8. FUNGSI
8.1 Fungsi Invers
Misalkan f : Df → Rf dengan)
(x
f
y
x
a
=
v
u
≠
f (u) ≠ f (v)Definisi 8.1 Fungsi
y = f(x) disebut satu-satu jika
f(u)
= f(v) maka
u = v
atau jika makax y = x y = − 2 x y = u v
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi −1 f f f
D
R
f
−1:
→
( )
y
f
x
y
a
=
−1 Berlaku hubunganx
x
f
f
−1(
(
))
=
y
y
f
f
(
−1(
))
=
f f f fR
R
D
D
−1=
,
−1=
Df Rf f x y=f(x) R R 1 − f ) ( 1 y f x = −Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers x x f ( ) = x x f ( ) = − 2 ) (x x f = u v f(x)=x R x x f '( ) =1 > 0,∀ ∈ f selalu naik f(x)=-x R x x f '( ) = −1< 0,∀ ∈ f selalu turun
⎩
⎨
⎧
<
<
>
>
=
=
0
,
0
0
,
0
2
)
(
'
x
x
x
x
f
f naik untuk x>0 turun untuk x <0 1 − f 1 − f 1 −Contoh : Diketahui
f x
x
x
( )
=
−
+
1
2
a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya
Jawab 2
)
2
(
)
1
.(
1
)
2
.(
1
)
(
'
+
−
−
+
=
x
x
x
x
f
x
Df
x
+
>
∀
∈
=
0
,
)
2
(
3
2 a.Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers
2
1
+
−
=
x
x
y
1
2
=
−
+
y
x
xy
1
1
2
1
2
−
−
−
=
⇒
−
−
=
−
y
y
x
y
x
y
x
1
1
2
)
(
1
1
2
)
(
1 1−
−
−
=
⇒
−
−
−
=
− −x
x
x
f
y
y
y
f
b. MisalSuatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya. 2
)
(
x
x
f
=
Untuk x>0 ada−1 f 2)
(
x
x
f
=
2 ) (x x f = u v 1 − fR
x
∈
Grafik fungsi invers
Titik (x,y) terletak
pada grafik f Titik (y,x) terletakpada grafik −1
f
f
1 −
f
Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x Grafik f dan −1 semetri terhadap garis y=x
Turunan fungsi invers
Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan
pada selang I. Jika maka dapat diturunkan di y=f(x)
dan
f
x
≠
x
∈
I
−,
0
)
(
1 −1 f)
(
1
)
(
)'
(
1x
f
y
f
−=
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai
dx
dy
dy
dx
/
1
=
Contoh Diketahui
f
(
x
)
=
x
5+
2
x
+
1
tentukan ( f −1)'(4) Jawab :2
5
)
(
'
x
= x
4+
f
,y=4 jika hanya jika x=11
1
1
=
=
Soal Latihan
Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari f x x x x ( ) = + 1 , > 0 1. f x( ) = 3 2x −1 2. 3. f x( ) = 5 4x + 2 f x x x ( ) = , + ≥ 5 1 0 2 4. f x x x ( ) = + − 1 1 5. 3 2 ) (x = x − f 6.
8.2 Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
Secara umum, jika u = u(x) maka
ln
x
,
t
d t
x
x
=
∫
1
>
0
1
[ ]
x
dt
t
D
x
D
x x x1
1
ln
1=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∫
[ ]
du
dt
D
u
D
x u x x1
1
ln
) (=
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
=
∫
.Contoh : Diberikan maka
Jika
Jadi,
Dari sini diperoleh :
Sifat-sifat Ln :
1. ln 1 = 0 2. ln(ab) = ln a + ln b 3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)))
2
4
ln(sin(
)
(
x
=
x
+
f
))
2
4
(sin(
)
2
4
sin(
1
)
(
'
+
+
=
D
x
x
x
f
x=
4
cot(
4
x
+
2
)
0
,
|
|
ln
≠
=
x
x
y
⎩ ⎨ ⎧ < − > = 0 , ) ln( 0 , ln x x x xx
y
x
y
=
ln
→
'
=
1
x x y x y ln( ) ' 1 = 1 − − = → − =.
