Soal Taun Lalu Lalu matematika

SD

1. (Penyisihan 2013) Hitunglah jumlah dari 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ⋯ − 2010 + 2011 − 2012 + 2013 = ⋯

Jawaban: 1007

Setiap dua pola angka memiliki jumlah −1, sehingga pada pola kedua terakhir memiliki jumlah −1006. Jadi, total penjumlahan 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6+. . . −2010 + 2011 − 2012 + 2013 adalah 1007.

2. Jumlah dari 4 bilangan asli (𝐴, 𝐵, 𝐶, dan 𝐷) adalah 625. Jika 4 × 𝐴 = 3 × 𝐵 = 2 × 𝐶 = 𝐷, maka tentukan keempat bilangan tersebut! (Penyisihan 2013)

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 625 4𝐴 = 3𝐵 = 2𝐶 = 𝐷 𝐴 +4

3𝐴 + 2𝐴 + 4𝐴 = 625 25

3 𝐴 = 625 𝐴 = 625 × 3

25 = 75

3. Gunakan angka 1,3,6, dan 9 untuk membuat sebuah bilangan 4-angka sesuai petunjuk berikut:

• Angka 3 bukan angka ribuan

• Angka 9 terletak tepat diantara 1 dan 6.

• Angka 1 terletak tepat diantara 3 dan 9.

Tentukan bilangan yang dimaksud! (Penyisihan 2016) Jawaban:

4. Yuma membuka sebuah buku. Ternyata kedua nomor halaman yang tampak bila dijumlahkan hasilnya 333. Kedua halaman buku yang dimaksud adalah.... (Penyisihan 2016)

Jawaban: halaman 166 dan 167

𝑛𝑜𝑚𝑜𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑘𝑖𝑟𝑖 =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛𝑜𝑚𝑒𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛 − 1

2 = 333 − 1

2 = 166 Sehingga kedua halaman buku yang dimaksud adalah 166 dan 167

5. Lintang memiliki uang pecahan 500 rupiah sebanyak 5 keping, pecahan 1.000 rupiah sebanyak 7 lembar dan pecahan 5.000 rupiah sebanyak 3 lembar. Lintang akan membeli buku seharga Rp 12.500,00, banyak cara membayar buku tersebut tanpa uang kembalian adalah...

(Penyisihan 2018) Jawaban : 6 cara

Untuk menghasilkan 12.500 dari uang yang dimiliki Lintang ada beberapa kemungkinan, kita hanya perlu mencoba mendata semua kemungkinan;

▪ 12.500=5000×2+1.000×2+500×1

▪ 12.500=5000×2+1.000×1+500×3

6 9 1 3

Jawaban : 𝑨 = 𝟕𝟓 𝑩 = 𝟏𝟎𝟎 𝑪 = 𝟏𝟓𝟎 𝑫 = 𝟑𝟎𝟎

▪ 12.500=5000×2+1.000×0+500×5

▪ 12.500=5000×1+1.000×7+500×1

▪ 12.500=5000×1+1.000×6+500×3

▪ 12.500=5000×1+1.000×5+500×5

∴ Banyak cara pembayaran adalah 6 cara

6. Agus berangkat ke sawah pukul 08.45 dan pulang pukul 15.15. Lama Agus di sawah adalah

… detik. ((Penyisihan 2016) 14 jam 75 menit

08 jam 45 menit 6 jam 30 menit

6 × 60 menit + 30 menit = 390 menit 390 × 60 detik = 23.400 detik

Jawaban: 23.400 detik

7. Diketahui bangun di samping yang terdiri dari 13 kubus kecil. Jika seluruh permukaan bangun di samping dicat merah. Berapa jumlah kubus kecil yang hanya dua sisinya terkena cat merah?

(Penyisihan 2014)

Jawaban : ada 2 kubus

8. Persegi 𝐴𝐵𝐸𝐷 kongruen dengan persegi 𝐵𝐶𝐹𝐸. Jika panjang 𝐴𝐷 = 2 𝑐𝑚, berapakah panjang

𝐷𝐹? (Semifinal 2013)

Karena persegi 𝐴𝐵𝐸𝐷 kongruen dengan persegi 𝐵𝐶𝐹𝐸 maka 𝐴𝐷 = 𝐵𝐸 = 𝐶𝐹 = 𝐷𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 2 𝑐𝑚. Sehingga panjang 𝐷𝐹 adalah 4 𝑐𝑚.

