6. Algoritma Simpleks Dalam Notasi Matriks

Linear Programming

(Pemrograman Linier)

Program Studi Statistika

Semester Ganjil 2011/2012

Algoritma Simpleks dalam Notasi

Matriks

LP Secara umum:

)

,...,

2

,

1

(

0

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

...

.

.

...

max

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

2 2 1

1

n

i

x

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

t

s

x

c

x

c

x

c

z

i

m n

mn m

m

n n

n n

n n

































LP yang bersesuaian untuk

Dakota

0

,

,

,

,

,

8

5

.

0

5

.

1

2

20

5

.

1

2

4

48

6

8

.

.

0

0

0

20

30

60

max

3 2 1 3 2 1

3 3

2 1

2 3

2 1

1 3

2 1

3 2

1 3

2 1







































s

s

s

x

x

x

s

x

x

x

s

x

x

x

s

x

x

x

t

s

s

s

s

x

x

x

Tableau Optimal dari LP Dakota

Tableau

2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 z=280

Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24

Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8

Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2

Atau dalam bentuk lain:

2

5

.

1

0.5

25

.

1

8

4

2

2

24

8

2

2

280

10

10

5

3 2

2 1

3 2

3 2

3 2

1 2

3 2

2





































s

s

x

x

s

s

x

x

s

s

s

x

s

s

x

z



s

₁

,

x

₃

,

x

₁



Beberapa Notasi

Koefisien untuk BV pada struktur biaya di fungsi obyektif:

Koefisien untuk NBV pada struktur biaya di fungsi obyektif:



s

₁

,

x

₃

,

x

₁



BV



NBV





x

₂

,

s

₂

,

s

₃

























1 3 1

x

x

s

BV

x























3 2 2

s

s

x

NBV

x



0

20

60





BV

c

3 2

1 3

2

1

30

20

0

0

0

60

x

x

x

s

s

s

z















3

0

0

0





NBV

Beberapa Notasi

Koefisien untuk BV pada kendala dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:

8

5 . 0 5

. 1 2

20

5 . 1 2

4

48

6 8

3 3

2 1

2 3

2 1

1 3

2 1

 

 

 

 

 

 

s x

x x

s x

x x

s x

x

x





1 3 1

,

x

,

x

s

BV



1

s

3

x

1

x

  

 

  

  

2 5 . 0 0

4 5 . 1 0

8 1

1

B

  

 

  

  

0 0 1

1

s

a

  

 

  

  

5 . 0

5 . 1

1

3

a

  

 

  

  

2 4 8

1

Beberapa Notasi

Koefisien untuk NBV pada kendala dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:

8

5 . 0 5

. 1 2

20

5 . 1 2

4

48

6 8

3 3

2 1

2 3

2 1

1 3

2 1

 

 

 

 

 

 

s x

x x

s x

x x

s x

x

x





3 2 2

,

s

,

s

x

NBV



2

x

s

₂

s

3























1

0

5

.

1

0

1

2

0

0

6

N

  

 

  

  

5 . 1

2 6

2

a

  

 

  

  

0 1 0

2

s

a

  

 

  

  

1 0 0

3

s

Beberapa Notasi

Koefisien untuk rhs pada kendala dapat dinyatakan dalam bentuk vektor:

8

5 . 0 5

. 1 2

20

5 . 1 2

4

48

6 8

3 3

2 1

2 3

2 1

1 3

2 1

 

 

 

 

 

 

s x

x x

s x

x x

s x

x x























8

20

48

Dengan Notasi Matriks dan vektor:

  

 

  

  

1 3 1

x x s

BV x

  

 

  

  

3 2 2

s s x

NBV

x

  

 

  

  

1 0 5 . 1

0 1 2

0 0 6

N

  

 

  

  

8 20 48

b



0

20

60





BV

c

c_NBV 



30 0 0



  

 

  

  

2 5 . 0 0

4 5 . 1 0

8 1

1

B

0 ,

B . . max



 

 

NBV BV

NBV BV

NBV NBV

BV BV

t s

z

x x

b Nx

x

x c

Penentuan solusi dalam notasi

matriks

Solusi suatu sistem persamaan dalam notasi matriks adalah dengan perkalian invers

matriks_{Kendala LP dalam notasi matriks:}

Solusi diperoleh jika BV mempunyai bentuk kanonik.

