BAB I BAB I
PENDAHULUAN PENDAHULUAN
A.
A. Latar belakangLatar belakang
Dalam abad ke-20 ini, seluruh kehidupan manusia sudah mempergunakan Dalam abad ke-20 ini, seluruh kehidupan manusia sudah mempergunakan matematika, baik matematika ini sangat sederhana hanya untuk menghitung matematika, baik matematika ini sangat sederhana hanya untuk menghitung satu, dua, tiga maupun yang sampai sangat rumit misalnya perhitungan satu, dua, tiga maupun yang sampai sangat rumit misalnya perhitungan antariksa.
antariksa.
Demikian pula ilmu-ilmu pengetahuan semuanya sudah mempergunakan Demikian pula ilmu-ilmu pengetahuan semuanya sudah mempergunakan matematika. Philosopy modern juga tidak akan tepat bila pengetahuan tentang matematika. Philosopy modern juga tidak akan tepat bila pengetahuan tentang matematika tidak mencukupi. Banyak sekali ilmu-ilmu social sudah matematika tidak mencukupi. Banyak sekali ilmu-ilmu social sudah mempergunakan matematika sebagai sosiometri, psychometric, econometric mempergunakan matematika sebagai sosiometri, psychometric, econometric dan seterusnya. Oleh karena itu, untuk menghadapi perkembangan modern, dan seterusnya. Oleh karena itu, untuk menghadapi perkembangan modern, dituntut sumber daya yang handal dan mampu berkompetisi secara global, dituntut sumber daya yang handal dan mampu berkompetisi secara global, sehingga diperlukan ketrampilan tinggi yang melibatkan pemikiran kritis, sehingga diperlukan ketrampilan tinggi yang melibatkan pemikiran kritis, sistematis, logis, kreatif dan kemauan bekerjasama yang efektif. Cara berpikir sistematis, logis, kreatif dan kemauan bekerjasama yang efektif. Cara berpikir seperti ini dapat dikembangkan melalui matematika. Hal ini sangat seperti ini dapat dikembangkan melalui matematika. Hal ini sangat dimungkinkan karena matematika memiliki struktur dengan keterkaitan yang dimungkinkan karena matematika memiliki struktur dengan keterkaitan yang kuat dan jelas satu dengan lainnya serta berpola pikir yang bersifat deduktif kuat dan jelas satu dengan lainnya serta berpola pikir yang bersifat deduktif dan konsisten.Matematika merupakan alat yang dapat memperjelas dan dan konsisten.Matematika merupakan alat yang dapat memperjelas dan menyederhanakan suatu keadaan atau situasi melalui abstraksi, idealisasi, atau menyederhanakan suatu keadaan atau situasi melalui abstraksi, idealisasi, atau generalisasi untuk suatu studi ataupun pemecahan masalah. Pentingnya generalisasi untuk suatu studi ataupun pemecahan masalah. Pentingnya matematika tidak lepas dari perannya dalam segala jenis dimensi kehidupan. matematika tidak lepas dari perannya dalam segala jenis dimensi kehidupan.
Filsafat dan matematika tumbuh di bawah asuhan beberapa filsuf, dimana Filsafat dan matematika tumbuh di bawah asuhan beberapa filsuf, dimana mereka mengemukakan
mereka mengemukakan bahwa bahwa filsafat ilmu dibidang filsafat ilmu dibidang matematika mempunyaimatematika mempunyai tujuan untuk menjelaskan dan menjawab tentang kedudukan dan dasar dari tujuan untuk menjelaskan dan menjawab tentang kedudukan dan dasar dari obyek dan metode matematika yaitu menjelaskan apakah secara ontologism obyek dan metode matematika yaitu menjelaskan apakah secara ontologism obyek matematika itu ada, dan menjelaskan secara epistemologis apakah obyek matematika itu ada, dan menjelaskan secara epistemologis apakah semua pernyataan matematika mempunyai tujuan dan menentukan suatu semua pernyataan matematika mempunyai tujuan dan menentukan suatu kebenaran. Mengingat bahwa hukum-hukum alam dan hukum-hukum kebenaran. Mengingat bahwa hukum-hukum alam dan hukum-hukum matematika mempunyai kesamaan status, maka
mungkin dapat menjadi pondasi matematika. Tetapi ini masih menjadi mungkin dapat menjadi pondasi matematika. Tetapi ini masih menjadi pertanyaan
pertanyaan besar besar untuk untuk dijawab. dijawab. Walaupun Walaupun beberapa beberapa pemikir pemikir pada pada filsafatfilsafat modern dari matematika menolak bagi keberadaan pondasi di dalam modern dari matematika menolak bagi keberadaan pondasi di dalam matematika, namun bebarapa filsuf masih tetap menaruh perhatian kepada matematika, namun bebarapa filsuf masih tetap menaruh perhatian kepada kegiatan kognisi manusia sebagai basis bagi diletakkannya fondamen kegiatan kognisi manusia sebagai basis bagi diletakkannya fondamen matematika. Mereka mencoba meletakkan dasar matematika pada kegiatan matematika. Mereka mencoba meletakkan dasar matematika pada kegiatan kognisi manusia.
kognisi manusia.
B.
