i
MATRIKS PASCAL
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)
Program Studi Matematika
Oleh:
Erita Marlina Naibaho NIM : 073114003
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
THE PASCAL MATRIX
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree (S.Si)
in Mathematics
By:
Erita Marlina Naibaho Student Number: 073114003
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTMENT FAKULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
T en an glah k i n i h a t i k u , T u h an m em i m p i n l a n gk a h k u .
D i t i a p saat d a n k er j a , t et a p k u r a sa t a n ga n N y a .
T u h an l a h y an g m em bi m bi n gk u , t a n gan k u d i p ega n g t egu h .
H a t i k u ber ser ah p en u h , t a n ga n k u d i pegan g t egu h .
T a k k u sesa l k a n h i d u p k u , bet a pa j u ga n a si bk u .
Sebab En gk a u t et ap d ek at , t a n gan M u k u p ega n g er a t .
T u h an l a h y an g m em bi m bi n gk u , t a n gan k u d i p ega n g t egu h
H a t i k u ber ser ah p en u h , t a n ga n k u d i p egan g t egu h .
(T en a n gl ah K i n i H at i k u , K i d u n g Jem a at N o. 410 )
T ous les choses arrivent pour une bonne reason
( I believe that everything happens for a reason)
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta,………. Penulis
vii ABSTRAK
Matriks Pascal P merupakan matriks khusus yang sangat menarik untuk dipelajari lebih detail. Metode yang digunakan untuk mempelajari matriks Pascal adalah dengan mempelajari beberapa sifat pentingnya dan menyelidiki keterkaitannya dengan matriks lain. Terungkap bahwa matriks ini dapat dinyatakan sebagai H
e , yaitu H
e
P dimana H adalah suatu matriks penghasil yang didefinisikan. Matriks Pascal juga memiliki hubungan dengan matriks khusus lain yang terkenal, yaitu matriks Vandermonde. Matriks Pascal dapat dinyatakan dengan menggunakan matriks Vandermonde yaitu PV(t1)V(t)1, di mana
() ( 1) ( 2) ( ( 1))
)(t y t y t y t y t n
V adalah matriks Vandermonde,
dan n T
t t t t
viii ABSTRACT
Pascal matrix P is a special matrix which is very interesting to investigate in more details. The method used to study the Pascal matrix is by learning some important properties and investigating its relation to other matrices. It is revealed that this matrix can be expressed as eH
, i.e. PeH
where H is a defined creation matrix. Pascal matrix also has a special relation to another well-known matrix, namely the Vandermonde matrix. Pascal matrix can be expressed using Vandermonde matrix i.e.
1 ) ( ) 1
(
V t V t
ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Erita Marlina Naibaho
Nomor mahasiswa : 073114003
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :
MATRIKS PASCAL
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Dengan demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta
Pada Tanggal:……….. Yang menyatakan
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kasih setia dan karunia-Nya yang melimpah, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “MATRIKS PASCAL”.
Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi di Universitas Sanata Dharma.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh bantuan, bimbingan, pengarahan dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang teramat dalam kepada :
1. Tuhan Yesus Kristus, atas berkat dan kasih-Nya yang tiada habisnya.
2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J. selaku Dosen Pembimbing yang penuh kasih dan kesabaran dalam memberikan pengarahan, bimbingan, saran dan semagat selama proses penulisan skripsi.
3. M. V. Any Herawati, S.Si, M.Si dan Hartono, S.Si, M.Sc selaku Dosen Penguji Skripsi yang telah banyak memberikan masukan, saran dan ide dalam melengkapi skripsi ini.
xi
5. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dosen Pembimbing Akademik, yang senantiasa memberikan perhatian dan motivasi layaknya seorang bapak kepada anaknya selama perkuliahan dan penyusunan skripsi ini.
6. Seluruh dosen dan karyawan/ti Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak memberikan dukungan baik selama masa perkuliahan maupun dalam masa penyusunan skripsi.
7. Para staff perpustakaan Kampus III Paingan yang telah memberikan pelayanan, kenyamanan tempat dan menyediaan buku-buku pustaka.
8. Kedua orang tua tercinta, Bapakku P. Naibaho, Spd dan Mamaku D. Nadeak serta saudara-saudara terkasih yaitu ketiga abangku Saut Maruli Naibaho Am.T., Andi Juliver Naibaho S.T., Jantri Musa Marolop Naibaho S.T., and my only one sister Pristina Mayrita S.Si., terima kasih banyak atas pengorbanan, doa, cinta, motivasi dan kepercayaan dalam penyelesaian skripsi.
9. Teman-teman angkatan 2006-2011 yang memberikan warna tersendiri. Kalian menjadikan kebersamaan di matematika ini menjadi sempurna. Spesial kepada Amelia Enrika, yang tak henti menanyakan perkembangan skripsi dan revisi. 10. Teman-teman penghuni Kost Icha untuk kebersamaan, motivasi dan suka duka
yang dilalui bersama, ayo semangat mengejar cita-cita. Spesial untuk Kethrin Jesika dan Rosa Delima Spica, yang setia menemani ke perpustakaan.
xii
12. Yang terkasih Henfriyandie atas semangat, cinta dan kasih sayang. Terima kasih untuk terus saling mengingatkan, memberikan semangat dan pengorbanan selama ini.
13. Semua pihak yang secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat disebut satu persatu yang turut membantu dalam proses penyelesaian skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih sangat jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu segala kritik dan saran yang bersifat membangun dari semua pihak akan penulis terima dengan senang hati. Penulis berharap skripsi ini bermanfaat bagi para pembaca yang memiliki niat mempelajarinya lebih lanjut, meski skripsi ini masih terdapat kekurangan di sana-sini.