SMP

1. Hasil kali satu bilangan genap dengan satu bilangan ganjil adalah 820. Bilangan ganjil terbesar yang memenuhi syarat tersebut adalah … (Soal Penyisihan SMP MCR 2013)

820 = 2²× 5 × 41

Perkalian dua bilangan yang menghasilkan bilangan ganjil hanya didapat jika kedua bilangan tersebut adalah ganjil. Faktor ganjil dari 820 selain 1 adalah 5 dan 41. Bilangan ganjil terbesar yang memenuhi adalah 5 ⋅ 41 = 205.

2. Tentukan bilangan 4 digit terkecil yang setiap digitnya hanya terdiri dari 2 dan 0 serta habis dibagi 12. (Soal Penyisihan SMP MCR 2012)

Karena habis dibagi 12, maka syaratnya harus habis dibagi 4 dan habis dibagi 3 (sebab 4 dan 3 relatif prima).

Karena 𝑁 habis dibagi 3, maka jumlah digit-digitnya harus kelipatan 3, bilangan 4 digit terkecil yang memenuhi adalah 2022 dan 2220 dari kedua bilangan tersebut yang habis dibagi 4 adalah 2220, sehingga yang memenuhi adalah 2220

3. √11𝑎 + √11𝑎 + √11𝑎 + √… = 22, tentukan nilai 𝑎 yang memenuhi persamaan tersebut!

(Soal Penyisihan SMP MCR 2022)

√11𝑎 + √11𝑎 + √11𝑎 + √… = 22

11𝑎 + √11𝑎 + √11𝑎 + √… = (22)² 11𝑎 + 22 = 484

11𝑎 = 484 − 22 𝑎 =462

11 𝒂 = 𝟒𝟐

4. Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ¹

2𝑥+ ¹

2𝑥+ 1 2𝑥+ 1

2𝑥+⋯

maka nilai dari f²(2020) adalah … (Soal Penyisihan

SMP MCR 2020) Penyelesaian:

Tambahkan 𝑥:

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

2𝑥 + 1

2𝑥 + 1

2𝑥 + 1 2𝑥 + ⋯

𝑓(𝑥) + 𝑥 = 2𝑥 + 1

2𝑥 + 1

2𝑥 + 1

2𝑥 + 1 2𝑥 + ⋯ Misalkan 𝑎 = 2𝑥 + ¹

2𝑥+ ¹

2𝑥+ 1 2𝑥+ 1

2𝑥+⋯

maka 𝑎 = 2𝑥 +¹

𝑎

𝑎 = 2𝑥 +1

𝑎 ⇔ 𝑎²− 2𝑎𝑥 − 1 = 0 Dengan rumus 𝑎𝑏𝑐, diperoleh:

𝑎_1,2 =2𝑥 ± √4𝑥²+ 4

2 = 𝑥 ± √𝑥²+ 1 Sehingga diperoleh,

𝑓(𝑥) + 𝑥 = 𝑥 ± √𝑥²+ 1 ⇔ 𝑓(𝑥) = ±√𝑥²+ 1 ⇔ 𝑓²(𝑥) = 𝑥²+ 1 Jadi nilai 𝑓²(2020) = 2020²+ 1 = 𝟒. 𝟎𝟖𝟎. 𝟒𝟎𝟏

5. Perhatikan gambar berikut!

Nilai 4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 berdasarkan gambar di atas adalah … (Soal Penyisihan SMP MCR 2020) Solusi:

3𝑥 + 120° = 180° (sudut dalam sepihak) 3𝑥 = 60°

𝑥 = 20°

2𝑦 + 150° = 180° (sudut dalam sepihak) 2𝑦 = 30°

𝑦 = 15°

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 180° (berpelurus) 60° + 30° + 𝑧 = 180°