B. Rumusan MasalahRumusan Masalah 1.
1. Apakah Apakah pengertian pengertian matematika matematika ?? 2.
2. Bagaimana perkembangan filsafat ilmu dibidang matematika ?Bagaimana perkembangan filsafat ilmu dibidang matematika ? 3.
3. Apakah peranan filsafat dalam matematika ?Apakah peranan filsafat dalam matematika ?
C.
C. TujuanTujuan 1.
1. Untuk mengetahui pengertian matematikaUntuk mengetahui pengertian matematika 2.
2. Untuk mengetahui perkembangan filsafat ilmu di bidang matematikaUntuk mengetahui perkembangan filsafat ilmu di bidang matematika 3.
3. Untuk mengetahui peranan filsafat dalam matematikaUntuk mengetahui peranan filsafat dalam matematika
D.
D. ManfaatManfaat
Manfaat penulisan makalah ini adalah agar menambah pengetahuan dan Manfaat penulisan makalah ini adalah agar menambah pengetahuan dan diharapkan bermanfaat bagi kita.
BAB II PEMBAHASAN
A. Pengertian Matematika
Pengertian matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmatika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, – 2, …, dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.
Matematika diambil dari bahasa Yunani, ( μαθηματικά – mathēmatiká) Perkataan itu mempunyai akar kata mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge,science), secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan,dan ruang: tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filosofi matematika.
Menurut bahasa kata “matematika” berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar” juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai “suka belajar”.
Sedangkan menurut istilah. Berbagai pendapat muncul tentang pengertian matematika tersebut dipandang dari pengetahuan dan pengalaman masing-masing individu yang berbeda. Ada yang berpendapat bahwa matematika itu bahasa simbol,matematika itu adalah bahasa numrik, matematika itu adalah bahasa yang menghilangkan sifat kabur,majemuk, dan emosional, matematika adalah metode berpikir logis , matematika adalah saran berpikir, matematika adalah logika pada masa dewasa , matematika adalah ratunya ilmu dan sekaligus menjadi pelayannya, matematika adalah sains mengenai kuantitas dan besaran, matematika adalah sains yang bekerja menarik
mkesimpulan-kesimpulan yang perlu, matematika adalah sains formal yang murni, matematika adalah sains yang memanipulsi simbol, matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang, matematika adalah ilmu yang mempelajari hubungan pola, bentuk dan struktur , matematika adalah imu yang abstrak dan deduktif .
Selain itu juga, beberapa pendapat para ahli tentang matematika yang telah menyinggung muatan materi yang terdapat dalam ruang lingkup matematika dan karakteristik matematika itu sendiri, yakni :
a. James dan James, yang mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk,susunan, besaran dan konsep-konsep yang berhubungan lainnya dengan jumlah banyak yang terbagi kedalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis dan geometri.
b. Jhonson dan Rising bahwa matematika adalah pola berpikir,pola mengorganisasikan, pembuktian yang logik, matematika itu bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat, representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi.
c. Reys mengatakan bahwa matematika adalah telaahan tentang pola dan hubungan , suatu jalan atau pola pikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat.
d. Kline mengatakan bahwa matematika bukanlah pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial , ekonomi dan alam.
Jadi dari seluruh pendapat para ahli di atas dapat disimpulkan bahwa adanya matematika itu karena kemampuan proses berpikir manusia tentang pengalaman permasalahan yang ditemui dan dipecahkan, yang kemudian pengalaman pemecahan masalah tersebut menjadi suatu yang terkonstruksi sebagai suatu konsep matematika yang kemudian dapat digunakan sebagai alat pemecahan masalah yang sama atau yang baru.
Beberapa aliran dalam filsafat matematika: 1. Aliran Logistik
- Pelopornya : Immanuel Kant (1724 – 1804)
- Berpendapat bahwa matematika merupakan cara logis (logistik) yang salah atau benarnya dapat ditentukan tanpa mempelajari dunia empiris. - Matematika murni merupakan cabang dari logika, konsep matematika
dapat di reduksikan menjadi konsep logika.
2. Aliran Intuisionis
- Pelopornya : Jan Brouwer (1881 – 1966)
- Berpendapat bahwa matematika itu bersifat intusionis
- Intuisi murni dari berhitung merupakan titik tolak tentang matematika bilangan. Hakekat sebuah bilangan harus dapat dibentuk melalui
kegiatan intuitif dalam berhitung dan menghitung.
3. Aliran Formalis
- Pelopornya : David Hilbert (1862 – 1943)
- Berpendapat bahwa matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari lambang . Kaum formalis menekankan pada aspek formal dari matematika sebagai bahasa lambang dan mengusahakan konsistensi dalam penggunaan matematika sebagai bahasa lambang. - Kaum Formalis membantah aliran logistik dan menyatakan bahwa
masalah-masalah dalam logika sama sekali tidak ada hubungan dengan matematika.
B. Perkembangan dan Tokoh Filsafat Matematika 1. Filsafat Pra Socrates
Filsafat Yunani dalam sejarah filsafat merupakan tonggak pangkal munculnya filsafat. Pada waktu itu sekitar abad VI SM di wilayah Yunani muncul pemikir-pemikir yang disebut filosuf alam. Dinamakan demikian karena objek yang dijadikan pokok persoalan adalah mengenai alam
(cosmos) Tujuan filosofi mereka adalah memikirkan soal alam besar. Dari nama terjadinya alam, itulah yang menjadi sentral persoalan ba gi mereka.