0
,
1
|)
|
(ln
=
x
≠
x
x
dx
d
∫
dx
=
ln
|
x
|
+
C
x
1
r=
dx
x
x
∫
4+
0 3 22
dx
x
du
x
u
=
3+
2
→
=
3
2 Contoh: Hitung jawab Misal 2 2 3 23
2
x
du
u
x
dx
x
x
∫
=
∫
+
=
∫
u
du
=
3
ln
|
u
|
+
c
1
1
3
1
c
x
+
+
=
ln
|
2
|
3
1
3 sehingga]
0
4
|
2
|
ln
3
1
2
3 4 0 3 2+
=
+
∫
dx
x
x
x
.
33
ln
3
1
)
2
ln
66
(ln
3
1
=
−
=
Grafik fungsi logaritma asli
0
,
ln
)
(
1>
=
=
∫
x
t
dt
x
x
f
x fD
x
x
x
f
'
(
)
=
1
>
0
∀
∈
f selalu monoton naik pada Df
f
D
x
x
x
f
''
(
)
=
−
1
2<
0
∀
∈
Diketahui a. b.Grafik selalu cekung kebawah 1
f(x)=lnx
c.
8.3 Fungsi Eksponen Asli
Karena maka fungsi logaritma asli
monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi
logaritma asli disebut
fungsi eksponen asli, notasi exp
. Jadi
berlaku hubungan
Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x))
Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang
bersifat ln e = 1.
Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
[ ]
ln
=
1
>
0
untuk
x
>
0
,
x
x
D
xy
x
x
y
=
exp(
)
⇔
=
ln
r
e
r
e
e
r=
exp(ln
r)
=
exp
ln
=
exp
xe
x
)
=
(
Turunan dan integral fungsi eksponen asli Dengan menggunakan turunan fungsi invers Dari hubungan x
e
y
dy
dx
dx
dy
=
=
=
/
1
x x xe
e
D
(
)
=
,
Jadi
y
x
e
y
=
x⇔
=
ln
y
dy
dx
1
=
'
.
)
(
e
( )e
u
D
x u x=
u Secara umum Sehingga∫
e
xdx
=
e
x+
C
1
y=ln x y=exp (x)
Grafik fungsi eksponen asli
Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x
1 Contoh
)
ln
3
(
.
)
(
e
3 lne
3 lnD
x
x
D
x x x=
x x x=
3 ln(
3
ln
+
3
).
x
e
x xContoh Hitung
dx
x
e
x∫
2 / 3 Jawab :du
dx
x
dx
x
du
x
u
3
1
1
3
3
2 2→
=
−
−
=
→
=
Misalkan Sehingga.
3
1
3
1
3
1
3/ 2 / 3c
e
c
e
du
e
dx
x
e
x=
−
u=
−
u+
=
−
x+
∫
∫
Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli
a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi) (
))
(
(
)
(
x
g
x
h xf
=
Diketahui,
f
'
(
x
)
=
?
))
(
ln(
)
(
))
(
ln(
f
x
=
h
x
g
x
)))
(
ln(
)
(
(
)))
(
(ln(
f
x
D
h
x
g
x
D
x=
x)
(
'
)
(
)
(
))
(
ln(
)
(
'
)
(
)
(
'
x
g
x
g
x
h
x
g
x
h
x
f
x
f
+
=
)
(
)
(
'
)
(
)
(
))
(
ln(
)
(
'
)
(
'
g
x
f
x
x
g
x
h
x
g
x
h
x
f
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
Contoh
Tentukan turunan fungsi x
x
x
f
(
)
=
(sin
)
4Jawab
Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli
))
ln(sin(
4
)
ln(sin
)
(
ln
f
x
=
x
4x=
x
x
)))
ln(sin(
4
(
))
(
(ln
f
x
D
x
x
D
x xTurunkan kedua ruas
=
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
cot
4
))
ln(sin(
4
cos
sin
4
))
ln(sin(
4
)
(
)
(
'
+
=
+
=
xx
x
x
x
x
b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi
?
)
(
lim
( )=
→ x g a xf
x
Untuk kasus(i)
lim
(
)
=
0
,
lim
(
)
=
0
→
→a
f
x
x ag
x
x(ii)
lim
(
)
=
∞
,
lim
(
)
=
0
→ →a
f
x
x ag
x
x∞
=
=
→ →(
)
1
,
lim
(
)
lim
f
x
g
x
a x a x (iii) Penyelesaian :Tulis
lim
(
(
)
( ))
lim
[exp
(
ln
(
)
g(x))]
a x x g a x→
f
x
=
→f
x
=
lim
x→aexp
g
(
x
)
[
ln
f
(
x
)
]
Karena fungsi eksponen kontinu, maka
Contoh Hitung
lim
x
x
x
→
0
+(
)
x xx
ln / 1 31
lim
+
∞ →(
)
x xx
1 01
lim
+
→x
x
x
x x xln
lim
exp
)
(
lim
0 0+ → + →=
Jawab (bentuk0
.
