DASAR TEORI
2.1 Jaringan Komunikasi
Jaringan komunikasi dapat dipandang sebagai sebuah keterhubungan dari entitas-entitas komunikasi. Entitas komunikasi dapat diartikan sebagai sebuah entitas-entitas yang berdiri sendiri dan terlibat dalam sebuah proses komunikasi. Komputer, laptop, dan telepon merupakan contoh dari entitas komunikasi. Sebuah jaringan komunikasi mungkin mengandung komputer, tetapi ini bukan berarti bahwa jaringan komunikasi adalah sama dengan jaringan komputer.
Pada hakekatnya, sebuah jaringan komputer hanya salah satu bentuk dari ja-ringan komunikasi, sebuah jaja-ringan komputer pada dasarnya berarti sebuah keter-hubungan dari beberapa komputer. Sedangkan, istilah jaringan komunikasi digu-nakan dalam arti yang lebih luas. Sekarang ini, dunia bergerak kepada jaringan yang terintegrasi. Telepon, smartTV dan komputer bisa terhubung dengan jaringan yang sama. Oleh karena itu, adalah lebih baik menyatakan jaringan saat ini sebagai sebuah jaringan komunikasi, lebih dari sebuah jaringan komputer.
2.1.1 Topologi Jaringan.
Topologi dari sebuah jaringan diartikan sebagai keterhubungan fisik dari elemen-elemen jaringan tersebut. Dengan kata lain, topologi dari sebuah jaringan menunjuk kepada cara elemen-elemen jaringan terhubung. Topologi-topologi yang paling umum adalah bus, ring, mesh, dan star (Wibi Hardani, 2004).
Bus
perangkat di dalam jaringan, sehingga hanya satu perangkat saja yang dapat meng-gunakannya pada satu saat tertentu.
Ring
Secara logika, topologi Ring adalah konfigurasi di mana tiap-tiap terminal hanya dapat mengirimkan data ke terminal tetangga yang berada di posisi sesudahnya, dan menerima data dari terminal tetangga yang berada di posisi sebelumnya. Dengan kata lain, apabila hendak menerima sebuah frame dari terminal tetangga di posisi setelah anda, frame tersebut harus ”berjalan” mengelilingi seluruh cincin, melewati semua terminal yang ada sampai akhirnya sampai kepada anda.
Mesh
Pada sebuah topology Mesh, Masing-masing node terhubung dengan dua atau lebih node. Ada dua jenis topology Mesh yakni partially connected mesh dan full
connect-ed mesh. Pada partially connected mesh, sebuah node mempunyai dua atau lebih tetangga. Untuk full connected mesh, terdapat sebuah link terhubung antara setiap dua node dalam jaringan.
Star
Dengan konfigurasi star, sebuah perangkat berperan sebagai pusat jaringan dan ter-hubung ke semua perangkat lainnya, untuk melayani komunikasi di antara perangkat-perangkat tersebut. Konfigurasi star atau Bintang seringkali disebut juga sebagai konfigurasi hub and spoke karena bentuknya mirip roda pedalti.
2.1.2 Jenis Jaringan Berdasarkan Luas Daerah yang Diliputi.
Topology jaringan berhubungan erat dengan konsep luas jaringan dan pengklasi-fikasian berdasarkan pada topoloy ini menghasilkan tipe berbeda dari area jaringan (area networks). Alasan untuk hal ini adalah bahwa jaringan menjadi berbeda bentuk dan ukuran. lebih lanjut lagi, luas dari sebuah jaringan mempunyai pengaruh yang signifikan dalam banyak aspek dalam sebuah jaringan. Seperti, faktor bandwidth maksimum dan kecepatan (error rates ).
dan Wide Area Network(WAN). sebuah LAN adalah sebuah jaringan yang terbatas pada suatu wilayah kecil. Sebaliknya, WAN mencakup daerah yang sangat luas.