Pemikiran yang demikian waktu itu merupakan pemikiran yang sangat maju, rasional dan radikal. Sebab pada waktu itu kebanyakan orang hanya menerima begitu saja keadaan alam seperti apa yang ditangkap dengan inderanya, tanpa mempersoalkannya lebih jauh. Sedang di pihak lain orang cukup puas menerima keterangan tentang kejadian alam dari cerita nenek moyang.
Para filosuf alam tersebut tidak mempercayai cerita-cerita yang demikian dan menganggapnya sebagai takhayul yang tidak masuk akal. Karena itulah mereka berusaha untuk mendapatkan keterangan tentang inti dasar alam itu dari pikirnya sendiri. Maka mereka pantas mendapat sebutan sebagai pemikir yang radikal, karena pemikiran mereka samapai pada akar (radik=akar) dari alam yang dipersoalkan.
a. Thales, Yunani (625-545 SM)
Thales adalah seorang ahli filsafat. Pada zamannya seorang ahli filsafat mempelajari matematika, astronomi, fisika dan ilmu pengetahuan alam. Thales lahir di Yunani kemudian pergi ke Mesir untuk belajar. Ia mengukur tinggi piramida dengan menggunakan pengertian kesebangunan dan meramalkan waktu peredaran matahari. Tak heran jika ia disebut sebagai Bapak Awal Ilmu Matematika dan Astronomi.
Salah satu jasanya adalah meramal gerhana matahari pada tahun 585 SM. Di tengah khufarat dan takhyul yang dipercayai kebanyakan orang pada zamannya dia berhasil menebak dengan tepat gerhana matahari yang terjadi pada masanya. Mungkin dia pernah menyksikan atau mendengar cerita gerhana yang terjadi sebelum itu, yaitu gerhana yang terjadi pada tahun 603 SM dan dia telah mengetahui pula sedikit ilmu peredaran bintang, bahwa setiap 223 bulan atau 18 tahun dan 11 hari tentu terjadi gerhana serupa sehingga ia berhasil menebak dengan tepat gerhana matahari yang tentu telah tejadi pada tanggal 28 Mei 585
SM. Hal itu menyatakan bahwa ia mengetahui ilmu matematik orang Babylonia yang sangat kesohor waktu itu. Selain sebagai seorang ilmu falak yang sering dilukiskan dalam karikatur, sebagai seorang yang sibuk dalam memperhatikan bintang-bintang tatkala menengadah ke langit dengan secara seorang professor absent-mended ia terperosok jatuh ke dalam sumur, dia adalah mahir dalam ilmu ukur. Dia pernah pergi ke Mesir menyaksikan Piramid dan mengajarkan orang Mesir bagaimana ia dapat mengukur tingginya Piramid dengan mengukur bayangannya yang terjadi akibat sinar matahari. Dia dapat menentukan jarak kapal yang keliatan dari pantai dari dua tempat yang berlainan.
Thales mengembangkan filsafat alam kosmologi yang mempertanyakan asal mula, sifat dasar dan struktur komposisi dari alan semesta. Menurut pendapatnya semua berasal dari air sebagai materi kosmis. Thales mengembangkan astronomi dan matematika dengan mengemukakan pendapat bahwa bulan bersinar karena memantulkan cahaya matahari, menghitung terjadinya gerhana matahari dan bahwa kedua sudut alas dari segitiga sama kaki adalah sama besarnya. Dengan demikian Thales disebut-sebut sebagai Bapak Filsafat Yunani, (the father of deductive reasoning) sebab dialah filosuf pertama. Namun ajaran filsafatnya tidak pernah ditulisnya sendiri hanya disampaikan dari mulut ke mulut melalui murid-muridnya. Baru kemudian datang Aristoteles untuk menuliskannya. Dan Thales merupakan ahli matematika yang pertama.
Dalam sejarah matematika, Thales dianggap sebagai pelopor geometri abstrak yang didasarkan kepada petunjuk pengukur banjir yang implentasinya dengan membuktikan geometri yang salah s atunya; bahwa kedua sudut alas dari suatu segi tiga sama kaki adalah sama besarnya.
Walaupun pandangan-pandangan Thales banyak yang kurang jelas, akan tetapi pendapatnya merupakan percobaan pertama yang masih sangat sederhana dengan menggunakan rasio (akal pikir).
b. Pythagoras, Yunani (580-500 SM)
Mengenai riwayat hidupnya, ia dilahirkan di Pulau Samos, Ionia. Tanggal dan tahunnya tidak diketahui secara pasti. Ia juga tidak meninggalkan tulisan-tulisan sehingga apa yang diketahui tentang Phytagoras diperlukan kesaksian-kesaksian. Menurut Aristoxenos seorang murid Ariestoteles, Phytagoras pindah ke kota Kroton,Italia Selatan karena tidak setuju dengan pemerintahan Polykrates yang bersifat tirani. Di kota ini ia mendirikan sekolah agama, selama 20 tahun ia di Kroton kemudian pindah ke Metapontion dan meninggal di kota ini.
