MODEL MATEMATIKA INFLUENZA
Rito Goejantoro
Jurusan Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
ABSTRAK. Model compartmental untuk influenza dianalisis, termasuk vaksinasi. Analisis dilakukan berdasarkan hubungan nilai akhir untuk model epidemik. Dimulai dengan model sederhana tak lengkap untuk memperoleh informasi kualitatif. Kemudian ditambah lebih banyak struktur pada model.
Kata Kunci : model, influenza, vaksinasi, bilangan reproduksi
PENDAHULUAN
Influenza menyebabkan lebih banyak kematian daripada penyakit pernapasan lainnya. Ada epidemi musiman tahunan yang menyebabkan kematian kira-kira 500.000 orang di seluruh dunia setiap tahun. Selama abad ke-20 ada tiga pandemi influenza.The World Health Organizationmemperkirakan ada 40-50 juta kematian di seluruh dunia pada pandemi tahun 1918, 2 juta kematian di seluruh dunia pada pandemi 1957 dan 1 juta kematian di seluruh dunia pada pandemi 1968. Adanya ketakutan bahwa avian influenza strain H5N1 dapat berkembang menjadi strain yang dapat menular dengan mudah dari manusia ke manusia (Sfakianos,2006).
Berbagai macam model telah digunakan untuk menggambarkan wabah influenza. Banyak keputusan kebijakan kesehatan publik untuk mengatasi pandemi influenza dibuat berdasarkan konstruksi jaringan kontak untuk populasi dan analisis penyebaran penyakit melalui jaringan ini.
Model Influenza Dasar
Model matematika adalah deskripsi matematik dari situasi berdasarkan hipotesis dan solusi model memberikan kesimpulan yang dapat dibandingkan dengan hasil eksperimental. Pemodelan matematik dalam epidemiologi memberikan pemahaman mekanisme yang mempengaruhi penyebaran penyakit. Model mungkin terlalu sederhana sebagai deskripsi yang tepat atau terlalu rumit untuk dianalisis. Ahli matematika biasanya memilih mulai dengan model sederhana tak lengkap untuk memperoleh informasi kualitatif sedangkan ahli epidemiologi mungkin berkeberatan bahwa model terlalu sederhana dan menghilangkan aspek-aspek yang penting. Biasanya dimulai dengan model sederhana dan kemudian ditambahkan lebih banyak struktur pada model untuk melihat berapa besar ini mengubah sifat yang diprediksi.
1. Suspectible : individu yang tidak mempunyai kekebalan terhadap infeksi sehingga dapat menjadi terinfeksi jika terkena.
2. Infective : individu yang sedang terinfeksi dan dapat menularkan kepada suspectibleyang melakukan kontak dengannya.
3. Removed : individu yang kebal terhadap infeksi dan karena itu tidak menularkan penyakit.
Gambar 1 : Model SIR
Dua aspek dari influenza yang dapat ditambahkan adalah periode inkubasi antara infeksi dan kemunculan gejala dan ada bagian orang yang signifikan yang terinfeksi tidak memperlihatkan gejala tetapi masuk ke dalam bagian tanpa gejala (asymptomatic), selama mereka terinfeksi dan kemudian sembuh dan masuk ke bagian removed. Jadi model harus memuat bagian S (suspectible), L (latent), I (infective), A (asymptomatic), R (removed). Secara spesifik, diasumsikan :
1. Ada sejumlah kecil orang yang terinfeksi awal I0dalam total populasi K
2. Banyaknya kontak dalam satu satuan waktu per individu adalah kelipatan
konstanta β dari populasi total N
3. Anggotalatent(L) tidak terinfeksi
4. Sebanyak p bagian dari anggota latent menjadi terinfeksi dengan laju κ, sedangkan sisanya masuk ke bagian infeksiasymptomatic(A) juga dengan
laju κ
5. Orang yang terinfeksi (I) meninggalkan bagian infektive dengan laju α, dengan sebanyak f bagian sembuh dan masuk ke bagian removed (R) dan sisanya meninggal akibat infeksi.
6. Asymptomatic memiliki angka infeksi yang berkurang oleh factor δ dan masuk ke bagianremoved dengan laju η.
Berdasarkan asumsi-asumsi ini diperoleh model (Braeur,2008) :
Dengan syarat awal :
K I
S N
R R
A A
I I L L
S
S(0) 0, (0) 0, (0) 0, (0) 0, (0) 0, (0) 0 (0)
Tiap huruf menyatakan bagian dan banyaknya anggota tiap bagian.