𝑧 = 90°

Jadi,

4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 80° + 30° − 90° = 20°

6. Diberikan trapesium siku-siku seperti pada gambar di bawah ini.

120°

𝑧 2𝑦

150°

3𝑥

Jika 𝐶𝐷 = 2 𝑐𝑚, 𝐵𝐷 = √17 𝑐𝑚 dan 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 maka luas trapesium tersebut adalah … (Soal Penyisihan SMP MCR 2020)

7. Misalkan 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑥. Dengan teorema Pythagoras △ 𝐴𝐵𝐷 maka diperoleh 𝐴𝐷² = 17 − 𝑥². Misalkan titik 𝑃 pada 𝐴𝐵 sehingga 𝐶𝑃 ⊥ 𝐴𝐵 maka 𝐴𝑃 = 2 𝑃𝐵 = 𝑥 − 2 dan 𝐶𝑃² = 17 − 𝑥². Dengan teorema Pythagoras △ 𝐴𝐵𝐷 maka diperoleh 𝑥² = 17 − 𝑥²+ 𝑥²− 2𝑥 + 4 ⟺ 𝑥² + 2𝑥 − 21 = 0 ⇔ 𝑥₁ = −1 + √22 ∨ 𝑥2 = −1 − √22 (𝑇𝑀).

Jadi luas trapesium 𝐴𝐵𝐶𝐷 =¹

2(𝐴𝐵 + 𝐷𝐶)𝐴𝐷 =¹

2(−1 + √22 + 2) (√17 − (−1 + √22)²) = ¹

2(√22 + 1) (√2√22 − 6) =1

2(√(23 + 2√22)(2√22 − 6))

= 1

2(√34√22 − 50) 𝑐𝑚²

SMA

1. (Penyisihan Tim 2019) Jika 𝑎 + √𝑎𝑏 + 𝑏 = 25 dan 𝑎²+ 𝑎𝑏 + 𝑏² = 125. Tentukan 𝑎 −

√𝑎𝑏 + 𝑏!

𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏² = 125 ⇔ 𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏²− 𝑎𝑏 = 125 (𝑎 + 𝑏)²− (√𝑎𝑏)²= 125

(𝑎 + √𝑎𝑏 + 𝑏)(𝑎 − √𝑎𝑏 + 𝑏) = 125 (25)(𝑎 − √𝑎𝑏 + 𝑏) = 125

𝑎 − √𝑎𝑏 + 𝑏 =125 25 = 5

2. (Penyisihan Individu 2019) Tentukan sisa pembagian 3²⁰²⁰ jika dibagi 41.

3²⁰²⁰𝑚𝑜𝑑 41 ≡ 3^4×505𝑚𝑜𝑑 41

≡ (3⁴)⁵⁰⁵𝑚𝑜𝑑 41

≡ (2 × 41 − 1)⁵⁰⁵𝑚𝑜𝑑 41

∟

√17

𝐴

𝐷 𝐶

𝐵 2

≡ −1 𝑚𝑜𝑑 41

≡ (41 − 1)𝑚𝑜𝑑 41

≡ 40 𝑚𝑜𝑑 41

Jadi sisa 3²⁰²⁰ dibagi oleh 41 adalah 40.

3. (Penyisihan 2018) Parabola dengan persamaan 𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 mempunyai titik puncak (8,4). Jika titik (10,0) terletak pada parabola, tentukan nilai dari (𝑎 + 𝑏)𝑐.

Persamaan parabola dengan titik puncak (𝑥_𝑝, 𝑦_𝑝) adalah 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥_𝑝)²+ 𝑦_𝑝 Karena titik puncak parabola di (8,4) maka 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 8)²+ 4 Karena titik (10,0) terletak pada parabola maka,

0 = 𝑎(10 − 8)²+ 4

−4 = 4𝑎 𝑎 = −1 Persamaan parabola tersebut adalah

𝑦 = −(𝑥 − 8)²+ 4

𝑦 = −(𝑥²− 16𝑥 + 64) + 4 𝑦 = −𝑥²+ 16𝑥 − 60

𝑎 = −1 ; 𝑏 = 16 ; 𝑐 = −60

(𝑎 + 𝑏)𝑐 = (−1 + 16)(−60) = −900 4. (Penyisihan 2022) Perhatikan segitiga dibawah ini!