Phytagoras sebagai ahli pikir. Terutama dalam ilmu matematik dan ilmu berhitung kesohor namanya. Dialah yang mula-mula sekali mengemukakan teori dari hal angka-angka yang menjadi dasar ilmu berhitung. Dan karena dialah orang mendapat keinsafan bahwa berhitung bukan saja kecakapan menghitung seperti dikerjakan
sehari-hari. Orang yang belajar matematik kenal akan segitiga Pythagoras. Pemikirannya, substansi dari semua benda adalah bilangan, dan segala gejala alam merupakan pengungkapan inderawi dari perbandingan-perbandingan matematis. Bilangan merupakan inti sari dan dasar pokok dari sifat-sifat benda (number rules the universe=bilangan memerintah jagat raya). Ia juga mengembangkan pokok soal matematika yang termasuk teori bilangan. Umpamanya, dikembangkannya susunan bilangan-bilangan yang mempunyai bentuk geometris.
Pemikirannya tentang bilangan, ia mengemukakan bahwa setiap bilangan dasar dari 1 sampai 10 mempunyai kekuatan dan arti sendiiri
-sendiri. Satu adalah asal mula segala sesuatu sepuluh, dan sepuluh adalah bilangan sempurna.
Phytagoras terkenal dengan dalilnya yang menerangkan bahwa dalam suatu segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Segitiga siku-siku yang sisi-sisinya
berbanding 3 : 4 : 5 merupakan dasar dari dalil matematika untuk perhitungan sudut-sudut dalam segitiga a2 + b2 = c2 dan pertama kali digunakan oleh para perentang tali di Mesir untuk tanah dengan tali-tali bersimpul. Menurut hikayat, ia menemukan dalil itu ketika ia sedang mengamati susunan lantai bersegitiga di rumah salah seorang temannya.
2. Filsafat Zaman Modern Abad XVII
Ketika itu di dunia Barat telah biasa membagi tahapan sejarah pemikiran menjadi tiga periode, yaitu :
Pertama Ancient atau zaman kuno, menurut mereka pada zaman ini terdapat kemajuan manusia.
Kedua Medieval atau pertengahan, yakni zaman di mana alam pikiran dikungkung sangat terbatas, perkembangan sains amat sulit dan perkembangan filsafat tersendat-sendat.
Ketiga Zaman Modern, yakni zaman sesudah abad pertengahan berakhir hingga sekarang.
Namun batas yang jelas tentang kapan abad pertengahan berakhir sulit ditentukan. Zaman modern sangat dinanti-nantikan oleh banyak pemikir manakala mereka mengingat zaman kuno ketika peradaban begitu bebas, pemikiran tidak dikekang oleh tekanan-tekanan di luar dirinya. Kondisi semacam itulah yang hendak dihidupkan kembali pada zaman modern. Mereka selalu mentaati zaman modern sebagai alternative zaman yang tepat untuk menuangkan dengan bebas segala pemikirannya.
Ciri-ciri pemikiran filsafat modern antara lain ingin menghidupkan kembali Rasionalisme keilmuan Subyektivitisme (Individualisme). Humanisme dan lepas dari pengaruh atau dominasi agama. Oleh J.Burekhardt (1800 M) konsep sejarah pemikiran yang menunjuk kepada periode yang bersifat Individualisme, kebangkitan kembali kebebasan berpikir sebagai periode yang dilawankan dengan periode abad pertengahan,
Filsafat abad modern pada pokoknya ada 3 aliran :
1) Aliran Rasionalisme dengan tokohnya Rene Descartes (1596-1650 M), ia tidak puas dengan filsafat Scholastik karena dilihatnya sebagai saling bertentangan dan tidak ada kepastian. Adapun sebabnya, karena tidak ada metode berpikir yang pasti. Descartes mengemukakan metode baru. Jika seseorang ragu-ragu terhadap segala sesuatu, dalam keragu-raguan itu jelas ia ada sedang berpikir. Sebab yang sedang berpikir itu tentu ada dan jelas terang benderang. Cogito Ergo Sum, saya berpikir, maka jelaslah saya ada. Adapun sumber kebenaran ialah rasio. Hanya rasio sajalah yang dapat membawa orang kepada kebenaran. Yang benar hanyalah tindakan akal yang terang benderang disebut Ideas Claires et Distinctes (pikiran terang benderang dan terpilah-pilah). Idea terang benderang ini pemberian Tuhan sebelum orang dilahirkan (idea innatae=ide bawaan). Sebagai pemberian Tuhan, maka tak mungkin tak benar. Karena rasio saja yang dianggap sebagai sember kebenaran maka aliran ini disebut Rasionalisme. Adapun pengetahuan indera dianggap sering menyesatkan.
2) Aliran Empirisme dengan tokohnya Francis Bacon (1210-1292 M), bertentangan dengan Rasionalisme yang berpendirian bahwa sumber pengenalan/pengetahuan adalah rasio sehingga pengenalan inderawi merupakan pengenalan yang kabur saja, aliran Empirisme berpendapat bahwa pegetahuan bersumber dari pengalaman sehingga pengenalan
inderawi merupakan pengenalan yang paling jelas dan sempurna,
3) Aliran Kristicisme dengan tokohnya Immanuel Kant (1724-1804 M), Pendirian aliran Rasionalisme dan Empirisme sangat bertolak belakang. Rasionalisme berpendirian bahwa rasiolah sumber pengenalan atau pengetahuan sedangkan Empirisme sebaliknya berpendirian bahwa pengalamanlah yang menjadi sumber tersebut. Kant berusaha mengadakan penyelesaian atas pertikaian itu dengan filsafatnya yang dinamakan Kristicisme (aliran yang kritis). Menurutnya, dalam pengenalan inderawi selalu ada dua bentuk apriori,
yaitu ruang dan waktu. Kedua-duanya berakar dalam struktur sybyek sendiri. Memang ada suatu realitas terlepas dari suyek yang mengindera, tetapi realitas (das ding an sich=benda dalam dirinya) tidak pernah dikenalinya. Kita hanya mengenal gejala-gejala yang merupakan sintesa antara hal-hal yang datang dar luar dengan bentuk ruang dan waktu.
