Edisi 6 Pebruari Pekan Ke-2, 2010 Nomor Soal: 51-60

(1)

1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 6

Pebruari Pekan Ke-2, 2010

Nomor Soal: 51-60

51. Perhatikan bentukn



n1



an_₁n



n1



an



n2



an_₁, untuk setiap bilangan bulat positif n1.

Kita dapatkan bahwa

2 0 0 2

Ini menunjukkan bahwa 1 ! n

a n

 , n1_{, dan dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi. Jika}

1

Perhatikan digram berikut ini.

3 7 13 21 31 …

4 ₆ ₈ ₁₀

(2)

2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

Jadi, nilai dari 687 500 Hitunglah jumlah

(3)

3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

dan seterusnya

sehingga n a

54. Berapa banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang tidak habis dibagi 2 maupun 3?

Solisi:

Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 adalah 200, 201, 202, …, 700. 200

Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 adalah 501.

Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 adalah 200, 202, …, 700. 200

Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 adalah 251.

(4)

4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 3 adalah 167.

Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 (habis dibagi 6) adalah

204, 210, 216, …, 666. 204



a _,b₂₁₀₂₀₄₆_{, dan} ₆₉₆

n

u



n



b a

u_n   ₁



1



6 204

696  n

198 6 696 n

498 6n

83

 n

Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 adalah 83.

Dengan demikian, banyak bilangan dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 adalah 501 – 251 – 167 + 83 = 166.

55. Berapa banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, atau 5?

Solusi:

Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi.

Misalnya n

 

A _{adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2.}

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 200, 202, 204, …, 500 . 200



a _,b₂₀₂₂₀₀₂_{, dan} ₅₀₀

n

u



n



b a

u

n   1



1



2 200

500  n

198 2 500 n

302 2n

151

 n

Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 adalah 151, sehingga

 

A 151

n _.

Misalnya n

 

B _{adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3.}

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 201, 204, 207, …, 498 . 201



a _,b₂₀₄₂₀₁₃_{, dan} ₄₉₈

n

u



n



b a

u

n   1



1



3 201

498  n

198 3 498 n

300 3n

100

 n

 

B 100

n _.

Misalnya n

 

C _{adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 5.}

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 200, 205, …, 500. 200



a _,b₂₀₅₂₀₀₅_{, dan} ₅₀₀

n

u



n



b a

u

n   1



1



5 200

500  n

195 5 500 n

305 5n

61

(5)

5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

 

C 61

n _.

Misalnya n



AB



_{adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 3}

(atau habis dibagi 6) adalah

Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah 204, 210, …, 498. 204



a _,b₂₁₀₂₀₄₆_{, dan} ₄₉₈

n

u



n



b a

u_n   ₁



1



6 204

498  n

198 6 498 n

300 6n

50

 n

Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 3 adalah 50, sehingga



AB



50

n _.

Misalnya n



AC





a _,b₂₁₀₂₀₀₁₀_{, dan} ₅₀₀

n

u



n



b a

u

n   1



1



10 200

500  n

190 10 500 n

310 10n

31

 n



AC



31

n _.

Misalnya n



BC





a _,b₂₂₅₂₁₀₁₅_{, dan}u_n ₄₉₅



n



b a

u_n   ₁



1



15 210

495  n

195 15 495 n

300 15n

20

 n



BC



20

n _.

Misalnya n



ABC



_{adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3,}

dan 5 (atau habis dibagi 30) adalah



a _,b₂₄₀₂₁₀₃₀_{, dan}u_n₄₈₀



n



b a

u_n   ₁



1



30 210

480  n

(6)

6 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

300 30n

10

 n

Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, dan 5 adalah 10, sehingga



ABC



10

n _.

Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, atau 5 adalah



A B C

       

n A nB nC n A B

 

n A C

 

nB C

 

n A B C



n              

221 10 20 31 50 61 100

151      

 .

56. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?

Solusi:

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 . Barisan ini dapat ditulis sebagai 31,32,33,34,...,3333. Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333.

