FUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan

(1)

1 | Kalkulus II

Blog: aswhat.wordpress.com Email: as_wad82@yahoo.co.id

2

FUNGSI TRANSENDEN

Fungsi transenden atau fungsi non-aljabar adalah fungsi yang tidak dapat dinyatakan dalam sejumlah berhingga operasi aljabar. Fungsi transenden yang biasa dijumpai dalam hal ini terdiri dari fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, dan fungsi hiperbolik. Dalam pembahasan selanjutnya, akan diuraikan satu persatu mulai dari defenisi, invers, sampai integral dari masing-masing fungsi transenden tersebut.

2.1. Fungsi Logaritma Natural

Fungsi pertama yang dibahas adalah fungsi logaritma natural atau biasa juga disebut dengan logaritma asli. Perhatikan Defenisi 1 berikut:

Definisi 1

Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan

1 1 ( ) ln , 0 x f x x dt x t  





Daerah asal fungsi logaritma natural adalah himpunan bilangan real positif. ∎ Perhatikan Gambar 1 berikut yang menunjukkan arti geometri dari ln x.

(2)

2 | Kalkulus II

Blog: aswhat.wordpress.com Email: as_wad82@yahoo.co.id 1 1 Luas ( ), 1 x R dt f x x t 

_

  1 1 1 LuasR dt f(1) 0 t 

_

  1 1 1 Luas 1 ( ), 0 1 x x R dt t dt f x x t        



Gambar 1. Bentuk geometri ln x Jika diketahui f (x) = ln x, maka turunannya adalah

1

'( ) , 0

f x x

x

  (1)

Dengan notasi lain, dapat ditulis sebagai berikut: 1

ln , 0

d

x x

dx  x  (2)

Secara umum, misalkan u = f (x) > 0. Dengan menggunakan aturan rantai, maka apabila f dapat didiferensialkan, maka diperoleh

1 ln d d u u dx u dx (3) Teorema 1.

Jika a, b > 0, dan r bilangan rasional, maka a. ln 1 = 0 b. ln ab = ln a + ln b c. ln a/b = ln a – ln b d. ln ar = r ln a. Bukti: a. 1 1 1 ln1 dt 0 t 

_

 (berdasarkan definisi 1).

(3)

3 | Kalkulus II

b. Berdasarkan Persamaan (1), maka

1 1

ln( ) ln

d d

ax a x

dx  ax  x dx

Akibatnya, terdapat konstanta C sedemikian sehingga ln (ax) = ln x + C

Untuk menentukan C, ambil x = 1, maka ln a = C, sehingga ln (ax) = ln x + ln a

Selanjutnya, untuk x = b, maka diperoleh ln (ab) = ln b + ln a = ln a + ln b. (terbukti) c. Dari (b), ambil a = 1/b, maka

1 1 ln lnb ln b ln1 0 b b     _ _    Jadi, ln1 ln b b  

Dengan menggunakan (b) diperoleh:

1 1 lna ln a lna ln lna lnb b b b    _ _     

d. Dengan cara yang sama seperti bagian b, maka diperoleh

1 1 1 ln( )r r ln ( ln ) r d r d d x rx r r x r x dx x x x dx dx      

Akibatnya, terdapat konstanta C sedemikian sehingga ln xr = r ln x + C

Untuk menentukan C, ambil x = 1, maka diperoleh C = 0. Ini berarti bahwa ln xr = r ln x

hasilnya ekivalen dengan ln ar = r ln a. (terbukti). ∎

Contoh 1.

Tentukan turunan dari a. ln x

b. ln(x2 – x – 2)

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga F(x) = G(x) + C, untuk semua x dalam (a,b).

(4)

4 | Kalkulus II

Blog: aswhat.wordpress.com Email: as_wad82@yahoo.co.id c. ln 1 1 x x     _    Penyelesaian: a. misalkan _u_ _x _ _x1/2_{, maka}

 

1/2

 

1/2 1/2 1/2 1/2 1 1 1 1 ln . 2 2 d d x x x dx x dx x x    

Bagian b dan c ditinggalkan sebagai latihan. ∎

Misalkan f (x) = ln |x|, maka d ln x 1, x 0

dx  x  . Untuk menunjukkan hal ini,

ditinjau dua kasus.

(1). Apabila x > 0, |x| = x, maka d ln x d ln

 

x 1

dx  dx  x

(2). Apabila x < 0, |x| = -x, maka d ln x d ln( x) 1 d ( x) 1 ( 1) 1

dx  dx   x dx   x   x

Aibat dari bentuk turunan itu, ada rumus pengintegralannya, akibatnya diperoleh: 1 ln | | , 0 dx x C x x   



(4)

Secara umum, untuk suatu fungsi u, maka diperloeh 1 ln | | , 0 du u C u u   



(5) Contoh 2. Hitunglah a. 5 2x 7dx



b. 3 110 x dx x 



 Penyelesaian:

(5)

5 | Kalkulus II

Blog: aswhat.wordpress.com Email: as_wad82@yahoo.co.id 5 2 5 5 1 5 1 2 2 7 2 2 7 2 5 5 ln | | ln | 2 7 | 2 7dx 2 x dx dx du x x u u C x C          



b. Bagian b ditinggalkan sebagai latihan. ∎

Daerah domain ln x adalah himpunan bilangan real positif. Jadi grafik y = ln x terletak di sebelah kanan sumbu y (yaitu dengan x > 0). Perhatikan Gambar 2 berikut:

Gambar 2. Grafik fungsi f (x) = y = ln x.