Akhir kata penulis mohon maaf apabila ada perkataan yang kurang berkenan dan penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kemajuan jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Yogyakarta,………... Penulis
xiii DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
HALAMAN ABSTRAK ... vii
HALAMAN ABSTRACT ... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xiii
BAB I. PENDAHULUAN ... 1
A. LATAR BELAKANG MASALAH ... 1
B. RUMUSAN MASALAH ... 4
C. PEMBATASAN MASALAH ... 4
D. TUJUAN PENULISAN ... 5
xiv
F. METODE PENULISAN ... 5
G. SISTEMATIKA PENULISAN ... 5
BAB II. MATRIKS ... 7
A. PENGERTIAN MATRIKS ... 7
B. OPERASI PADA MATRIKS ... 11
C. MATRIKS ELEMENTER ... 30
D. DETERMINAN MATRIKS ... 42
BAB III. POLINOMIAL ... 62
A. PENGERTIAN POLINOMIAL ... 62
B. FUNGSI POLINOMIAL ... 67
BAB IV. MATRIKS PASCAL ... 70
A. PENGERTIAN MATRIKS PASCAL ... 70
B. BEBERAPA SIFAT PENTING MATRIKS PASCAL ... 73
BAB V. PENUTUP ... 97
A. KESIMPULAN ... 97
B. SARAN ... 98
1 BAB I PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Matriks Pascal telah dikenal sejak zaman kuno, dan telah dijumpai dalam matematika China sejak tahun 1303. Matriks ini dipakai dalam bidang analisis numerik, kombinatorik, dan sebagainya. Di sini akan diperkenalkan beberapa sifat penting dari matriks Pascal beserta bagaimana relasinya dengan matriks lain yang ternama, yaitu matriks Vandermonde.
Kita mengenal adanya teori polinomial dalam matematika. Sebuah ekspresi
a
nr
n
a
n1r
n1
a
1r
1
a
0 disebut polinomial dalam r jika dan hanya jika eksponen r adalah bilangan bulat positif dimanaa
0,a
1
a
n adalah bilangan real. Di sini akan diulas bagaimana relasi antara matriks Pascal dengan polinomial.Sebelum mendefinisikan matriks Pascal, akan dibahas mengenai kombinasi dimana elemen-elemen dari matriks Pascal dapat ditentukan dengan menggunakan kombinasi. Kombinasi n elemen yang diambil sebanyak r dalam
setiap pengambilan dilambangkan dengan Crn atau r n
. Kombinasi ini akan
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1
Kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen adalah
)! ( !
! r n r
n r
n
Crn
dimana n!n
n1
n2
n3
...1. Bilangan r njuga disebut
koefisien binomial karena merupakan koefisien dari ekspansi binomial
x y
n. Koefisien-koefisien tersebut dapat disusun dalam suatu segitiga yang disebut segitiga Pascal, yang merupakan suatu pola bilangan yang disusun membentuk segitiga dengan aturan koefisien binomial yang ditemukan oleh Blaisc Pascal (1623-1662).
3 3 2 2 32 2
2 1 0
3 3 2 1
b ab b a a b a
b ab a
b a
b a b a
b a
3 3 2
3 1
3 0
3
2 2 1
2 0
2
1 1 0
1 0 0
, untuk 0
untuk 1
Berikut adalah beberapa contoh matriks Pascal,
Secara umum, matriks Pascal dapat dinyatakan sebagai berikut:
) (pij
P dimana ,
untuk 0
Jadi matriks Pascal berordo nn dapat dituliskan sebagai berikut:
1 1 !
2 ) 1 )( 2 ( 1 1
0 0 3
3 1
0 0 1
2 1
0 0 0
1 1
0 0 0
0 1
n n
n n
p
P ij
.
B. RUMUSAN MASALAH
Pokok – pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan sebagai berikut:
1. Apa itu matriks Pascal ?
2. Bagaimana sifat-sifat penting dari matriks Pascal ?
3. Bagaimana hubungan matriks Pascal dengan matriks lain yang terkenal, yaitu matriks Vandermonde ?
C. PEMBATASAN MASALAH
Dalam penulisan skripsi ini, penulis akan membatasi beberapa hal yaitu : 1. Materi mengenai matriks Pascal hanya akan dibahas dalam bidang teori
polinomial saja.
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan ini adalah untuk mengenal salah satu matriks khusus yaitu matriks Pascal. Selain itu juga untuk mempelajari bagaimana hubungan matriks Pascal ini dengan matriks terkenal lainnya.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat memahami dan mengenal salah satu matriks khusus yang ada, yaitu matriks Pascal.
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik matriks Pascal.
G. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I. PENDAHULUAN
BAB II. MATRIKS
A. Pengertian Matriks B. Operasi pada Matriks C. Matriks Elementer D. Determinan Matriks BAB III. TEORI POLINOMIAL
A. Pengertian Polinomial B. Fungsi Polinomial BAB IV. MATRIKS PASCAL
A. Pengertian Matriks Pascal
B. Beberapa Sifat Penting Matriks Pascal BAB V. PENUTUP
7 BAB II MATRIKS
Dalam bab ini akan diulang kembali beberapa hal mengenai pengertian-pengertian dasar yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Pembahasan ini meliputi definisi, teorema, dan beberapa hal penting dalam matriks.
A. Pengertian Matriks Definisi 2.1
Matriks adalah jajaran bilangan berbentuk empat persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.