a. Rene Descartes, Perancis (1596-1650 M)
Descartes mempelajari Matematika, Fisika, Politik dan Filsafat. Ia adalah orang yang pertama kali menggunakan sistem dua atau tiga bilangan seperti (A, B) atau (A, B, C) sebagai koordinat untuk menggambarkan titik-titik pada suatu bidang atau dalam ruang. Dengan cara ini pernyataan-pernyataan mengenai gambar-gambar dalam geometri tentang titik yang dijabarkan oleh Euclides dapat diterjemahkan menjadi pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan.
Menurut hikayat, Descartes mendapat ide itu ketika sedang terbaring sakit di tempat tidur. Ia mengamati laba-laba yang berjalan di langit-langit dan kemudian turun dengan benangnya. Hal ini memberikan ide kepadanya untuk menyatakan titik-titik dalam ruangan dengan (A, B, C).
Ia juga orang pertama kali yang menggunakan huruf-huruf abjad seperti a, b, c, ... , x, y, z untuk mewakili bilangan-bilangan. Ia pula orang pertama kali yang mengemukakan ide tentang bilangan negatif. b. Isaac Newton, Perancis (1642-1727 M)
Isaac Newton adalah salah seorang di antara ahli matematika besar dan juga mempelajari fisika. Ia menemukan hukum gravitasi dan menyimpulkan teori bahwa gravitasi adalah gaya tarik suatu benda terhadap benda lainnya. Semakin jauh jarak antara dua benda semakin lemahlah gaya gravitasi di antara kedua benda tersebut. Gerak bulan mengelilingi bumi dapat diterangkan dengan hukum gravitasi ini.
Newton juga menemukan hukum gerak yang merupakan dasar dinamika. Ia tertarik dengan astronomi dan menemukan suatu jenis teleskop pemantul yang akhirnya diabadikan dengan namanya.
c. Gottfried Wilhelm Leibniz, Jerman (1646-1716 M)
Ayah Gottfried Wilhelm Leibniz adalah seorang guru besar di sebuah universitas tetapi meninggal ketika Leibniz menginjak usia 6 tahun. Sejak saat itu Leibniz muda belajar sendiri dan dibantu dengan bimbingan ibunya. Belajar sendiri membuat Leibniz bebas dari cara berpikir tradisional.
Ia dan Newton merumuskan pengertian dasar tentang "kalkulus differensial". Masing-masing menyatakan bahwa dirinyalah yang mula-mula memikirkan hal tersebut. Untuk memutuskan siapa sebenarnya yang pertama merumuskannya mereka saling mengajukan soal-soal kalkulus. Hal ini dikenal sebagai perang matematika antara Leibniz dengan Newton. Akhirnya mereka menyadari bahwa mereka masing-masing menggunakan pikiran mereka sendiri-sendiri, dan perumusan dasar tentang "kalkulus differensial" tersebut adalah
kebetulan sama. Leibniz juga menemukan suatu jenis mesin hitung.
3. Filsafat Abad XX
Pembagian filsafat berdasar pada struktur pengetahuan filsafat yang berkembang saat ini, terbagi menjadi tiga bidang, yaitu filsafah sistematis, filsafat khusus dan filsafat keilmuan.
a. Filsafat Sistematis, terdiri dari : - Metafisika - Epistemologi - Metodologi - Logika - Etika - Estetika
b. Filsafat Khusus, terdiri dari : - Fisafat Seni - Filsafat Kebudayaan - Filsafat Pendidikan - Filsafat Sejarah - Filsafat Bahasa - Filsafat Hukum - Filsafat Budi - Filsafat Politik - Filsafat Agama - Filasafat Kehidupan - Filsafat Nilai
c. Filsafat keilmuan, terdiri dari : - Filsafat Matematik
- Filsafat Ilmu-ilmu Fisik - Filsafat Biologi
- Filsafat Linguistik - Filsafat Psikologi
- Filsafat Ilmu-ilmu Sosial
Penyusunan menurut struktur secara menyeluruh dalam bidang filsafat ini oleh The Liang Gie diharapkan akan membantu dalam rangka menyusun kurikulum dan pengajaran filsafat pada pendidikan tinggi di Indonesia, agar dalam studi filsafat para lulusannya memiliki pengetahuan sesuai dengan perkembangan zaman.