2.1.2.1 Local Area Network (LAN).
Sebuah jaringan LAN merupakan sebuah jaringan yang terbatas pada suatu daer-ah kecil. LANs pada umumnya digunakan pada perusdaer-ahaan untuk menghubungkan computer, server jaringan, printer dan entitas lainnya dalam jaringan. LAN dicirikan oleh beberapa sifat di bawah ini:
• Mempunyai sebuah diameter (jangkauan) dalam beberapa kilometer.
• Biasanya milik pribadi dari sebuah perusahaan.
• Bandwidthnya dianggap gratis dan oleh karena itu biaya bandwidth bukanlah sebuah pertimbangan penting. (perhatikan bahwa biaya hanya penting saat jaringan tersebut dibangun. Setelah itu, terlepas dari penggunaan bandwidth, tertentu dan variabel biaya kurang lebihnya akan sama. Oleh karena itu, band-width dikatakan menjadi gratis).
• LANs dengan kecepatan rendah menyediakan bandwidth 416 Mbs. LANs yang lebih cepat dapat menyediakan bandwidth sampai 100-1000 Mbps.
2.1.2.2 Wide Area Network (WAN).
Tidak seperti LAN, sebuah Wide Area Network (WAN) mencakup sebuah daerah yang luas. WANs digunakan terutama untuk menghubungkan lokasi-lokasi yang san-gat tersebar. WANs dicirikan oleh beberapa sifat di bawah ini:
• Mempunyai diameter (jangkauan) hingga ribuan kilometer.
• jarang dimiliki oleh sebuah perusahaan.
• Bandwidthnya berkisar 1-45 Mbps.
Untuk melihat perbedaan antara LANs dan WANs perhatikan gambar 2.1 berikut ini
Gambar 2.1 : Wide Area Network dan Local Area Network
2.1.3 Routing.
2.1.3.1 Parameter Jalur.
Terdapat beberapa parameter yang dapat menunjukkan bahwa suatu jalur adalah optimal antara lain (Sumit, et.al. 2005.) :
• Jumlah Hop: Salah satu cara sederhana untuk mencari lintasan optimal adalah dengan mencari jumlah router yang diperlukan untuk mencapai tujuan. Lintasan dengan jumlah router terkecil akan dipilih sebagai lintasan optimal. Walaupun sederhana, jumlah hop bukanlah ukuran yang akurat untuk mencari lintasan optimal. Sebuah lintasan dengan 3 router mungkin akan mentransfer data lebih lama daripada lintasan dengan 4 router karena mempunyai kapasitas link yang lebih baik.
• Bandwidth: Beberapa protokol routing menggunakan bandwidth dari link untuk mencari lintasan terbaik. Contohnya, pada Open Shortest Path First (OSPF).
• Delay: Delay menunjuk kepada waktu yang diperlukan untuk menyampaikan paket data dari sumber sampai ke tujuan nya.
• Reliability: Ini menunjuk kepada tingkat kehilangan paket data dalam sebuah lintasan yang diberikan.
• Load: Load dalam hal ini menunjuk kepada tingkat pemakaian link. Suatu link yang terisi mungkin akan menyebabkan delay yang lebih besar, bahkan dalam kasus yang ekstrim, menyebabkan kehilangan paket data.
2.2 Distribusi Normal
berdistribusi normal diberikan sebagai berikut:
n(x;µ, σ) = 1
σ√2πe
−2σ12(x−µ)2 (2.1)
dimanaµ=mean,σ =standar deviasi, π = 3,14159..., dane = 2,71828
Grafik distribusi normal digambarkan sebagai berikut
Gambar 2.2 : Grafik distribusi normalf(x)
Gambar 2.3 : Sifat grafik distribusi normal
2.2.1 Sifat-sifat Distribusi Normal.
Ada beberapa sifat penting dari distribusi normal, yaitu sebagai berikut:
1. Grafik simetri terhadap garis tegak x=µ.
2. Nilai mean, Median dan modus adalah sama/berhimpit.
3. Grafik selalu di atas sumbu X atau f(x)<0.
4. Mempunyai satu nilai modus.
5. Kurva mempunyai titik belok pada x=µ±σ, cekung dari bawah bilaµ−σ < X < µ+σ dan cekung dari atas untuk x lainnya.
6. Grafiknya mendekati sumbuX, tetapi tidak akan pernah memotong sumbu X, sumbu X merupakan garis batas (asimtot).
7. Luas daerah di bawah kurva f(x) dan di atas sumbu X sama dengan 1.
2.2.2 Distribusi Normal Standar.
Sebuah distribusi normal dengan parameter µx = 0 dan σx = 1 disebut distribusi normal standar dan dinotasikanN(0,1). Dengan mentranformasikanZ = x−µx
σx maka
diperoleh fungsi densitas dari sebuah variabel Z normal standar sebagai berikut
fz(Z) = √1 2πe
−z
2
Fungsi distribusi dan variabel Z normal standar sering disimbolkan denganφ(z). Grafik untuk fungsi densitas normal standar diberikan dalam gambar berikut
Gambar 2.4 : Distribusi normal standar
φ(z1) = pdan z1 =φ−1(p)
Dimana p adalah peluang kumulatif. Fungsi distribusi N(0,1). Tabel normal standar terlampir. Karena fungsi densitas dari fungsi densitas normal standar adalah simetri di sekitar nilai rata-rata (z = 0), oleh karena itu (Rao. 1977.):
f(−z) = f(z) (2.3)
φ(−z) = 1−φ(z) (2.4)
Dengan cara yang sama, nilai dariz yang bersesuaian denganp < 0.5 dapat diperoleh sebagai
2.2.3 Probabilitas.
Rinaldi Munir. Probabilitas distribusi normalf(x) pada intervalx1 < X < x2 diten-tukan dengan memakai luas daerah di bawah kurva f(x) sebagaimana ditunjukkan pada gambar berikut ini.
Gambar 2.5 : Probabilitas x1 < X < x2
Pada gambar , probabilitas P(x1 < x < x2) ditunjukkan oleh luas daerah yang diarsir, yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu X, garis tegak X = x1, dan X = x2. Oleh karena f(x) merupakan fungsi kontinu, maka probabilitas P(x1 < X < x2) dengan memakai integral dari fungsif(x) yang dibatasi olehx=x1 danx=x2 yaitu:
akan tetapi, secara matematis bentuk integral dari fungsi f(x) tersebut sulit dipec-ahkan secara langsung dengan teknik integral. Oleh karena itu, penyelesainnya di-lakukan dengan memakai transformasi nilai-nilai X menjadi nilai-nilai baku Z. Se-hingga diperoleh fungsi distribusi normal Z, probabilitas nilai-nilai Z pada interval
z1 < Z < Z2 dapat dihitung dengan rumus berikut.
P(z1 < Z < z2) =
Berdasarkan integral dari fungsi distribusi normal standar tersebut, probabilitasP(z1 <
Z < z2) dihitung dengan memakai tabel distribusi normal standar.
Contoh 2.1
probabilitas untuk menemukan nilai X bernilai antara 45 dan 62?
Dari soal µ= 50 dan σ= 10, x1 = 45 dan x2 = 62 dengan mereduksi nilai x kez, diperoleh
z1 =
(x1−µ)
σ
= 45−50
10 =−0.5
z2 =
(x2−µ)
σ
= 62−50 10 = 1.2
sehingga
P(45< x < 62) = P(−0.5< z <1.2)
P(−0.5< z <1.2) = P(z <1.2)−P(z <−0.5)
= 0.8849−0.3085
= 0.5764
2.3 Chance Constrained Programming
Merupakan teknik kedua dari program stokastik yang dikembangkan oleh Charnes dan Cooper, seperti yang dinyatakan dari namanya program chance constrained adalah satu teknik yang bisa dipakai untuk menyelesaikan persoalan yang mengandung ken-dala peluang, kenken-dala tersebut mempunyai peluang terbatas tertentu untuk dilang-gar. Program chance constrained ini memperbolehkan kendala untuk dilanggar oleh sebuah peluang tertentu (peluang kecil) dimana teknik lain tidak ada.
