Oleh, Dini Indriani
142151234
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SILIWANGI 2015
MODULER PRIMA
Dalam mata kuliah Teori Bilangan kita pasti mengenal istilah aritmatika moduler, bahkan istilah itu sudah tidak asing lagi khususnya bagi mahasiswa pendidikan matematika pada semester kedua, karena disetiap pembahasan materinya kata moduler selalu diikut sertakan dalam menyelesaikan permasalahan disetiap bab nya. Untuk itu marilah kita bahas apa itu aritmatika moduler dan bagaimana menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan aritmatika moduler.
Aritmatika moduler (kadang juga disebut aritmatika jam) adalah sistem aritmatika untuk bilangan bulat dimana kedua bilangan bulat dioperasikan sampai mencapai nilai tertentu, yaitu modulus (sisa) atau juga merupakan bilangan sisa dari suatu pembagian bilangan bulat. Aritmetika modulo diperkenalkan pertama kali oleh Carl Friedrich Gaus dalam bukunya “Disquistiones Arithmaticae” yang dipublikasikan pada tahun 1801.
Gambar 1. Carl Friedrich Gaus
Gambar 2. Cover Buku
Disquistiones Arithmaticae
Dalam hal ini aritmatika akan diikut sertakan untuk menemukan sisa pembagian dari bilangan yang
tidak habis dibagi oleh suatu bilangan prima yang kurang dari 50, Karena jika hanya berfokus pada ciri-ciri bilangan yang habis dibagi oleh bilangan prima maka ketika kita mengetahui ciri-cirinya, kita hanya akan mendapatkan jawaban iya atau tidak. Lantas bagaimana jika diperjalanan kita menemukan bilangan yang tidak habis dibagi oleh bilangan prima, berdasarkan ciri-ciri tadi kita hanya bisa mendapatkan jawaban tidak tanpa kita tahu berapa sisa pembagiannya. Namun sebelum itu akan dibahas terlebih dahulu ciri-ciri bilangan yang habis dibagi oleh bilangan prima kurang dari 50.
a. Bilangan habis dibagi 2
Semua bilangan habis dibagi dua jika bilangan yang diwakili oleh angka terakhirnya genap.
Bukti: misalkan bilangan tersebut adalah ( ) ( ) .
Supaya habis dibagi 2, maka haruslah b habis dibagi 2.
Contoh 1 :
Apakah bilangan 567 habis dibagi 2 ? jika tidak berapakah sisa pembagiannya ?
Jawab :
567 tidak habis dibagi 2 karena bilangan yang diwakili angka terakhirnya ganjil.
Untuk mengetahui sisa pembagiannya maka disinilah saatnya menggunakan aritmatika moduler. Karena pembaginya 2 maka 2 merupakan modulo, oleh karena itu untuk sisa pembagiannya antara 0 dan 1. Sehingga kita bisa membuat hubungan seperti ini :
= 37 = 40 – 37 = 2 3 ( ) ( )
Maka sisa pembagian dari 567 : 2 adalah 1 atau bisa ditulis dalam bentuk 567 ( )
Ada keistimewaan tersendiri dari bilangan yang tidak habis dibagi dua karena untuk mencari sisa pembagianya tidak perlu menggunakan cara diatas karena sudah pasti sisa pembagiannya 1, karena angka yang diwakili oleh angka terakhirnya ganjil.
sedangkan 0 hanya digunakan untuk bilangan yang habis dibagi 2 yaitu dengan ciri angka yang diwakili oleh angka terakhirnya genap.
b. Bilangan habis dibagi 3
Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah bilangan yang diwakili oleh angka-angkanya habis dibagi 3.
Contoh 1:
Apakah bilangan 3456 habis dibagi 3? jika tidak berapa sisa pembagiannya?
Jawab :
3456 = 3+4+5+6 =3|18
Ternyata 18 habis dibagi 3 maka 3456 habis dibagi 3. sehingga sisa pembagiannya 0.
Contoh 2:
Apakah 1234 habis dibagi 3? Jika tidak berapa sisa pembagiannya ?
