Gambar vektor disamping pangkalnya dititik O dan ujungnya dititik A disebut vektor OA atau vektor a.
Panjang atau besar vektor OA ataua : 1.Pada R2( Bidang ) → a x2 y2
2.Pada R3( Ruang ) → a x2 y2 z2
PERTEMUAN ke-28 s.d ke-30
Indikator : 1. Menjelaskan vektor sebagai besaran yang mempunyai besar dan arah. 1. Menentukan operasi aljabar vektor
2. Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri
A. PENGERTIAN VEKTOR
Adalah garis berarah yang mempunyai titik pangkal dan ujung. A
a
O
B. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR
Secara geometri penjumlahan vektor dapat diselesaikan dengan cara segitiga maupun jajar genjang, sedangkan secara analitik dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan
komponen-komponen yang bersesuaian. Penulisan vektor secara analitik
yx
a atau a
x,yBAB 4.
VEKTOR
Kompetensi dasar :
4.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah.
4.2 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.
Pernahkah kamu melihat pedagang sedang menimbang barang dagangannya ? Ternyata pada saat menimbang benda ada beberapa gaya yang bekerja,
Contoh :
Diketahui vektor- vektor sebagai berikut :
Penyelesaian :
a. a + b = Cara jajar genjang b
a
- c a
b. a – c = Cara segitiga
C. PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR
Jika a adalah suatu vektor dan k bilangan real (skalar), maka hasil kalinya dituliskan ka
2 1 a a
a maka ka =
2 1 ka ka
Sifat-sifat perkalian vektor dengan skalar :
1. ka = k a 3. ka = ak
2. k ( - a ) = - ka 4. k ( ab ) = ka + kb
LATIHAN 1
1. Tentukan panjang atau besar vektor berikut ini : a.
68
a b. b
3,4,2
2. Diketahui titik A(1,-2), B(5,3), dan C(0,-4) tentukan vektor :
a. OA b. AB c. BC d. CB
3. Diketahui vektor
2 3
AB ,
1 5 CD , dan
1 4
EF tentukan :
a. ABCD b. CDEF
4. Diketahui vektor-vektor
2 5 6
a dan
7 3
3
b tentukan :
a. 6a - 3b b. - 7a + 4b
Catatan : Penulisan vektor dapat juga ditulis :
1. Pada R2( Bidang ) → a = xi + y j a
b
c
Tentukan :
Hasil perkalian titik/skalar (dot product ) dari vektor a dan vektor b didefinisikan :
a . b = abcos atau ab b a . cos
dengan adalah sudut terkecil yang dibentuk vektor a dan b Hasil perkalian titik dua vektor merupakan suatu skalar
1. Pada R2 Jika
Contoh :
Tentukan nilai kosinus sudut yang dibentuk vektor a = (2,-3) dan b = (-1,4)
Penyelesaian :
b
E. VEKTOR SATUAN
Adalah vektor bukan nol yang searah dengan vektor a yang besarnya satu satuan ditulis ậ
Contoh :
Tentukan vektor satuan dari vektor
43
a
Penyelesaian : Panjang vektor a → a (3)2 42 = 25 = 5
Vektor Satuan ậ = a a =
5 45
3
4 3 5 1
LATIHAN 2
1. Tentukan nilai kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor berikut : a. a = (2,5) dan b =(- 4,7) b. a = 4i - 8j dan b = - 6i - 3 j 2. Tentukan nilai x agar vektor a tegak lurus terhadap vektor b jika :
a. a = (6,x) dan b =(- 1,2) b. a = (5,1,x) dan b =(x,2,- 3)
3. Hitunglah asil kali skalar dua vektor antara a dan b yang membentuk sudut jika diketahui :
a. a = 12, b = 6, dan = 450 b. a = 8, b = 5, dan = 300
4. Diketahui segitiga PQR dengan P(5,7,-5), Q(4,7,-3), dan R(5,8,a). Jika segitiga PQR adalah segitiga sama sisi tentukan nilai a.
5. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b jika diketahui :
a. a = 8, b = 6 dan a . b= 24 3 b. a = 9, b = 10 dan a . b= - 45 2
PERTEMUAN ke-31 s.d ke-32
Indikator : 1. Menentukan pembagian ruas garis dalam bentuk vektor. 2. Menentukan proveksi ortogonal vektor
F. PEMBAGIAN RUAS GARIS DALAM BENTUK VEKTOR
Contoh :
Diketahui titik A dan B masing-masing A(5,7,2) dan B (-3,-1,6). Titik T membagi ruas garis AB dengan perbandingan AT :TB = - 1 : 3. Tentukan vektor t
m n
A T B
a t b
O
Vektor t dapat ditentukan dengan rumus :
n m
b m a n t
Vektor
G. PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR PADA VEKTOR LAIN
1. Panjang proyeksi ortogonal
b b a
c . atau ca. bˆ 2. Proyeksi vektor ortogonal
b
Contoh :
Diketahui vektor
b tentukan :
a. Panjang proyeksi ortogonal vektor a pada b b. Proyeksi vektor a pada b
A
a
O c C b B
Penyelesaian :
LATIHAN 3
1. Diketahui u2i4j5k dan v2i j2k tentukan :
a. u dan v b. u . v
c. panjang proveksi u pada v d. Proyeksi vektor u pada v 2. Diketahui
b tentukan :
a. a dan b b. a . b
c. panjang proveksi a pada b d. Proyeksi vektor a pada b 3. Diketahui
b , dan proyeksi skalar b pada a sama dengan a
tentukan nilai p
1. Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar (panjang) dan arah. 2. Besar vektor a terletak pada :
a. Bidang → a=(x,y) maka a x2 y2 b. Ruang → a=(x,y,z) maka a x2 y2 z2
3. Resultan vektor dapat ditentukan dengan aturan segitiga atau aturan jajar genjang. 4. Rumus perkalian skalar dua vektor dinyatakan sebagai berikut :
a. Bidang → a . bx1x1 y1y2 abcos b. Ruang → a . b x1x1 y1y2 z1z2 abcos
5. Pembagian ruas garis AB oleh titik T dengan perbandingan AT :TB = m : n dapat ditentukan dengan rumus
n m
b m a n t
6. Sudut yang dibentuk oleh dua vektor
b a
b a . cos
7. Jika c adalah panjang proyeksi ortogonal vektor a pada b dinyatakan dengan rumus
b b a
c . atau ca. bˆ
8. Jika c proyeksi vektor ortogonal vektor a pada b dinyatakan dengan rumus b b
b a c
EVALUASI BAB IV
I. Pilihlah jawaban yang paling tepat !
1. Diketahui A(3,5,2) dan B(1,-2,6). Vektor posisi AB adalah ... a. (2,7,4) d. (2,-7,-4) adalah ...
a. p = 1 atau p = 2 d. p = -1 atau p = -2 b. p = -2 atau p = 1 e. p = -1 atau p = 2 c. p = 1 atau p = -1
4. Jika P(3,-1,2), Q(2,4,0), dan R(1,3,-2) maka nilai PQ . PR adalah ...
a. 0 d. 14
b. 12 e. 16
c. 14
5. Sudut yang dibentuk oleh vektor
6. Diketahui titik A(1,0,-2) dan B(4,2,-3). Titik P terletak pada AB sedemikian rupa sehingga AP:PB = 2 : 3. Jika p vektor posisi titik P maka besarnya adalah ...
a.
7. Diketahui titik A(-2,1) dan B(3,-4). Jika C terletak pada garis AB, dengan perbandingan CB
AC: = 8 : -3, maka koordinat C adalah ... a. (6,-7) d. (-7,6)
AP
BA: = 3 : 1 adalah ...
a. (-2,1,-3) d. (2,1,3) b. (-2,-1,3) e. (2,-1,-3) c. (2,-1,3)
9. Panjang dari proyeksi vektor u 3i3jk pada vektor v 3i pj3k adalah 2 3 , maka nilai p adalah ...
a. 2 atau -2 d. 2 atau 1 b. 2 atau -1 e. 2 atau 3 c. -1 atau 1
10. Proyeksi vektor ortogonal u =(3,1,-5) pada v = (-1,2,-2) adalah ... a. (-1,2,2) d. (-1,-2,1)
b. (-1,-2,-2) e. (-1,-1,1) c. (-1,2,-2)
II. Jawablah dengan tepat !
1. Jika vektor u(a3)ia3 ja2k tegak lurus terhadap vi j3k, tentukan nilai dari a.
2. Diketahui koordinat titik A(-2,6,5), B(2,6,9), dan C(5,5,7). Jika titik P terletak pada AB, dengan perbandingan AP:PB = 3 : 1, tentukan :
a. Koordinat titik P
b. Panjang proyeksi ortogonal vektor PC pada AB
3. Jika
1 3
3
x ,
3 3 p
y , dan vektor z adalah hasil proyeksi vektor pada y. Jika
panjang 2 3
z tentukan nilai p.