Abstrak—Air merupakan salah satu kebutuhan yang penting bagi makhluk hidup, khususnya manusia. Hampir semua kegiatan manusia memerlukan air, terutama air minum.Peningkatan jumlah manusia mempengaruhi jumlah kebutuhan air.Jaringan pipa air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk terpasang sejak tahun 1982, sedangan pipa dikatakan tua jika berusia maksimal 10 tahun.Selain umur pipa yang tua, masalah dalam jaringan pipa Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk adalah tingkat kebocoran yang tinggi dan banyaknya pipa ganda dalam satu jalur.Pengoptimalan jarak jaringan pipa primer dapat dilakukan dengan pencarian pohon merentang minimum.Pada Tugas Akhir ini dilakukan pencarian pohon merentang minimum jaringan pipa primer Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk dengan menggunakan Algoritma Kruskal.Hasil yang diperoleh pada Tugas Akhir ini adalah jaringan pipa primer yang mempunyai jarak terpendek.Selisih jarak jaringan pipa primer yang terpasang dengan pohon merentang minimum jaringan pipa primer adalah sebesar 5.715 meter.
Katakunci—Jaringan Pipa Air Minum, Pohon Merentang Minimum, Algoritma Kruskal
I. PENDAHULUAN
ir merupakan salah satu kebutuhan makhluk hidup yang penting karena air dibutuhkan oleh setiap makhluk hidup, terutama manusia. Tingkat kebutuhan air setiap tahunnya mengalami peningkatan sesuai dengan jumlah pertumbuhan manusia.Hampir semua kegiatan manusia memerlukan air untuk melaksanakan aktivitas sehari-hari, terutama air minum.Agar air dapar didistribusikan, maka diperlukan jaringan. Jaringan pipa air minum merupakan salah satu contoh masalah jaringan yang dapat diselesaikan dengan pohon merentang minimum.Terdapat 2 algoritma yang sering digunakan untuk mencari pohon merentang minimum dari suatu graf terhubung dan berbobot, yaitu Algoritma Prim dan Algoritma Kruskal.
Persoalan air minum PDAM merupakan salah satu permasalahan mendasar bagi kabupaten/kota yang sedang berkembang, salah satunya adalah Kabupaten Nganjuk.Pelayanan PDAM Kabupaten Nganjuk lebih mentitikberatkan pada Kecamatan Nganjuk yang merupaka pusat pemerintahan Kabupaten Nganjuk. Jaringan pipa air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk yang terpasang sampai saat ini belum ada perubahan sistem dari
semenjak pemasanngan pada tahun 1982, sehingga kondisi jaringan pipa air minum sudah tidak sesuai dengan perkembangan kota pada saat ini [1]. Pipa dikatakan tua jika usia kerjanya sudah melebihi batas waktu yang seharusnya, yaitu maksimal 10 tahun. Masalah yang terdapat dalam jaringan pipa air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk adalah usia pipa yang tua, banyaknya pipa yang bocor, dan terdapat pipa ganda dalam satu jalur jaringan pipa.
Pada Tugas Akhir ini dikaji jaringan pipa primer air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk dengan menggunakan Algoritma Kruskal dalam penentuan pohon merentang minimum jaringa pipa primer air minum.Pada Tugas Akhir ini juga diinformasikan tentang database jaringan pipa primer air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk.
II. TEORI GRAF
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G=(V,E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices) dan E adalah himpunan sisi-sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul [2]. Atau secara sederhana, graf merupakan kumpulan simpul-simpul yang dihubungkan dengan garis atau busur.Contohnya struktur kimia, jaringan transportasi (lalu lintas), jaringan distribusi, jaringan komunikasi, dan sebagainya.
Sebagai contoh graf G pada Gambar 1 adalah graf dengan V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} dan E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6,
e7} dengan e1= v1v2, e2 = v2v3, e3 = v3v4, e4 = v4v5, e5 = v5v3, e6
= v3v6, dan e7 = v6v1.