Model (1) terdiri dari sistem persamaan diferensial biasa dan banyaknya suspectible dalam populasi menuju ke limit S∞ untuk t → ∞. Ada hubungan nilai akhir yang dapat digunakan untuk mendapatkan limit ini tanpa menyelesaikan
sistem persamaan diferensial. Jika laju kontak β konstan maka hubungan nilai akhir adalah persamaan. Lebih masuk akal mengasumsikan saturasi kontak dan β
adalah fungsi dari populasi total N. Secara umum, hubungan nilai akhir adalah suatu pertidaksamaan. Jika tidak ada kematian akibat penyakit, N adalah konstan
dan β konstan bahkan dengan saturasi kontak. Jika tingkat kematian kecil maka
hubungan nilai akhir akan sama dengan persamaan dan masuk akal jika
diasumsikan β konstan dan menggunakan hubungan akhir sebagai persamaan
untuk memperoleh S∞.
I f
I )
(
) (I A
S
pL fI
L p
I )
( A
Gambar 2 : model influenza
Keseimbangan bebas penyakit adalah L = I = A = 0 dan S sembarang dengan
0≤S≤N(0). Karena S fungsi turun, S(t) mencapai limit S∞ ≥ 0 untuk t → ∞. Bilangan reproduksi dasar adalah (Driessche,2002) :
(1 )
0 0
p p
S
R (2)
Interpretasi dari bilangan reproduksi dasar adalah anggota latent yang masuk ke populasi S0 suspectible menjadi terinfeksi dengan peluang p, di mana ia dapat
menyebabkan S0/ infeksi selama periode infeksi 1/α atau menjadi asymptomatic dengan peluang 1 – p, di mana ia dapat menyebabkan
S0 / infeksi selama periodeasymptomatic η.
S L
I
A
Jika R0 > 1 maka banyaknya orang yang terinfeksi pertama bertambah
kemudian berkurang ke nol, sedangkan jika R0 < 1 maka banyaknya orang
terinfeksi berkurang secara monoton ke nol.
Hubungan nilai akhir diberikan oleh (Arino,2006)
Hubungan akhir ini menunjukkan bahwa S∞ > 0. Ini berarti bahwa sejumlah anggota populasi tidak terinfeksi selama epidemi. Ukuran epidemi, banyaknya kasus influenza selama epidemi adalah I0(S0 S)
Banyaknya kasus symptomatic adalah I0 p(S0 S) dan banyaknya angka kematian adalah (1 f)[I0 p(S0 S)].
Ahli matematika menganggap bilangan reproduksi dasar sebagai pusat dalam mempelajari model epidemiologi, ahli epidemiologi lebih memperhatikan rasio serangan. Untuk influenza, di mana ada kasus asymptomatic, ada dua rasio serangan. Satu rasio serangan klinik, yang merupakan bagian populasi yang terinfeksi, didefinisikan sebagai
o N S
1
Ada juga rasio serangan symptomatic, didefinisikan sebagai bagian populasi yang menunjukkan gejala penyakit, didefinisikan sebagai
Rasio serangan dan bilangan reproduksi dasar dihubungkan oleh hubungan nilai akhir persamaan (3). Jika parameter model diketahui, R0 dapat dihitung dari
persamaan (2) dan S∞diperoleh dari persamaan (3).
Model persamaan (1) dapat diterapkan dengan menggunakan parameter yang tepat dari pandemi influenza 1957 yang disarankan oleh Longini,2004. Periode laten kira-kira 1,9 hari dan periode infeksi 4,1 hari sehingga
526
adalah agar dapat menghitung R0 dari (2) dan S0β dari (3). Jika I0 dimasukkan,
perhitungan menjadi lebih rumit karena harus dinyatakan dulu sebagai suku-suku
parameter model dan kemudian diselesaikan untuk β sebelum menghitung R0dari
(2).
Banyaknya kasus klinik 978 orang (termasuk infeksi awal 12), banyaknya kasus symptomatic 656 termasuk 12 infeksi awal dan banyaknya angka kematian kira-kira 13 orang.
Model dengan Vaksinasi
Untuk menghadapi epidemi influenza musiman, ada program vaksinasi sebelum musim flu tiba. Setiap tahun vaksin diproduksi bertujuan untuk melindungi terhadap tiga strain influenza yang paling berbahaya. Model dapat dirumuskan dengan menambah vaksinasi dengan asumsi bahwa vaksinasi mengurangi peluang orang terinfeksi. Juga diasumsikan orang yang divaksinasi lebih kecil peluangnya menularkan penyakit, lebih mungkin tidak menunjukkan gejala dan lebih cepat sembuh daripada orang yang tidak divaksinasi.
