4.2. METODE PEMISAHAN PEUBAH - METODE PEMISAHAN PEUBAH

METODE PEMISAHAN PEUBAH

(The Method of Separation of Variables). Metode ini dapat digunakan pada PDP

linier, khususnya PDP dengan koefisien konstan.

Tujuan Instruksional :

Setelah mengikuti perkuliahan mahasiswa dapat:

1. Menjelaskan prinsip metode pemisahan peubah

2. Menyelesaikan jenis-jenis PDP yang memenuhi syarat batas

3. Menggunakan deret Fourier untuk menemukan penyelesaian persamaan

tersebut yang memenuhi syarat awal.

4.2. METODE PEMISAHAN PEUBAH

Gagasan metode ini adalah :

- Memisahkan peubah untuk memperoleh dua persamaan diferensial biasa.

- Menentukan penyelesaian yang memenuhi syarat batas.

- Menggunakan deret Fourier untuk menemukan penyelesaian persamaan

tersebut yang memenuhi syarat awal.

4.2.1. Persamaan Gelombang

Sebagai ilustrasi penggunaaan metode ini pada persamaan gelombang,

.

dengan tiga macam syarat batas , yaitu;

Disini kita akan menyelesaikan untuk syarat batas (i) saja. Asumsikan bahwa u(x,t) dapat ditulis sebagai perkalian fungsi xdan fungsi t, yaitu u x t( , ) X x T t( ) ( ).

Kita peroleh u_tt XT'' dan u_xx  X T'' , sehingga 2

'' ''

XT c X T.

Selanjutnya kita dapatkan T₂'' X'' ,

c T  X   konstan.

Kita peroleh dua persamaaan diferensial biasa (PDB) orde dua, yaitu

'' 0

X X  dan 2

'' 0

T c T  .

Dari syarat batas u(0, )t u L t( , )0 atau X(0) ( )T t X L T t( ) ( )0 kita dapatkan

(0) ( ) 0

X X L  . Jadi kita peroleh X''X 0, 0 x L dengan syarat batas

(0) ( ) 0

X X L  .

Masalah ini dapat dipandang sebagai masalah nilai eigen  karena ₂ x 

 dapat dipandang sebagai suatu operator diferensial yang bersifat linier.

Selanjutnya kita akan mencari penyelesaian persamaan diferensial tersebut dengan

memandangnya sebagai masalah nilai eigen. Penyelesaiannya akan kita lihat dalam

tiga kasus :

Kasus I, 2 0.   

Dalam kasus ini kita dapatkan 2

'' 0

X  X  yang memiliki penyelesaian

umum X x( )AcosxBsinx, dengan A B, konstan. Dengan mengingat

syarat batas X(0)X L( )0 kita akanmendapatkan X_n( )x sinn x L



 , yang

merupakan fungsi eigen untuk nilai eigen

2 n

n L

  _{ } _

Kasus II,  0.

Jadi untuk masalah nilai eigen tersebut kita dapatkan bahwa nilai eigennya adalah

2

Secara sama untuk syarat batas (ii) dan (iii) kita akan mendapatkan nilai eigen dan

fungsi eigen adalah

Untuk syarat batas (ii)

L

Syarat batas (iii)

Selanjutnya pada kasus dengan syarat batas (i) penyelesaian PDB yang kedua

Maka kita peroleh penyelesaian

( , ) cos sin sin

yang memenuhi syarat batas (i). Superposisinya juga merupakan penyelesaian dari

persamaan gelombang yang juga memenuhi syarat batas.

Jadi penyelesaian yang memenuhi syarat batas adalah

1

Selanjutnya akan kita tentukan penyelesaian yang memenuhi syarat awal

( , 0) ( ), ( , 0)_t ( )

Jadi penyelesaian persamaan gelombang yang memenuhi syarat batas dan syarat

awal (i) adalah,

x x

f x

u( ,0) ( )sin dan x g x x x

u

sin )

( ) ,

(  

 

0 .

2. Seperti pada nnnomor 1, buktikan bahwa jika

.

maka

3. Dengan pemisahan peubah, tentukan penyelesaian persamaan

4.2.2. Persamaan Panas

Persamaan panas akan diturunkan pada aliran padas pada baangan baja.Dalam hal

ini u(x,t) menyatakan suhu pada saat t di x. Aliran panas sebanding dengan perubahan suhu

, yaitu

Perhatikan poongan batangan baja antara x dan xx. Jumlah panas pada poongan tersebut, pada saat t adalah

dimana adalah panas jenis baja dan  adalah massa per sauan panjang. Pada

saat t t, jumlah panas adalah

Dengan demikian perubahan panasnya adalah

Peruahan panas ini harus sama dengan aliran panas yang masuk di x dikurangi panas yang keluar melalui xx selama waktu t. Diperoleh

Dengan menyamakan kedua persamaan dan membagi dengan dan

diperoleh,

Dimana konsanta

  K

c2 adalah thermal conductivity dan

2 2

x y

 

adalah thermal

conduction.

Penyelesaian persamaan panas

Sebagai ilustrasi akan diselesaikan persamaan panas dengan kondisi diriclet,

Dengan syara batas

Dan kondisi awal

Dengan pemisahan peubah,

Sehingga diperoleh

Selanjunya dengan cara seperti pada penyelesaian persamaan gelombang, akhirnya

diperoleh penyelesaian yang memenuhi syarat batas adalah

Mengingat syarat awal

(2.59)

(2.60)

Untuk semua bilangan bulat n.

Contoh : Selesaikan

Dengan syara baas

dan syarat awal

Penyelesaiannya berbentuk

dengan

Untuk n = 2m

dan

untuk n ganjil

Soal

yang memenuhi syarat batas

dan syarat awal

2. Selesaikan

dengan

3. Selesaikan persamaan panas yang memenuhi syarat batas

dan syarat awal

4. Selesaikan persamaan panas dengan syaat batas Newmann berikut

0 , 0

), , ( ) ,

(x t u x t xl t  u_{t xx}

0 ) , ( ) ,

(x t u l t 

u_{x x} dan syarat awal u(x,0)g(x)

4.2.3.Persamaan Laplace

Jika proses difusi atau gelombang idak dipengaruhi oleh waktu , maka u_t 0 dan

0  tt

u dan diperoleh persamaan Laplace , yaitu

 u_xx 0 , persamaan Laplace dalam satu dimensi.

Dalam versi non homogen dipunyai persamaan Poissonu f . Masalah Dirichlet untuk plat segiempat

Akan kita bahas persamaan laplace dua dimensi pada plat segiempat seperti pada

gambar

y u(x,b) f₂(x)

u(0,y)g₁(y) c

u(x,0) f₁(x) x

Gambar : Masalah Dirichlet plat segiempat.

Formulasi masalah :

0

Penyelesaian dengan pemisahan peubah

Sebagai ilustrasi akan kita selesaikan untuk syarat batas berbentuk

0 Diperoleh dua PD Biasa

.

Syarat batas

.

Prinsip superposisi memberikan

.

Selesaikan persamaan laplace pada plat segiempat dengan syarat batas yang

diberikan berikut

1. u(x,0)u(0,y)u(x,)0 dan u(,y)siny. (a = b =) 2. u(x,0)u(0,y)u(x,1)0 dan u(1,y)y.