Jawab:
1234 = 1+2+3+4 = 10
Untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu menggunakan aritmatika moduler, dengan 3 sebagai
modulernya karena beperan sebagai pembagi, sehingga dibuat hubungan seperti berikut : 10 ( )
10 ( )
Untuk sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 3, sama dengan sisa pembagian jumlah digit angka bilangan awal.
Maka sisa pembagian dari 1234 : 3 sama dengan sisa pembagian 10 : 3 adalah 1 atau bisa di tulis dalam bentuk ( ) atau ( )
Contoh 3:
Apakah 56789 habis dibagi 3? Jika tidak berapa sisa pembagiannya?
Jawab:
56789 = 5+6+7+8+9 = 35 3
Untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu menggunakan aritmatika moduler, dengan 3 sebagai modulernya karena beperan
sebagai pembagi, sehingga dibuat hubungan seperti berikut : 35 ( )
35 ( )
56789 tidak habis dibagi 3 dengan sisa pembagian 2.
c. Bilangan habis dibagi 5
Suatu bilangan habis dibagi 5 jika angka paling kanan dari bilangan tersebut adalah 5 atau 0.
Contoh 1:
Apakah 12345 dan 123567 habis dibagi 5 ? jika tidak tentukan sisa pembagiannya?
Jawab:
12345 habis dibagi 5 karena angka paling kanan nya adalah 5 sesuai dengan ciri bilangan habis dibagi 5.
1234567 tidak habis dibagi 5 karena angka terakhirnya bukan 0 maupun 5. Adapun untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu ada 2 cara untuk bilangan yang tidak habis dibagi 5, yaitu : 1. Jika angka terakhirnya
maka sisa pembagiannya yaitu angka terakhir itu sendiri.
2. Jika angka terakhirnya lebih dari 5 maka sisa pembagiannya yaitu angka terakhir dikurangi 5.
d. Bilangan habis dibagi 7
Bilangan habis dibagi 7 jika bilangan kelipatan 7 mendekati angka awal tetapi lebih dari angka awal kemudian dikurangi angka awal, jika hasilnya habis membagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7.
Contoh 1 :
Apakah 100 dan 123 habis dibagi 7 ? jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab: 100 : 7 = 140 – 100 = 40 = 70 – 40 = 30 = 35 – 30 = 5 5 ( ) 5 ( ) 7 – 5 = 2
Sisa dari (100 : 7) yaitu 2 atau bisa ditulis sebagai 100 ( )
123 : 7 = 70 + 35 + 18 70 ( )
35 ( ) 18 = 4 (mod 7) Sisa nya, 0+0+4 = 4
Sisa pembagian dari 123:7 yaitu 4 atau bisa ditulis ,
123 ( )
e. Bilangan habis dibagi 11
Suatu bilangan habis dibagi 11 jika pada bilangan tersebut jumlah bilangan yang diwakili oleh angka pada tempat ganjil (dihitung dari sebelah kanan) dikurangi dengan jumlah bilangan yang diwakili oleh angka-angka pada tempat genap habis dibagi 11. 12345678=(8+6+4+2)-(7+5+3+1) = 20 – 16 = 4 11 4 ( ) 4 ( )
Ternyata 12345678 tidak habis dibagi 11 dengan sisa pembagian 4 atau bisa ditulis 12345678 ( ).
f. Bilangan habis dibagi 13
Bilangan habis dibagi 13 jika bilangan kelipatan 13 mendekati angka awal tetapi lebih dari angka awal kemudian dikurangi angka awal, jika hasilnya habis
membagi 13 maka bilangan awal habis dibagi 13.
Contoh 1:
Apakah 2613, 100003, 655 habis dibagi 13 ? jika tidak berapa sisa pembagiannya ?
Jawab :
2613 : 13 = 2600 + 13 -2613 = 0 habis dibagi 13 Sehingga 2613 habis dibagi 13
100003 = 500 ( ) 500 = = 12 = 24 ( ) 200 ( ) 200 = = = 5 Sisa = 58 ( )
100003 tidak habis dibagi 13 dengan sisa pembagian 7 atau bisa ditulis 100003 ( ) 655 = 650 + 13 – 655 = 8 13 8 ( ) 8 ( ) 13 – 8 = 5
655 tidak habis dibagi 13 dengan sisa pembagian 5.
g. Bilangan habis dibagi 17 jika FPB dari bilangan itu dengan 17 adalah 17 maka bilangan itu habis dibagi 17, atau bisa menggunakan cara pengurangan kelipatan 17 dengan bilangan itu.
