Soal Babak Penyisihan OMITS 2008

(1)

Soal Babak Penyisihan OMITS 2008

1. Banyak pembagi positif dari 2.520.000 adalah . . .

a.105 b. 140 c. 175 d. 210 e.245

2. Jari-jari masing-masing lingkaran adalah 5 cm. Tentukan panjang busur ketiga lingkaran

tersebut . . .

a. 75 𝜋cm

b. 175

2 𝜋cm

c. 50 𝜋 cm

d. 25 𝜋cm

e. 75

2 𝜋cm

3. Berapa banyak cara semut dapat memakan gula dengan melintasi satuan-satuan panjang

kawat tersebut dengan lintasan terpendek?

a. 35

b. 31

c. 30

d. 27

e. 19

4. Invers dari 𝑦= 𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑒𝑥₊_𝑒−𝑥 adalah . . .

a. ln 𝑥+ 𝑥2_{+ 1}

b. ln 𝑥+ 𝑥2−₁

c. 1

2ln 𝑥+1 𝑥−1

d. 1

2ln 1+𝑥 1−𝑥

e. ln 1_𝑥+ 1+𝑥2

𝑥

5. Suku banyak 1− 𝑥+𝑥2 − 𝑥3+…− 𝑥17 dapat ditulis sebagai polynomial dalam

𝑦= 1 +𝑥 . Koefisien 𝑦3 adalah . . . a. -3060

b. 3060

c. 2576

d. -2576

e. 2381

6. Diketahui 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 dan 𝑎 ≠0 . Jika 𝑎,𝑓 𝑎 , 2𝑏 membentuk barisan

aritmatika dan 𝑓 𝑏 = 6 maka 𝑓 𝑥 𝑑𝑥₀1 = . . .

semut

(2)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA a. 17

4

b. 21

4

c. 25

4

d. 13

4

e. 11

4

7. Jika untuk segitiga ABC diketahui : cos𝐴cos𝐵 = sin𝐴sin𝐵

sin𝐴cos𝐵 = cos𝐴sin𝐵 maka segitiga ABC adalah segitiga . . .

a. Tumpul

b. Samakaki

c. Siku-siku tak samakaki

d. Samakaki tak siku-siku

e. Siku-siku dan samakaki

8. Parabola 𝑦 = 𝑘𝑥2 −4

9𝑥+ 1 memotong sumbu 𝑦 dititik (0,𝑝) serta memotong sumbu 𝑥

dititik 𝑞, 0 dan (𝑟, 0) . Jika 𝑝,𝑞,𝑟 membentuk barisan geometri yang jumlahnya 13 ,

maka 𝑘 = . . .

a. 1

27

b. 4

27

c. 1

9

d. 3

e. 1

9. Jumlah semua nilai 𝑥 yang memenuhi (2𝑥2−6𝑥+ 4)𝑥2−7𝑥−60 = 1 adalah . . .

a. 0

b. 2

c. 5

d. 7

e. 10

10. Jika 𝑥1 dan 𝑥2 memenuhi persamaan 2 log𝑥 −1 = log 10, maka 𝑥1𝑥2 = . . . .

.

a. 5 10

b. 4 10

c. 3 10

(3)

d. 2 10

14. Dapatkan volume benda padat yang terjadi bila daerah antara 𝑓 𝑥 =1

(4)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 15. Dapatkan nilai dari 𝑥

3 2𝑒−𝑥𝑑𝑥 ∞

0

a. 3

5 𝜋

b. 4

5 𝜋

c. 3

4 𝜋

d. 5

8 𝜋

e. 2

5 𝜋

16. 6𝑘

3𝑘+1₋₂𝑘+1₃𝑘₋2𝑘 ∞

𝑘=1 = . . .

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

17. Dapatkan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 jika 𝑦= ln

1−cos𝜋𝑥 1+cos𝜋𝑥

a. 𝜋

sin𝜋𝑥

b. 𝜋cos𝜋

2𝑥

c. 𝜋sin𝜋𝑥

d. 𝜋cos𝜋𝑥

e. 𝜋

2sin 𝜋 2𝑥

18. 3 22+ 1 24 + 1 28+ 1 216+ 1 232+ 1 264+ 1 = . . .

a. 2128 −1

b. 3 2126 + 1

c. 3 2126 −1

d. 2128 + 6

e. 1

2 2

128 _{+ 1}

19. Sebuah kerucut tegak tanpa alas diletakkan terbalik. Kedalam kerucut dimasukkan sebuah

bola yang berdiameter 16 cm sehingga semua bagian bola masuk kedalam kerucut.

