Edisi 5 Pebruari Pekan Ke-1, 2009 Nomor Soal: 41-50

(1)

1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2009

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 5

Pebruari Pekan Ke-1, 2009

Nomor Soal: 41-50

41. Jika





a b c, ,





adalah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

    

 

c ab c

b ca b

a bc a

2 2 2

, maka nilai 2009



a b c



adalah ….

A. 4018 B. 2009 C. 1004,5 D. 1 E. 0

Solusi: [B]

a bc

a22   a32abca2…. (1) b

ca

b22   b32abcb2…. (2) c

ab

c22   c32abcc2…. (3)

Dari (1) – (2) diperololeh: a3b3a2b2

(ab)



a2abb2



(ab)(ab)0 (ab)



a2abb2ab



0

ab0atau a2abb2ab0 ab atau a2abb2ab0

Dari (1) – (3) diperololeh: a3c3a2c2

(ac)



a2acc2



(ac)(ac)0 (ac)



a2acc2ac



0

ac0atau a2acc2ac0 ac atau a2acc2ac0

Dari uraian di atas, kita memperoleh abc. a22bca

a22a2a 3a2a0 a(3a1)0 a0atau 3a10

a0(ditolak) atau 3 1



(2)

3 1

  b c a

Karena himpunan penyelesaiannya adalah

   

 

   

 

3 1 , 3 1 , 3 1

, maka 1

3 a  b c .

Jadi, 2009





2009 1 1 1 2009

3 3 3

a b c  _   _

  .

42. Dari sistem persamaan 2 2 2 3 3 3

4

12

67

a b c

a b c    



   

 _ _ _



tentukan nilai dari a4b4c4....

A. 136 B. 140 C. 148 D. 280 E. 360

Solusi: [D]

12

2 2 2_ _ _

c b a

12 ) (

2 )

(a bc2  abacbc

12 ) (

2 ) 4

( 2  abacbc 2

  ac bc ab

67

3 3 3_ _ _

c b a

67 3

) )(

( 3 )

(abc 3 abc abacbc  abc

67 3

) 2 )( 4 ( 3 ) 4

( 3  abc

9



abc

4 4 4

c b

a   



a2b2c2

 

22a2b2a2c2b2c2







a2b2 c2



2 2





abacbc



2 2abc(abc)



1222 2



2   2 9 4



144136= 280

43. Jika a dan b bilangan real yang memenuhi sistem persamaan

  

 

  

880 71

2 2_b _ab

a

b a ab

Carilah nilai dari a2 b2.

A. 120 B. 136 C. 140 D. 146 E. 993

Solusi:[D]

Misalnya xabdan yab, sehingga 71

  a b

ab  xy71 y71x

880

2

2 _ _

ab b

a  ab(ab)880 xy880

x

y71 xy880 x(71x)880

(3)

Dengan mengurangkan persamaan (1) dari (2), maka kita memperoleh:

(4)

13 25 2 

z

y

13 25 2 

z

y  25

4 3 2

2 2

      

 z z y

25 4 3 13

25 2 2

      

 z

169 625 25 4

3z2 _ _



     

169 3600 3 4

2

z

3 13 40



z

45. Diberikan x y x 19 y

   dan

2

60

x xy

y



 . Carilah nilai x3y3.

A. 95112 B. 91152 C. 91125 D. 51912 E. 59112

Solusi:[A]

Misalnya xyadan b y x _

, sehingga

19

  

y x y

x  ab19 b19a

60

2  

y xy x

 (  )60 y

y x

x _

60



ab

a

b19  ab60 a(19a)60

a219a600 (a4)(a15)0 a4atau a15

4



a  b19a= 19 – 4 = 15 15



a  b19a= 19 – 15 = 4

   

  

15 4

y x

dan

   

  

4 15

y x y x

15



y

x _

y x15

y

(5)

4 1



y

4 1



y  x15y

4 15



) ( 3 )

( 3

3

3 _y _x _y _xy _x _y

x      

  

   

     

   

4 15 4 1 4 15 4 1 3 4 15 4

1 3

4 3 52

 

4



y

x _

y x4

y

x4  xy15 4yy15 y3

3



y  x15y 45

) ( 3 )

( 3

3 3

y x xy y x y

x      (453)33453(453)91152

46. Jika x dan y adalah bilangan real yang memenuhi sistem persamaan

   

  

 



1 1

1 61

)

( 2 2 2

2 2

xy y x

y x y

x y x

Hitunglah nilai dari xy

y x

.

A. 60 B. 36 C. 30 D. – 30 E. – 30 Solusi:[D]

Misalnya xyu dan v xy

1

, sehingga diperoleh

x2y2(xy)261x2y21

2

2 1

61 )

( _

       

xy y

x

u2 61v2 u2v261…. (1)

  1 1 xy y x

uv1 v1u…. (2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh: (1u)2u261

(6)

6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2009 2u22u600

u2u300 (u5)(u6)0 u5 atau u6

u5 v1u 1(5)6 u6 v1u= 1 – 6 = 5

   

   

6 1

5

xy y x

atau

   

 

 

5 1

6

xy y x

x y xy

 1

(x y) 5 6 30

xy

        atau xy

y x

30 ) 5 ( 6 1 )

(      



xy y x

47. Himpunan penyelesaian dari sitem persamaan

    

  

19 14 11

zx x z

yz z y

xy y x

adalah







a b c, ,



. Tentukan nilai a  b c ....

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 E. 10

Solusi: [E] 11

  y xy x

1 11 1 

  y xy x



x1



y1



12…. (1)

14

  z yz y

1 14 1 

  z yz y



y1



z1



15…. (2)

19 



x

zx

z

1

19

1 



x

zx

z



z1



x1



20…. (3)

Perkalian ketiga persamaan tersebut menghasilkan:





 



x1 y1 z1



2121520



x1



y1



z1



 3600



x1



y1



z1



60…. (4) Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh



x1



1560

4

1 



x

3 

x

(7)



y1



2060 3 1



y

2



y

Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh



z1



1260

5

1 



z

4



z

Sehingga a3,b2,c4. Jadi, a     b c 3 2 4 10

48. Jika pasangan



x y z, ,



_denganx, y, dan z adalah bilangan real bulat positif

adalah solusi dari sistem persamaan

  

  

354 564 xyz xz y

xyz xy x

, maka nilai

.... x  y z

A. 1 B. 5 C. 70 D. 71 E. 75

Solusi: [E]

564

  xy xyz x

564

   

xz xy xyz xz x



1zyyz



xz564 x



1y



1z



xz564

x …. (1)

354

  xz xyz y

354 1 1 

  xz y xyz



xz1



y1



1354



xz1



y1



355…. (2) Dari persamaan (2) diperoleh



xz1



y1



571 Sehingga

5 1



y  y4atau xz171 xz70 71

1



y  y70atau xz15 xz4

Jika y4dan xz70, maka



41



1z



70564 x



1



634

5x z  , tidak ada solusi untuk x dan z yang merupakan bilagan bulat positif.

Jika y70dan xz4, maka



701



1z



4564 x

(8)

(9)

50. Jika penyelesaian dari sistem persamaan

(10)

w153 2 w53 21

Dari persamaan (2) dan (5) kita memperoleh: (x1)10103 2

x13 2 x3 21

Dari persamaan (3) dan (5) kita memperoleh: (y1)10103 2

y13 2

y3 21

Dari persamaan (4) dan (5) kita memperoleh: (z1)10103 2

3

2 1



z

z3 21

Sehingga, nilai-nilai xyz3 21dan w53 21.