∞
)Rubah ke bentuk
∞ /
∞
lalu gunakan dalil L’hopital1 0
ln
lim
exp
− → +=
x
x
x 1 ) 0 exp( 1 1 lim exp 2 0 = = − = + → x x x a. b. c. a.)
1
ln(
.
1
.
exp
lim
)
)
1
(
(
lim
0 / 1 0x
xx
x
x x→+
=
→+
x
x
x)
1
(
ln
lim
exp
0+
=
→ b.Gunakan dalil L’hopital
e
x
x+
=
=
=
→1
exp
1
1
lim
exp
0 sehingga(
x
)
xe
x→+
=
1 01
lim
(
)
ln(
1
)
ln
1
lim
exp
1
lim
3+
1/ln=
3+
∞ → ∞ →x
xx
x
x xx
x
xln
)
1
ln(
lim
exp
3+
=
∞ →.
/
1
1
3
lim
exp
3 2x
x
x
x+
=
∞ →Gunakan dalil L’hopital
1
3
lim
exp
3 3+
=
∞ →x
x
x(
1
)
)
3
(
lim
exp
3 1 3 3 x xx
x
+
=
∞ →)
1
(
)
3
(
lim
exp
3 1 x x+
=
∞ →=
exp
3
=
e
3.
c.Soal latihan
'
y
A.Tentukan dari(
5
6
)
ln
2−
+
=
x
x
y
x xe
e
y
=
sec
2+
2sec 1. 6. xe
x
y
=
5 −3lny
=
ln
cos
3
x
y
x
x
=
ln
2
(
)
y
= ln sin
x
7. 2. xe
y
=
tan
8. 3. 9.1
3 2 2+ xy
=
e
y
x 4. 5.ln(
33
)
10.y
x
e
y=
+
y
=
sin(ln(
2
x
+
1
))
B. Selesaikan integral tak tentu berikut 4 2x +1 dx
∫
4 2 5 2 x x x dx + + +∫
( )
2 2 x x dx ln∫
∫
dx x x 3 ln2∫
dx x x) tan(ln x x dx 3 2 1 +∫
(x + )ex + xdx∫
3 2 6(
)
e−x − e−x dx∫
sec2 2(cos )
x e
sin xdx
∫
e
2 ln
x
dx
∫
∫
x
2e
2x3dx
∫
+
dx
e
e
x x3
2∫
−
dx
e
e
x x 2 3 3)
2
1
(
1. 12. 6. 11. 2. 7. 3. 8. 13. 9. 4. 5. 10.C. Selesaikan integral tentu berikut 3 1 2 1 4 −
∫
x dx(
11)
1 4 x + x dx ∫ e e dx x x + −∫ 3 4 3 ln ln(
)
ex 3 4ex dx 0 5 − ∫ ln e2x 3dx 0 1 +∫
dx
e
x∫
2 − ln 0 3 e x dx x 3 2 1 2 ∫∫
2 − 0 4 2dx
xe
x∫
2 2)
(ln
e ex
x
dx
1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5.D. Hitung limit berikut : x x
x
− → 1 1 1lim
(
)
x xx
1 01
sin
2
lim
+
→ lim cos x x x →∞ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 2 2(
)
x xx
ln 1 21
lim
+
∞ → 5. 1. 2.( )
x xx
1ln
lim
∞ → 6. 3.(
x x)
x x 15
3
lim
+
∞ → 7.(
x)
x xe
ln 1 2 01
lim
+−
→lim
x xx
x
→∞+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
4. 8.8.5 Fungsi Eksponen Umum
Fungsi , a > 0 disebut fungsi eksponen umum
Untuk a > 0 dan x ∈ R, didefinisikan Turunan dan integral
Jika u = u(x), maka
Dari sini diperoleh :
: x
a
x
f
(
)
=
a
x=
e
x ln aa
a
a
e
e
D
a
D
x(
x)
=
x(
xlna)
=
xlnaln
=
xln
a
u
a
u
a
e
e
D
a
D
x(
u)
=
x(
ulna)
=
ulnaln
.
