dari cosecan adalah bilangan genap

(

ⁿ⁼²^k

)

^,

maka simpan satu faktor csc x² dan gunakan formula

(15)

10

2 2

csc x= +1 cot x untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam cot x, yaitu:

( )

2

2 1 2

cot csc cot csc

cot csc csc

cot 1 cot csc

m k

x x dx

x x dx

x x x dx

−

 

 

 

=  

 

=  

 

=  + 



kemudian substitusikan u=cotx.

b) Jika pangkat dari cotangen adalah bilangan ganjil

(

^m⁼²^k^{+ ,}¹

)

maka simpan satu faktor csc cotx x dan gunakan formula

2 2

cot x=csc x−1 untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam csc x , yaitu:

( )

2 1

cot csc

cot cot csc csc cot csc csc cot csc 1 csc csc cot

k n

x x dx

x x x x dx

+

−

 

 

 

=  

 

=  

 

=  − 



kemudian substitusikan u=cscx.

c) Jika pangkat bilangan ganjil dari cot x muncul bersama pangkat bilangan genap dari csc x , maka maka salah satu dari

( )

^{a atau}

( )

d) Jika pangkat bilangan genap dari cot x muncul bersama pangkat bilangan ganjil dari csc x , maka nyatakan integran dalam bentuk csc x semuanya, kemudian gunakan integral parsial.

4. Strategi untuk menghitung:



^_^sin

( ) ( )

^mx ^cos ^nx ^_^dx^,

( ) ( )

cos mx cos nx dx

 

 



^{, dan}



^^^sin

^{( ) ( )}

^mx ^sin ^nx ^^^dx

Formula:

a) ^sin ^cos ¹ ^sin

( )

^sin

( )

A B=2 A+B + A B− 

b) ^cos ^cos ¹ ^cos

( )

^cos

( )

A B= 2 A+B + A B− 

c) ^sin ^sin ¹ ^cos

( )

^cos

( )

A B=2− A+B + A B− 

(16)

11 Latihan 6

1) cos³xsin¹³ x dx

 



2) cos³xsin¹⁰¹ x dx

 



3) sin⁵xcos²³ x dx

 



4) sin⁵xcos¹²¹ x dx

 



5)



sin³xcos⁵x dx 6)



^_^sin⁵

( )

²^x ^cos³

( )

²^x ^_^dx

7)



sin xdx⁴ 8)



cos xdx⁴

9) tan²⁵ xsec⁴x dx

 



10) tan¹⁵¹ xsec⁴ x dx

 



11) tan⁵xsec⁴⁵ x dx

 



12) tan⁵xsec¹⁵² x dx

 



13)



tan³xsec⁴ x dx 14)



tan²xsecx dx 15) cot¹⁸ xcsc⁴x dx

 



16) cot¹⁴¹ xcsc⁴ x dx

 



17) cot³xcsc⁵⁷ x dx

 



18) cot⁵xcsc⁷⁸ x dx

 



19)



cot³xcsc⁴ x dx 20)



cot² xcscx dx 21)



^{sin 5}

( ) ( )

^x ^{sin 2}^{x dx} 22)



^{sin 3}

( ) ( )

^x ^{cos 2}^{x dx} 23)



^{cos 7}

( ) ( )

^x ^{cos 4}^x ^dx 24)



^{cos 5}

( ) ( )

^x ^{cos 12}^x ^dx 25)



^{cos 8}

( ) ( )

^x ^{sin 4}^{x dx}

(17)

12 x

D. Integral Substitusi III Review Trigonometri

Aturan yang digunakan:

• sin y

 = z

• cos x

 = z

• tan ^sin cos

y x

 =  =



• cot ¹

tan x

 = = y



• sec ¹

cos z

 = = x



• csc ¹

sin z

 = = y



Bentuk-bentuk integral substitusi III:

• Bentuk a²−x²

➢ Substitusi yang digunakan: sin ,

2 2

x=a  −    

➢ Formula yang digunakan: 1 sin− ² =cos²

• Bentuk a²+x²

➢ Substitusi yang digunakan: tan ,

2 2

x=a  −    

➢ Formula yang digunakan: 1 tan+ ² =sec²

• Bentuk x²−a²

➢ Substitusi yang digunakan:

sec , 3

2 2 2

x=a  −            

➢ Formula yang digunakan : sec² − =1 tan²



 y z

(18)