Mencari FPB yang digunakan adalah menggunakan aturan Algoritma Stein, yaitu aturan ganjil genap.
1. Jika kedua bilangan ganjil, Misalkan( ) dengan maka ( ) ( )
2. Kedua bilangan genap Misalkan ( ) ( ) 3. jika bilangan ganjil dan genap
misalkan ( ) dengan u genap dan v ganjil maka,( ) ( )
Contoh :
Apakah bilangan 357 habis dibagi 17? Jika tidak berapa sisa pembagiannya?
Jawab :
Menggunakan cara dengan mencari FPB dari (357, 17) (357,17) = ( ) = (170, 17) = (85, 17) = (34, 17) = (17, 17 )
Ternyata FPB dari 357 dan 17 adalah 17 sehingga bilangan itu habis dibagi 17.
Tetapi cara menggunakan FPB kurang efektif untuk bilangan prima karena tidak mengetahui sisa pembagiannya jika bilangan itu tidak habis dibagi.
h. Bilangan habis dibagi 19 Bilangan habis dibagi 19 jika FPB dari bilangan itu dengan 19 adalah 19 maka bilangan itu habis dibagi 19, atau bisa menggunakan cara pengurangan kelipatan 19 dengan bilangan itu.
Contoh ;
Apakah bilangan 10045 dan 2381 habis dibagi 19? Jika tidak berapa sisanya ?
Jawab ;
Disini kita menggunakan cara pada catatan poin 2 karena yang diminta dari soal selain menjawab habis dibagi atau tidak tetapi juga diminta untuk menjawab sisa pembagiannya, karena jika menggunakan cara
FPB tidak langsung mengetahui sisa pembagiannya. 10045 =19000-10045 = 8955 = 9500 – 8955 = 545 = 570 – 545 = 25 = 38 – 25 = 13 19 Maka bilangan 10045 tidak habis dibagi 19 dengan sisa pembagiannya 13 sesuai dengan cara pada catatan poin 2.
i. Sisa pembagian Bilangan tidak habis dibagi 23.
Sama seperti cara pada bilangan prima yang sebelumnya, sekarang bisa langsung diaplikasikan kepada contoh soal karena 23 merupakan bilangan prima. Contoh :
Apakah 1578 habis dibagi 23 ?jika tidak berapa sisanya ? Jawab : 1. 1578 = 2300 – 1578 = 722 = 920 – 722 = 198 = 230 – 198 = 32 = 46 – 32 = 14 23
Bilangan 1578 tidak habis dibagi 23 dengan sisa 14. j. Bilangan habis dibagi 29 56098 = 58000 – 56098 = 1902 = 2900 – 1902 = 998 = 1450 – 998 = 452 = 725 – 452 = 273 = 290 – 273 = 17 29 29 – 17 = 12
56098 tidak habis dibagi 29 dengan sisa 12
k. Sisa pembagian Bilangan tidak habis dibagi 31. FPB(12345,31) = (12345, 31) = (6157, 31) = (3063, 31) = (3032, 31) = (1516, 31) = (758, 31) = (379, 31) = (174, 31)
= (87, 31) = (28,31) = (7, 31) = (7, 3) = (1,1)
Maka 12345 tidak habis dibagi 31 karena FPB nya 1. Namun cara ini tidak menandakan sisa pembagian karena 31 merupakan bilangan prima.
