1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008
Solusi Pengayaan Matematika
Edisi 6
Pebruari Pekan Ke-2, 2008
Nomor Soal: 51-60
52. Gunakan data barisan geometri 1dan 4 1483
4 4
53. Barisan bilangan bulat positif, , didefinisikan rekursif sebagai dan
dan dan k adalah konstanta bulat positif. Jika a4adalah kuadrat sempurna
dan
80320
k
N
a
, tentukan jumlah angka-angka bilangan N tersebut.2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008
Solusi: [C]Pertama tulislah
22 1 1 1 1 1
a ka k k k k
2
3 23 2 1 1 1 1
a ka k k k k k k
3 2
4 3 24 3 1 1 1 1
a ka k k k k k k k k
Karena a4adalah kuadrat sempurna, maka ambillah 2
4
a
m
, sehingga4 3 2 2
1
k k k k m
4 3 2 2
1
k k k k m
Yang mengakibatkan
4 2
3
2 1k k k k m
2 2 2 2
1 1 1
k k k k m
2
2
1 1 1
k k k m m
Kita dapat mengasumsikan bahwa ada nilai k yang unik. Jika kita menganggap bahwa dua faktor yang diberikan adalah sama, kemudian mengambil perbedaan mereka untuk melihat bahwa
2
2
1 1 1
k k k m m
k
1
2
k
3
sehingga
a
3
3
3
3
2
3
1
40
selanjutnya, 80320 80320 2008 40
k
N a
Jadi, jumlah angka-angka bilangan N tersebut adalah 2 + 0 + 0 + 8 = 10.
54. Tentukan jumlah dari semua nilai untuk “x” bahwa 4, x, y, 18 adalah barisan dengan tiga suku pertama adalah barisan aritmetika dan tiga suku terakhir adalah barisan geometri.
A. 8 B. 9 C. 91
3 D. 10 E. 11 Solusi: [D]
4
x b 2x 8 2b.... (1) (b adalah beda antara dua suku berurutan) 4 2
y b.... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) dipoeroleh 2x y 4
2 4
y x .... (3)
Barisan geometri: x, y, 18 18
y x y
2 18
y x.... (4)
Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh:
22
x
4
18
x
2
3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008
24x 34x160 2
2x 17x 8 0
2
x
1
x
8
0
1
atau 8 2
x x
Jadi, jumlah nilai “x” adalah 1 8 81 2 2. Catatan:
Kita dapat menentukan jumlah nilai “x” langsung dari persamaan kuadrat 2x217x 8 0
menggunakan rumus x1 x2 b a
, sehingga 1 22 17 81
2 2
x .
55. Sebuah barisan, di mana
a
1
10,
a
3
18,
a
5
27
adalah barisan kuadrat di mana setiap sukuke-n dapat dinyatakan dengan an An2Bn C . Berapakah nilai 8 kali suku ke-6?
A. 255 B. 288 C. 292 D. 259
E. 225 Solusi: [A]
2
y
ax
bx c
10 a b c.... (1) 189a3b c .... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 88a2b.... (3)
2725a5b c .... (4)
Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh 9 16 a2b.... (5)
Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh 1 8 a
1 8 a
1 1 7
8 8 2
8 8 2
a b b
7 1 7 51
10
2 8 2 8
b c c
2
1 7 51
8 2 8
n
a n n
2 6
1 7 51 36 168 51 255
6 6
8 2 8 8 8 8 8
a
Jadi, 8 6 8 255 255 8
a
56. Berapa banyak bilangan antara 1 dan 2013 yang bulat kelipatan 3 atau 4 tetapi bukan 12? A. 501 B. 668 C. 840 D. 1040 E. 1030 Solusi: [C]
4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008
kita tidak menginginkan keduanya, sehingga kita harus mengurangkan dua kali dari 1174, sehingga didapat 1174 – 2 167 = 840.
58. Diberikan tiga bilangan bulat positif, sehingga setiap hasil dua bilangan adalah unsur yang unik dari {48, 72,96}. Berapakah hasil dari ketiga bilangan bulat tersebut?
A. 484 B. 529 C. 576 D. 625 E. 676 Solusi: [C]
Misalnya bilangan-bilangan tersebut adalah x, y, dan z.
Kita mendapatkan sistem
xy
=
24
Hasil kali dari persamaan-persamaan tersebut memberikan: 48 72 96
5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008
Sehingga max 3 2
dinyatakan dalam a
6 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008
A. 169 B. 149 C. 140 D. 139 E. 138 Solusi: [A]
11 9 12 3 u ar u r
256
81
243
2
r
9
256
81
2
243
r
9
9 9 9 2 3 r
r
2
3
13 12 u u r
3 256 2
81 3
2048 2187
a
b