2.2. Invers Fungsi dan Turunannya

Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk mengecek apakah suatu fungsi memiliki invers atau tidak adalah dengan melihat apakah fungsi f tersebut merupakan monoton murni pada daerah asalanya atau tidak. Suatu fungsi f memiliki invers apabila f monoton murni pada daerah asalnya. Suatu fungsi f dikatakan monoton murni pada interval I jika ia naik pada I atau turun pada I. Contoh 4.

Buktikan bahwa f (x) = x5 + 2x + 1 memiliki invers. Penyelesaian:

Untuk f (x) = x5 + 2x + 1, maka f ’(x) = 5x4 + 2 > 0 untuk semua x. Artinya, f naik pada seluruh himpunan bilangan real.

(6)

6 | Kalkulus II

Perhatikan bahwa, Contoh 4 hanya menunjukkan apakh suatu fungsi memiliki invers atau tidak. Untuk menentukan fungsi inversnya itu sendiri, maka akan digunakan Persamaan 6 berikut:

x = f -1(y) jika dan hanya jika y = f (x) (6)

Contoh 5.

Buktikan bahwa f (x) = 2x + 6 memiliki invers. Kemudian tentukan invers fungsinya.

Penyelesaian:

f (x) = 2x + 6 maka f ’(x) = 2 > 0 untuk semua x. Artinya, f monoton murni.

Sehingga f (x) = 2x + 6 memiliki invers. Selanjutnya, y = 2x + 6 ⇔ 2x = y – 6 6 2 y x    1_{( )} 6 1_{( )} 6 2 2 y x f y  f x     

Jadi, fungsi invers dari f (x) = 2x + 6 adalah 1_{( )} 6

2

x

f x _  _. _∎

Misalkan f dapat diturunkan dan monoton murni pada selang I. apabila f ’(x) ≠ 0 pada sesuatu x dalam I, maka f -1_{dapat diturunkan di titik y = f (x) pada daerah}

hasil f dan berlaku

 

1 _{'( )} 1 '( ) f y f x  _ ₍₇₎ Contoh 6. Misalkan y = f (x) = x5 + 2x + 1. Maka

 

1 4 1 1 '( ) '( ) 5 2 f y f x x  _ _  .

Perhatikan bahwa, nilai turunan dari invers fungsi f dapat ditentukan tanpa harus terlebih dahulu diketahui nilai dari invers fungsi tersebut. ∎

(7)

7 | Kalkulus II

2.3. Fungsi Eksponen Natural

Fungsi eksponen natural merupakan invers dari fungsi logaritma natural. Perhatikan Defenisi 2 berikut:

Definisi 2

Invers ln disebut fungsi eksponen natural dan ditulis sebagai exp, yaitu

y = ex ⇔ x = ln y ∎

Berdasarkan Defenisi 2, diperoleh

(1). x = exp (ln x), untuk x > 0 (8)

(2). y = ln (exp y), untuk y ∈ R. (9)

Exp dan ln adalah fungsi yang saling invers, sehingga grafik y = exp x adalah grafik y = ln x yang dicerminkan terhadap garis y = x. Perhatikan Gambar 3 berikut:

Gambar 3. Grafik fungsi logaritma natural dan eksponen natural.

Definisi 3

Bilangan e adalah bilangan real positif yang memenuhi ln e = 1. ∎ Berdasarkan Defenisi 3, karena ln e = 1 maka diperoleh e = exp 1. Bilangan e biasa disebut dengan bilangan euler yang nilainya e ≈ 2,7182818.

(8)

8 | Kalkulus II

Selanjutnya, perhatikan kembali Teorema 1(d), Persamaan (8), dan Defenisi 3 untuk menunjukkan exp r = er.

exp r = exp (r.1) = exp (r ln e) = exp (ln er) = er

Jadi, secara identik diperoleh exp r = er, untuk r suatu rasional. Jika batasan tersebut diperluas untuk semua bilangan (billangan rasional maupun irasional), katakanlah x, maka diperoleh

ex = exp x (10)

Berdasarkan Persamaan (10), maka Persamaan (8) dan Persamaan (9) ditulis kembali menjadi (1). x = eln x, untuk x > 0 (8) (2). y = ln (ey), untuk y ∈ R (9) Teorema 2. Misalkan a, b ∈ R. Maka a. e0 = 1. b. ea . eb = ea + b c. ea / eb = ea – b d. (ea)b = eab Bukti: a. Karena ln 1 = 0, maka e0 = 1. b. _{e e}a b _exp(ln_{e e}a b) exp(ln a ln ) a b _e b e e   e exp( ) a b_e _{a b} e   b a b a e e e 

(9)

9 | Kalkulus II

Ingat kembali bahwa exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling invers sehingga fungsi exp x = ex dapat diturunkan.

y = ex ⇔ x = ln y, untuk y > 0 dan x ∈ R dari sini, diperoleh

1 dx dy  y Selanjutnya: 1 1 ' 1 x dy y y e dx dx y dy     

Dengan demikian, turunan fungsi eksponen natural ex adalah ex juga. Secara umum, jika u = f (x) dapat diturunkan, maka

u u

d d

e e u

dx  dx (10)

Contoh 7.