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333. Dari barisan tersebut diketahui a3_,n₃₃₃_{, dan} ₉₉₉

333

u u

n



n



n a u

n

S  

2



3 999



166833 2

333

333  

S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.

Bilangan-bilangan dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2 (atau habis dibagi 6) adalah

6, 12, 18, 24, …, 996

Barisan ini dapat ditulis sebagai 61,62,63,64,...,6166

Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166. Dari barisan tersebut diketahui a6_,n₁₆₆_{, dan} ₉₉₆

166

u u_n



n



n a u

n

S  

2



6 996



83.166 2

166

166  

S

Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2 adalah 333 – 166 = 167. Sedangkan jumlahnya adalah 166.833 – 83.166 = 83.667. 57. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2? Berapakah jumlah

bilangan-bilangan tersebut?

Solusi:

Misalnya n

 

A 333

n _.

Dari barisan tersebut diketahui a3_,n₃₃₃_{, dan} ₉₉₉

333

(7)

7 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010



n



n a u

n

S  

2



3 999



166833 2

333

333  

S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833. Misalnya n

 

B 500

n _.

Dari barisan tersebut diketahui a2_,n₅₀₀_{, dan} ₁₀₀₀

500

u u_n



n



n a u

n

S  

2



2 1000



250.500 2

500

500  

S

Misalnya n



AB



6, 12, 18, 24, …, 996



AB



166

n _.

Dari barisan tersebut diketahui a6_,n₁₆₆_{, dan} ₉₉₆

166

u u_n



n



n a u

n

S  

2



6 996



83.166 2

166

166  

S

Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2 adalah



A B

     

n A nB n A B



n      ₃₃₃₅₀₀₁₆₆₆₆₇

Jumlahnya adalah 166.833 + 250.500 – 83.166 = 334.167

58. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibadi 4 dan 7? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?

Solusi:

Bilangan-bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 (habis dibagi 28) adalah 28,

56, 84, …, 700.

28



a _,b₅₆₂₈₂₈_{, dan} ₇₀₀

n

u



n



b a

u

n   1



1



28 28

700  n n

28 700

25

 n

(8)

8 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

Dari barisan tersebut diketahui a28_,n₂₅_{, dan} ₇₀₀

25

u u_n



n



n a u

n

S  

2



28 700



9.100 2

25

25  

S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 adalah 9.100.

59. Berapakah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?

Solusi:

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333. Dari barisan tersebut diketahui a3_,n₃₃₃_{, dan} ₉₉₉

333

u u_n



n



n a u

n

S  

2



3 999



166833 2

333

333  

S

Bilangan-bilangan dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2 (atau habis dibagi 6) adalah

6, 12, 18, 24, …, 996

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166. Dari barisan tersebut diketahui a6_,n₁₆₆_{, dan} ₉₉₆

166

u u

n



n



n a u

n

S  

2



6 996



83.166 2

166

166  

S

Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2 adalah 333 – 166 = 167. Sedangkan jumlahnya adalah 166.833 – 83.166 = 83.667. 60. Berapakah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2? Berapakah

jumlah bilangan-bilangan tersebut?

Solusi:

Misalnya n

 

A 333

n _.

Dari barisan tersebut diketahui a3_,n₃₃₃_{, dan} ₉₉₉

333

u u_n



n



n a u

n

S  

(9)

9 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010



3 999



166833

2 333

333  

S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833. Misalnya n

 

B 500

n _.

Dari barisan tersebut diketahui a2_,n₅₀₀_{, dan} ₁₀₀₀

500

u u

n



n



n a u

n

S  

2



2 1000



250.500 2

500

500  

S

Misalnya n



AB



6, 12, 18, 24, …, 996



AB



166

n _.

Dari barisan tersebut diketahui a6_,n₁₆₆_{, dan} ₉₉₆

166

u u_n



n



n a u

n

S  

2



6 996



83.166 2

166

166  

S

Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2 adalah



A B

     

n A nB n A B



n      ₃₃₃₅₀₀₁₆₆₆₆₇