Bilangan - bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut elemen atau anggota matriks. Matriks dapat digunakan untuk menjelaskan sistem persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks dapat dioperasikan, seperti dikalikan, dijumlahkan, atau dikurangkan. Bentuk umum sebuah matriks dapat ditulis sebagai berikut :
mn m
m
n n
ij
a a
a
a a
a
a a
a a
A
2 1
2 22
21
1 12
Matriks dilambangkan dengan huruf kapital, seperti A, B, C dan sebagainya, sedangkan elemen dari suatu matriks dilambangkan dengan huruf kecil yang berkaitan dengan matriks tersebut dan diberi 2 indeks, yaitu aij yang
menyatakan elemen yang terletak di baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A. Baris ke-i dari matriks A adalah
ai1 ai2 ain
dan kolom ke-j dari matriks Aadalah
mj j j
a a a
2 1
. Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan bentuk dan
ukuran dari matriks tersebut, yang disebut ukuran matriks atau ordo matriks. Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks berordo mn.
Contoh matriks :
12 11 10 9
8 7 6 5
4 3 2 1 A
Matriks A berordo 34, karena matriks tersebut mempuyai 3 baris dan 4 kolom. Bilangan 7 pada matriks A dapat dinyatakan sebagai a23 7.
Definisi 2.2
Contoh matriks bujur sangkar:
9 8 7
6 5 4
3 2 1 A
Definisi 2.3
Suatu matriks bujursangkarA
aij disebut matriks diagonal bila dan hanya bila 0
ij
a untuk i j.
Contoh matriks diagonal:
. 3 0 0
0 2 0
0 0 1
A
Definisi 2.4
Matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1 disebut matriks identitas, dengan lambang I.
Contoh matriks identitas:
. 1 0 0
0 1 0
0 0 1
Definisi 2.5
Matriks yang terdiri dari satu baris saja disebut matriks baris atau disebut juga vektor baris. Matriks yang terdiri dari satu kolom saja disebut matriks kolom atau disebut juga vektor kolom.
Contoh:
1 2 3 4
A ,
7 6 5 B
Matriks A adalah matriks baris berordo 14, dan matriks B adalah matriks kolom berordo 31.
Definisi 2.6
Transpos dari matriks adalah matriks ATdimana elemen aijdalam sama dengan elemen ajidalam
T
A untuk semua i dan j. Contoh:
Jika diketahui
6 3
5 2
4 1
A , maka
6 5 4
3 2 1
T
A
Secara umum, ATdiperoleh dengan menukar baris dengan kolom yang bersesuaian dari matriks . Akibatnya, jika A berordo mn, maka ATberordo
m n .
A A
Definisi 2.7
Matriks A disebut matriks nol jika setiap elemen dari adalah bilangan nol. Contoh matriks nol:
0 0 0
0 0 0 ,
0 0
0 0
B
A .
B. Operasi pada Matriks Definisi 2.8
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulisA Bjika ordo kedua matriks tersebut adalah sama, dan elemen yang seletak juga sama, yaitu aij bij untuk setiap
i dan j.
Contoh diketahui matriks-matriks:
4 3
2 1
A
4 3
2 1
B
0 4 3
0 2 1 C
Matriks-matriks tersebut merupakan tiga matriks yang berbeda. Matriks B
A karena terdapat elemen seletak dari kedua matriks tersebut yang berbeda, yaitu
12 12 b
a . Sedangkan matriks AC dan BC karena ordo matriks yang berbeda.
1. Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan adalah elemen yang letaknya sama.
Definisi 2.9
Misalkan A
aij dan B
bij adalah dua buah matriks berordo mn. Jumlahmatriks dan B,ditulis AB, adalah matriks berordo mn dengan elemennya merupakan jumlah elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut. Dalam hal ini kita tulis AB
aij bij
.Contoh penjumlahan dua matriks:
Diketahui
4 3
2 1
A ,
8 7
6 5
B dan
6 5 4
3 2 1
C ,
maka .
12 10
8 6 8 7
6 5 4 3
2 1
B A
Sedangkan penjumlahan matriks AC atau BC tidak terdefinisi karena kedua matriks tersebut mempunyai ordo yang berbeda.
Teorema 2.1
Jumlahan matriks memenuhi sifat-sifat berikut: 1. AB BA(sifat komutatif)
Bukti: Misalkan:
3. AOAuntuk setiap matriks A, di mana O adalah matriks nol. Bukti:
Pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai jumlahan, yaitu )
( B A B
A .
Contoh pengurangan matriks:
Diketahui matriks-matriks
0 7
9 6
4 5
A dan
2 1
4 5
6 3
B , maka
2 6
5 1
2 2
2 1
4 5
6 3
0 7
9 6
4 5 B
A .
2. Perkalian Matriks
Ada 2 jenis perkalian pada matriks yaitu, perkalian matriks dengan bilangan real (skalar) dan perkalian matriks dengan matriks.
Definisi 2.10
Matriks A(aij) dikalikan dengan suatu bilangan real k adalah matriks kA yang diperoleh dari hasil kali setiap elemen A dengan k, yaitu kA(kaij).
Contoh:
Jika
1 5
8 3
A , maka
4 20
32 12 1
5 8 3 4
Teorema 2.2
Perkalian matriks dengan bilangan real memenuhi sifat-sifat berikut:
Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila dan hanya bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B, yaitu AmpBpm. Perkalian matriks
baris A berordo 1n dan matriks kolom B berordo n1, yaitu:
a a a an
A 1 2 3 dan
n
b b b b
B 3
2 1
adalah matriksAB berordo 11 dengan elemennya
n nb
a b
a b a b
a1 1 2 2 3 3
atau dapat ditulis:
n nb
a b
a b a b a
AB 1 1 2 2 3 3 .