Tentukan turunan terhadap x dari y = _ex Penyelesaian: Misalkan u x, maka 1 2 1 ' 2 2 x x d x e y e x e x dx x      _ _   ∎

Berdasarkan Persamaan (10), maka _{e dx e}x _ x __C



. Secara umum jika x

diganti dengan u, maka diperoleh:

u u e du e C



(11) Contoh 8. Tentukan _{e dx}4x



Penyelesaian:

(10)

10 | Kalkulus II

Blog: aswhat.wordpress.com Email: as_wad82@yahoo.co.id Misalkan u = -4x, maka du 4 dx   atau du = -4dx. Sehingga:





4 1 4 ₄ 1 1 1 4 4 4 4 4 x x u u x e dx _{ } e _ dx _{ } e du_{ } e _{  }C e _C



∎

2.4. Fungsi Eksponen Umum dan Fungsi Logaritma Umum

Pada sub bab sebelumnya, telah ditunjukkan bagaimana penyelesaian untuk suatu eksponensial dengan pangkat rasional dan irasional. Dengan menggunakan relasi berikut:

ar = exp (ln ar) = exp (r ln a) = er ln a (12)

akan coba didefenisikan suatu bentuk eksponen dengan bilangan dasar yang bukan e, katakanlah ax untuk suatu a > 0 dan x merupakan sebarang bilangan real. Perhatikan Definisi 4 berikut,

Definisi 4

Untuk a > 0 dan x bilangan real sebarang, maka ax = ex ln a. ∎ Berdasarkan Definisi 2, maka diperoleh

ln

ln( ) ln(_ax _ _ex a)__{x a}ln ₍₁₃₎

Persamaan 13 memperbaiki batasan yang berlaku pada Teorema 1(d) yang tidak hanya berlaku pada bilangan rasional saja melainkan dapat diperluas untuk sebarang bilangan real x. Perluasan batasan ini dibutuhkan untuk membuktikan sifat-sifat bilangan berpangkat ax.

Teorema 3.

Apabila a > 0, b > 0, x dan y bilangan real, maka berlaku: a. axay = ax + y b. x x y y a a a   c. (ax)y = axy d. (ab)x = axbx

(11)

11 | Kalkulus II

Blog: aswhat.wordpress.com Email: as_wad82@yahoo.co.id e. x _x x a a b b        Bukti:

Akan dibuktikan bagian (b) dan (c) saja. Sementara yang lain akan ditinggalkan sebagai latihan. b. ln ln ln ( ) ln ln x x a x a y a x y a x y y y a a e e e a a a        c.

 

_x y _yln_ax _xyln_a _xy a e e a ∎ Teorema 4.

 

x xln d a a a dx  Bukti:

 

x



xlna



xlna



_ln



x_ln d d d a e e x a a a dx  dx  dx  ∎

Secara umum, untuk x = u, maka

  

u uln



d d a a a u dx  dx Akibatnya diperoleh , 0, 1 ln u u a a du C a a a    



Contoh 9. Tentukan d

 

3 x dx Penyelesaian

Dengan memisalkan u = x , maka diperoleh

  



 





1





2 1 1 3 ln 3 3 3 ln 3 3 ln 3 3 ln 3 2 2 2 x x x x x d d x x dx dx x x      _ _    ∎

(12)

12 | Kalkulus II

Definisi 5.

Andaikan a bilangan positif dan a ≠ 1, maka y = a log x ⇔ jika x = a y_. _∎

Pada umumnya suatu logaritma biasa menggunakan angka 10 sebagai bilangan pokoknya. Namun, dalam matematika lebih lanjut, angka 10 tersebut diganti dengan bilangan e sebagai bilangan pokoknya. Perhatikan bahwa:

e_{log x = ln x} ₍₁₄₎

Misalkan y = a log x, maka x = a y, sehingga

ln x = y ln a (15)

Sehingga, dari Persamaan (15) dapat disimpulkan bahwa ln log ln a _x x a  , dengan a > 0 dan a ≠ 1. (16)

Selanjutnya, bentuk turunan dari Persamaan (16) adalah:





1 log ln a d x dx  x a (17) Contoh 10.

Jika y = log (x4 + 13), tentukanlah turunannya terhadap x. Penyelesaian:









_

_

_{  }

3

_

4 3 4 4 1 4 log 13 4 13 ln10 13 ln10 d x x x dx   x   x  . ∎