8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULU I 1

8. FUNGSI

8.1

Invers

Fungsi

Misalkan denganf : Df → Rf

)

(x

f

y

x

_!

₌

v

u ≠

f (u) ≠ f (v)

Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = v atau jika maka

x y = x y = − 2 x y = u v

Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.

Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi _f −1 f f

D

R

f

−1

_:

_→

( )

y

f

x

y

−1

=

!

Berlaku hubungan

x

x

f

f

−1

₍

₍

₎₎

₌

y

y

f

f

₍

−1

₍

₎₎

₌

f f f f

R

R

D

D

−1

₌

,

−1

₌

Df Rf f x y=f(x) R R 1 − f ) ( 1 _y f x − =

Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers x x f ( ) = x x f ( ) _{= −} 2 ) (x x f = u v f(x)=x R x x f '( ) =1> 0,∀ ∈ f selalu naik f(x)=-x R x x f '( ) _{= −}1_< 0,_{∀ ∈} f selalu turun ⎩ ⎨ ⎧ < < > > = = 0 , 0 0 , 0 2 ) ( ' x x x x f f naik untuk x>0 turun untuk x <0 1 − f 1 − f 1 −

Contoh : Diketahui

f x

x

x

( ) =

−

+

1

2

a.  Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya

Jawab a. 2

)

2

(

)

1

.(

1

)

2

.(

1

)

(

'

+

−

−

+

=

x

x

x

x

f

x

Df

x

₊

>

∀

∈

=

0

,

)

2

(

3

2

Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers b. Misal

2

1

+

−

=

x

x

y

1

2

₌

₋

+

y

x

xy

1

1

2

1

2

−

−

−

=

⇒

−

−

=

−

y

y

x

y

x

y

x

1

1

2

)

(

1

1

2

)

(

1 1

−

−

−

=

⇒

−

−

−

=

− −

x

x

x

f

y

y

y

f

Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya. 2 ) (x x f ₌ u v 1 − f tidak ada

R

x ∈

Untuk 2

)

(

x

x

f

₌

Untuk x>0 ada _f −1 2

)

(

x

x

f

₌

Grafik fungsi invers

Titik (x,y) terletak

pada grafik f Titik (y,x) terletak _{pada grafik f} −1

Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x Grafik f dan semetri terhadap garis y=x _f −1 f

1 −

Turunan fungsi invers

Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan

pada selang I. Jika maka dapat diturunkan di y=f(x) dan

f

'

(

x

)

≠ ,

0

x

∈

I

1 − f

)

(

'

1

)

(

)'

(

1

x

f

y

f

−

₌

Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai

dx

dy

dy

dx

/

1

=

Contoh Diketahui tentukan

₍

₎

5

₂

₁

+

+

=

x

x

x

f

( _f −1)'(4)

2

5

)

(

'

4

+

= x

x

f

,y=4 jika hanya jika x=1

1

1

Soal Latihan f x x x x ( ) _{= +} 1 , _> 0 f x( ) = 3 2x −1 f x_{( ) =} 5 4x ₊ 2 f x x x ( ) = , + ≥ 5 1 0 2 f x x x ( ) = + − 1 1 3 2 ) (x = x − f

Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari 1. 2. 3. 4. 5. 6.

8.2

Fungsi Logaritma Asli

n  Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :

n  Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :

n  Secara umum, jika u = u(x) maka

ln

x

,

t

dt x

x

=

_∫

1

>

0

1

[

]

x

dt

t

D

x

D

x x x

1

1

ln

1

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

_∫

[

u

]

D

dt

du

D

x u

1

1

ln

) (

=

⎟

⎞

⎜

⎛

=

_∫

.

Contoh : Diberikan

maka

Jika

Jadi,

Dari sini diperoleh :

Sifat-sifat Ln :

1. ln 1 = 0 2. ln(ab) = ln a + ln b 3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)

))

2

4

ln(sin(

)

(

x

=

x

+

f

))

2

4

(sin(

)

2

4

sin(

1

)

(

'

+

+

=

D

x

x

x

f

_x

)

2

4

cot(

4

₊

=

x

0

,|

|

ln

_≠

=

x

x

y

⎩ ⎨ ⎧ < − > = 0 , ) ln( 0 , ln x x x x

x

y

x

y

₌

ln

_→

'

₌

1

x x y x y ln( ) ' 1 = 1 − − = → − =

.