Gambar 1 : Graf G dengan 6 simpul dan 7 sisi Dengan memperhatikan kondisi sisinya atau orientasi pada arah sisi, suatu graf dapat dibagi menjadi dua, yaitu graf
Penggunaan Algoritma Kruskal Dalam
Jaringan Pipa Air Minum Kecamatan Nganjuk
Kabupaten Nganjuk
Angga Putra Pratama, Drs. Sumarno, DEA, dan Dr. Darmaji, S.Si., M.T.
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
: sumarno@matematika.its.ac.id
berarah (directed graph) dan graf tidak berarah (undirected graph). Graf berarah adalah graf yang mempunyai sisi yang berarah, artinya satu buah simpul yang dihubungkan oleh sisi tersebut merupakan simpul awal dan simpul yang lain dikatakan simpul akhir [3]. Graf tidak berarah adalah graf yang tidak mempunyai sisi yang berarah.
Gambar 2 Graf G1 adalah graf tidak berarah dan Graf G2 adalah graf berarah
A. Pohon
Pohon (tree) merupakan salah satu bentuk khusus dari struktur suatu graf.Pohon adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai subgraf yang memuat sikel. Sedangkan sikel (cycle) dalam graf adalah lintasan dalam graf dimana simpul (vertices) awal dan simpul akhir (vertices) sama. Sebagai contoh pada Gambar 1 graf G terdapat 2 sikel, antara lain v1v2v3v6 dan v3v4v5, oleh karena itu graf G bukan pohon. Pada
Gambar 3 diberikan contoh sejumlah pohon dan bukan pohon.
Gambar 3 G3 dan G4 adalah pohon, sedangkan G5 dan G6 bukan pohon
Pada contoh Gambar 3, G3 dan G4 dikatakan sebagai sebuah pohon karena semua simpul yang terdapat di dalam graf tersebut terhubung dan di dalam G3 dan G4 tidak memuat subgraf sikel.Sedangkan G5 dan G6 bukan pohon, karena meskipun semua simpul pada graf G5 terhubung tetapi terdapat sikel yaitu adf dan simpul pada graf G6 tidak terhubung semuanya.
Sebuah hutan adalah sebuah graf yang tidak mempunyai sikel, dan setiap subgraf terhubung didalam hutan adalah sebuah pohon [2].Jadi bisa dikatakan bahwa hutan adalah kumpulan dari beberapa pohon.Graf G6 pada Gambar 3 adalah merupakan salah satu contoh hutan, yaitu hutan yang terdiri dari 2 pohon.
B. Pohon Merentang Minimum
Pohon merentang (Spanning tree) dari suatu graf adalah subgraf yang merentang dan merupakan sebuah pohon [2]. Pohon merentang diperoleh dengan cara menghilangkan sikel yang terdapat didalam graf tersebut. Gambar 4 merupakan ilustrasi dari sebuah pohon merentang T1, T2, T3, dan T4 yang berasal dari graf G7.
Gambar 4 G7adalah sebuah graf dan T1, T2,T3, dan T4 adalah sebuah pohon
Pada Gambar 4, terlihat bahwa G7 merupakan sebuah graf terhubung dan T1, T2, T3, dan T4 merupakan pohon merentang dari graf G7. Setiap graf terhubung berbobot paling sedikit mempunyai satu pohon merentang.Pohon merentang yang memiliki bobot minimum dinamakan pohon merentang minimum (minimum spanning tree), sebagaimana diberikan oleh Gambar 5.
Gambar 5G7adalah graf berbobot sederhana dan T5, T6, T7, dan T8 adalah pohon merentang dari G7
Pada gambar 5, terlihat bahwa G7 adalah graf sederhana yang terhubung dan berbobot, yaitu bobot tiap sisinya adalah 5, 6, 8, 9 dan jumlah bobot totalnya adalah 28.Pohon merentang T5, T6, T7, dan T8 adalah pohon merentang dari G7. Bobot total T5 adalah 19, bobot total T6 adalah 22, bobot total T7 adalah 20, dan bobot total T8 adalah 23. Jadi dapat dikatakan bahwa T5 adalah pohon merentang minimum karena bobot T5 adalah bobot terkecil diantara bobot pohon merentang yang lainnya.