'
=
u'
ln
∫
=
a
+
C
a
dx
a
x xln
1
Sifat–sifat fungsi eksponen umum
Untuk
a > 0, b
> 0, x, y bilangan riil berlakuy x y x
a
a
a
=
+ 1. y x y xa
a
a
−=
2. xy y xa
a
)
=
(
3. x x xb
a
ab
)
=
(
4. x x xb
a
b
a
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5.Contoh
1. Hitung turunan pertama dari
x x
x
f
(
)
=
3
2 +1+
2
sin 2 Jawab :2
ln
2
.
2
3
ln
3
.
2
)
(
'
x
2x 1 sin2xf
=
++
∫
4
x2.
xdx
2. Hitung Jawab :du
dx
xdx
du
x
u
=
2→
=
2
→
=
21x Misal C C du u x u = + = +∫
4 1 4 4 2 =∫
4x2.xdxGrafik fungsi eksponen umum
Diketahui0
,
)
(
x
=
a
a
>
f
x)
,
(
−∞
∞
=
Df
a
a
x
f
'
(
)
=
xln
⎩ ⎨ ⎧ > > < < < = 1 , 0 ln 1 0 , 0 ln a a a a a a x xf monoton naik jika a > 1
monoton turun jika 0 < a < 1
1 , ) (x = a a > f x a. b. c. f x
D
x
a
a
x
f
''
(
)
=
(ln
)
2>
0
∀
∈
1 0 , ) (x a < a <f = x Grafik f selalu cekung keatas
8.6 Fungsi Logaritma Umum
Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum
( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi , sehingga berlaku :
Dari hubungan ini, didapat
Sehingga
Jika u=u(x), maka
x
alog
ya
x
=
⇔
x
y
=
alog
a
x
x
a
x
y
a
y
a
x
y aln
ln
log
ln
ln
ln
ln
ln
=
=
⇒
=
⇒
=
a x a x D x Dx a x ln 1 ) ln ln ( ) log ( = =a
u
u
a
u
D
u
D
x a xln
'
)
ln
ln
(
)
log
(
=
=
Contoh Tentukan turunan pertama dari 1.
(
)
=
3log(
2+
1
)
x
x
f
)
1
1
log(
)
(
4−
+
=
x
x
x
f
Jawab : 2. 1. 3 ln ) 1 ln( ) 1 log( ) ( 2 2 3 + = + = x x x f3
ln
1
1
2
)
(
'
2+
=
x
x
x
f
4
ln
)
ln(
)
1
1
log(
)
(
1 1 4 − +=
−
+
=
x xx
x
x
f
( )
)
1
1
(
1
4
ln
1
)
(
'
1 1−
+
=
− +x
x
Dx
x
f
x x 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 4 ln 1 − + − − + − = x x x x x2
1
−
=
2.Grafik fungsi logaritma umum
Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x
Untuk a > 1 Untuk 0 < a < 1 1 0 , ) (x a < a < f x 1 , ) (x = a a > f x =
Soal Latihan A. Tentukan
y
'
dariy
=
3
2
x
−
4
x
4 1.(
9
)
log
2 10+
=
x
y
2. 3. 3log(
)