0

,

1

|)

|

(ln

=

x

≠

x

x

dx

d

∫

dx

=

ln

|

x

|

+

C

x

1

a

r

a

r

ln

ln

.

4

₌

dx

x

x

∫

₊

4 0 3 2

2

dx

x

du

x

u

₌

3

₊

2

_→

₌

3

2 Contoh: Hitung jawab Misal 2 2 3 2

3

2

x

du

u

x

dx

x

x

∫

=

∫

+

=

∫

u

du

=

3

ln

|

u

|

+

c

1

1

3

1

c

x

+

+

=

ln

|

2

|

3

1

3

]

₀

4

|

2

|

ln

3

1

2

3 4 0 3 2

+

=

+

∫

_x

x

dx

x

=

1

₃

(ln

66

−

ln

2

)

=

1

₃

ln

33

.

sehingga

Grafik fungsi logaritma asli

0

,

ln

)

(

1

>

=

=

_∫

x

t

dt

x

x

f

x f

D

x

x

x

f

'

(

)

₌

1

_>

0

_∀

_∈

f selalu monoton naik pada Df

f

D

x

x

x

f

''

(

)

=

−

1

₂

<

0

∀

∈

Diketahui a. b. c.

Grafik selalu cekung kebawah d. f(1) = 0

1

8.3

Fungsi Eksponen Asli

n 

Karena maka fungsi logaritma asli

monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi

logaritma asli disebut

fungsi eksponen asli,

notasi exp

. Jadi

berlaku hubungan

n 

Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x))

n 

Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang

bersifat ln e = 1.

Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh

[ ]

ln

₌

1

_>

0

untuk

x

_>

0

,

x

x

D

_x

y

x

x

y

₌

exp(

)

_⇔

₌

ln

r

e

r

e

e

r

₌

exp(ln

r

)

₌

exp

ln

₌

exp

_e

x

x =

)

(

x

e

y

dy

dx

dx

dy

=

=

=

/

1

x x x

e

e

D

(

)

₌

,

Jadi

y

x

e

y

₌

x

_⇔

₌

ln

Turunan dan integral fungsi eksponen asli Dengan menggunakan turunan fungsi invers Dari hubungan

y

dy

dx

1

=

'

.

)

(

e

( )

e

u

D

_x u x

₌

u Secara umum Sehingga

∫

e

x

dx

=

e

x

+

C

1

y=ln x y=exp (x)

Grafik fungsi eksponen asli

Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x

1 Contoh

)

ln

3

(

.

)

(

e

3 ln

e

3 ln

D

x

x

D

x x

₌

x x 3 ln

₍

₃

_ln

₃

_).

+

=

e

x x

x

.

3

1

3

1

3

1

_3/ 2 / 3

c

e

c

e

du

e

dx

x

e

x _{u u x}

+

−

=

+

−

=

−

=

_∫

∫

Contoh Hitung

dx

x

e

x

∫

2 / 3 Jawab :

du

dx

x

dx

x

du

x

u

3

1

1

3

3

2 2

→

=

−

−

=

→

=

Misalkan Sehingga

) (

))

(

(

)

(

x

g

x

h x

f

=

Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli

Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi Diketahui

))

(

ln(

)

(

))

(

ln(

f

x

₌

h

x

g

x

)))

(

ln(

)

(

(

)))

(

(ln(

f

x

D

h

x

g

x

D

_x

₌

_x

)

(

'

)

(

)

(

))

(

ln(

)

(

'

)

(

)

(

'

x

g

x

g

x

h

x

g

x

h

x

f

x

f

+

=

)

(

)

(

'

)

(

)

(

))

(

ln(

)

(

'

)

(

'

g

x

f

x

x

g

x

h

x

g

x

h

x

f

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

?

