Fungsi Transenden. Fungsi Transenden

Fungsi Transenden

Fungsi Transenden

Invers suatu fungsi dan turunannya

Fungsi logaritma asli

Fungsi eksponen asli

Fungsi eksponen dan logaritma umum

Pertumbuhan dan peluruhan eksponen

Fungsi satu-ke-satu

Fungsi dikatakan satu-ke-satu jika untuk setiap

u, v

Є Df berlaku u ≠ v, f (u) ≠

f (v). (atau f (u) = f (v)

maka u = v, untuk setiap u,v Є

)

:

_{f f}

f D



R

f

D

Contoh:



f

D



Fungsi f:

, f

(x) = x

3

_{satu-ke-satu karena}

Fungsi

bukan satu-ke-satu

dengan 2 ≠ 2 tetapi f (-2) = f

(2) = 4.

dengan demikian

3

3

( )

( ) maka

f u



f v

u



v

3

3

2

3

-v

0 atau (

)(

)

0, maka

u



u v u





uv v





u



v

2

:

[0, ), ( )

f





f x



x

karena -2, 2

f

f -1

x

x f (x)

Misalkan x berada pada suatu daerah asal dan f fungsi

satu-satu;

Kemudian x kita kenakan pada f, akan menghasilkan f(x)

pada daerah hasil;

Selanjutnya kita kenakan f(x) pada fungsi invers atau

balikannya; yang hasilnya adalah x itu sendiri.

Atau dengan kata lain dapat dinotasikan dengan

dan

 



f

x



x

f

1



f

1



f

 

y





y

Notasi Fungsi Invers

Andaikan f memiliki balikan atau invers, maka

 

 

1

x



f



y

 

y

f x

Akibatnya y=f(x) dan f invers y menentukan pasangan bilangan

(x,y) yang sama, sehingga memiliki grafik-grafik yang identik.

x y y=x ( 4, 2 ) ( 2, 4 ) y = f(x) y = f -1 _(x) Fungsi Transenden

Jika f monoton murni pada daerah asalnya,

maka f memiliki fungsi invers

Teorema Eksistensi

Fungsi Invers

 

x



x

5



2

x



1

f

 



5

4



2



0



_x

_x

f

Contoh Soal

f memiliki invers pada daerah asalnya,

yaitu bilangan real.

Prosedur Menentukan Bentuk Invers Fungsi

Langkah 1 : Selesaikan persamaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y. Misalkan:









y

y

x

y

y

x

y

xy

x

x

xy

y

x

y

x

x

x

y



































1

1

1

1

Langkah 2 : Gunakan f-1 (y) untuk untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.

 

y

y

y

f







1

1

Langkah 3 : Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus untuk f-1(x).

 

x

x

x

f







1

1

Teorema Turunan Fungsi Invers

Contoh

f(x)=2x+cos x, tentukan (f

– 1

_)’(1).

Perhatikan bahwa f’(x) = 2 – sin x > 0,

akan dicari f

– 1

_(1);

f(0)=1 akibatnya f

– 1

_{(f(0)) =0= f}

– 1

₍₁₎

Jadi (f

– 1

_{)’(1) =1/(f ’ (f}

– 1

_{(1))) = 1/(f ’ (0)) = ½}

Fungsi Transenden

Jika f adalah suatu fungsi yang memiliki invers, dengan

g = f - 1 dan f’(g(a)) ≠ 0,

maka g dapat diturunkan di a dan

g’ (a)=1/f ’(g(a)).

Fungsi Logaritma Asli

Perhatikan turunan2 fungsi berikut ini.

 

2 1 2 2 2 2 2   _{ }               x x D x x D x x D x x x

Kemudian adakah fungsi yang turunannya adalah 1/x?





x

D

_x

????



1

Definisi Logaritma

Fungsi logaritma asli dinyatakan dalam ln, didefinisikan sebagai

0

,

1

ln

1







dt

x

t

x

x

Daerah asalnya adalah himpunan real positip.

Secara Geometri

y 3 x 1 Luas = ln 3 3 1 1 ln 3 dt t 



y = 1/x Fungsi Transenden

Turunan Fungsi Logaritma

 

ln

1

1

,

0

.

1





















x

x

dt

t

D

x

D

x x x

Dengan demikian bila kita akan mencari anti turunan dari fungsi 1/x kita dapatkan

 

ln

1

1

,

0

.

1





















x

x

dt

t

D

x

D

x x x

Penyelesaian Soal





 

ln

1

,

0

,

1

????







x

x

x

D

x

D

x

x

Fungsi Transenden

Dari rumusan ini kita dapat menjawab pertanyaan yang muncul pada awal sub bab ini

yakni ln(x)

Teorema A

Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi logaritma asli adalah;

Jika a dab b bilangan-bilangan positif dan r sebarang bilangan rasional, maka

a

r

a

iv

b

a

b

a

iii

b

a

ab

ii

i

r

ln

ln

)

(

ln

ln

ln

)

(

ln

ln

ln

)

(

0

1

ln

).

(













Contoh Soal

Tentukan turunan dari

_{ln x}

3

Jawabannya :

 

.

3

1

3

1

.

1

.

1

ln

3

2

3

1

3

1

3

1

3

x

x

x

x

D

x

x

D

_x

_x

_























Fungsi Transenden

Fungsi Eksponen Asli

Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen asli

dan dinyatakan oleh lambang e atau exp; yakni

x

y

y

x



exp





ln

kata exp dikenal dengan lambang e,

yg menyatakan bilangan real positip

sedemikian rupa sehingga ln e = 1.

Sifat Fungsi Eksponensial

Andaikan a dan b adalah sebarang bilangan real, maka

b

a

b

a

b

a

b

a

e

e

e

ii

e

e

e

i









)

(

).