13 Catatan:

• tan ^sin cos

 = 



• cot ^cos sin

 = 



• sec ¹

 =cos



• csc ¹

 = sin



• sin² +cos² =1

• 1 tan+ ² =sec²

• 1 cot+ ² =csc² Latihan 7

1) 2

2 36

dx x

 

 

 − 



2) 2

5 25

dx x

 

 

 + 



3) 2

6 12

dx x

 

 

 − 



4)

2

9 x x dx

 − 

 

 



5) 2

1 3

dx x x

 

 

 + 



E. Integral Fungsi Rasional dengan Fraksi Parsial Bentuk Fungsi Rasional:

( ) ( )

( )

^,

( )

⁰

f x P x Q x

=Q x  .

Jika pangkat tertinggi dari P x  pangkat tertinggi dari

( )

Q x , dengan

( )

notasi: ^deg

( )

^P ^^deg

( )

^Q , maka kita harus mengambil langkah pendahuluan dengan membagi P x oleh

( )

Q x sampai sisa

( )

R x sehingga diperoleh

( )

( ) ( )

deg P deg Q . Hasil pembagiannya adalah sebagai berikut:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P x R x

f x S x

Q x Q x

= = +

Terdapat 3 kasus bentuk fungsi rasional yang akan diselesaikan dengan fraksi parsial, yaitu:

(19)

14

• Kasus 1: Penyebut Q x adalah hasil kali faktor linear yang

( )

berbeda Contoh:

( )( ) ( ) ( )

2 2 1

2 1 2 2 1 2

x x A B C

x x x x x x

+ −

= + +

− + − +

• Kasus 2: Penyebut Q x adalah hasil kali faktor linear, beberapa

( )

diantaranya berulang Contoh:

( ) ( ) ( )

3

3 2 2 3

2

1

1 1 1 1

x x A B C D E

x x x

x x x x

− + = + + + +

− − − −

• Kasus 3: Penyebut Q x mengandung faktor kuadratik yang tak

( )

dapat diuraikan, tak ada yang berulang Contoh:

(

^x⁻²

) (

^x²^x⁺¹

)(

^x²⁺⁴

)

⁼ ^x⁻^A²⁺ ^{Bx C}^x²⁺⁺¹ ⁺^Dx^x²⁺⁺⁴^E

Latihan 8

1)

(

^x ⁵^x

)(

⁹^x ²

)

^dx

 − 

 + − 

 



2)

(

²^x ³³

)(

^x ¹

)

^dx

 

 + − 

 



3)

2

3 2

5 3 2

2

x x

x x dx

 + − 

 + 

 



4)

( ) (

²

)

1

5 1 dx

x x

 

 

+ −

 

 



5)

( ) ( )

2

3 4 1

1 1

x x

x x dx

 − + 

 

− +

 

 



6)

(

²^x ³¹^x

) (

^x⁵² ³

)

^dx

 + 

 

− +

 

 



Catatan:

• ¹ dx ln x a c

x a = + +



+

• ¹ dx ¹lnbx a c

bx a =b + +



+

(20)

15

TUGAS TERSTRUKTUR 2

Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.

1) ^^^^_^cos^^^^b^a⁺⁺²⁵⁵^^^^x^^_

(

^sin^x

)

^^^dx

  

 



2)



^_^x^b⁺³^cos^_

(

^a⁺⁵

)

^x^b⁺⁴⁺¹^_^_^dx

3)

(

⁵

)

^sin ⁴

3

c x a x dx

b

 +  +  

  +  

 



4) ^

(

^b⁺⁴

)

^xe^^^^a^c⁺⁺³⁷^^^^x^^dx

 

 



5) ⁽ ²⁾ 5

cos 3

c x b

e x dx

a

 +  +  

  +  

 



6)

2

3 25

sin cos

b

x c x dx

 + 

 + 

 

 

 

 



7)

5

5 30

cos sin

a

x b x dx

 + 

 + 

 

 

 

 



8)

7 8 6

tan sec

c

b x x dx

 + 

 + 

 

 

 

 



9)

3

5 8

tan sec

b

x a c x dx

 + 

 + + 

 

 

 

 



10)

9 4 4

cot csc

b

a x x dx

 + 

 + 

 

 

 

 



11)



^_^cos^_

(

^b^{+ +}^c ¹⁵

)