C. Algritma Kruskal
Algoritma Kruskal merupakan salah satu Algoritma yang terdapat dalam teori graf yang digunakan untuk mencari pohon merentang minimum (minimum spanning tree) untuk menghubungkan setiap tree (pohon) dalam forest (hutan).Algoritma Kruskal digunakan di dalam graf berbobot dan terhubung dengan cara mengurutkan sisi yang memiliki bobot kecil sampai sisi yang memiliki bobot besar sehingga tidak membentuk sikel. Langkah-langkah Algoritma Kruskal dalam pencarian pohon merentang minimum (minimum spanning tree) adalah sebagai berikut [4] :
1. Lakukan pengurutan terhadap semua sisi di graf mulai dari sisi dengan bobot kecil sampai besar.
2. Pilih sisi yang mempunyai bobot minimum yang tidak membentuk sikel. Tambahkan sisi tersebut di dalam pohon.
3. Ulangi langkah 2 diatas sampai pohon merentang minimum terbentuk, yaitu ketika sisi di dalam pohon merentang minimum berjumlah n-1 (n adalah jumlah simpul di graf).
D. Jaringan
Jaringan (network) adalah suatu istilah yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya jaringan transportasi, jaringan distribusi, dan jaringan pemasaran.Sebagai contoh jaringan distribusi, yang merupakan perkumpulan antara sumber, perantara, dan penerima (konsumen) untuk barang tertentu, adalah perpindahan barang dari sumber melalui perantara ke konsumen.Jaringan merupakan sebuah istilah untuk menandai model – model yang secara visual bisa diidentifikasi sebagai sebuah sistem jaringan yang terdiri dari rangkaian-rangkaian noda dan garis [5].Noda adalah padanan kata untuk nodes yaitu tumpahan kotoran pada daerah/bidang yang bersih, sedangkan garis berfungsi untuk menghubungkan antar noda mewakili saluran, kegiatan, dan jaringan.
Gambar 6Jaringan arah arus yang searah dan jaringan arah arus yang dua arah
Dalam sebuah sistem jaringan di mana panah yang menguhubungkan dua noda adalah searah, maka jaringan tersebut disebut jaringan terarah (directed network).Dan sebuah sistem jaringan di mana panah yang menguhubungkan dua noda adalah dua arah, maka jaringan tersebut disebut jaringan tidak terarah (undirected network) [8].Kedua jenis jaringan tersebut dapat memvisualisasikan beberapa sistem jaringan dalam kehidupan nyata.
Dengan demikian, jaringan (network) adalah istilah model untuk memvisualisasikan sebuah jaringan agar sistem jaringan yang sesungguhnya bisa diketahui dan dipahami secara mudah, cepat, dan tepat.
III. HASIL STUDI LOKASI PENDAHULUAN
Sistem penyediaan air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganju menggunakan sumber air permukaan Singokromo dan pendstribusian sumber air permukaan Singokromo menggunakan gravitasi dan sumur bor dengan pemompaan. Pada tahun 2012, jumlah pelanggan kecamatan Nganjuk yang dimiliki PDAM adalah sebesar 38,98% dari total jumlah pelanggan yang berada di daerah pelayanan PDAM Kabupaten Nganjuk yang mencakup seluruh wilayah. Pelayanan PDAM Kabupaten Nganjuk lebih cenderung di titikberatkan pada pusat pemerintahan (Kecamatan Nganjuk) dengan berbagai jenis pelanggan yang telah digolongkan berdasarkan Peraturan Pemerintah Kabupaten Nganjuk.
Sumber air permukaan Singokromo pada saat hujan dan terjadi banjir dilakukan penutupan aliran, karena kualitas air permukaan Singokromo (saat terjadi banjir) tidak memenuhi standart kualitas pemakaian air minum.Penutupan sumber hanya berlangsung sekitar 2-3 jam setah hujan berhenti karena setelah 2-3 jam sumber air permukaan Singokromo normal kembal.Utuk memenuhi kebutuhan air minum pada saat terjadi banjir, PDAM mengaktifkan kembali sumur bor yang ada ketika sumber air permukaan Singokromo belum normal kembali.