Dari asumsi-asumsi perlu ditambahkan bagian baru ke dalam model yaitu ST: bagian suspectible yang dirawat dan LT : bagian anggotalatent yang dirawat,
IT : bagian infective yang dirawat dan AT : bagianasymptomaticyang dirawat. Di
samping asumsi yang dibuat untuk model (1) juga ditambahkan asumsi-asumsi (Braeur,2008) :
1. Bagian populasi yang divaksinasi sebelum penyakit muncul sebanyak γ dan orang yang divaksinasi berkurang kemungkinannya terinfeksi sebesar
σs.
2. Ada pengurangan kemungkinan infeksi σI dan σA berturut-turut dalam IT
dan AT. Diasumsikan σI < 1dan σA< 1
3. Tingkat perpindahan dari LT, IT dan AT berturut-turut adalah κT, αT, ηT. Diasumsikan κ < κT, α < αT, η < ηT
4. Bagian anggota yang sembuh dari penyakit ketika meninggalkan I dan IT
berturut-turut adalah sebesar f dan fT. Diasumsikan f < fT
5. Vaksinasi mengurangi bagian anggota latent yang menunjukkan gejala
sebesar τ dengan 0≤ τ ≤ 1.
Misalkan Q = I + δA + σIIT +δ σAAT maka diperoleh model pengembangan dari
model (1).
Karena infeksi sekarang dalam populasi yang tidak sepenuhnya suspectible, maka digunakan Rc : bilangan reproduksi kontrol bukan bilangan
reproduksi dasar. Menurut Driesche,2002 :
v u
C R R
R (1)
0
Maka Ru adalah bilangan reproduksi untuk orang yang tidak divaksinasi dan Rv
adalah bilangan reproduksi untuk orang divaksinasi. Ada hubungan akhir untuk dua variabel S dan STyaitu
]
Dari persamaan (5) dapat dihitung kasus penyakit dengan gejala adalah
]
dan banyaknya angka kematian adalah
]
Dengan memberikan vaksinasi untuk jumlah orang yang cukup banyak
(mengambil γ cukup besar) sehingga Rc< 1. Dengan menggunakan parameter dari
Longini,2004
σS = 0,3, σI = 0,2, κT= 0,526, αT = ηT = 0,323, τ = 0,4
Berdasarkan (4) diperoleh : Ru= 1,373, Rv= 0,047
Agar Rc = 1, maka harus diambil γ = 0,28. Ini merupakan populasi yang perlu
divaksinasi untuk mengatasi epidemi. Pasangan persamaan nilai akhir dengan S(0)
= (1 – γ)S0, ST(0) = γ dapat diselesaikan untuk S∞,ST∞ untuk nilai-nilai γ yang
Tabel 1 Pengaruh vaksinasi Bagian yang
divaksinasi
S∞ ST∞ Kasus yang tidak divaksinasi
Kasus yang divaksinasi
0 1022 0 656 0
0,05 1079 84 552 4
0,1 1149 174 439 7
0,15 1224 271 323 7
0,2 1305 375 201 6
0,25 1395 487 76 3
0,3 1391 596 13 0
KESIMPULAN
Model compartmental adalah model di mana individu dalam populasi diklasifikasikan menjadi compartmental (bagian) tergantung statusnya terhadap infeksi yang sedang dipelajari. Model compartmental untuk influenza dengan kontrol vaksinasi telah dirumuskan. Hasil menunjukkan keuntungan dari vaksinasi sebelum epidemi walaupun hanya sejumlah kecil orang yang divaksinasi dalam mengurangi banyaknya kasus influenza.
DAFTAR PUSTAKA
Allman, E.A.,J.A. Rhodes,Mathematical model in biology, Cambridge University Press, New York, 2004.
Arino,J., F. Brauer, P.van den Driesche, J. Watmough and J. Wu, Simple models for containment of a pandemic, J.R. Soc. Interface 3, 453-457, 2006.
Braeur, F., P.van den Driesche, Jianhong Wu, Mathematical Epidemiology, Springer, Berlin, 2008.
Driesche, P.van den and J. Watmough, Reproduction numbers and subthreshold endemic equibrilia for compartmental models, J. Infect. Dis 177, 863-873, 2002.
Longini, I.M.,M.E. Halloran, A. Nizam and Y. Yang, Containing pandemic influenza with antiviral agents, Am.J. Epidem. 159, 623-633, 2004.