^x^_^cos^_

(

^c⁺⁵

)

^x^_^_^dx

12)

( )

²

8 10

b dx

c x

 + 

 

 + + 

 



13)

( ) ( )

2 3

5 5

c x b

x c x b dx

 + + + 

 

− + + +

   

   

 



14)

( ) ( )

( )

2

3 5

8

a x c

x x b dx

 + + + 

 

− +

 

   

 



(21)

16

15)

( )

( ) ( )

2

3

15 4

x a b

x c x b dx

 − + + 

 

 

+ + + +

 

   

 



SELAMAT MENGERJAKAN

Catatan:

Nilai a, b, dan c diambil dari 3 digit terakhir NPM Anda. Contoh : 20114150035, maka nilai a = 0, b = 3, dan c = 5.

(22)

17

BAB 3

APLIKASI INTEGRAL

A. Integral Tentu

Aturan yang digunakan:

( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dx=F x  =F b −F a



Latihan 9 1) ³

(

³

)

1

2 x + x dx



2)

10

2

5 5

x dx x

 

 

 + 



3)

10

2 5

1 5

dx x

 

 

 + 



4) ⁴

( )

²

2

xe x dx



5) ⁴

( )

²

2

xex dx



B. Luas Suatu Daerah Formula yang digunakan:

1) ^b

( )

a

A=



f x dx (terhadap sumbu-x)

2) ^d

( )

c

A=



g y dy (terhadap sumbu-y)

3) ^b

( ) ( )

a

A=



f x −g x dx (luas diantara 2 kurva, terhadap sumbu-x)

4) ^d

( ) ( )

c

A=



f y −g y dy (luas diantara 2 kurva, terhadap sumbu-y) Catatan:

Untuk mencari titik potong diantara 2 kurva, gunakan rumus:

• y₁= y₂ (untuk mencari batas x)

• x₁= (untuk mencari batas y) x₂

Untuk mencari batas pada 1 kurva terhadap sumbu, gunakan rumus:

• ^y⁼ ^{f x}

( )

= (terhadap sumbu-x) ⁰

• ^x⁼ ^{f y}

( )

= (terhadap sumbu-y) ⁰

(23)

18

0 2 3

-2

-4 Latihan 10

1) Hitunglah luas daerah dari gambar berikut ini.

a)

b)

2) Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh:

a) Kurva y= − +x² 6x−5 dan sumbu-x.

b) Kurva ^y=

(

^x−²

)

² dan garis y=x. c) Kurva x= y² dalam interval 1 y 2. d) Kurva y=6x−x² dan kurva y=x²−2x. C. Volume Benda Putar

Formula yang digunakan:

1) ²

b

a

V = 



y dx

(Metode cakram, diputar terhadap sumbu-x sejauh 360⁰)

2) ²

d

c

V = 



x dy

(Metode cakram, diputar terhadap sumbu-y sejauh 360⁰) y = x

y 1

= x 2

y = x²- 4

(24)

19

3) ₁² ₂²

b

a

V = 



y −y dx

(Metode cincin, diputar terhadap sumbu-x sejauh 360⁰)

4) ₁² ₂²

d

c

V = 



x −x dy

(Metode cincin, diputar terhadap sumbu-y sejauh 360⁰)

5) ² ^b

( )

a

V = 



xf x dx

(Metode kulit tabung/silindris, diputar terhadap sumbu-y sejauh 360⁰)

6) ² ^d

( )

c

V = 



yf y dy

(Metode kulit tabung/silindris, diputar terhadap sumbu-x sejauh 360⁰) Latihan 11

1) Tentukanlah volume benda putar jika diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360⁰ pada daerah yang dibatasi oleh:

a) y² =4x, garis x = dan sumbu-x menggunakan metode cakram. 4 b) y=x² dan garis y=x menggunakan metode cincin.

c) y= x, sumbu-x, dan 0  menggunakan metode kulit x 1 tabung.

2) Tentukan volume benda putar jika diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 360⁰ pada daerah yang dibatasi oleh:

a) Parabola y=x², parabola y=2x², dan garis y =10 dan terletak di kuadran I menggunakan metode cincin.

b) Kurva y= , garis x³ x = , dan sumbu-x. 1 c) Kurva y ¹

= x , sumbu-x, garis x = , dan garis 1 x = . 4

(25)

20

TUGAS TERSTRUKTUR 3 Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.

