Edisi 8 Pebruari Pekan Ke-4, 2007 Nomor Soal: 71-80

1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 8

Pebruari Pekan Ke-4, 2007

Nomor Soal: 71-80

72. Jika n _{adalah bilangan asli sehingga}

11

Kita sederhanakan pembilang dan penyebut ruas kiri,

2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Bentuk barisan ini dinamakan barisan aritmetika tingkat 1 (level 1).

3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Dengan demikian,

Sehingga diperoleh

  

  

3 2

a b a

3



a  ab₂

3b2 b1

Suku ke-n _adalah u_n ₃n_1.

Jadi, un₂ 3



n2



 1 3n5

75. Diberikan barisan a1,a2,a3,...memenuhi relasi an2an1andan a2 2. Jika jumlah dari 1996

suku pertama adalah 2000, ,maka jumlah dari 2000 suku pertama adalah ….

A.1996 B. 1994 C. 1990 D. 1994 E. 1996 Solusi: [D]





3 2 1 1 1

n n n n n n n

a _ a _ a _  a _ a a _  a

(Ilustrasi: a₄ a_1, a₅a_3, a₆a_{3, dan sebagainya)}

Berdasarkan uraian di atas, maka kita mudah memahami bahwa jumlah enam suku berturutan sebarang adalah 0. Karena a22, maka

1996 3

2

1 ...

2000a a a  a

4 3 2 1

2000a a a a

3 2

2000a a

3

2 2000 a

1998

3

a

1996 1998

2

3 2

1a a   

a

1994 2

1996 ... 2000 1 2

3 2

1a a  a a a   

a

76. Suku ke-ndari barisan 4, 12, 26, 46, 72, 104, … adalah u_{n. Nilai dari}

40 30 ....

u u 

A.2.900 B. 2.100 C. 2.090 D. 2019 E. 1.900 Solusi: [C]

Misalnya suku ke-n _adalah u_n an2bnc

Bentuk barisan ini dinamakan barisan aritmetika tingkat 2 (level 2).

1

u

2

u

3

u

4

u

5

u …

2 5 8 11 14

3 3 3 3

a

2 ₂a ₂a

u1 u2 u3 u4 u5 …

abc 4a2bc 9a3bc 16a4bc

c b a₅ 

25

b a

4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Dengan demikian,

Sehingga diperoleh

    

  

  

6 2

8 3

4

a b a

c b a

6

2a  a₃

3



a  ₃ab₈

33b8 b891

3



a _dan b₁ abc₄

31c4 c422 Suku ke-n _adalah u_n ₃n2n_2.

Jadi, u₄₀u₃₀ 3 40240 2 3 30   230 2 _{3 40}



2₃₀2



₁₀ _{3 70 10 10}  _2.090

77. Jumlah dari 123252 ...



2n1



2 _{dinyatakan sebagai} 1n bn



₁



cn ₁



a   . Nilai dari

....

c

b

a 

A.7 B. 12 C. 27 D. 64 E. 81 Solusi: [E]

Gunakan rumus:



1



2 1



6

1 ...

3 2

12 2 2 n2  nn n

 

2



2 1



4 1



6 1 2 ... 3 2

12 2 2  n 2   n n n



_{2 1}



_{4 1}



3 1

   n n n

 







1



2 1



6 4 ...

3 2 1 2 2 ... 6 4

22 2 2  n 2  2 2 2 2 n2  nn n



₁



_{2 1}



3

2 _{ }

 n n n

 2 2 2





2

1 2 ... 5 3

1     n















_{2 1}



_{4 1 2 2}



3 1 1 2 1 3 2 1 4 1 2 3

1 _{         }

 n n n n n n n n n n



2 1



2 1



3

1 _{ }

 n n n 1n bn



₁



cn ₁



a

  

Karenanya a3 _dan b c _2.

Jadi, nilai dari 322 81

c

b

a   _.

78. Suku ke-ndari barisan 9, 35, 101, 225, 425, 719, … dinyatakan sebagai u_n an3bn2cnd_.

Nilai dari a   b c d ....

A.11 B. 10 C. 9 D. 8 E. 7 Solusi: [C]

6 6 6

u1 u2 u3 u4 u5 …

4 12 26 46 72

5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Misalnya suku ke-n _adalah u an bn cn d

n    

2 3

Bentuk barisan ini dinamakan barisan aritmetika tingkat 3 (level 3). Dengan demikian,

Sehingga diperoleh

      

  

  

   

18 6

40 2 12

26 3

7

9

a b a

c b a

d c b a

6a18 a₃

3



a  ₁₂a₂b₄₀

1232b40 2b40364 b2

3



a _dan b₂ ₇a₃bc₂₆

7332c26 c262161

3



a _, b_2dan c₁ abcd ₉

321d 9 d 945

Suku ke-n _adalah u_n ₃n3₂n2n₅ an3bn2cnd_.

Karenanya a3,b2,c 1,dand5_.

Jadi, nilai dari a       b c d 3 2 1 5 9_.

79. Jika





 

242

199

2 ... 6 4 2

1 2 ... 5 3 1

3 3

3 3

3 3

3 3

 

  

    

n n

, maka nilai dari 2000 n26n9 adalah ….

A.2004 B. 2005 C. 2006 D. 2007 E. 2008 Solusi: [D]

b

a ₂

12  ₁₈a₂b

u1 u2 u3 u4 …

abcd 8a4b2cd 27a9b3cd 64a16b4cd

c b a₃ 

7 ₁₉a₅bc ₃₇a₇bc

a

6

40 58 76

u1 u2 u3 u4 u5 …

9 35 101 225 425

26 66 124 200

6 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007





 

242

199

2 ... 6 4 2

1 2 ... 5 3 1

3 3

3 3

3 3

3 3

 

  

    

n n









242

199

1 2

1 2

2 2

2 2

 



n n

n n



₂ 2 ₁



₃₉₈



₁



2

242 n   n

398 796 398

242

484n2  n2 n

0 640 796

86n2 n 

0 320 398

43n2 n 



43n32



n10



0

43 32

 

n _{(ditolak) atau} n_10(diterima)

Jadi, nilai dari 2000 n26n 9 2000 102   6 10 9 2000 492007

80. Jika N _{menyatakan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 800 yang bersisa 1 jika dibagi 3. Jumlah}

angka-angka dari bilangan Nadalah ….

A.25 B. 20 C. 15 D. 14 E. 13 Solusi: [C]

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 1, 4, 7, 10, 13, …, 799. 1



a _, b₇₄_{3, dan} ₇₉₉

n

u



n



b a

u_n   ₁



1



3 1

799  n

2 3 799 n

801 3n

267



n

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 800 yang bersisa 1 jika dibagi 3 adalah 267. Dari barisan tersebut diketahui a1_, n_{267, dan 799}

333 u u_n



n



n a u

n

S  

2



1 799



106.800 2

267

267  

S

Sehingga N106.800_.