(

Fungsi Transenden

Turunan & Integral Fungsi Eksponen









C

e

dx

e

e

e

D

x x x x x

Karena fungsi logaritma natural dan eksponensial asli adalah fungsi yang saling invers,

maka grafik dari kedua fungsi tersebut adalah sebagai berikut

y = e

x

y = x

y = ln(x)

x

y

e

x

y

e

y

e

y

x x















ln

ln

ln

ln

ln

Fungsi Eksponen & Logaritma Umum

Definisi

Fungsi eksponensial berbasis a didefinisikan sebagai berikut

Untuk a > 0 dan sebarang bilangan real x.

a

x

x

e

a



ln

Fungsi Transenden

Sifat Fungsi Eksponen & Logaritma Umum

Jika a > 0, b > 0, dan x,y adalah bilangan-bilangan real, maka

 

 

x x x x x x xy y x y x y x y x y x

b

a

b

a

v

b

a

ab

iv

a

a

iii

a

a

a

ii

a

a

a

i























 

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

dengan bentuk turunan dan integralnya adalah sebagai berikut;

 

ln , 1 ln x x x x x D a a a a a dx C a a    



Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

1. Pertumbuhan Populasi dan Peluruhan Radioactive

Pertumbuhan & Peluruhan Eksponensial

Greg Kelly, Hanford High School, Richland, Washington

Glacier National Park, Montana

Photo by Vickie Kelly, 2004

Model Peluruhan & Pertumbuhan Eksponensial

Pertumbuhan suatu populasi dapat dinyatakan sebagai:

laju perubahan populasi relative terhadap populasi awalnya;

misalnya laju pertumbuhan tersebut konstan sebesar k;

maka dapat dinyatakan dalam formula berikut;

dy

ky

dt



1

dy

k dt

y



1

dy

k dt

y







ln y

 

kt

C

ln y kt C

e



e

 C kt y e e C kt y e e kt

y



Ae

0 0 k

y



Ae

 Fungsi Transenden

Diperoleh:

0

kt

y



y e

Bila k bernilai positif maka disebut sebagai pertumbuhan eksponensial;

dan bila k bernilai negatif disebut sebagai peluruhan eksponensial;

yang contohnya ada dalam peluruhan radioaktif.



Alpha



Beta



-

+

Gamma



2.

Kegunaan pada bahan makanan adalah untuk pengawetan

Waktu Paruh Bahan Radioaktif 0 0

1

2

kt

y



y e



 

1

ln

ln

2

kt

e



  

 

 

ln1 ln 2

0



 

kt

ln 2



kt

ln 2

t

k



_

Pertumbuhan terbatas

Aplikasi: Penjualan produk

terbaru, depresiasi peralatan,

pertumbuhan perusahaan,

proses belajar, dan

sebagainya.

Laju pertumbuhan

sebanding dengan selisih

antara jumlah tertentu dan

populasinya.

Pertumbuhan logistik

Laju pertumbuhan sebanding

dengan perkalian populasinya

dengan selisih antara jumlah

tertentu dan populasinya.

Aplikasi: Pertumbuhan

populasi jangka panjang,

epidemi, penjualan produk baru,

penyebaran rumor (gosip),

pertumbuhan perusahaan, dan

sebagainya

1

(

), ,

0, (0)

.

dy

M

dt

=

ky M y k t

-

>

y

=

+

c

Solusi:

1

kM t

M

ce

y

-+

=

(

)

dy

dt

=

ky M

-

y

(

)

M dy

y M

-

y

=

k M dt

(

1

1

)

y

+

M y

-

dy

=

k M dt

(

1

1

)

y

+

M y

-

dy

=

k M dt

ò

ò

1

ln

y

M

-

y

=

kMt

+

c

1

2

kMt c

kMt

y

M

y

e

c e

+

-

=

=

2

3

1

kM t

kMt

M

y

y

_{c e}

c e

-=

=

M

-

y

=

yc e

₃

-

kMt

3

(1

kMt

)

y

+

c e

-

=

M

3

1

kM t

M

c e

y

-+

=

1

(0)

M

c

y

=

₊

3

1

1

M

M

c

c

+

=

+

1

kM t

M

ce

y

-+

=

•Bukti:

_{ubah menjadi}

Membuat rasional sederhana:

sehingga c

₃

=

c. Jadi solusinya adalah

Karena

atau

atau

atau

Exercise (1)

Carbon 14, an isotope of carbon is

radioactive and decays at a rate proportional

to the amount present. Its half-life is 5730

years; that is, it takes 5730 years for a given

amount of carbon 14 to decay to one-half its

original size. If 10 grams was present

originally, how much will be left after 2000

years?

Answer

The half-life of 5730 allows us to determine

k, since it implies that

(5730)

1

1

2

k

e



Or, after taking logarithms,

-0.000121t

ln 2

570

ln 2

0.000121

5730

Thus,

y=10e

k

k









 

At t = 2000, that gives

0.000121(2000)

10

7.85grams

y



e





Fungsi Transenden

Exercise (2)

The number of bacteria in a rapidly growing

culture was estimated to be 10,000 at noon

and 40,000 after 2 hours. Predict how many

bacteria there will be at 5

P.M.

Answer

We assume that the differential equation

dy/dt = ky is applicable, so

Now we have two conditions (y

₀

=10,000 and

y=40,000 at t=2), from which we conclude that

0

kt

y



y e

(2) 2 (ln 2) 0.693(5)

40, 000 10, 000

4

Taking logarithms yields

ln 4

2

or

1

ln 4

ln 4

ln 2

2

Thus,

10, 000

and at t=5, this gives

10, 000

320, 000

k k t

e

e

k

k

y

e

y

e

