Rao. (1977). Bentuk umum progam chance constrained Programming dari persoalan program linier stokastik dapat dirumuskan sebagai berikut:
Minimize
f(x) =
n
X
j=1
dengan kendala
dimanacj,aij, danbiadalah variabel acak danpi adalah peluang tertentu. Perhatikan bahwa persamaan 2.7 menunjukkan bahwa kendala ke-i
n
X
j=i
aijxj ≤bi (2.9)
harus dipenuhi dengan sebuah peluang dari setidaknyapi dimana 0≤pi ≤1. Untuk penyederhanaan asumsikan bahwa variabel keputusan xj adalah deterministik. Akan dimisalkan kasus dimana hanyacj atauaij ataubi adalah variabel acak. Diasumsikan bahwa semua variabel acak adalah berdistribusi normal dengan mean dan standar deviasi diketahui.
2.3.1 Untuk Hanya aij yang Variabel Acak. Misalkan ¯aij dan Var (aij) = σ2
aij merupakan rata-rata dan varians dari distribusi
normal variabel acak aij. Asumsikan bahwa distribusi multivariat dari aij, i = 1,2, ..., m;j = 1,2, ..., n, juga diketahui dengan covarian, Cov(aij, akl) antara vari-abel acak aij dan akl. Definisikan jumlah di sebagai
di =
n
X
j=i
aijxj, i= 1,2, ..., m (2.10)
Karena ai1, ai2,...ain berdistribusi normal, dan x1, x2, ..., xn merupakan konstan, di juga akan berdistribusi normal dengan nilai rata-rata
¯
dan sebuah varian dari
Dimana Vi adalah matriks covarian ke-i didefinisikan sebagai
maka kendala dapat diperlihatkan sebagai
P[di ≤bi]≥pi (2.14)
V ar(di)}dapat dipandang sebagai sebuah variabel normal standar dengan sebuah rata-rata nol dan sebuah varian satu. Oleh karena itu peluangdi lebih kecil atau samadengan bi dapat dituliskan sebagai
P[di ≤bi] =φ
Dimana φ(x) menunjukkan fungsi kumulatif distribusi dari distribusi normal standar terhadap x. Jika ei menunjukkan nilai dari variabel normal standar dimana
φ(ei) =pi (2.17)
maka kendala pada persamaan 2.15 dapat dinyatakan sebagai
φ
pertidaksamaan tersebut akan terpenuhi hanya jika
Dengan mensubsitusikan persamaan 2.11 dan 2.12 , diperoleh
n
X
j=1 ¯
Oleh karena itu solusi dari persoalan program stokastik yang ditunjukkan pada persamaan 2.6 dan 2.7 dapat diperoleh dengan menyelesaikan persoalan program deterministik berikut
Jika distribusi normal variabel acakaij adalah adalah saling bebas, maka covar-ian akan menjadi nol dan persamaan 2.13 bereduksi menjadi sebuah matriks diagonal