1)

7 3

2

2 1

c

x dx

x b c

+ +

 

 

+ + +

 



2) Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh y=x²− +x 5 dan y= +x 13. 3) Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh y=x²−2x−20 dan

8 4

y= − −x .

4) Daerah D terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola

(

³

)

²

y= +b x , parabola ^y^{= +}

(

^b ⁹

)

^x², dan garis y= +c 6. Hitunglah volume benda putar jika D diputar terhadap sumbu y sebesar 360⁰ menggunakan metode cincin.

5) Daerah D terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola

(

³

)

²

y= +c x , parabola ^y^{= +}

(

^c ¹²

)

^x², dan garis y= + +a b 3. Hitunglah volume benda putar jika D diputar terhadap sumbu x sebesar 360⁰ menggunakan metode cincin.

SELAMAT MENGERJAKAN

Catatan:

Nilai a, b, dan c diambil dari 3 digit terakhir NPM Anda. Contoh : 20114150035, maka nilai a = 0, b = 3, dan c = 5.

(26)

21

BAB 4

INTEGRAL TAK WAJAR

A. Integral Tak Wajar Jenis I (Selang Tak Terhingga) 1) Jika ^t

( )

a

f x dx



ada untuk setiap bilangan ta, maka:

( )

^lim_t ^t

( )

a a

f x dx f x dx



= →

 

asalkan limit ini ada (sebagai suatu bilangan terhingga).

2) Jika ^b

( )

t

f x dx



ada untuk setiap bilangan t , maka: b

( )

^lim

( )

b b

t t

f x dx f x dx

− →−



=



asalkan limit ini ada (sebagai suatu bilangan terhingga).

3) Jika kedua integral

( )

a

f x dx





^dan ^a ^{f x dx}

^{( )}

−



konvergen, maka kita definisikan:

( )

^a

( ) ( )

a

f x dx f x dx f x dx

 

− −

= +

  

dengan a adalah bilangan real sembarang.

Catatan:

Integral tak wajar

( )

a

f x dx





^dan ^b ^{f x dx}

^{( )}

−



dikatakan konvergen jika limit terkait ada dan divergen jika limit tersebut tidak ada.

Latihan 12:

1) Tentukanlah apakah integral

1

1 dx x

 

  



konvergen atau divergen?

2) Hitunglah ⁰

( )

^{xe dx}^x

−



^.

3) Hitunglah ¹ ₂

1 dx

x



−

 

 + 

 



^.

B. Integral Tak Wajar Jenis 2 (Integran Tak Kontinu) 1) Jika f kontinu pada



a b dan tak kontinu di b, maka: ^,

)

( )

^lim

( )

b t

t b

a a

f x dx ₋ f x dx

= →

 

(27)

22

asalkan limit ini ada (sebagai suatu bilangan terhingga).

2) Jika f kontinu pada

(

a b dan tak kontinu di a, maka: ^,

 ( )

^lim

( )

b b

t a

a t

f x dx ₊ f x dx

= →

 

asalkan limit ini ada (sebagai suatu bilangan terhingga).

3) Jika f mempunyai ketakkontinuan di c, dengan a  , dan baik c b

c

( )

a

f x dx



^maupun^b

^{( )}

c

f x dx



konvergen, maka kita definisikan:

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx= f x dx+ f x dx

  

Latihan 13:

1) Hitunglah

5

2

1 2 dx x

 

 − 

 



2) Tentukan apakah ^{/ 2}

( )

0

sec x dx





konvergen atau divergen?

3) Hitunglah

3

0

1 1 dx x

 

 − 

 



bila mungkin.

C. Uji Perbandingan untuk Integral Tak Wajar Teorema Perbandingan:

Misalkan f dan g adalah fungsi kontinu dengan ^{f x}

( )

^^{g x}

( )

^{ untuk}⁰

xa, maka:

a) Jika

( )

a

f x dx





konvergen, maka

( )

a

g x dx





konvergen.

b) Jika

( )

a

g x dx





divergen, maka

( )

a

f x dx





divergen.

Latihan 14:

Gunakanlah Teorema Perbandingan untuk menentukan apakah integral berikut konvergen atau divergen.

a) ²

1

e x dx

 −



b) ₂

1

x dx x e

 

 + 

 



c)

/ 2

0

1 sin dx x x

  

 

 