Cabang filsafat yang membahas masalah ilmu adalah filsafat ilmu. Tujuan analisis mengenai ilmu pengetahuan dan cara-cara bagaimana pengetahuan ilmiah itu diperoleh. Jadi, filsafat ilmu adalah penyelidikan tentang ciri-ciri pengetahuan ilmiah dan cara memperolehnya. Pokok perhatian filsafat ilmu adalah proses penyelidikan ilmiah itu sendiri. The Liang Gie mendefinisikan filsafat ilmu adalah segenap pemikiran reflektif terhadap persoalan-persoalan
mengenai segala hal yang menyangkut landasan ilmu maupun hubungan ilmu dengan segala segi dari kehidupan manusia.
C. Hubungan antara Filsafat Ilmu dengan Matematika
Matematika dan filsafat mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain sejak jaman Yunani Kuno. Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi bagi para filsuf, metodenya juga banyak diadopsi untuk mendeskripsikan pemikiran filsafat. Kita bahkan mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus sebagai sorang filsuf, misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer, Hilbert, G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang merupakan kajian sekaligus pondasi matematika menjadi bahan kajian penting baik oleh para matematikawan maupun oleh para filsuf. Logika matematika mempunyai peranan hingga sampai era filsafat kontemporer di mana banyak para filsuf kemudian mempelajari logika. Logika matematika telah memberi inspirasi kepada pemikiran filsuf, kemudian para filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran logika misalnya “logika modal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh para matematikawan dan bermanfaat bagi pengembangan program komputer dan analisis bahasa. Salah satu titik krusial yang menjadi masalah bersama oleh matematika maupun filsafat misalnya persoalan pondasi
matematika. Baik matematikawan maupun para filsuf bersama-sama berkepentingan untuk menelaah apakah ada pondasi matematika? Jika ada apakah pondasi itu bersifat tunggal atau jamak? Jika bersifat tunggal maka apakah pondasi itu? Jika bersifat jamak maka bagaimana kita tahu bahwa satu atau beberapa diantaranya lebih utama atau tidak lebih utama sebagai pondasi? Pada abad 20, Cantor diteruskan oleh Sir Bertrand Russell, mengembangkan teori himpunan dan teori tipe, dengan maksud untuk menggunakannya sebagai pondasi matematika. Namun kajian filsafat telah mendapatkan bahwa di sini
terdapat paradoks atau inkonsistensi yang kemudian membangkitkan kembali motivasi matematikawan di dalam menemukan hakekat dari sistem matematika.
Dengan teori ketidak-lengkapan, akhirnya Godel menyimpulkan bahwa suatu sistem matematika jika dia lengkap maka pastilah tidak akan konsisten; tetapi jika dia konsisten maka dia patilah tidak akan lengkap. Hakekat dari kebenaran secara bersama dipelajari secara intensif baik oleh filsafat maupun matematika. Kajian nilai kebenaran secara intensif dipelajari oleh bidang epistemologi dan filsafat bahasa. Di dalam matematika, melalui logika formal, nilai kebenaran juga dipelajari secara intensif. Kripke, S. dan Feferman (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) telah merevisi teori tentang nilai kebenaran; dan pada karyanya ini maka matematika dan filsafat menghadapi masalah bersama. Di lain pihak, pada salah satu kajian filsafat, yaitu epistemologi, dikembangkan pula epistemologi formal yang menggunakan pendekatan formal sebagai kegiatan riset filsafat yang menggunakan inferensi sebagai sebagai metode utama. Inferensi demikian tidak lain tidak bukan merupakan logika formal yang dapat dikaitkan dengan teori permainan, pengambilan keputusan, dasar komputer dan teori kemungkinan.
Para matematikawan dan para filsuf secara bersama-sama masih terlibat di dalam perdebatan mengenai peran intuisi di dalam pemahaman matematika dan pemahaman ilmu pada umumnya. Terdapat langkah-langkah di dalam metode matematika yang tidak dapat diterima oleh seorang intuisionis. Seorang intuisionis tidak dapat menerima aturan logika bahwa kalimat “a atau b” bernilai benar untuk a bernilai benar dan b bernilai benar. Seorang intuisionis juga tidak bisa menerima pembuktian dengan metode membuktikan ketidakbenaran dari ingkarannya. Seorang intuisionis juga tidak dapat menerima bilangan infinit atau tak hingga sebagai bilangan yang bersifat faktual. Menurut seorang intuisionis, bilangan infinit bersifat potensial. Oleh karena itu kaum intuisionis berusaha mengembangkan matematika hanya dengan bilangan yang bersifat finit atau terhingga.
Banyak filsuf telah menggunakan matematika untuk membangun teori pengetahuan dan penalaran yang dihasilkan dengan memanfaatkan bukti-bukti matematika dianggap telah dapat menghasilkan suatu pencapaian yang
memuaskan. Matematika telah menjadi sumber inspirasi yang utama bagi para filsuf untuk mengembangkan epistemologi dan metafisik. Dari pemikiran para filsuf yang bersumber pada matematika diantaranya muncul pemikiran atau pertanyaan: Apakah bilangan atau obyek matematika memang betul-betul ada? Jika mereka ada apakah di dalam atau di luar pikiran kita? Jika mereka ada di luar pikiran kita bagaimana kita bisa memahaminya? Jika mereka ada di dalam pikiran kita bagaimana kita bisa membedakan mereka dengan konsep-konsep kita yang lainnya? Bagaimana hubungan antara obyek matematika dengan logika? Pertanyaan tentang “ada” nya obyek matematika merupakan pertanyaan metafisik yang kedudukannya hampir sama dengan pertanyaan tentang keberadaan obyek-obyek lainnya seperti universalitas, sifat-sifat benda, dan nilai-nilai; menurut beberapa filsuf jika obyek-obyek itu ada maka apakah dia terkait dengan ruang dan waktu? Apakah dia bersifat aktual atau potensi? Apakah dia bersifat abstrak? Atau konkrit? Jika kita menerima bahwa obyek matematika bersifat abstrak maka metode atau epistemologi yang bagaimana yang mampu menjelaskan obyek tersebut? Mungkin kita dapat menggunakan bukti untuk menjelaskan obyek-obyek tersebut, tetapi bukti selalu bertumpu kepada aksioma. Pada akhirnya kita akan menjumpai adanya “infinit regress” karena secara filosofis kita masih harus mempertanyakan kebenaran dan keabsahan sebuah aksioma.