Definisi 2.11
Contoh:
Diketahui tiga matriks:
Perkalian ini menghasilkan matriks AB berordo 34. Perkalian matriks A dan C dan B dan C tidak dapat dilakukan karena jumlah kolom matriks A maupun
B tidak sama dengan jumlah baris matriks C.
Teorema 2.3
Perkalian matriks memenuhi sifat-sifat berikut:
1.(AB)C A(BC) (sifat asosiatif) Bukti:
Misalkan: adalah sama, yaitu:
Misalkan: A(aij), B(bij) dan C(cij).
Berdasarkan definisi penjumlahan dan perkalian matriks, diperoleh:
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
21
1 12
11
A
. ■
Definisi 2.12
Suatu matriks bujursangkar A disebut taksingular (mempunyai invers) jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB BAI . Matriks disebut invers dari matriks A terhadap perkalian. Suatu matriks bujursangkar disebut singular jika tidak memiliki invers terhadap perkalian.
Teorema 2.4
Matriks
d c
b a
A mempunyai invers yaitu
a c
b d bc ad
A 1 1 jika dan
hanya jika adbc0.
Bukti:
Jika adbc0, maka
bc ad
a bc
ad c
bc ad
b bc
ad d
d c
b a AA1
B
I
C. Matriks Elementer
Subbab ini akan membahas sistem persamaan linear, operasi baris elementer dan matriks elementer.
Definisi 2.13
Suatu persamaan linear dalam n variabel adalah persamaan dengan bentuk b
x a x
a x
a1 1 2 2 n n
dimana a1,a2,,an dan b adalah bilangan-bilangan real dan x1,x2,,xn adalah
variabel.
Dengan demikian maka suatu sistem persamaan linear dari m persamaan dalam n variabel adalah satu sistem berbentuk:
m n mn m
m
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
(1)
Sedangkan konstanta-konstanta pada ruas kanan dapat ditulis sebagai matriks kolom, yaitu:
Jika matriks kolom ini dituliskan bersama-sama dengan matriks koefisien sebagai kolom terakhirnya, maka diperoleh matriks:
Matriks ini disebut matriks lengkap dari suatu sistem persamaan linear.
dengan
mn m
m m
n n
a a
a a
a a
a a
a a
a a A
3 2 1
2 23
22 21
1 13
12 11
,
n
x x x x
2 1
dan
m
b b b b
2 1
.
Ada tiga operasi yang dapat dilakukan pada suatu sistem persamaan linear tanpa mempengaruhi penyelesaiannya. Operasi itu disebut operasi baris elementer dan akan dijelaskan dalam definisi berikut ini.
Definisi 2.14
Operasi baris elementer pada suatu sistem persamaan linear adalah salah satu operasi berikut:
1. Menukar letak dari dua baris sistem persamaan linear tersebut.
2. Mengalikan suatu baris sistem persamaan linear tersebut dengan konstanta taknol. 3. Mengganti suatu baris sistem persamaan linear tersebut dengan hasil penjumlahan
baris tersebut dan kelipatan baris lain.
Definisi 2.15
Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi berikut:
1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut.
2. Mengalikan suatu baris matriks tersebut dengan konstanta taknol.
3. Mengganti suatu baris matriks tersebut dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain.
Definisi 2.16
Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika setiap konstanta di ruas kanannya sama dengan nol.
Bentuk umum sistem persamaan linear homogen yang terdiri dari m persamaan linear dengan n variabel x1,x2,,xn adalah
0 0 0
2 2 1 1
2 2
22 1 21
1 2
12 1 11
n mn m
m
n n
n n
x a x
a x a
x a x
a x a
x a x
a x a
(2)
dimana aij dan bi merupakan konstanta-konstanta real untuk i1,2,,m dan n
mn m
m m
n n
a a
a a
a a
a a
a a
a a A
3 2 1
2 23
22 21
1 13
12 11
,
n
x x x x
2 1
, dan
0 0 0 0
.
Setiap sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai penyelesaian trivial, yaitu penyelesaian x1 0,, x2 0,, xn 0.
Definisi 2.17
Suatu matriks bujursangkar E berordo nn dinamakan matriks elementer, jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks Identitas In dengan melakukan sekali
operasi baris elementer.
Ada tiga jenis matriks-matriks elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer, yaitu
1. Matriks elementer jenis I adalah matriks yang diperoleh dengan menukar dua baris pada matriks I dan dilambangkan dengan E1.
3. Matriks elementer jenis III adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti baris ke-i dengan penjumlahan k kali dari baris ke-j dan baris ke-i pada matriks I dan dilambangkan dengan E3.
Terdapat hubungan antara matriks elementer dan operasi baris elementer. Misalnya dilakukan operasi baris elementer pada suatu matriks A, dan hasilnya misalkan matriks A1. Matriks A1 ini dapat juga dinyatakan sebagai perkalian suatu matriks elementer E dengan matriks A, seperti yang dibuktikan dalam teorema berikut ini.
Teorema 2.5
Jika matriks elementer E diperoleh dengan cara melakukan operasi baris elementer tertentu terhadap I dan jika A adalah matriks berordo mn, maka hasilkali EA adalah matriks yang dihasilkan jika operasi baris elementer yang sama dilakukan terhadap A. Bukti:
Misalkan
mn m
m m
n n n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A
3 2 1
3 33
32 31
2 23
22 21
1 13
12 11
1. Misalkan
menukar baris ke-1 dengan baris ke-2 pada matriks I. Maka
. dengan baris kedua pada matriks A.