)

(

'

,

f

x

₌

Contoh

Tentukan turunan fungsi

_f

_x

₎

_(sin

_x

₎

4x

( =

))

ln(sin(

4

)

ln(sin

)

(

ln

_f

_x

_x

4x

_x

_x

=

=

Jawab

)))

ln(sin(

4

(

))

(

(ln

f

x

D

x

x

D

_x

₌

_x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

f

cot

4

))

ln(sin(

4

cos

sin

4

))

ln(sin(

4

)

(

)

(

'

+

=

+

=

x

x

x

x

x

x

f

_'

₍

₎

₍

₄

_ln(sin(

₎₎

₄

_cot

_)(sin

₎

4

+

=

Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli

B. Selesaikan integral tak tentu berikut 4 2x ₊1 dx

∫

4 2 5 2 x x x dx + + +

∫

( )

2 2 x ln x dx

∫

∫

ln _x3x dx 2

∫

tan(ln_x x) dx x x dx 3 2 ₁ +

∫

(x₊ )ex + xdx

∫

3 2 ₆

(

)

e

−x

−

e

−x

dx

∫

sec

2

2

(cos )

x e

sin x

dx

∫

e

2 ln

x

dx

∫

∫

x

2

e

2x3

dx

∫

_e

e

x

₊

dx

x

3

2

∫

₋

e

_e

x

dx

x 2 3 3

)

2

1

(

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

C. Selesaikan integral tentu berikut 3 1 2 1 4 −

∫

_x dx

(

)

1 1 1 4 x + x dx ∫ e e dx x x + − ∫ 4 3 3 ln ln

(

)

ex 3 4ex dx 0 5 − ∫ ln e2x 3dx 0 1 +

∫

dx e x

∫

− 2 ln 0 3 e x dx x 3 2 1 2 ∫

∫

− 2 0 4 2

_dx

xe

x

∫

2 2

)

(ln

e e

x

x

dx

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

x x

x

− → 1 1 1

lim

(

)

x x

x

1 0

1

sin

2

lim +

→ lim cos x x x →∞ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 2 2

(

x

)

x x

e

ln 1 2 0

1

lim

₋

+ →

(

)

x x

x

ln 1 2

1

lim +

∞ →

(

)

x x

x

1

ln

lim

∞ →

(

x x

)

x x 1

5

3

lim

₊

∞ →

lim

x x

x

x

→∞

+

+

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

1

2

D. Hitung limit berikut :

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

8.5 Fungsi Eksponen Umum

Fungsi , a > 0 disebut fungsi eksponen umum

Untuk a > 0 dan x ∈ R, definisikan Turunan dan integral

Jika u = u(x), maka

Dari sini diperoleh :

: x

a

x

f

(

)

₌

a

x

₌

e

x ln a

a

a

a

e

e

D

a

D

x a x a x x x x

(

)

(

)

ln

ln

ln ln

=

=

=

a

u

a

u

a

e

e

D

a

D

_x

(

u

)

₌

_x

(

ulna

)

₌

ulna

ln

.

'

₌

u

'

ln

∫

=

a

+

C

a

dx

a

x x

ln

1

Sifat–sifat fungsi eksponen umum

Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku

y x y x

_a

_a

a

+

=

y x y x

a

a

a

₋

=

xy y x

_a

a

)

₌

(

x x x

b

a

b

a

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1. 2. 3. 4.

(

ab =

)

x

a

x

b

x 5.

∫

4

x2

.

xdx

C C du u x u + = + =

∫

4 _{2 2}1 _ln4 _{4 2}4_ln4 2 x x

x

f

(

)

₌

3

2 +1

₊

2

sin2

2

ln

2

cos

2

.

2

3

ln

3

.

2

)

(

'

x

2 1 sin2

x

f

₌

x+

₊

x Contoh

1. Hitung turunan pertama dari

Jawab : 2. Hitung Jawab :

du

dx

xdx

du

x

u

2

₂

₂1_x

=

→

=

→

=

Misal =

∫

4x2.xdx

Grafik fungsi eksponen umum

0

,

)

(

x

₌

a

a

_>

f

x

)

,

(

_−∞

_∞

=

Df

a. b.

f

_'

₍

x

₎

a

x

_ln

a

=

⎩ ⎨ ⎧ > > < < < = 1 , 0 ln 1 0 , 0 ln a a a a a a x x

f monoton naik jika a > 1

monoton turun jika 0 < a < 1

f x

_a

_x

_D

a

x

f

''

(

)

=

(ln

)

2

>

0

∀

∈

c.