Hannes Leitgeb di (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) di “Mathematical Methods in Philosophy” telah menyelidiki penggunaan matematika di filsafat. Dia menyimpulkan bahwa metode matematika mempunyai kedudukan penting di filsafat. Pada taraf tertentu matematika dan filsafat mempunyai persoalan-persoalan bersama. Hannes Leitgeb telah menyelidiki aspek-aspek dalam mana matematika dan filsafat mempunyai derajat yang sama ketika melakukan penelaahan yatitu kesamaan antara obyek, sifat-sifat obyek, logika, sistem-sistem, makna kalimat, hukum sebab-akibat, paradoks, teori permainan dan teori kemungkinan. Para filsuf menggunakan logika sebab-akibat untuk untuk mengetahui implikasi dari konsep atau pemikirannya, bahkan untuk membuktikan kebenaran
ungkapan-ungkapannya. Joseph N. Manago (2006) di dalam bukunya “ Mathematical Logic and the Philosophy of God and Man” mendemonstrasikan filsafat menggunakan metode matematika untuk membuktikan Lemma bahwa terdapat beberapa makhluk hidup bersifat “eternal”. Makhluk hidup yang tetap hidup disebut bersifat eternal.
D. Peranan Matematika
1. Matematika sebagai sarana berpikir deduktif
Matematika dikenal dengan ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaan matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan( induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Meskipun demikian untuk membantu pemikiran pada
tahap-tahap permulaan seringkali kita memerlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometris
Perlu pula diketahui bahwa baik isi maupun metode mencari kebenaran dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam, apalagi dengan ilmu pengetahuan umum. Metode mencari kebenaran yang dipakai oleh matematika adalah ilmu deduktif, sedangkan oleh ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif atau eksperimen. Namun dalam matematika mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif, tetapi seterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus bisa dibuktikan secara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.Sebagai contoh, dalam ilmu biologi berdasarkan pada pengamatan, dari beberapa binatang menyusui ternyata selalu melahirkan. Sehingga kita bisa membuat generalisasi secara induktif bahwa setiap binatang menyusui
adalah melahirkan.
Generalisasi yang dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah dapat dibuktikan secara deduktif. Contoh: untuk pembuktian jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap. Pembuktian secara deduktif sebagai berikut: andaikan m dan n sembarang dua bilangan bulat
maka 2m+ 1 dan 2n+1 tentunya masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika kita jumlahkan (2m+1) + (2n+1) = 2(m+n+1). Karena m dan n bilangan bulat maka (m+n+1) bilangan bulat, sehingga 2(m+n+1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.
2. Matematika bersifat terstruktur
Menurut Ruseffendi(Tim MKPBM,2001;25) matematika mempelajari tentang pola keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsure-unsur yang tidak terdefinisikan kemudian pada unsure yang didefinisikan, ke aksioma/postulat dan akhirnya pada teorema. Konsep-konsep matematika tersusun secara hierarkis, terstruktur,logis, dan sistematis mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks.
Dalam matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk memahami topik atau konsep selanjutnya. Ibaratmembangun rumah, maka fondasi harus kokoh. Contohnya konsep bilangan genap. Bilangan genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua. Sebelum membahas blangan genap, siswa harus memahami dulu konsep bilangan bulat dan pengertian habis dibagi dua sebagai konsep prasyarat.
Dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi itu selanjutnya dapat dibentuk unsure-unsur matematika yang terdefinisi. Misalnya segitiga adalah lengkungan tertutup sederhana yang merupakan gabungan dari tiga buah segmen garis.
Dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi dan unsure-unsur yang terdefinisi dapat dibuat asumsi-asumsi yang dikenal dengan aksioma atau postulat. Misalnya: melalui sebuah titik sembarang hanya dapat dibuat
sebuah garis kesuatu titik yang lain.
Tahap selanjutnya dari unsur yang tidak terdefiisi , unsure-unsur yang terdefinsi , dan aksioma atau postulat dapat disusun teorema-teorema yang kebenarannya harus dibuktikan secara deduktif dan berlaku
umum. Misalnya: jumlah ukuran ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180 derajat.
3. Matematika sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu
Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah sebagai sumber dari ilmu yang lain dan pada perkembangannya tidak tergantung pada ilmu lain. Dengan kata lain, banyak ilmu-ilmu yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari
matematika. Sebagai contoh: banyak teori-teori dan cabang-cabang dari fisika dan kimia yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsep kalkulus. Teori mendel pada Biologi melalui konsep pada probabilitas. Teori ekonomi melalui konsep fungsi dan sebagainya.