Jenis pipa distribusi yang digunakan adalah PVC, ACP, dan DCI. Diameter pipa bervariasi antara diameter 25 mm sampai dengan 300 mm dengan panjang total panjang pipa ± 61.600 m. Jalur pipa disribusi ini menyesuaikan sesuai situasi jaringan jalan di wilayah pelayanan PDAM di Kecamatan Nganjuk. Pipa distribusi pada umumnya terbagi menjadi beberapa bagian. Untuk pipa distribui PDAM Kabupaten Nganjuk terdiri atas 3 bagian, yaitu:
1. Pipa primer berdiameter 300 mm sampai dengan 150 mm 2. Pipa sekunder berdiameter 100 mm
3. Pipa tersier berdiameter 75 mm sampai dengan 25 mm Panjang pipa primer yang ideal menurut petunjuk teknis perencanaan rancangan teknik sistem penyediaan air minum perkotaan adalah tidak melebihi 1500 meter, selain itu permasalahan yang lainnya adalah diameter pipa yang tidak sesuai yang mengakibatkan ketidakefisienan dalam PDAM. Karena ketidaksesuaian dan kurang optimumnya panjang dan diameter pipa primer PDAM dalam distribusi maka mengakibatkan permasalahan teknis dalam distribusi, diantaranya kebocoran, permasalahan dalam tekanan, serta masalah lain PDAM.Gambar 7 merupakan peta jaringan pipa primer air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk.
Gambar 7 Jaringan pipa primer air minum Ke camatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk
Keterangan panjang dan diameter pipa primer pada Gambar 7 diberikan pada Tabel 1
Tabel 1 Jaringan pipa primer air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk No Jalur Pipa Panjang (m) Diameter (mm) No Jalur Pipa Panjang (m) Diameter (mm) 1 p1p9a 441 150 33 p30p31 140 150 2 p1p9b 300 150 34 p31p32 334 150 3 p2p5 1750 150 35 p32p33 250 150 4 p3p4 84 150 36 p32p36 334 150 5 p4p5 1167 150 37 p33p34 167 150 6 p4p15 84 150 38 p34p35 484 150 7 p5p6 217 150 39 p36p37 834 150 8 p6p7 1034 150 40 p36p39 34 150 9 p6p19 1650 150 41 p37p38 1084 150 10 p7p8 200 300 42 p39p40 400 150 11 p8p9 134 300 43 p40p41 100 150 12 p8p23 1067 300 44 p41p42 84 150 13 p9p10 417 300 45 p42p43 250 150 14 p10p11 358 300 46 p43p44 100 150 15 p11p14 325 300 47 p44p45 50 150 16 p11p12 183 300 48 p45p46 134 150 17 p12p13 34 300 49 p46p47 50 150 18 p12p28 334 300 50 p47p48 117 150 19 p15p16 227 150 51 p48p49 117 150 20 p16p17 100 150 52 p49p50 50 150 21 p17p18 1050 150 53 p49p55a 2457 250 22 p18p19 300 150 54 p49p55b 2417 250 23 p19p20 617 150 55 p50p51 250 150 24 p20p21 334 150 56 p50p52 1084 250 25 p21p22 234 150 57 p51p53 1100 250 26 p22p26 284 150 58 p53p54 467 250 27 p23p24 450 300 59 p55p56 1500 250 28 p24p25 100 300 60 p55p57 750 250 29 p26p27 2617 250 61 p57p58 2167 300 30 p26p40 384 150 62 p58p59 500 300 31 p28p29 458 300 63 p58p60 917 300 32 p29p30 340 300
IV. PENYELESAIAN JARINGAN PIPA AIR MINUM
A. Penyelesaian Jaringan Pipa Air Minum Menggunakan Algoritma Kruskal
Berdasarkan Gambar 7 pipa dari ujung yang satu dengan lainnya dinyatakan dengan sisi dan jarak dari ujung pipa yang satu dengan yang lainnya dinyatakan dengan bobot.Dalam menyelesaikan persoalan pohon merentang minimum jaringan pipa primer distribusi air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk digunakan Algoritma Kruskal dengan memperhitungkan nilai bobot mulai dari terkecil yang terlewati sehingga semua titik (simpul) terhubung dan tidak membentuk siklus.