Grafik f selalu cekung keatas d. f(0) = 1 Diketahui 1 , ) (x = a a > f x 1 0 , ) (x = a <a < f x

8.6 Fungsi Logaritma Umum

Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum

( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi , sehingga berlaku :

Dari hubungan ini, didapat

Sehingga

Jika u=u(x), maka

x

a

_log

y

a

x =

⇔

x

y

₌

a

log

a

x

x

a

x

y

a

y

a

x

y a

ln

ln

log

ln

ln

ln

ln

ln

₌

₌

_⇒

₌

_⇒

₌

a x a x D x D_x a _x ln 1 ) ln ln ( ) log ( _{= =}

a

u

u

a

u

D

u

D

_x a _x

ln

'

)

ln

ln

(

)

log

(

=

=

Contoh Tentukan turunan pertama dari

)

1

log(

)

(

3 2

+

=

x

x

f

)

1

1

log(

)

(

4

−

+

=

x

x

x

f

1. 2. Jawab : 1. 3 ln ) 1 ln( ) 1 log( ) ( 2 2 3 + = + = x x x f

3

ln

1

1

2

)

(

'

₂

+

=

x

x

x

f

2.

4

ln

)

ln(

)

1

1

log(

)

(

4 ₋+11

=

−

+

=

x x

x

x

x

f

( )

1

)

1

(

1

4

ln

1

)

(

'

1 1

₋

+

=

− +

x

x

Dx

x

f

x x 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 4 ln 1 − + − − + − = x x x x x 2 1 ₋

Grafik fungsi logaritma umum

Untuk a > 1 x

a

x

f

(

)

₌

Untuk 0 < a < 1 x a x f ( ) =

Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x

x x f ( ) alog = x x f( ) alog =

y

₌

3

2

x

4

−

4

x

(

9

)

log

2 10

+

=

x

y

x

2

x

2

dx

∫

10

5 1x−

dx

∫

Soal Latihan A. Tentukan dari

_y

_'

1. 2.

2

)

log(

3

=

+ y

xy

x

3. B. Hitung 1. 2.

8.7 Fungsi Invers Trigonometri

Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi, fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satu- satu sehingga mempunyai invers.

a. Invers fungsi sinus

Diketahui f(x) = sinx , −₂π

_≤

x

_≤

π₂

Karena pada f(x)=sinx monoton murni maka inversnya ada. Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus, notasi arcsin(x),atau

_sin

−1

₍

_x

₎

2 2π

≤

≤

π −

x

Sehingga berlaku

y

x

x

y

=

sin

−1

⇔

=

sin

2π − 2 π

Turunan

Dari hubungan _{y sin} 1 _{x x siny}

= ⇔ = − y dy dx dx dy cos 1 / 1 = = 2 2 , 1 1_{≤ ≤} π _{≤ ≤} π − x − y

dan rumus turunan fungsi invers diperoleh

1 | |, 1 1 sin 1 1 2 2 < − = − = x x y 2 1 1 1 ) (sin x x D_x − = − atau Jika u=u(x) 2 1 1 ' ) (sin u u u D_x − = −

Dari rumus turunan diperoleh

b. Invers fungsi cosinus

Fungsi f(x) = cosx ,0 _{≤ x ≤π}

π

x x f( =) cos

monoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers

Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcuscosx, notasi arc cosx atau _cos−1_(x)

Berlaku hubungan

y

x

x

y

₌

cos

−1

_⇔

₌

cos

Turunan

Dari

_y

_cos

1

_x

_x

_cos

_y

=

⇔

=

−

dy

1

₋

1

=

=

π

≤

≤

≤

≤

−

1

x

1

,

0

y

,

1 | |, 1 1 < − = − = x diperoleh

atau 2 1 1 1 ) (cos x x D_x − − = − 2 1 1 ' ) (cos u u u D_x − − = − Jika u= u(x)

Dari rumus turunan diatas diperoleh

∫

=− + − − _{x C} x dx 1 2 cos 1 Contoh

=

−

₍

₎₎

(sin

1

x

2

D

_x ( ) ) ( 1 1 ₂ 2 2 D x x x − 1 4 2 x x − =

=

−

_(tan

₎₎

(cos

1

x

D

_x (tan ) ) (tan 1 1 2 D x x x − − x x 2 2 tan 1 sec − − =

Contoh Hitung

∫

₄

₋

_x

2

dx

1

Jawab : Gunakan rumus

∫

= + − − _{u C} du u sin ( ) 1 1 1 2

∫

− = dx x ) 4 1 ( 4 1 2

∫

_{4− x}2 dx 1

∫

− = dx x ₂ ) 2 ( 1 ( 1 2 1 Misal

_u

x

_du

_dx

_dx

₂

_du

2

2 1

_→

₌

=

→

=

∫

_{4− x}2 dx 1

∫

=

+

−

=

du

−

u

C

u

1 2

sin

1

(

2

2

1

_x

_C

+

=

sin

−1

(

₂

)

c. Invers fungsi tangen

Fungsi f(x) = tanx, 2 2π

≤

≤

π −

x

2π − 2 π f(x)=tanx

Monoton murni (selalu naik) sehingga mempunyai invers.