Dari kedudukan matematika sebagai ratu ilmu pengetahuan matemaika selain tumbuh dan berkembang untuk dirinya sendiri juga untuk melayani kebutuhan ilmu pengetahuan lainnya dalam pengembangan dan operasinya. Cabang matematika yang memenuhi fungsinya seperti yang disebutkan terakhir itu dinamakan dengan matematika Terapan(Applied Mathematic)
4. Matematika sebagai bahasa
Matematika adalah bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan. Lambang-lambang matematika baru mempunyai arti setelah sebuah makna diberikan padanya. Tanpa itu
maka matematika hanyalah merupakan kumpulan unsur-unsur yang mati. Bahasa verbal mempunyai beberapa kekurangan yang sangat mengganggu karena terkadang mempunyai lebih dari satu arti. Untuk mengatasi kekurangan yang terdapat pada bahasa maka kita be rpaling pada matematika. Dalam hal ini dapat kita katakan bahwa matematika adalah bahasa yang berusaha untuk menghilangkan sifat kabur, majemuk, danemosional dari bahasa verbal. Lambang-lambang darimatematika dibuat secara ”artifisial” yakni baru mempunyai arti setelah sebuah makna
diberikan. Dan bersifat individual yaitu berlaku khusus untuk masalahyang sedang kita kaji.
5. Matematika bersifat kuantitatif
Dengan bahasa verbal kita bisa membandingkan dua objek yang berlainan umpamanya gajah dan semut, maka kita hanya bisa mengatakan gajah lebih besar daripada semut, kalau ingin menelusuri lebih lanjut berapa besar gajah dibandingkan dengan semut, maka kita mengalami kesulitan dalam mengemukakan hubungan itu, bila ingin mengetahui secara eksak berapa besar gajah bila dibandingkan dengan semut, maka dengan bahasa verbal tidak dapat mengatakan apa-apa.
Matematika mengembangkan konsep pengukuran, lewat pengukuran dapat mengetahui dengan tepat berapa panjang. Bahasa verbal hanya mampu mengemukakan pernyataan yang bersifat kualitatif. Kita mengetahui bahwa sebatang logam bila dipanaskan akan memanjang, tetapi tidak bisa mengatakan berapa besar pertambahan panjang logamnya. Untuk itu matematika mengembangkan konsep pengukuran, lewat pengukuran , maka kita dapat mengetahui dengan tepat berapa panjang sebatang logam dan berapa pertambahannya bila dipanaskan, Dengan mengetahui hal ini maka pernyataan ilmiah yang berupa pernyataan kualitatif seperti sebatang logam bila dipanaskan akan memanjang, dpat diganti dengan pernyataan matematika yang lebih eksak umpamanya: P1 = Po (1 + n), dimana P1 adalah panjang logam pada temperatur t, Po merupakan panjang logam pada temperatur nol dan n merupakan koefisien pemuai logam tersebut.
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan bahwa :
1. Matematika adalah kemampuan proses berpikir manusia tentang pengalaman permasalahan yang ditemui dan dipecahkan, yang kemudian pengalaman pemecahan masalah tersebut menjadi suatu yang terkonstruksi sebagai suatu konsep matematika yang kemudian dapat digunakan sebagai alat pemecahan masalah yang sama atau yang baru.
2. Perkembangan matematika dimulai dari zaman pra socrates (Thales dan Phytagoras), zaman modern abad XVII (Rene Descartes, Isaac Newton dan Leibniz), dan zaman abad XX dibagi menjadi filsafat sitematis, filsafat khusus dan filsafat keilmuan.Matematika masuk ke dalam filsafat keilmian maka cabang filsafat yang membahas masalah ilmu adalah filsafat ilmu. 3. Hubungan filsafat ilmu dengan matematika menunjukkan bahwa metode
matematika mempunyai kedudukan penting di filsafat. Pada taraf tertentu matematika dan filsafat mempunyai persoalan-persoalan bersama. Dalam penyelidikan aspek-aspek matematika dan filsafat mempunyai derajat yang sama ketika melakukan penelaahan yatitu kesamaan antara obyek, sifat-sifat obyek, logika, sistem-sistem, makna kalimat, hukum sebab-akibat, paradoks, teori permainan dan teori kemungkinan. Para filsuf menggunakan logika sebab-akibat untuk untuk mengetahui implikasi dari konsep atau pemikirannya, bahkan untuk membuktikan kebenaran ungkapan-ungkapannya.( Hannes Leitgeb di (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007).
4. Peranan matematika di antaranya matematika sebagai sarana berpikir deduktif, matematika bersifat terstruktur, matematika sebagai ratu dan pelayan ilmu, matematika sebagai bahasa dan matematika bersifat
DAFTAR PUSTAKA
Franz Magnis, Filsafat Sebagai Ilmu Kritis.1991.pustaka filsafat;Jakarta Dr. Amsal Bakhtiar, M.A.Filsafat Ilmu.2004. Rajawali pers;Jakarta Drs. Asmoro Achamadi. Filsafat Umum.1994. Rajawali pers;Semarang
Drs. Mudzakir.1999. Filsafat Umum untuk IAIN,STAIN, PTAIS. Pustaka senja;bandung