+ y
=
2
xy
x
B. Hitung10
5x−1dx
∫
1.x
2
x
dx
2∫
2.8.7 Fungsi Invers Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satu-satu sehingga mempunyai invers.
a. Invers fungsi sinus
Diketahui f(x) = sinx ,−2π
≤
x
≤
π2Karena pada f(x)=sinx
monoton murni maka inversnya ada. Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus, notasi arcsin(x),atau
sin
1(
)
x
− 2 2 π π≤
≤
−x
Sehingga berlaku 1⇔
=
=
− 2 π − 2 πTurunan
Dari hubungan y = sin−1 x⇔ x = siny
2 2 , 1 1≤ ≤ π ≤ ≤ π − x − y
dan rumus turunan fungsi invers diperoleh
y dy dx dx dy cos 1 / 1 = = ,| | 1 1 1 sin 1 1 2 2 = − < − = x x y 2 1 1 1 ) (sin x x Dx − = − atau 2 1 1 ' ) (sin u u u Dx − = − Jika u=u(x)
Dari rumus turunan diperoleh
∫
= + − − C x x dx 1 2 sin 1b. Invers fungsi cosinus
monoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers
Fungsi f(x) = cosx ,0 ≤ x ≤π
π
x x
f( ) = cos
Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcuscosx, notasi arc cosx atau cos 1( )
x − Berlaku hubungan
y
x
x
y
=
cos
−1⇔
=
cos
TurunanDari
y
=
cos
−1x
⇔
x
=
cos
y
diperoleh
π
≤
≤
≤
≤
−
1
x
1
,
0
y
,
dy
1
−
1
=
=
= −1 = −1 ,| x|<12 1 1 1 ) (cos x x Dx − − = − 2 1 1 ' ) (cos u u u Dx − − = − atau Jika u= u(x)
Dari rumus turunan diatas diperoleh
∫
= + − − C x x dx 1 2 sin 1 Contoh=
−))
(
(sin
1x
2D
x ( ) ) ( 1 1 2 2 2 D x x x − 4 1 2 x x − ==
−))
(tan
(cos
1x
D
x (tan ) ) (tan 1 1 2 D x x x − − x x 2 2 tan 1 sec − − =Gunakan rumus
∫
= + − − C u du u ) ( sin 1 1 1 2 Contoh Hitung∫
−
dx
x
24
1
Jawab :∫
− = dx x ) 4 1 ( 4 1 2∫
− dx x2 4 1∫
− = dx x 2 ) 2 ( 1 ( 1 2 1du
dx
dx
du
x
u
2
2
2 1→
=
=
→
=
Misal∫
− dx x2 4 1∫
=
+
−
=
−C
u
du
u
1 2sin
1
(
2
2
1
C
x+
=
−)
(
sin
1 2c. Invers fungsi tangen
2 2 π π≤
≤
−x
Fungsi f(x) = tanx, Monoton murni (selalu naik) sehingga mempunyai invers.
2 π − 2 π f(x)=tanx
Definisi Invers dari tan x disebut fungsi arcus tanx, notasi arc tanx atau
tan
−1(
x
)
y
x
x
y
=
tan
−1⇔
=
tan
y
x
x
y
=
tan
−1⇔
=
tan
Berlaku hubungan Turunany
dy
dx
dx
dy
2sec
1
/
1
=
=
Dari 2 2,
−π<
y
<
πdan turunan fungsi invers diperoleh
2 2
1
1
tan
1
1
x
y
=
+
+
=
∫
=
+
+
−C
x
x
dx
1 2tan
1
2 1 1 1 ) (tan x x Dx + = − atau 2 1 1 ' ) (tan u u u Dx + = − Jika u=u(x)d. Invers fungsi cotangen
Fungsi f(x)= cot x
,
0
< x
<
π
selalu monoton turun(monoton murni) sehingga mempunyai inversπ
f(x)=cotx
Definisi Invers dari fungsi cot x disebut Arcus cotx, notasi arc cotx atau cot−1 x
Berlaku hubungan
y
x
x
y
=
cot
−1⇔
=
cot
Turunandy
21
1
=
−
=
2 21
1
cot
1
1
x
y
+
−
=
+
−
=
∫
=
−
+
+
−C
x
x
dx
1 2cot
1
2 1 1 1 ) (cot x x Dx + − = − atau 2 1 1 ' ) (cot u u u Dx + − = − Jika u=u(x) Contoh)
1
(
(tan
−1x
2+
D
x ( 1) ) 1 ( 1 1 2 2 2 + + + = Dx x x1