Definisi Invers dari tan x disebut fungsi arcus tanx, notasi arc tanx atau

tan

−1

(

_x

)

Berlaku hubungan

y

x

x

y

₌

tan

−1

_⇔

₌

tan

y

x

x

y

tan

1

tan

=

⇔

=

−

dy

1

1

=

=

Turunan Dari 2 2

,

−π

_<

y

_<

π

dan turunan fungsi invers diperoleh

1

1

=

=

2 1 1 1 ) (tan x x D_x + = − 2 1 1 ' ) (tan u u u D_x + = −

∫

=

+

+

−

_x

_C

x

dx

₁ 2

tan

1

atau Jika u=u(x)

d. Invers fungsi cotangen

Fungsi f(x)= cot x

_,

₀

_{< x}

_<

_π

π

f(x)=cotx

selalu monoton turun(monoton murni) sehingga mempunyai invers

Definisi Invers dari fungsi cot x disebut Arcus cotx, notasi arc cotx atau cot−1 x

Berlaku hubungan

y

x

x

y

₌

cot

−1

_⇔

₌

cot

Turunan

y

dy

dx

dx

dy

2

csc

1

/

1

−

=

=

_{2 2}

1

1

cot

1

1

x

y

+

−

=

+

−

=

atau 2 1 1 1 ) (cot x x D_x + − = −

∫

_{4 x}

₊

2

dx

∫

=

−

+

+

−

_x

_C

x

dx

₁ 2

cot

1

2 1 1 ' ) (cot u u u D_x + − = − Jika u=u(x) Contoh

)

1

(

(tan

1 2

+

−

_x

D

_x ( 1) ) 1 ( 1 1 ₂ 2 2 + + + = Dx x x

1

(

2

1

)

2

2

+

+

=

x

x

)

(sin

(cot

1

x

D

_x − _{(sin )} ) (sin 1 1 2 Dx x x + − = x x 2 sin 1 cos + − = Contoh Hitung a. b.

_∫

dx

∫

∫

+ = + x dx x ₎ dx 4 1 ( 4 1 4 1 2 2 Jawab a.

_∫

+ = _x dx 2 ) 2 ( 1 1 4 1

du

dx

dx

du

x

u

2

2

2 1

_→

₌

=

→

=

∫

∫

=

+

+

=

+

−

_u

_C

du

u

dx

x

1 2 2

₂

tan

1

1

2

4

1

4

1

C

x

+

=

−

)

2

(

tan

2

1

₁ Gunakan rumus

∫

= + + − _{u C} du u tan ( ) 1 1 ₁ 2

b. Gunakan rumus

∫

= + + − _{u C} du u tan ( ) 1 1 ₁ 2

∫

∫

= _{+ +} + + x x dx x dx 3 ) 1 ( 1 4 2 2 2

∫

+

+

=

dx

x

)

3

)

1

(

1

(

3

1

2

∫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

dx

x

2

3

)

1

(

1

1

3

1

du

dx

dx

du

x

u

3

3

1

3

1

=

→

=

→

+

=

Misal

∫

∫

=

+

+

=

+

+

−

_u

_C

du

u

x

x

dx

₁ 2 2

tan

3

1

1

3

3

1

4

2

C

x

+

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛ +

=

1

tan

−1

1

e. Invers fungsi secan

Diberikan f(x) = sec x 2

,

0

,

_≤

x

_≤

_π

x

_≠

π 2

,

0

,

0

tan

sec

)