Vi =
Dalam kasus ini, kendala dari persamaan 2.21 diturunkan menjadi
n
2.3.2 Untuk Hanya bi yang Variabel Acak.
den-gan
V ar(bi)] adalah sebuah variabel normal standar dengan rata-rata nol dan varian satu. Pertidaksamaan 2.26 dapat dinyatakan sebagai
1−P
Jika ei menunjukkan nilai dari variabel normal standar dimana
φ(ei) = 1−pi
kendala pada persamaan 2.28 dapat diperlihatkan sebagai
φ
pertidaksamaan tersebut akan terpenuhi hanya jika
Pn
Oleh karena itu program stokastik linier pada persamaan 2.6 sampai 2.8 adalah sama dengan persoalan linier program deterministik di bawah ini:
dengan kendala
n
X
j=1
aijxj−¯bi−eipV ar(bi)≤0, i= 1,2, ...m (2.33)
dan
xj ≤0, j = 1,2, ..., n (2.34)
Contoh 2.2
Tabel 2.1 : Waktu operasi mesin dan parameter-parameter distribusi normal nya
Tipe Mesin Waktu proses yang
diperlukan untuk satu bagian(menit)
Waktu operasi maksimum per minggu (menit)
Part I Part II Mean Standar Deviasi
Lathes a11 = 10 a12 = 5 ¯b1 = 2500 σb1 = 500
Milling a21 = 4 a22 = 10 ¯b2 = 2000 σb2 = 400
Grinding a31 = 1 a32 = 1.5 ¯b3 = 450 σb3 = 50 Profit per unit (Rs) c1 = 50 c2 = 100
Misalkan jumlah dari bagian mesin I dan II diproduksi per minggu sebagai x1 dan x2, nilai variabel normal standar (ei) pada (ei) = 1−pi = 1/100 tidak dapat didapat langsung dari tabel lampiran A secara langsung. tetapi, perhatikan bahwa
ei <0.0 karena 1−pi <0.5 dan oleh karena itu
φ(−ei) = 1−φ(ei) = 0.99.
sesuai denganpi = 0.99, dari tabel diperoleh bahwa ei =−2.33.
Oleh karena itu pertidaksamaan yang memenuhi dapat ditunjukkan dari persamaan 2.31 sebagai:
10x1+ 5x2−2500−(−2.33)(500) ≤0 4x1 + 10x2−2000−(−2.33)(400) ≤0
x1+ 1.5x2−450−(−2.33)(50)≤0
Persoalan persamaan deterministik program linier sekarang dapat ditetapkan, meng-gunakan persamaan 2.31 sampai 2.33 sebagai:
Maksimum
f = 50x1+ 100x2
dengan kendala
4x1+ 10x2−1068≤0
x1+ 1.5x2−333.5≤0
x1 ≥0, x2 ≥0
Solusi dari program linier di atas dapat diperoleh dengan menggunakan metode grafik atau metode simpleks
2.3.3 Untuk Hanya cj yang Variabel Acak.
Karenacj merupakan variabel acak berdistribusi normal, maka fungsi objektif f(X) juga akan menjadi variabel acak berdistribusi normal. Rata-rata dan varian dari f
diberikan sebagai berikut
Dimana ¯cj adalah nilai rata-rata dan matriks V adalah matriks covarian dari cj
didefinisikan sebagai
Dengan V ar(cj) dan Cov(ci, cj) menunjukkan varian dari cj dan covarian antara ci
dan cj.
Fungsi objektif deterministik baru untuk minimasi dapat diformulasikan sebagai
F(X) =k1f¯+k2
p
V ar(f) (2.38)
deviasi dari f. Sebaliknya,jika k1 = 0, itu menunjukkan bahwa perlu meminimalkan variabilitas darif disekitar nilai rata-rata nya tanpa memperhatikan apa yang terjadi dengan nilai rata-rata f. Demikian pula, jika k1 = k2 = 1, ini menunjukkan bahwa adanya kepentingan yang sama pada minimasi dari nilai rata-rata dan standar deviasi dari f.