Kerucut dengan volume terkecil yang mungkin mempunyai ukuran tinggi . . . cm.

a. 8 2

b. 8 3

c. 16 2

(5)

e. 32

20. Jika 𝑓 𝑥 =𝑝𝑥+𝑞 dan 𝑓 𝑓 𝑓 𝑥 = 8𝑥+ 21 , maka 𝑝+𝑞= . . .

a. 5

b. 2

c. 3

d. 8

e. 21

21. Jika 𝑎= 0,333….. dan 𝑏= 3 3 3 3… , maka log𝑎𝑏= . . .

a. 1

3

b. 1

c. 0

d. 3

e. 2

22. Jumlah dari koefisien 𝑥21 dan koefisien 𝑥17 dalam suku banyak 1 +𝑥5+𝑥7 20 adalah .

. . . .

a. 4560

b. 3420

c. 1140

d. 4650

e. 3240

23. Antara 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan. Bilangan ini bersama dengan bilangan semula

membentuk sebuah deret hitung. Jumlah deret hitung adalah . . .

a. 952

b. 884

c. 880

d. 816

e. 768

24. Diberikan 𝑛_𝑘₌₁𝑘3 = 13 + 23+…+𝑛3 . Jika 𝑛= 100, maka hasil jumlahan tersebut

adalah . . .

a. 6060 2

b. 5050 2

c. 6060 3

(6)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

e. 10000 3

25. Akar-akar peramaan 3𝑥3− 3𝑝+ 2 𝑥2+ 52𝑥 −24 = 0 membentuk barisan geometri ,

maka jumlah semua akar-akarnya adalah . . .

a. 32

3

b. 29

3

c. 26

3

d. 22

3

e. 19

3

26. Ditentukan rasio deret geometri tak hingga adalah 7log(4𝑥 −1) . Jika deret ini

mempunyai jumlah (konvergen), maka nilai 𝑥 yang memenuhi adalah . . .

a. 2

7<𝑥 < 3 2

b. 3

2<𝑥 < 2

c. 2

7<𝑥 < 2

d. 1

4<𝑥 < 1 2

e. 1

4<𝑥 < 2

27. 𝑋 dan 𝑌 bilangan nyata, 𝑋> 1999 dan 𝑌> 2000. Jika

1999 𝑋+ 1999 + 𝑋 −1999 + 2000 𝑌+ 2000 𝑌 −2000 =1

2 𝑋

2₊_𝑌2 _.

Maka nilai dari 𝑋+𝑌= . . .

a. 3999 2

b. 3999 3

c. 7998 2

d. 7998 3

e. 3999 5

28. Jika tiga bilangan 𝑞,𝑠, dan𝑡 membentuk barisan geometri, maka 𝑞−𝑠

𝑞−2𝑠+𝑡 = . . .

a. 𝑠

𝑠+𝑡

b. 𝑠

𝑠−𝑡

c. 𝑞

𝑞+𝑠

d. 𝑠

𝑞−𝑠

e. 𝑠

(7)

29. Andaikan 30 siswa dalam suatu kelas mempunyai nilai ujian yang berbeda satu dengan

yang lainnya dan setiap dua nilai yang berdekatan berbeda 0,3 . Jika nilai rata-rata 75 ,

maka nilai tertinggi adalah . . .

, makabatas-batas nilai 𝑚

adalah . . .

31. Persamaan bola yang melalui titik T(3,2,3) serta memotong tegak lurus bola-bola B1 :

(8)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA e. 𝑥<−1 atau𝑥> 3

33. Misal 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥4 ₊_𝑥3_{+ 1}_untuk₀_{≤ 𝑥 ≤}₂_{, dan}_{𝑔 𝑥} ₌

𝑓−1₍_𝑥₎_{. Berapakah nilai}_𝐹′₍₃₎_?

a. 33

b. 44

c. 55

d. 66

e. 77

34. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥2 −₁_dan𝑔 𝑥 ₌ 9−𝑥2

𝑥2₋₄_𝑥 , maka domain dari (𝑓+𝑔) adalah . . .

a. 𝑥 −3≤ 𝑥 ≤0 𝑎𝑡𝑎𝑢 3≤ 𝑥 ≤4,𝑥 ∈ 𝑅

b. 𝑥 −3≤ 𝑥 ≤ −1,𝑥 ∈ 𝑅

c. 𝑥 −3≤ 𝑥< 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 3≤ 𝑥< 4,𝑥 ∈ 𝑅

d. 𝑥 −3≤ 𝑥< 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1≤ 𝑥 ≤4,𝑥 ∈ 𝑅

e. 𝑥 −3≤ 𝑥 ≤ −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 1≤ 𝑥 ≤4,𝑥 ∈ 𝑅