2. Misalkan
. dengan suatu konstanta c yang taknol pada matriks A.
.
3 2
1
3 1 33
13 32 12 31 11
2 23
22 21
1 13
12 11
mn m
m m
n n
n n
a a
a a
a ka a
ka a ka a ka
a a
a a
a a
a a
Matriks E3A adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti baris ketiga dengan penjumlahan k kali dari baris pertama dan baris ketiga pada matriks A. ■
Teorema 2.6
Jika E adalah matriks elementer, maka E taksingular dan E1 adalah matriks elementer dengan jenis yang sama.
Bukti:
1. Misalkan E1 adalah matriks elementer jenis I yang diperoleh dengan menukar dua baris. Matriks E1 dapat ditransformasi menjadi matriks I kembali dengan mempertukarkan lagi baris-baris yang sama. Ini berarti bahwa 1
1
E adalah matriks elementer jenis I.
2. Misalkan E2 adalah matriks elementer jenis II yang diperoleh dengan melakukan perkalian baris ke-i dengan suatu konstanta c dengan c0. Matriks E2ini dapat ditransformasi menjadi matriks I kembali dengan mengalikan baris ke-i dengan
c /
1 . Hal ini menunjukkan bahwa 21
3. Misalkan E3 adalah matriks elementer jenis III yang diperoleh dengan mengganti baris ke-i dengan penjumlahan k kali dari baris ke-j dan baris ke-i. Matriks E3ini dapat ditransformasi menjadi matriks I kembali dengan mengganti baris ke-i dengan penjumlahan -k kali dari baris ke-j dan baris ke-i. Hal ini menunjukkan bahwa 1
3
E adalah matriks elementer jenis III. ■
Definisi 2.18
Dua matriks disebut ekivalen baris jika salah satu matriks dapat diperoleh dengan melakukan operasi baris elementer sebanyak berhingga kali pada matriks yang lain.
Jadi jika matriks A ekivalen baris dengan matriks B, maka A dapat direduksi menjadi B dengan melakukan sejumlah berhingga operasi baris elementer pada A. Hal ini dapat dilakukan dengan mengalikan matriks A dengan matriks-matriks elementer yang sesuai dari sebelah kiri. Dengan demikian, jika A ekivalen baris dengan B, maka terdapat matriks-matriks elementer E1,E2,,Ek sedemikian sehingga EkE2E1AB.
Definisi 2.19
1. Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah baris yang memuat elemen taknol.
2. Pada setiap baris dari matriks E yang mempunyai elemen taknol, elemen taknol pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen taknol dari baris sebelumnya.
Elemen taknol pertama dari suatu baris disebut elemen utama atau elemen pivot. Sifat kedua dari matriks eselon baris mengatakan bahwa elemen di bawah elemen pivot haruslah nol.
Definisi 2.20
Suatu matriks disebut matrikseselon baris tereduksi jika
1. Matriks itu adalah matriks eselon baris.
2. Setiap elemen pivotnya adalah 1.
Teorema 2.7
Jika R adalah matriks eselon baris tereduksi yang diperoleh dari matriks A berordo n
n , maka matriks R mempunyai baris dengan semua elemennya 0 atau R adalah matriks Identitas In.
Bukti:
Misalkan R adalah matriks bentuk eselon baris tereduksi yang diperoleh dari matriks A berordo nn. Jika R tidak mempunyai baris dengan semua elemennya 0, maka setiap baris mempunyai elemen pertama yang taknol, yaitu 1. Elemen 1 ini bergerak turun semakin ke kanan di setiap barisnya, sehingga setiap elemen 1 ini pasti terletak pada diagonal utama. Karena elemen-elemen lainnya adalah 0, maka R akan membentuk matriks Identitas In. Jadi R mempunyai baris dengan semua elemennya 0
atau RIn. ■
Teorema 2.8
Jika A dan B adalah matriks-matriks taksingular yang berordo sama, maka
1. 1
A adalah taksingular dan (A1)1 A
2. AB adalah taksingular dan 1 1 1 )
Bukti:
1. Jika A1 adalah invers dari matriks A, maka
I AA A
A1 1 .
Jadi A adalah invers dari A1 sehingga A1 taksingular dan (A1)1 A.
2. Perhatikan bahwa
I AA A
I A A BB A A B
AB)( 1 1) ( 1) 1 1 1 (
dan
I B B B I B B A A B AB A
B1 1)( ) 1( 1 ) 1 1
( .
Jadi terbukti bahwa (AB)(B1A1)(B1A1)(AB)I, maka AB taksingular dan 1
1 1 )
(AB B A . ■
D. Determinan Matriks
Terlebih dahulu akan dibahas determinan matriks 22 dan kemudian
determinan matriks nn. Teorema 2.4 menyatakan bahwa matriks
d c
b a A
bc ad d c
b a
A
det ) (
det .
Pada dasarnya determinan matriks berordo 22 adalah suatu fungsi dari himpunan semua matriks berordo 22 ke himpunan semua bilangan real.
Teorema 2.9
Misalkan A adalah suatu matriks 22.
1. Jika B adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengalikan suatu baris atau suatu kolom dari matriks A dengan suatu konstanta k, maka
) ( det )
(
det B k A . Bukti:
Misalkan
d c
b a
A dan .
d c
kb ka B
Maka
) (
) ( det
bc ad k
kbc kad B
) ( det A k
. ■
2. Jika B adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar tempat dua baris atau dua kolom dari A, maka
) ( det )
(
Bukti:
Misalkan
d c
b a
A , dan
b a
d c
B .