Langkah-langkah dalam menggunakan Algoritma Kruskal untuk menyelesaikan persoalan jaringan pipa primer distribusi air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk adalah sebagai berikut:
1. Lakukan pengurutan terhadap semua sisi dalam jaringan pipa air minum Kecamatan Nganjuk mulai dari sisi dengan bobot kecil sampai besar.
Tabel 2 Panjang jaringan pipa primer air minum Kecamatan Nganjuk dari bobot kecil ke bobot besar
No Jalur Pipa Panjang (m) No Jalur Pipa Panjang (m) No Jalur Pipa Panjang (m) 1 p12p13 34 22 p15p16 227 43 p53p54 467 2 p36p39 34 23 p21p22 234 44 p34p35 484 3 p44p45 50 24 p32p33 250 45 p58p59 500 4 p46p47 50 25 p42p43 250 46 p19p20 617 5 p49p50 50 26 p50p51 250 47 p55p57 750 6 p3p4 84 27 p22p26 284 48 p36p37 834 7 p4p15 84 28 p1p9 b 300 49 p58p60 917 8 p41p42 84 29 p18p19 300 50 p6p7 1034 9 p16p17 100 30 p11p14 325 51 p17p18 1050 10 p24p25 100 31 p12p28 334 52 p8p23 1067 11 p40p41 100 32 p20p21 334 53 p37p38 1084 12 p43p44 100 33 p31p32 334 54 p50p52 1084 13 p47p48 117 34 p32p36 334 55 p51p53 1100 14 p48p49 117 35 p29p30 340 56 p4p5 1167 15 p8p9 134 36 p10p11 358 57 p55p56 1500 16 p45p46 134 37 p26p40 384 58 p6p19 1650 17 p30p31 140 38 p39p40 400 59 p2p5 1750 18 p33p34 167 39 p9p10 417 60 p57p58 2167 19 p11p12 183 40 p1p9 a 441 61 p49p55b 2417 20 p7p8 200 41 p23p24 450 62 p49p55 a 2457 21 p5p6 217 42 p28p29 458 63 p26p27 2617
2. Pilih sisi yang mempunyai bobot dari yang kecil ke yang besar, yang tidak mempunyai sikel. Tambahkan sisi tersebut di dalam jaringan pipa primer air minum Kecamatan Nganjuk. Proses pemilihan sisi diulangi sampai semua simpul terhubung.
• Iterasi 1: dipilih sisi p12p13 dengan panjang pipa 34 meter, kemudian ditambahkan ke dalam pohon merentang minimum jaringan pipa primer.
• Iterasi 2: dipilih sisi p36p39 dengan panjang pipa 34 meter, kemudian ditambahkan ke dalam pohon merentang minimum jaringan pipa primer.
• Iterasi 3: dipilih sisi p44p45 dengan panjang pipa 50 meter, kemudian ditambahkan ke dalam pohon merentang minimum jaringan pipa primer.
• Iterasi 4: dipilih sisi p46p47 dengan panjang pipa 50 meter, kemudian ditambahkan ke dalam pohon merentang minimum jaringan pipa primer.
• Iterasi 5: dipilih sisi p49p50 dengan panjang pipa 50 meter, kemudian ditambahkan ke dalam pohon merentang minimum jaringan pipa primer.
• Iterasi 6: dipilih sisi p3p4 dengan panjang pipa 84 meter, kemudian ditambahkan ke dalam pohon merentang minimum jaringan pipa primer.
• Iterasi berlanjut sampai sisi terakhir.
Berdasarkan iterasi lengkap, panjang pipa primer yang membentuk sebuah pohon merentang minimum adalah 30.281meter, sedangkan panjang pipa primer pada Tabel 2 adalah 35.996 meter, sehingga mempunyai selisih sepanjang pipa primer sebesar 5.715 meter. Gambar 8 menunjukkan pohon merentang minimum jaringan pipa primer air minum yang diselesaikan dengan Algoritma Kruskal.