(

'

x

₌

x

x

_>

_≤

x

_≤

_π

x

_≠

π

f

f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya

Definisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx atau _sec−1 _x Sehingga

y

x

x

y

₌

sec

−1

_⇔

₌

sec

Turunan

Dari

_y

₌

_sec

−1

_x

_⇔

_x

₌

_sec

_y

x

y

1

cos =

_y

_cos

−1

_{( )}

1_x

=

( )

x

x

1 1 1

_cos

sec

− −

=

Sehingga

( )

x x x

x

D

D

_(sec

−1

₎

_(cos

−1 1

=

₂ 2 1

1

)

(

1

1

x

x

−

−

−

=

1

|

|

2 2

−

=

x

x

x

1 | | 1 2 − = x x Jika u = u(x) 1 | | ' ) (sec 2 1 − = − u u u u D_x

∫

dx

=

−

x

+

c

x

x

1

sec

|

|

1

₁ 2

e. Invers fungsi cosecan

Diberikan f(x) = csc x

_,

_,

₀

2 2

≤

≤

≠

−π

x

π

x

0

,

,

0

cot

csc

)

(

'

x

₌

₋

x

x

_<

−₂

_≤

x

_≤

₂

x

_≠

f

π π

f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya

Definisi Invers dari fungsi csc x disebut arcus csc x, notasi arc cscx atau _csc−1 _x Sehingga

y

x

x

y

₌

csc

−1

_⇔

₌

csc

Turunan

Dari

_y

₌

_csc

−1

_x

_⇔

_x

₌

_csc

_y

x

y

1

sin =

_y

_sin

−1

_{( )}

1_x

=

( )

x

x

1 1 1

_sin

csc

− −

=

Sehingga

( )

x x x

x

D

D

_(csc

−1

₎

_(sin

−1 1

=

₂ 2 1

1

)

(

1

1

x

x

−

−

=

1

|

|

2 2

−

−

=

x

x

x

1 | | 1 2 − − = x x Jika u = u(x) 1 | | ' ) (sec 2 1 − − = − u u u u D_x

∫

dx

=

−

−

x

+

c

x

x

1

csc

|

|

1

1 2

Contoh

A. Hitung turunan pertama dari

)

(

sec

)

(

_x

1

_x

2

f

−

=

1

2

)

(

1

)

(

|

|

1

)

(

'

4 2 2 2 2 2

−

=

−

=

x

x

x

x

Dx

x

x

x

f

1

2

4

−

=

x

x

a. b. Jawab a.

)

(tan

sec

)

(

_x

1

_x

f

−

=

1

x

tan

|

x

tan

|

x

sec

)

x

(tan

Dx

1

)

x

(tan

|

x

tan

|

1

)

x

('

f

2 2 2

₋

=

₋

=

b.

B. Hitung

∫

_x

_x

1

2

₋

₄

dx

∫

∫

− = − dx x x dx x x ) 1 4 ( 4 1 4 1 2 2

∫

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dx x x 1 2 1 2 1 2 Jawab Misal

_u

x

_du

_dx

_dx

₂

_du

2

2 1

_→

₌

=

→

=

∫

∫

∫

= ₋ − = − du u u du u u dx x x 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 2 2

x

1

1

Soal Latihan 2 1

₎

(sin x

y

−

=

)

(

tan

1

e

x

y

−

=

x

x

y

tan

−1

ln

=

t

e

t

f

(

)

₌

sec−1

)

3

(

cot

1 2

_x

x

y

−

=

)

1

(

tan

1

x

x

2

y

₌

−

₋

₊

A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin 1. 2. 3. 4. 5. 6.

B. Hitung

∫

₉

_x

2

₊₁₆

dx

∫

₄

_x

_x

2

₋₁₆

dx

∫

₂

₋

₅

_x

2

dx

∫

₋

− 2 / 1 0 2 1

1

sin

dx

x

x

∫

_e

e

x

₊

dx

x

1

2

∫

e

₋

_e

x

dx

x 4 2

1

∫

_{x[4+ (ln x)}2_] dx 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8.8 Fungsi Hiperbolik

Definisi

a. Fungsi kosinus hiperbolik :

2

cosh

)

(

x x

_e

e

x

x

f

₌

₌

+

−

b. Fungsi sinus hiperbolik :

2

sinh

)

(

x x

_e

e

x

x

f

₌

₌

−

−

c. Fungsi tangen hiperbolik : _{x x}

x x e e e e x x x x f −₋ + − = = = cosh sinh tanh ) ( x x x x e e e e x x x x f ₋− − + = = = sinh cosh coth ) ( x x _e e x x h x f ₋ − = = = 2 cosh 1 sec ) ( x x _e e x x h x f − + = = = 2 sinh 1 csc ) (

d. Fungsi cotangen hiperbolik : e. Fungsi secan hiperbolik : f. Fungsi cosecan hiperbolik :

1

sinh

cosh

2

x

₋

2

x

₌

x

h

x

2 2

_sec

tanh

1

₋

₌

x

h

x

2 2

₁

_csc

coth

₋

₌

Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik

x

e

x

x

_{+ sinh}

₌

cosh

1. 2.