(
21
)
22
+
+
=
x
x
)
(sin
(cot
1x
D
x − (sin ) ) (sin 1 1 2 Dx x x + − = x x 2 sin 1 cos + − = Contoh Hitung∫
+
24
x
dx
a.∫
2 + 2 + 4 x x dx b.Jawab
∫
+ = dx x 2 ) 2 ( 1 1 4 1∫
∫
+ = + x dx x dx ) 4 1 ( 4 1 4 1 2 2 a.du
dx
dx
du
x
u
2
2
2 1→
=
=
→
=
∫
∫
=
+
+
=
+
−C
u
du
u
dx
x
1 2 2tan
2
1
1
2
4
1
4
1
C
x +
=
−)
2
(
tan
2
1
1 Gunakan rumus∫
= + + − C u du u tan ( ) 1 1 1 2∫
∫
=
+
+
+
+
x
x
dx
x
dx
3
)
1
(
1
4
2
2 2∫
+
+
=
dx
x
)
3
)
1
(
1
(
3
1
2∫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
dx
x
23
)
1
(
1
1
3
1
b.du
dx
dx
du
x
u
3
3
1
3
1
=
→
=
→
+
=
Misal∫
∫
=
+
+
=
+
+
−C
u
du
u
x
x
dx
1 2 2tan
3
1
1
3
3
1
4
2
Gunakan rumus∫
= + + − C u du u tan ( ) 1 1 1 2C
x
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
−3
1
tan
3
1
1e. Invers fungsi secan
Diberikan f(x) = sec x 2,
0
,
≤
x
≤
π
x
≠
π 2,
0
,
0
tan
sec
)
(
'
x
=
x
x
>
≤
x
≤
π
x
≠
πf
f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya
Definisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx atau 1 x sec− Sehingga
y
x
x
y
=
sec
−1⇔
=
sec
Turunan
( )
xx
1 1 1cos
sec
−=
−Dari
y
=
sec
−1x
⇔
x
=
sec
y
x
y
1
cos
=
( )
xy
=
cos
−1 1 Sehingga( )
x x xx
D
D
(sec
−1)
=
(cos
−1 1 2 2 11
)
(
1
1
x
x−
−
−
=
1
|
|
2 2−
=
x
x
x
1 | | 1 2 − = x x 1 | | ' ) (sec 2 1 − = − u u u u Dx Jika u = u(x)∫
=
+
−
−c
x
dx
x
x
|
|
sec
1
1
1 2e. Invers fungsi cosecan
Diberikan f(x) = csc x,
,
0
2 2≤
≤
≠
−πx
πx
0
,
,
0
cot
csc
)
(
'
x
=
−
x
x
<
−2≤
x
≤
2x
≠
f
π πf(x) = sec x monoton murni Ada inversnya
Definisi Invers dari fungsi csc x disebut arcus csc x, notasi arc cscx atau 1 x csc− Sehingga
y
x
x
y
=
csc
−1⇔
=
csc
Turunan
( )
xx
1 1 1sin
csc
−=
− Dariy
=
csc
−1x
⇔
x
=
csc
y
x
y
1
sin
=
( )
xy
=
sin
−1 1 Sehingga( )
x x xx
D
D
(csc
−1)
=
(sin
−1 1 2 2 11
)
(
1
1
x
x−
−
=
1
|
|
2 2−
−
=
x
x
x
1 | | 1 2 − − = x x 1 | | ' ) (sec 2 1 − − = − u u u u Dx Jika u = u(x)∫
=
−
+
−
−c
x
dx
x
x
|
|
csc
1
1
1 2Contoh
A. Hitung turunan pertama dari
)
(
sec
)
(
x
1x
2f
=
− a. b.f
(
x
)
=
sec
−1(tan
x
)
Jawab1
2
)
(
1
)
(
|
|
1
)
(
'
4 2 2 2 2 2−
=
−
=
x
x
x
x
Dx
x
x
x
f
1
2
4−
=
x
x
a.1
tan
|
tan
|
sec
)
(tan
1
)
(tan
|
tan
|
1
)
(
'
2 2 2 2 2−
=
−
=
x
x
x
x
Dx
x
x
x
f
b.B. Hitung
∫
−
dx
x
x
4
1
2 Jawab∫
∫
− = − x dx x dx x x ) 1 4 ( 4 1 4 1 2 2∫
− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dx x x 1 2 1 2 1 2du
dx
dx
du
x
u
2
2
2 1→
=
=
→
=
Misal∫
∫
∫
= − − = − u u du du u u dx x x 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 2 2x
+
=
+
=
1
−11
−1Soal Latihan
A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin
2 1
)
(sin
x
y
=
− 1. 2.tan
1(
x)
e
y
=
− 3.y
=
tan
−1x
ln
x
te
t
f
(
)
=
sec−1 4.)
3
(
cot
1 2x
x
y
=
− 5.)