Gambar 8Pohon merentang minimum jaringan pipa primer air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk
B. Penyelesaian Jaringan Pipa Air Minum dan Database Pipa Primer Dengan Matlab
Data yang diperoleh penulis dari PDAM Kabupaten Nganjuk digambarkan sebagai jaringan dan pohon merentang minimum. Penyelesaian dengan Algoritma Kruskal pada Subbab sebelumnya terdapat selisih jarak jaringan pipa air minum yang semula dari 35.996 meter menjadi 30.281meter. Perangkat lunak Matlab digunakan untuk ilustrasi penentuan jaringan pipa air minum dan database jaringan pipa primer air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk.
Gambar 9Tampilan Halaman Beranda
Dalam halaman beranda terdapat 2 pushbutton yang menuju kepada 2 halaman, yaitu halaman Implementasi Kruskal dan halaman SIM Pipa Primer.Gambar 10 menunjukkan tampilan halaman Implementasi Kruskal dan Gambar 13 menunjukkan tampilan halaman SIM Pipa Primer.
Gambar 10Tampilan Halaman Implementasi Kruskal Halaman Implementasi Kruskal terdapat 2 pushbutton yang menuju pada jaringan pipa primer air minum dan pohon merentang inimum jaringan pipa primer air minum yang ditunjukkan oleh Gambar 11 dan Gambar 12.
Gambar 11 Jaringan pipa primer air minum digambarkan oleh Matlab
Gambar 12 Pohon merentang minimum jaringan pipa primer air minum digambarkan oleh Matlab
Graf yang ditunjukkan oleh Gambar 11 merupakan graf yang isomorfik dengan graf yang ditunjukkan oleh Gambar 7. Begitupula dengan graf yang ditunjukkan oleh Gambar 12 yang merupakan graf yang isomorfik dengan graf yang ditunjukan oleh Gambar 8.
Halaman SIM Pipa Primer berisi tentang informasi tentangpipa primer Kecamatan Nganjuk, yaitu panjang pipa, diameter pipa, tahun pemasangan pipa, dan jenis pipa.Gambar 13 menunjukkan tampilan halaman SIM Pipa Primer.Untuk mendapatkan informasi pipa primer Kecamatan Nganjuk, terlebih dahulu memasukkan nilai di titik awal dan titik akhir dalam halaman SIM Pipa Primer.
Gambar 13Tmpilan Halaman SIM Pipa Primer
V. KESIMPULAN/RINGKASAN
Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan yang dilakukan, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa pohon merentang minimum yang dihasilkan dalam Tugas Akhir ini merupakan jaringan pipa primer air minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk yang lebih baik daripada jaringan pipa primer air minum yang ada. Penentuan pohon merentang minimum dalam jaringan pipa primer air minum ini menggunakan Algoritma Kruskal dalam pencaran pohon merentang minimum.Jaringan pipa primer existing masih terdapat pipa ganda dalam satu jalur jaringan dan sikel sehingga terdapat ketidakefisienan panjang pipa yang digunakan. Total panjang jaringan pipa primer yang digunakan saat ini adalah sepanjang 35.996 meter dan total pohon merentang minimum jaringan pipa primer adalah sepanjang 30.281meter.
VI. DAFTARPUSTAKA
[1] Effendi, Restiyan. (2009). “Evaluasi Dan Perencanaan Penyempurnaan Jaringan Distribusi Air Minum Di Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk”. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.
[2] Hartsfield, Nora. Ringel, Gerhard. (1990). “Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction”. United State of America: Academic Press.
[3] Siswanto. (2007). “Operations Research Jilid 1”. Jakarta: Erlangga.
[4] Wiria N, Deny. (2011). http://www.teknikelektro- teknologiinformasi.blogspot.com/2011/12/algoritma-kruskal.html. Diakses pada tanggal 29 Oktober 2012 pukul 13:16.
[5] Hiller, Frederick S. Lieberman, Gerald J. (1994). “Pengantar Riset Operasi Edisi kelima Jilid 1”. Jakarta: Erlangga.