Untuk mengetahui sisa pembagiannya bisa menggunakan cara pada poin-poin pada catatan. Disini kita menggunakan cara pada poin 2. 12345 = 15500 – 12345 = 3155 = 7750 – 3155 = 4595 = 6200 – 4595 = 1605 = 3100 – 1605 = 1495 = 1550 – 1495 = 55 = 62 – 55 = 7 31 Sisa pembagiannya 7 .
l. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 37
Suatu bilangan habis dibagi 37 jika bilangan itu dipisahkan tiga digit tiga digit dari belakang kemudian jika jumlah dari bilangan yang telah dipecah tadi bernilai bilangan berulang kelipatan tiga digit maka bilangan tersebut habis dibagi 37 atau bisa menggunakan FPB dari bilangan itu dengan 37 jika FPB nya bilangan prima itu sendiri maka bilangan tersebut habis dibagi 37. Contoh 1 :
Apakah 179825 habis dibagi 37 ? jika tidak berapa sisa pembagiannya ? Jawab : 1798258 = 001 + 798 + 258 = 1057 = 001+057 = 58 37 58 ( ) 58 ( )
Sehingga sisa pembagiannya 21. Contoh 2 :
Apakah 2345 habis dibagi 37 ? jika tidak berapa sisa pembagiannya ?
2345 = 002 + 345 = 347 = 3 + 4 +7
= 37 14 14 ( ) 14 ( )
Sehingga 2345 tidak habis dibagi 37 dengan sisa pembagian 14.
m. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 41
Contoh : 2341 = 4100 – 2341 = 1759 = 2050 – 1759 = 291 = 410 – 291 = 119 = 205 – 119 = 86 41 86 ( ) 86 ( )
Karena 86 tidak habis dibagi 41 maka 2341 tidak habis dibagi 41 sehingga didapat sisa pembagiannya 4
n. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 43
Contoh : 546 = 860 – 546 = 314 = 430 – 314 = 116 = 215 – 116 = 43 99 99 ( ) 99 ( ) 43 – 13 = 30
Karena 99 tidak habis dibagi 43 maka 546 tidak habis dibagi 43 sehingga didapat sisa pembagiannya 30. Contoh 2 : 4352 = 4300 + 52 4300 ( ) 52 ( ) Sisa pembagiannya = 0 + 9 = 9 Karena 52 tidak habis dibagi 43
maka 4352 tidak habis dibagi 43 sehingga didapat sisa pembagiannya 9.
o. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 47
Contoh : 234 = 470 – 234 = 236 = 235 – 236 = (-1) 47 -1 ( ) ( )
Karena (-1) tidak habis dibagi 47 maka 234 tidak habis dibagi 47
sehingga didapat sisa pembagiannya 46. Contoh 2: 546 = 940 – 546 = 394 = 470 – 394 = 76 47 (76) ( ) (76) ( )
Karena 76 tidak habis dibagi 47 maka 546 tidak habis dibagi 47 sehingga didapat sisa pembagiannya 29.
Adapun cara lain untuk mengetahui sisa pembagian bilangan prima 19 yaitu menggunakan aturan aritmatika modulo.
Langkah-langkahnya :
1. Jika terdiri dari dua angka, pisahkan satu angka dari kiri dan tambahkan dengan 2 kali angka dari kanan, kemudian jika hasinya kurang dari modulo dan genap maka hasilnya dibagi 2 setelah dibagi 2 maka hasilnya sama dengan sisa pembagiannya. Jika setelah penjumlahan tadi hasilnya ganjil maka bilangan itu di tambah modulo dikurangi ganjil dibagi 2 hasilnya sama dengan sisa pembagiannya.
2. Jika terdiri dari 3 angka atau lebih maka lakukan cara diatas dengan memisahkan dua angka dari kiri kemudian lanjutkan seperti cara diatas setelah mendapatkan sisa dari penguraiandua angka dari kiri maka sisanya dibuat sebagai puluhan dan satuannya yaitu angka setelah yang dipisahkan tadi. Lakukan langkah itu sampai angka terakhir bilangan yang akan dibagi.
Contoh yang terdiri dari dua angka:
Tentukan sisa pembagian dari 98 dibagi 19 ?
Jawab:
98 = 9 + 2(8) = 25 ( )
Karena 6 adalah genap maka sisa pembagiannya 6 dibagi 2 yaitu 3. Contoh yang terdiri dari 3 angka : Tentukan sisa pembagian dari 978 dibagi 19 ?