Maka
) (
) ( det
bc ad
bc ad
da cb B
) ( det A
. ■
3. Jika dua baris dari matriks A adalah sama, maka det(A)0. Bukti:
Misalkan
b a
b a
A .
Maka
ab ab
ba ab A
) ( det
0
. ■
4. Jika matriks A1, A2 dan B adalah matriks-matriks yang berbeda hanya pada satu baris, misalnya baris ke-i, dan baris ke-i dari B dapat diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada baris ke-i dari matriks A1 dan
, 2
A maka
) ( det ) ( det ) (
Bukti:
Misalkan
d c
b a
A1 ,
f e
b a
A2 dan
f d e c
b a
B .
Maka
) (
) (
) (
) (
) ( ) ( ) ( det
bc af bc ad
be bc af ad
e c b f d a B
) ( det ) (
det A1 A2
. ■
5. Jika B adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menambahkan kelipatan dari satu baris A ke baris lainnya atau kelipatan dari satu kolom ke kolom yang lain, maka
) ( det ) (
det B A . Bukti:
Misalkan
d c
b a
A dan
d c
kd b kc a
B .
Maka
bc ad
kcd kcd bc
ad
kcd bc kcd ad
c kd b d kc a B
) (
) (
) (
) (
) ( ) ( ) ( det
) ( det A
. ■
Bukti:
Misalkan
1 0
0 1
I .
Maka
0 0 1 1 ) (
det I 1
. ■
7. Jika A matriks berordo 22, maka det(A)det(AT). Bukti:
Misalkan
d c
b a
A dan
d b
c a
AT .
Maka
cb ad
bc ad A
) ( det
) ( det AT
. ■
Teorema-teorema dasar di atas mengarahkan kita kepada definisi determinan dari matriks dengan ordo nn.
Definisi 2.21
1. Jika matriks B berordo nn diperoleh dari matriks A dengan cara mengalikan sebuah baris (kolom) dengan bilangan k, maka
) ( det )
(
det B k A .
2. Jika matriks B berordo nn diperoleh dari matriks A dengan cara menukar dua baris (kolom), maka
) ( det )
(
det B A .
3. Jika diketahui tiga matriks A1, A2 dan B yang mempunyai elemen-elemen yang sama kecuali pada baris (kolom) ke-i, dan elemen baris (kolom) ke-i dari matriks B merupakan jumlah dari elemen baris (kolom) ke-i dari matriks A1 dan A2, maka
) ( det ) ( det ) (
det B A1 A2 . 4. Determinan matriks identitas adalah 1.
5. Jika T
A
B , maka ) ( det ) (
det B A .
Teorema 2.10
Jika matriks A berordo nn memiliki dua baris (kolom) yang elemen-elemennya sama, maka
0 ) (
det A . Bukti:
Namun dengan Definisi 2.20(2) nilai determinannya berubah tanda, sehingga )
( det )
(
det A A . Maka 2det(A)0, sehingga det(A)0. ■
Teorema 2.11
Jika matriks B berordo nn diperoleh dari matriks A dengan cara sebuah barisnya (kolomnya) ditambah dengan k kali baris (kolom) A yang lain, maka
) ( det ) (
det B A . Bukti:
Misalkan
Maka dengan menggunakan definisi 2.20 sifat ke-3, diperoleh
det det
) ( det
det det
dengan menggunakan Teorema 2.10 diperoleh
). ( det det
0 . det
2
Teorema 2.12
Jika A adalah matriks bujursangkar yang memiliki baris (kolom) dengan semua elemennya 0, maka det(A)0.
Bukti:
Teorema 2.13
Jika A adalah matriks bujursangkar berordo nn, maka pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen.
a. Matriks A adalah taksingular.
b. Ax0 hanya mempunyai penyelesaian trivial.
c. Matriks A ekivalen baris dengan matriks Identitas In.
Bukti:
1. (ab)
Misalkan A adalah matriks taksingular, dan A1 merupakan invers dari matriks A. Misalkan xo adalah penyelesaian dari Ax0, berarti Axo 0.
Maka
. 0 0
0 .
0 . ) (
1 1
1 1
o o o o
x x I
A x A A
A x A A
2. (bc)
Misalkan sistem persamaan linear homogen (SPLH) Ax 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial. Matriks lengkapnya adalah sebagai berikut:
0 0 0
22 1
2 22
21
1 12
11
mn m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
. (3)
Karena SPLH tersebut hanya mempunyai penyelesaian trivial, maka matriks eselon baris tereduksi yang bersesuaian dengan (3) adalah:
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0
1
. (4)
Jika kolom terakhir dari matriks pada persamaan (4) disisihkan, maka dapat disimpulkan bahwa matriks A dapat direduksi menjadi In dengan sejumlah
operasi baris elementer. Jadi matriks A ekivalen baris dengan matriks Identitas .
n
I
3. (ca)
n k
kE E E A I
E 1 2 1 .
Karena matriks-matriks elementer adalah taksingular dan inversnya juga taksingular, maka
. 1 1 2 1 1
1 1
2 1 1
k n k
E E E
I E E
E A
Jadi A merupakan hasil kali matriks-matriks taksingular, sehingga dapat disimpulkan bahwa matriks A adalah taksingular. ■
Determinan matriks-matriks elementer tidak sama dengan nol, yaitu 0
)
det(Ei untuk i1,2,3.