Jika 𝑚∠𝐸𝐴𝐶 = 𝑚∠𝐷𝐵𝐶 = 75°, 𝑚∠𝐴𝐸𝐶 = 𝑚∠𝐵𝐷𝐶, 𝐴𝐷 = 𝐸𝐷 maka perbandingan dari 𝐵𝐶: 𝐴𝐸 adalah…

𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙 𝑎 = 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐷. 𝐴𝐸 = 𝑎√2

Karena ∆𝐴𝐷𝐸 merupakan ∆ sama kaki maka 180° = 2𝜃 + 90°.

Sehingga 𝑚∠𝐴𝐸𝐶 = 𝑚∠𝐵𝐷𝐶 = 45°.

Dalam ∆𝐴𝐸𝐶, 180° = 45° + 75° + 𝑚∠𝐴𝐶𝐸 → 𝑚∠𝐴𝐶𝐸 = 60°

𝑎

𝑠𝑖𝑛(60°)= 𝐴𝐶

𝑠𝑖𝑛(90°) → 2𝑎

√3= 𝐴𝐶 𝑎

𝑠𝑖𝑛(60°)= 𝐷𝐶

𝑠𝑖𝑛(30°)→ 2𝑎

√3×1

2= 𝐷𝐶 → 𝐷𝐶 =𝑎√3 3

𝐷𝐶 𝐸𝐶 = 𝐵𝐶

𝐴𝐶 →

𝑎√3 3 𝑎√3

3 + 𝑎

= 𝐵𝐶 2𝑎

√3 → 𝑎√3

𝑎(√3 + 3)×2𝑎

√3= 2𝑎

√3 + 3= 𝐵𝐶

𝐵𝐶 𝐴𝐸=

2𝑎

√3 + 3

𝑎√2 = √2

√3 + 3= √6 − 3√2

−6

5. (Penyisihan 2013) Tiga dadu dilempar secara bersamaan dan jumlah ketiga angka yang ditunjukkan oleh dadu-dadu tersebut adalah 13. Hitunglah peluang bahwa terdapat sedikitnya dua angka prima atau tepat satu angka enam muncul dari pelemparan tersebut!

Berikut ini semua kemungkinan munculnya jumlah angka dari ketiga dadu yang berjumlah 13:

● 6 + 6 + 1 = 13, ada 3 kemungkinan ((6,6,1), (6,1,6), dan (1,6,6))

● 6 + 5 + 2 = 13, ada 6 kemungkinan ((6,5,2), (6,2,5), (5,6,2), (5,2,6), (2,5,6), dan (2,6,5))

● 6 + 4 + 3 = 13, ada 6 kemungkinan

● 5 + 5 + 3 = 13, ada 3 kemungkinan

● 5 + 4 + 4 = 13, ada 3 kemungkinan

Kemungkinan terdapat sedikitnya dua angka prima atau tepat satu angka 6 muncul ada 6 + 6 + 3 = 15

Peluang bahwa terdapat sedikitnya dua angka prima muncul dari pelemparan tersebut =¹⁵

21=

5 7

6. (Penyisihan 2015) Tentukan hasil dari ¹

2+³

4+⁵

8+ ⁷

16+ ⋯ Misalkan ¹

2+³

4+⁵

8+ ⁷

16+ ⋯ = 𝑝 (𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖 ¹

2)

1 4+³

8+ ⁵

16+ ⋯ =¹

2𝑝 1

2+2 4+2

8+ 2

16+ ⋯ =1 2𝑝 1

2+ 2 (1 4+1

8+ 1

16+ ⋯ ) =1 2𝑝 1

2+ 2 ∙ 𝑎 1 − 𝑟=1

2𝑝

−

1 2+ 2 ∙

1 4 1 −1

2

= 1 2𝑝 1

2+ 1 =1

2𝑝 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑝 = 3 Jadi, ¹

2+³

4+⁵

8+ ⁷

16+ ⋯ = 3