Jawab:
Karena terdiri dari 3 angka maka ambil dua angka dari kiri dan cari sisanya,
97 = 9 + 2(7) = 23 ( )
Karena angka 4 genap maka 4 dibagi 2 hasinya 2.
Kemudian hasilnya dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 8.
28 = 2 + 2(8) = 18
( )
Karena 18 genap maka 18 dibagi 2 hasilnya 9 dan 9 adalah sisa dari 978 dibagi 19.
Contoh yang terdiri dari 6 angka : Tentukan sisa pembagian dari 178235 dibagi 19 ?
Jawab :
Seperti halnya pada contoh yang terdiri dari tiga angka maka pisahkan dua angka dari kiri, karena dalam soal diatas dua angka dari kiri adalah 17 dan ( ) maka ambil tiga angka dari kiri terlebih dahulu.
178 = 17 + 2(8) = 33
( )
14 Diperoleh dari 33 dikurangi 19 atau bisa menggunakan cara seperti berikut,
33 = 3 + 2(3) = 9
( )
Karena 9 ganjil maka modulo dikurangi 9 kemudian hasilnya di bagi 2 selanjutnya jumlahkan dengan 9.
19 – 9 = 10 = = 5 9 + 5 = 14
Karena 14 genap maka 14 dibagi 2 hasilnya 7.
Setelah diketahui sisanya 7 kemudian dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 2.
72 = 7 + 2(2) = 11
( ) Karena 11 ganjil maka, 19 – 11 = 8 = = 4 11 + 4 = 15
Setelah diketahui sisanya 15 kemudian dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 3.
153 = 15 + 2(3) = 21 ( )
Setelah diketahui sisanya 1 kemudian dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 5.
Dalam hal ini tidak perlu diuraikan kembali karena 15 masih anggota dari modulo.
( )
Karena tidak ada lagi bilangan yang belum diuraikan maka sisa pembagiannya adalah hasil terakhir yaitu 15.
Catatan :
1. untuk bilangan kelipatan yang digunakan untuk dikurangi bilangan awal jika kelipatannya mengikuti pendekatan kelipatan modulo dari digit depan pada bilangan awal maka sisa pengurangan merupakan sisa pembagian bilangan awal,
2. jika menggunakan pola pendekatan kelipatan modulo yang dibagi 2 dari setiap bilangan sisa, jika tidak habis dibagi 2 maka menggunakan kelipatan 13 itu sendiri tetapi tidak begitu mendekati bilangan awal maka untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu dengan
mengurangkan modulo dengan sisa pengurangan bilangan awal. 3. Jika bilangan awal menggunakan
kelipatan yang nmendekati sekali bilangan awal maka sisa pengurangannya merupakan sisa pembagian bilangan awal dengan prima.
4. Jika yang digunakan adalah perkalian atau penjumlahan maka hasil dari perkalian dan penjumlahan itu merupakan sisa pembagiannya.
Manfaat dari moduler prima ini yaitu untuk mengetahui sisa pembagian untuk bilangan yang tidak habis dibagi bilangan prima tanpa harus menggunakan pembagian secara manual, yaitu dengan menggunakan metode pendekatan dari bilangan yang akan dibagi adapun untuk mengetahui bilangan yang habis dibagi atau tidak maka bisa menggunakan FPB jika FPB nya 1 maka bilangan itu tidak habis dibagi oleh bilangan prima.
DAFTAR PUSTAKA Anonim. [Online]. Tersedia:
https://www.google.co.id/se arch?q=buku+disquisitiones +arithmeticae&newwindow =1. [26 juni 2015]
Hakim, Arnaz Maliku. [Online]. Tersedia:https://zanragtg.wo rdpress.com. [19 juni 2015] Hoca, Senol. [Online]. Tersedia:
https://m.youtube.com/watc h?v=KGOI_y9LUfA. [19 juni 2015]
Nngermanto, Agus . [Online]. Tersedia:
https://m.youtube.com/watc h?v=7hH0liKUDN0.[19 juni 2015]
Sihabudin. [Online]. Tersedia: https://asimtot.wordpress.co m/2010/05/03/modulo-dan-kongruensi/.[20 juni2015]