1. Matriks elementer E1 adalah matriks yang diperoleh dengan menukar dua baris pada matriks I. Dengan menggunakan Definisi 2.20 diperoleh
. 0 1 ) det( )
det(E1 I
2. Matriks elementer E2 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta c yang taknol pada matriks I. Dengan menggunakan Definisi 2.20 diperoleh det(E2)cdet(I)c0.
Suatu metode yang dipakai dalam perhitungan determinan adalah metode ekspansi kofaktor, yang akan dijelaskan berikut ini.
Definisi 2.22
Misalkan A(aij) adalah matriks nn dan misalkan Mij adalah matriks )
1 ( ) 1
(n n yang diperoleh dari A dengan menghapus baris dan kolom yang mengandung aij. Maka det(Mij) disebut minor dari aij dan Cij (1)ijdet(Mij) disebut kofaktor dari aij.
Contoh:
4 1 3
6 5 6
8 4 1
A .
Dengan menghapus baris pertama dan kolom pertama, maka minor dari a11 adalah
26 4
1 6 5 )
det(M11 , dan kofaktor dari a11 adalah
. 26
) ( det
) ( det ) 1 (
11 11 1
1 11
Definisi 2.23
Jika Cij adalah kofaktor dari aij, maka
in in i
i i
iC a C a C
a1 1 2 2
disebut ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i, dan
nj nj j
j j
jC a C a C
a1 1 2 2
disebut ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j.
Teorema 2.14
Determinan dari matriks A yang berordo nn dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi kofaktor:
in in i
i i
iC a C a C
a
A) 1 1 2 2
det(
yaitu ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i, atau
nj nj j
j j
jC a C a C
a
A) 1 1 2 2
det(
yaitu ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j.
Lemma 2.15
Misalkan A adalah matriks berordo nn dan E matriks elementer berordo nn, maka det(EA)det(E)det(A).
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa teorema ini berlaku untuk semua kemungkinan matriks elementer, yaitu:
1. Misalkan E1 adalah matriks yang diperoleh dengan menukar dua baris pada matriks I. Menurut Definisi 2.20, maka det(E1)det(I)1. Misalkan A1 adalah matriks yang diperoleh dengan menukar dua baris pada matriks A, maka
1 1A A
E , dan det(A1)det(A), sehingga
) ( det ) ( det ) ( det ) 1 ( ) ( det )
( det ) (
det E1A A1 A A E1 A .
2. Misalkan E2 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta c yang taknol pada matriks I. Menurut Definisi 2.20,
c I c
E ) det( ) (
det 2 . Misalkan A2 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta c yang taknol pada matriks A, maka E2A A2, dan det(A2)cdet(A), sehingga
) ( det ) ( det ) ( det )
( det ) (
det E2A A2 c A E2 A .
diperoleh dengan mengganti baris ke-i dengan penjumlahan k kali dari baris ke-j dan baris ke-i pada matriks A, maka E3A A3, dan menggunakan Teorema 2.12,
) ( det ) (
det A3 A . Maka
) ( det ) ( det ) ( det 1 ) ( det ) ( det ) (
det E3A A3 A A E3 A .
Jadi terbukti jika A adalah matriks berordo nn dan E adalah matriks elementer berordo nn, maka det (EA)det(E)det(A). ■
Teorema 2.16
Suatu matriks bujursangkar A adalah taksingular jika dan hanya jika det(A)0.
Bukti:
1. Misalkan A adalah matriks taksingular. Menurut Teorema 2.13 matriks A ekivalen baris dengan I sehingga terdapat matriks elementer E1,E2,,Ek sedemikian sehingga EkE2E1AI. Dengan menggunakan Lemma 2.15
) ( det ) det( ) det( ) det( ) ( det
) ( det ) )(
det( ) ( det
) ( det ) det(
) ( det
) ( det ) (
det
1 1
1 2 2 1
1 2 1
1 2
I A
E E
E
I A
E E E
E E
I A
E E E E
I A
E E E
k k
k k k
k k
k
.
2. Misalkan det(A)0. Jika R adalah matriks eselon baris tereduksi yang diperoleh dari matriks A, maka terdapat matriks-matriks elementer E1,E2,,Ek sedemikian sehingga EkE2E1AR. Maka
) det( ) det( ) det( )
det(Ek E1 A R .
Karena det(Ei)0 untuk setiap i1,2,3 dan det(A)0, maka det(R)0. Andaikan RIn, maka R memiliki baris dengan semua elemennya 0, sehingga berdasarkan Teorema 2.12, det(R)0. Padahal det(R) 0, hal ini merupakan kontradiksi. Maka RIn. Jadi matriks A ekivalen baris dengan In, sehingga
berdasarkan Teorema 2.13 matriks bujursangkar A adalah matriks taksingular. ■
Teorema 2.17
Jika A dan B adalah matriks-matriks nn, maka det(AB)det(A)det(B).
Bukti:
. 1 1 FA R F
Fk k
Karena semua matriks elementer mempunyai invers, maka kesamaan tersebut dapat diubah menjadi
R E E E
A 1 2 k (5)
dimana 1
) ( i
i F
E , i1,2,,k. Dari persamaan (5) diperoleh
RB E E E
AB 1 2 k .
Dengan menggunakan Lemma 2.15, diperoleh
) (
det ) ( det ) ( det
) (
det ) ( det
) (
det ) ( det
3 2
1
2 1
2 1
RB E E E
E
RB E E E
RB E E E AB
k k
k
) ( det ) ( det ) ( det ) (
det E1 E2 Ek RB
. (6)
1. Jika matriks A singular, maka det(A)0. Perhatikan bahwa AB juga merupakan matriks singular (karena jika 1
)
(AB ada, maka 1 1 1 )
(AB B A , sehingga A pasti merupakan matriks taksingular). Maka det(AB)0. Karena det (A)0 dan det(AB)0, maka persamaan det(AB)det(A)det(B)berlaku.
k k
E E E
I E E E A
2 1
2 1
dan RB IB B, sehingga persamaan (6) menjadi
) ( det ) ( det ) (
det AB A B .