_x

_x

_e

−x

=

− sinh

cosh

3. 4. 5.

Turunan

x

e

e

e

e

D

x

D

x x x x x x

cosh

2

2

)

(sinh

_⎟⎟

=

+

=

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

− −

x

e

e

e

e

D

x

D

x x x x x x

sinh

2

2

)

(cosh

_⎟⎟

=

−

=

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

− −

∫

sinh

x

dx

=

cosh

x

+

C

∫

cosh

x

dx

=

sinh

x

+

C

)

cosh

sinh

(

)

(tanh

x

x

D

x

D

_x

=

_x

_h

_x

x

x

x

x

₂ 2 2 2 2

sec

cosh

1

cosh

sinh

cosh

=

=

−

=

)

sinh

cosh

(

)

(coth

x

x

D

x

D

_x

=

_x

x

x

x

x

x

x

2 2 2 2 2 2

sinh

)

sinh

(cosh

sinh

cosh

sinh

−

−

=

−

=

x

h

x

2 2

csc

sinh

1

−

=

−

=

)

cosh

1

(

)

(sec

x

D

hx

D

_x

=

_x

hx

x

x

x

tanh

sec

cosh

sinh

2

=

−

−

=

) sinh 1 ( ) (csc x D hx D_x = _x hx x x x coth csc sinh cosh 2 = − − =

R

x

e

e

x

x

f

x x

∈

+

=

=

−

,

2

cosh

)

(

f(0)=1

Grafik f(x) = coshx

⎩ ⎨ ⎧ > > < < = − = − 0 , 0 ) ( ' 0 , 0 ) ( ' 2 ) ( ' x x f x x f e e x f x x (i) (ii)

f monoton naik pada x > 0 monoton turun pada x < 0

(iii) f x e e x R x x ∈ ∀ > + = − , 0 2 ) ( ''

Grafik f selalu cekung keatas (iv)

1

R

x

e

e

x

x

f

x x

∈

−

=

=

−

,

2

sinh

)

(

f(0)= 0

Grafik f(x) = sinhx

0 2 ) ( ' = + > − x x _e e x f (i) (ii)

f selalu monoton naik (iii) ⎩ ⎨ ⎧ < < > > = − = − 0 , 0 0 , 0 2 ) ( '' x x e e x f x x

Grafik f cekung keatas pada x>0 cekung kebawah pada x<0 (iv)

Contoh Tentukan dari y'

)

1

tanh(

2

+

=

x

y

)

1

(

h

sec

2

)

1

(

)

1

(

h

sec

'

₌

2

x

2

₊

Dx

x

2

₊

₌

x

2

x

2

₊

y

1. Jawab 1.

8

sinh

2 2

=

+ y

x

x

2. 2.

_Dx

(

_x

2

sinh

_x

_y

2

)

_Dx

(

8

)

=

+

0

'

2

cosh

sinh

2

x

x

₊

x

2

x

₊

y

y

₌

y

x

x

x

x

y

2

cosh

sinh

2

'

2

+

−

=

Soal Latihan

A. Tentukan turunan pertama dari

x

x

f

(

)

₌

tanh

4

x

x

g

_{( =}

)

sinh

2

x

x

x

g

cosh

1

cosh

1

)

(

+

−

=

2

1

coth

)

(

t

t

h

₌

₊

))

ln(sinh

)

(

t

t

g

₌

2

cosh

)

(

x

x

x

f

₌

1. 2. 3. 4. 5. 6.

B. Hitung integral berikut

∫

Sinh

(

1

+

4

x

)

dx

∫

sinh

x

cosh

2

x

dx

∫

tanh

x

dx

∫

₂

sec

₊

_tanh

h

x

_x

dx

2 1. 2. 3. 4.