34 MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA (1)

(1)

Gambar vektor disamping pangkalnya dititik O dan ujungnya dititik A disebut vektor OA atau vektor a.

Panjang atau besar vektor OA ataua : 1.Pada R2( Bidang ) → _a _ _x2 _ _y2

2.Pada R3( Ruang ) → _a _ _x2 __y2 __z2

PERTEMUAN ke-28 s.d ke-30

Indikator : 1. Menjelaskan vektor sebagai besaran yang mempunyai besar dan arah. 1. Menentukan operasi aljabar vektor

2. Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri

A. PENGERTIAN VEKTOR

Adalah garis berarah yang mempunyai titik pangkal dan ujung. A

a

O

B. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR

Secara geometri penjumlahan vektor dapat diselesaikan dengan cara segitiga maupun jajar genjang, sedangkan secara analitik dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan

komponen-komponen yang bersesuaian. Penulisan vektor secara analitik

     _yx

a atau a

 

x,y

BAB 4.

VEKTOR

Kompetensi dasar :

4.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah.

4.2 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.

Pernahkah kamu melihat pedagang sedang menimbang barang dagangannya ? Ternyata pada saat menimbang benda ada beberapa gaya yang bekerja,

(2)

Contoh :

Diketahui vektor- vektor sebagai berikut :

Penyelesaian :

a. a + b = Cara jajar genjang b

a

- c a

b. a – c = Cara segitiga

C. PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR

Jika a adalah suatu vektor dan k bilangan real (skalar), maka hasil kalinya dituliskan ka

    

2 1 a a

a maka ka =

   

2 1 ka ka

Sifat-sifat perkalian vektor dengan skalar :

1. ka = k a 3. ka = ak

2. k ( - a ) = - ka 4. k ( ab ) = ka + kb

LATIHAN 1

1. Tentukan panjang atau besar vektor berikut ini : a.

      6₈

a b. b



3,4,2



2. Diketahui titik A(1,-2), B(5,3), dan C(0,-4) tentukan vektor :

a. OA b. AB c. BC d. CB

3. Diketahui vektor

    

2 3

AB ,

    

1 5 CD , dan

    

1 4

EF tentukan :

a. ABCD b. CDEF

4. Diketahui vektor-vektor

  

 

  

   

2 5 6

a dan

  

 

  

 

  

7 3

3

b tentukan :

a. 6a - 3b b. - 7a + 4b

Catatan : Penulisan vektor dapat juga ditulis :

1. Pada R2( Bidang ) → a = xi + y j a

b

c

Tentukan :

(3)

Hasil perkalian titik/skalar (dot product ) dari vektor a dan vektor b didefinisikan :

a _. b ₌ abcos _atau ab b a . cos 

dengan adalah sudut terkecil yang dibentuk vektor a dan b Hasil perkalian titik dua vektor merupakan suatu skalar

1. Pada R2 Jika

Contoh :

Tentukan nilai kosinus sudut yang dibentuk vektor a = (2,-3) dan b = (-1,4)

Penyelesaian :

b

E. VEKTOR SATUAN

Adalah vektor bukan nol yang searah dengan vektor a yang besarnya satu satuan ditulis ậ

(4)

Contoh :

Tentukan vektor satuan dari vektor

     ₄3

a

Penyelesaian : Panjang vektor a → _a _ ₍_₃₎2 _₄2 _{= 25 = 5}

Vektor Satuan ậ = a a ₌

  

 

  

      

5 45

3

4 3 5 1

LATIHAN 2

1. Tentukan nilai kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor berikut : a. a = (2,5) dan b =(- 4,7) b. a = 4i - 8j dan b = - 6i - 3 j 2. Tentukan nilai x agar vektor a tegak lurus terhadap vektor b jika :

a. a = (6,x) dan b =(- 1,2) b. a = (5,1,x) dan b =(x,2,- 3)

3. Hitunglah asil kali skalar dua vektor antara a dan b yang membentuk sudut  jika diketahui :

a. a = 12, b = 6, dan = 450 _b. _a _{= 8,} _b _{= 5, dan}_ _{= 30}0

4. Diketahui segitiga PQR dengan P(5,7,-5), Q(4,7,-3), dan R(5,8,a). Jika segitiga PQR adalah segitiga sama sisi tentukan nilai a.

5. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b jika diketahui :

a. a = 8, b = 6 dan a . b= 24 3 b. a = 9, b = 10 dan a . b= - 45 2

PERTEMUAN ke-31 s.d ke-32

Indikator : 1. Menentukan pembagian ruas garis dalam bentuk vektor. 2. Menentukan proveksi ortogonal vektor

F. PEMBAGIAN RUAS GARIS DALAM BENTUK VEKTOR

Contoh :

Diketahui titik A dan B masing-masing A(5,7,2) dan B (-3,-1,6). Titik T membagi ruas garis AB dengan perbandingan AT :TB = - 1 : 3. Tentukan vektor t

m n

A T B

a t b

O

Vektor t dapat ditentukan dengan rumus :

n m

b m a n t

 

(5)

Vektor

G. PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR PADA VEKTOR LAIN

1. Panjang proyeksi ortogonal

b b a

c  . atau ca. bˆ 2. Proyeksi vektor ortogonal

b

Contoh :

Diketahui vektor



b tentukan :

a. Panjang proyeksi ortogonal vektor a pada b b. Proyeksi vektor a pada b

A

a 

O c C b B

(6)

Penyelesaian :

LATIHAN 3

1. Diketahui u2i4j5k dan v2i j2k tentukan :

a. u dan v b. u . v

c. panjang proveksi u pada v d. Proyeksi vektor u pada v 2. Diketahui



b tentukan :

a. a dan b b. a . b

c. panjang proveksi a pada b d. Proyeksi vektor a pada b 3. Diketahui



b , dan proyeksi skalar b pada a sama dengan a

tentukan nilai p

(7)

1. Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar (panjang) dan arah. 2. Besar vektor a terletak pada :

a. Bidang → a=(x,y) maka _a _ _x2 __y2 b. Ruang → a=(x,y,z) maka _a _ _x2 __y2 __z2

3. Resultan vektor dapat ditentukan dengan aturan segitiga atau aturan jajar genjang. 4. Rumus perkalian skalar dua vektor dinyatakan sebagai berikut :

a. Bidang → a . bx1x1 y1y2  abcos b. Ruang → a . b x1x1 y1y2 z1z2  abcos

5. Pembagian ruas garis AB oleh titik T dengan perbandingan AT :TB = m : n dapat ditentukan dengan rumus

n m

b m a n t

  

6. Sudut yang dibentuk oleh dua vektor

b a

b a . cos 

7. Jika c adalah panjang proyeksi ortogonal vektor a pada b dinyatakan dengan rumus

b b a

c  . atau ca. bˆ

8. Jika c proyeksi vektor ortogonal vektor a pada b dinyatakan dengan rumus b b

b a c

  

 

  

 

(8)

EVALUASI BAB IV

I. Pilihlah jawaban yang paling tepat !

1. Diketahui A(3,5,2) dan B(1,-2,6). Vektor posisi AB adalah ... a. (2,7,4) d. (2,-7,-4) adalah ...

a. p = 1 atau p = 2 d. p = -1 atau p = -2 b. p = -2 atau p = 1 e. p = -1 atau p = 2 c. p = 1 atau p = -1

4. Jika P(3,-1,2), Q(2,4,0), dan R(1,3,-2) maka nilai PQ . PR adalah ...

a. 0 d. 14

b. 12 e. 16

c. 14

5. Sudut yang dibentuk oleh vektor



6. Diketahui titik A(1,0,-2) dan B(4,2,-3). Titik P terletak pada AB sedemikian rupa sehingga AP:PB = 2 : 3. Jika p vektor posisi titik P maka besarnya adalah ...

a. _

7. Diketahui titik A(-2,1) dan B(3,-4). Jika C terletak pada garis AB, dengan perbandingan CB

AC: = 8 : -3, maka koordinat C adalah ... a. (6,-7) d. (-7,6)

(9)

AP

BA: = 3 : 1 adalah ...

a. (-2,1,-3) d. (2,1,3) b. (-2,-1,3) e. (2,-1,-3) c. (2,-1,3)

9. Panjang dari proyeksi vektor u 3i3jk pada vektor v 3i pj3k adalah 2 3 , maka nilai p adalah ...

a. 2 atau -2 d. 2 atau 1 b. 2 atau -1 e. 2 atau 3 c. -1 atau 1

10. Proyeksi vektor ortogonal u =(3,1,-5) pada v = (-1,2,-2) adalah ... a. (-1,2,2) d. (-1,-2,1)

b. (-1,-2,-2) e. (-1,-1,1) c. (-1,2,-2)

II. Jawablah dengan tepat !

1. Jika vektor u_₍a_₃₎i_a3 j_a2k _{tegak lurus terhadap} _v___i_ _j_₃_k_{, tentukan nilai} dari a.

2. Diketahui koordinat titik A(-2,6,5), B(2,6,9), dan C(5,5,7). Jika titik P terletak pada AB, dengan perbandingan AP:PB = 3 : 1, tentukan :

a. Koordinat titik P

b. Panjang proyeksi ortogonal vektor PC pada AB

3. Jika

  

 

  

  

1 3

3

x ,

  

 

  

  

3 3 p

y , dan vektor z adalah hasil proyeksi vektor pada y. Jika

panjang 2 3



z tentukan nilai p.