Kedua hal ini melengkapi bukti teorema diatas. ■
Teorema 2.18
Jika A adalah suatu matriks segitiga atas nn, atau matriks segitiga bawah nn, atau matriks diagonal nn, maka det(A) adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal utamanya.
Bukti:
Teorema ini akan dibuktikan dengan menggunakan Induksi Matematika. 1. Untuk n2,
misalkan
22 12 11 2
0 a
a a
A .
Maka
. 0 . )
( det
22 11
12 22 11 2
a a
a a a A
Jadi pernyataan tersebut benar untuk n2.
. det
)
Contoh:
. 1296 )
4 )( 9 )( 6 )( 3 )( 2 (
4 0 0 0 0
8 9 0 0 0
6 7 6 0 0
1 5 7 3 0
3 8 3 7 2
)
det(
62 BAB III POLINOMIAL
Dalam bab ini akan mengulang kembali beberapa hal mengenai pengertian-pengertian dasar polinomial yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Pembahasan ini meliputi definisi, teorema, dan beberapa hal penting lainnya dalam polinomial.
A. Pengertian Polinomial
Secara umum, polinomial didefinisikan sebagai sebuah ekspresi berbentuk
n n n
n x a x
a x
a x a x
a0 0 1 1 2 2 1 1
dimana x adalah variabel,
a
0, a1,…, anadalah bilangan real, dan n adalah bilanganbulat taknegatif.
Pada umumnya, polinomial dilambangkan dengan simbol seperti P(x), )
(y
Definisi 3.1
Monomial adalah sebuah bilangan konstan, sebuah pangkat dari suatu variabel,sebuah hasil kali, yang masing masing faktornya merupakan suatu bilangan konstan atau suatu variabel.
Contoh monomial: 9 , 2 , x 2
3x , 4 , y 5xy, 2 3 30ab c .
Definisi 3.2
Setiap monomial disebut suku. Bilangan konstan pada suatu monomial yang berada bersama variabel disebut koefisien monomial.
Contoh:
Koefisien dari 2
x adalah 1 karena 2 2 . 1 x
x . Koefisien dari 4 adalah y 4. Dan koefisien dari 2 3
30ab c adalah 30 .
Ada monomial yang hanya melibatkan satu variabel, misalnya 3x2. Ada pula monomial yang melibatkan dua atau lebih variabel, misalnya 2
5xy . Jika suatu monomial hanya melibatkan satu buah variabel saja, misalkan variabel x, maka monomial itu disebut monomial dalam x .
bilangan rasional. Dan begitu pula dengan koefisien bilangan real, monomial itu disebut monomial dengan koefisien bilangan real.
Contoh:
Monomial 4 , x 2 3x , 3
10x adalah monomial dalam x dengan koefisien bilangan bulat. Monomial 0,3y adalah monomial dalam y dengan koefisien bilangan rasional atau real.
Derajat monomial dalam satu variabel adalah pangkat dari variabel monomial tersebut.
Contoh: Suku 2
3x adalah monomial berderajat dua, dan suku 3
4x adalah monomial berderajat tiga. Monomial 3x2 adalah monomial berderajat dua dalam x dengan koefisien bilangan bulat.
Definisi 3.3
Polinomial yang terdiri dari jumlahan dua buah monomial disebut binomial. Polinomial yang terdiri dari jumlahan tiga buah monomial disebut trinomial.
Contoh:
Definisi 3.4
Polinomial adalah sebuah monomial atau jumlahan dari monomial. Contoh:
x
10 , 2x2 3x4
, dan 5xy6. Polinomial 5xy6 dapat juga dinyatakan sebagai penjumlahan, karena 5xy65xy(6).
Jika semua koefisien dari setiap monomial di dalam suatu polinomial dan suku konstan adalah bilangan bulat, maka polinomial itu disebut polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Jika semua koefisien dan suku konstan adalah bilangan rasional, maka polinomial itu disebut polinomial dengan koefisien bilangan rasional. Demikian pula untuk koefisien bilangan real disebut polinomial dengan dengan koefisien bilangan real.
Contoh: 6 3 2
x
x adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat.
7 2 1 3
x
x adalah polinomial dengan koefisien bilangan rasional.
5 4
1
2xy xy adalah polinomial dengan koefisien bilangan real.
Definisi 3.5
Contoh:
11 7
2x3 x2 x adalah polinomial dalam x.
Polinomial dalam y atau dalam variabel lainnya dapat didefinisikan dengan cara yang sama.
Contoh: 2 4 2
3 t t merupakan polinomial dalam t.
Derajat pada polinomial adalah derajat tertinggi dari monomial-monomialnya. Derajat polinomial 2
4 2
3 t t adalah dua, karena derajat monomial 2
4t
(yaitu dua) adalah derajat tertinggi dari monomial-monomialnya.
Definisi 3.6
Bentuk polinomial axb, dimana a 0 dan a dan b adalah bilangan real, disebut polinomial dalam x berderajat satu. Bentuk axb disebut bentuk umum untuk jenis polinomial ini.
Contoh:
Binomial 3x2, 8 4 1
x , dan 6x6 merupakan polinomial dalam x berderajat