1
(
tan
1x
x
2y
=
−−
+
6.B. Hitung
∫
9
2+16
x
dx
∫
+
dx
e
e
x x1
2 1. 5.∫
−16
4
x
x
2dx
∫
−
25
2
x
dx
∫
−
dx
e
e
x x 4 21
∫
[
4
+
(ln
)
2]
x
x
dx
3. 6. 7. 2.∫
/2−
− 1 0 2 11
sin
dx
x
x
4.8.8 Fungsi Hiperbolik
Definisi2
cosh
)
(
x xe
e
x
x
f
−+
=
=
a. Fungsi kosinus hiperbolik :
2
sinh
)
(
x xe
e
x
x
f
−−
=
=
b. Fungsi sinus hiperbolik :
x x x x e e e e x x x x f − − + − = = = cosh sinh tanh ) ( x x x x e e e e x x x x f − − − + = = = sinh cosh coth ) ( x x e e x x h x f − − = = = 2 cosh 1 sec ) ( c. Fungsi tangen hiperbolik :
d. Fungsi cotangen hiperbolik : e. Fungsi secan hiperbolik :
x x e e x x h x f − + = = = 2 sinh 1 csc ) (
1
sinh
cosh
2x
−
2x
=
x
h
x
2 2sec
tanh
1
−
=
x
h
x
2 2csc
1
coth
−
=
Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik
x
e
x
x
+ sinh
=
cosh
1. 2. xe
x
x
− sinh
=
−cosh
3. 4. 5.Turunan
x
e
e
e
e
D
x
D
x x x x x xsinh
2
2
)
(cosh
⎟⎟
=
−
=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
− −∫
sinh
x
dx
=
cosh
x
+
C
x
e
e
e
e
D
x
D
x x x x x xcosh
2
2
)
(sinh
⎟⎟
=
+
=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
− −∫
cosh
x
dx
=
sinh
x
+
C
)
cosh
sinh
(
)
(tanh
x
x
D
x
D
x=
xh
x
x
x
x
x
2 2 2 2 2sec
cosh
1
cosh
sinh
cosh
=
=
−
=
)
sinh
cosh
(
)
(coth
x
x
D
x
D
x=
xx
x
x
x
x
x
2 2 2 2 2 2sinh
)
sinh
(cosh
sinh
cosh
sinh
−
−
=
−
=
x
h
x
2 2csc
sinh
1
=
−
−
=
)
cosh
1
(
)
(sec
x
D
hx
D
x=
xhx
x
x
x
tanh
sec
cosh
sinh
2=
−
−
=
) sinh 1 ( ) (csc x D hx Dx = x hx x x x coth csc sinh cosh 2 = − − =Grafik f(x) = coshx
DiketahuiR
x
e
e
x
x
f
x x∈
+
=
=
−,
2
cosh
)
(
(i) 1 ⎩ ⎨ ⎧ > > < < = − = − 0 , 0 ) ( ' 0 , 0 ) ( ' 2 ) ( ' x x f x x f e e x f x x (ii)f monoton naik pada x > 0 monoton turun pada x < 0
R x e e x f x x ∈ ∀ > + = − 0, 2 ) ( '' (iii)
Grafik f selalu cekung keatas (iv) f(0)=1
Grafik f(x) = sinhx
DiketahuiR
x
e
e
x
x
f
x x∈
−
=
=
−,
2
sinh
)
(
(i) 0 2 ) ( ' = + > − x x e e x f (ii)f selalu monoton naik
⎩ ⎨ ⎧ < < > > = − = − 0 , 0 0 , 0 2 ) ( '' x x e e x f x x (iii)
Grafik f cekung keatas pada x>0 cekung kebawah pada x<0 (iv) f(0)= 0
Contoh Tentukan
y
'
dari)
1
tanh(
2+
=
x
y
1.)
1
(
h
sec
2
)
1
(
)
1
(
h
sec
'
=
2x
2+
Dx
x
2+
=
x
2x
2+
y
Jawab8
sinh
2 2+ y
=
x
x
2. 1.)
8
(
)
sinh
(
x
2x
y
2Dx
Dx
+
=
0
'
2
cosh
sinh
2
x
x
+
x
2x
+
y
y
=
2.y
x
x
x
x
y
2
cosh
sinh
2
'
2+
−
=
Soal Latihan
A. Tentukan turunan pertama dari
x
x
f
(
)
=
tanh
4
x
x
g
(
)
=
sinh
2x
x
x
g
cosh
1
cosh
1
)
(
+
−
=
21
coth
)
(
t
t
h
=
+
1. 2. 3. 4. 5.g
(
t
)
=
ln(sinh
t
))
6. 2cosh
)
(
x
x
x
f
=
B. Hitung integral berikut