35. Semua bilangan genap positif dikelompokkan seperti berikut

(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20),... Bilangan yang terletak ditengah pada kelompok

ke-15 adalah . . .

a. 170

b. 198

c. 226

d. 258

e. 290

36. Keliling suatu segitiga yang sisi-sisinya membentuk deret aritmatika adalah 12 cm. Jika

sudut dihadapan sisi terpanjang adalah 120° , maka luas segitiga tersbut adalah . . .

a. 12

5 3

b. 12

7 3

c. 11

5 5

d. 13

15 3

e. 3

5 3

37. Eko dan Dwi bermain lotere dengan cara bergantian melemparkan sepasang dadu. Bagi

yang pertama mendapatkan jumlah 7 akan menjadi pemenangnya. Sebut orang pertama

(9)

melakukan lemparan pertama pada urutan kedua. Tentukan peluang bahwa orang pertama

akan menang.

a. 6

11

b. 5

36

c. 1

6

d. 5

6

e. 5

11

38. Jika 𝑛= lim_𝑦→0 3𝑦+ 2 − 9𝑦2+ 1 , maka untuk 0 < 𝑥<𝜋₂ deret 1 +nlog(sin𝑥) +

n

log2(sin𝑥) +n log3(sin𝑥) +⋯ konvergen hanya pada selang . . .

a. 𝜋

6 <𝑥< 𝜋 2

b. 𝜋

4 <𝑥< 𝜋 2

c. 0 <𝑥<𝜋

2

d. 𝜋

4 <𝑥< 𝜋 3

e. 𝜋

3 <𝑥< 𝜋 2

39. Sebuah talang air akan dibuat dari lembaran seng yang lebarnya atas tiga bagian yang

sama, seperti terlihatpada gambar. Jika 𝜃 menyatakan besar sudut dinding talang tersebut

dengan bidang alasnya 0 <𝜃 <𝜋

2 maka volume air yang tertampung paling banyak

adalah bila 𝜃 sama dengan . . .

a. 75°

b. 60°

c. 45°

d. 30°

e. 22,5°

40. Pada segitiga ABC diberikan A1 pertengahan sisi AC, B1 pertengahan sisi BC, A2

pertengahan sisi A1C, B2 pertengahan sisi B1C , dan seterusnya. Sehingga didapat An

pertengahan sisi An-1C dan Bn pertengahan sisi Bn-1C. Jika 𝑆= 𝐴𝐵+𝐴1𝐵1+𝐴2𝐵2+

…+𝐴_𝑛𝐵_𝑛 , maka S adalah . . . a. 4𝐴𝐵

b. 2𝐴𝐵

c. 3

2𝐴𝐵

(10)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA e. Tak hingga

41. Garis𝑕 menyinggung parabola dititik 𝑝 dengan absis −1. Jika garis𝑔 tegak lurus 𝑕 di 𝑝

ternyata melalui (0,0) maka 𝑎 adalah . . .

a. -2

b. -1

c. 0

d. 1

e. 2

42. Berbentuk apakah grafik dari persamaan berikut 𝑥+ 2 2− 𝑦 −3 2 = 4𝑥+ 6𝑦 −5

adalah . . .

a.

b.

c.

d.

y

x

√18 -√18

y

x

√18

-√18

y

x

-√18

y

x

(11)

e.

43. Sebuah kantong memuat 3 koin, satu koin mempunyai muka pada kedua sisinya , sedang

dua koin yang lainnya normal. Satu koin dipilih secara acak dari kantong dilempar 3 kali.

Jika muka muncul 3 kali, berapa peluang bahwa itu berasal dari koin yang mempunyai 2

muka.

a. 1

12

b. 5

12

c. 4

5

d. 3

5

e. 2

5

44. Diketahui dua buah setengah lingkaran yang sama dan

sebuah lingkaran yang saling bersinggungan dan terletak

dalam sebuah siku empat (empat persegi panjang) seperti

dalam gambar. Maka nilai r adalah . . .

a. 2

3𝑎

b. 1

3𝑎

c. 3

5𝑎

d. 2

5𝑎

e. 1

5𝑎

45. Nilai n yang memenuhi 4+6+ …+2(𝑛+1)

2𝑛−3 = 5 + 4(0,2)

1_{+ 4(0,2)}3₊_…_{adalah . . .}

a. 2 dan 3

b. 2 dan 5

c. 2 dan 6

d. 3 dan 5

e. 3 dan 6

x

y