Oleh karena itu solusi dari persoalan program linier stokastik yang dinyatakan pada persamaan 2.6 sampai 2.7 dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan program nonlinier deterministik :
Minimize
Jika semua varibel acakcj adalah saling bebas, maka fungsi objektif direduksi menjadi
f(x) =k1
Setelah itu Liu mengembangkan CCP dalam permasalahan yang tidak hanya kendala stokastik tetapi juga fungsi tujuan stokastik . misalkanxsebuah vektor kepu-tusan,ξsebuah vektor stokastik,f(x, ξ) adalah fungsi hasil, dangj(x, ξ) adalah fungsi kendala stokastik, j = 1,2..., p. karena kendala stokastik gj(x, ξ) ≤ 0, j = 1,2, ..., p
tidak menetapkan sebuah himpunan penyelesaian deterministik yang feasible, ma-ka perlu memberima-kan kendala stoma-kastik sebuah tingma-kat jaminan α. Oleh karena itu diperoleh sebuah kendala peluang seperti berikut (Liu B. 2009),
P r{gj(x, ξ)≤0, j = 1, , ..., p} ≥α (2.43)
ini disebut dengan sebuah kendala peluang gabungan
Dengan kata lain, kendala tersebut akan dilanggar paling banyak (1−α) kali. terkadang, kendala peluang gabungan dipisah sebagai
P r{gj(x, ξ)≤0} ≥α, j = 1, , ..., p (2.44)
2.3.4 Maximax Program Chance Constrained.
Dalam lingkungan stokastik, dalam tujuan untuk memaksimalkan hasil optimistik dengan memberikan sebuah tingkat jaminan terhadap kendala peluang, Liu mem-berikan CCP berikut ini:
max max ¯f (2.45)
dengan kendala
Pr{f(x, ξ)≥f¯} ≥β (2.46)
Pr{gj(x, ξ)≤0, j = 1,2, ..., p} ≥α (2.47)
Dimana α dan β adalah tingkat jaminan, dan maxf¯adalah β-optimistic return
2.3.5 Minimax Chance Constrained Programming.
max min ¯f (2.48)
dengan kendala:
Pr{f(x, ξ)≤f¯} ≥β (2.49)
Pr{gj(x, ξ)≤0, j = 1,2, ..., p} ≥α (2.50)
Dimana α dan β adalah tingkat jaminan, dan maxf¯adalah β-optimistic return
Persamaan Deterministik
Dalam mencari penyelesaian akhir dari CCP diperlukan mengubah kendala peluang ke dalam masing-masing persamaan deterministiknya. Seperti yang diketahui, proses ini biasanya sulit dan hanya berhasil untuk beberapa kasus saja. Misalkan dibawah ini formula dari kendala peluang,
P r{g(x, ξ)≤0} ≥α. (2.51)
Theorema 1 Asumsikan bahwa vektor stokastik ξ degenerates menjadi sebuah vari-abel acakξdengan distribusi peluangφ, dan fungsig(x, ξ)mempunyai formulag(x, ξ) =
h(x)−ξ. Maka P r{g(x, ξ) ≤ 0} ≥ α jika dan hanya jika h(x) ≤ Kα, dimana Kα
adalah bilangan terbesar sehingga P r{Kα ≤ξ} ≥α.
Bukti: Asumsi tersebut secara tidak langsung menyatakan bahwaP r{Kα ≤ξ} ≥α
dapat dituliskan denggan formula di bawah ini,
P r{h(x)≤ξ} ≥α
Untuk setiap tingkat jaminan α(0< α <1), Misal Kα merupakan bilangan terbesar sehingga
P r{Kα ≤ξ} ≥α
Remark 1: Untuk varibel acak kontinuξ, persamaanP r{Kα ≤ξ}= 1−φ(Kα)selalu tetap, dan diperoleh,
Kα =φ−1(1−α)
Dimana φ−1 adalah fungsi invers dari φ
Contoh 2.3
Asumsikan bahwa dibawah ini kendala peluang,
P r{3x1+ 4x2 ≤ξ1} ≥0.8
P r{x2
1+x32 ≤ξ2} ≥0.9
Dimana ξ1 adalah variabel acak berdistribusi eksponensial Exp(2) dengan distribusi peluang dinotasikan dengan φ1, dan ξ2 adalah variabel acak berdistribusi normal
N(2,1) dengan peluang distribusi dinotasikan φ2. Memakai formula pada teorema 1 bahwa kendala peluang di atas samadengan
P r{3x1+ 4x2 ≤φ1−1(1−0.8) = 0.446
P r{x2