Matriks bagi BV dalam bentuk matriks identitas hasil perkalian dengan invers-nya.

Mengalikan setiap suku dengan invers dari B

b

Nx

x

_BV



_NBV



B

I

B

B

-1



b

Nx

x

-1 -1

-1

B

B

B

Penentuan solusi dalam notasi

matriks

Untuk LP Dakota:

Dengan mengalikan invers dari B pada kendala:            2 5 . 0 0 4 5 . 1 0 8 1 1 B                5 . 1 5 . 0 0 4 2 0 8 2 1 1 B

b

Nx

x

_BV



B

-1 _NBV



B

-1

Penentuan Solusi dalam notasi

Matriks: untuk Kendala

Tableau

2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 z=280

Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24

Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8

Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2

Kolom untuk peubah x_j dalam kendala di tableau optimal:

Kolom untuk rhs dalam kendala di tableau optimal:

  

 

  

     

 

  

 

  

 

  

 



 

 

   

 

  

 

2 8 24

5 . 1 5 . 0 25

. 1

4 2

2

8 2

2

3 2 2

1 3 1

s s x

x x s

j

a

-1

B

b

-1

Perbandingan dengan Tableu

Optimal

Tableau

2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 z=280

Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24

Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8

Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2

Misal: Kolom untuk peubah x₂ dan dalam kendala di tableau optimal:

Kolom untuk peubah s₂ dalam kendala di tableau optimal:

Dengan cara sama untuk peubah yang lain -2 -2 1.25 2 2 -0.5 2 -1

B

a

               5 . 1 5 . 0 0 4 2 0 8 2 1 1 B            5 . 1 2 6 2 a              25 . 1 2 2 B-1a₂

2

-1

B

a

_s

Perbandingan dengan Tableu

Optimal

Tableau

2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 z=280

Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24

Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8

Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2

Kolom untuk rhs dalam kendala di tableau optimal:

B

-1

b

  

 

  

 



  



5 . 1 5 . 0 0

4 2

0

8 2

1

1 B

  

 

  

  

8 20 48

b























2

8

24

Penentuan solusi dalam notasi

matriks: untuk Baris Nol (fungsi

obyektif

Tableau

2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280

Di dalam tableau optimal, koefisien BV harus sama dengan nol, koefisien NBV ≠ 0

=0

Dengan memanfaatkan persamaan pada kendala: lakukan ERO

Tambahkan kendala yang sudah dikalikan dengan matriks yang bersesuaian pada baris nol, untuk membuat jadi nol BV

0

 

  

 _{BV BV NBV NBV} z _{BV BV NBV NBV}

z c x c x c x c x

b Nx

x_BV  _NBV 

B



s₁,x₃,x₁



Penentuan solusi dalam notasi

matriks: untuk Baris Nol (fungsi

obyektif

(*) + (**)

Kalikan dengan:

(*)

(**)

Kendala:

0

 

 BV BV NBV NBV

z c x c x

b Nx

Bx_BV  _NBV  cBVB-1

b B c Nx

B c Bx

B

c -1 -1 -1

BV NBV

BV BV

BV   c x c B Nx c B b

-1 -1

BV NBV

BV BV

BV  

 



 



_________ __________

__________

0

1 -1

- _{Nx c B b}

B c x

c

x c

x c

BV NBV

BV BV

BV

NBV NBV

BV BV

z



c B1N_ c



x _c B1b

 _{BV NBV NBV BV}

Penentuan solusi dalam notasi

matriks: untuk Baris Nol (fungsi

obyektif

Pada tableau optimal, koefisien NBV ≠ 0:

Komponen dari matriks N (dan B) adalah vektor (kolom) koefisien setiap peubah NBV (dan BV) pada kendala: a_j

Komponen dari vektor C_NBV (dan C_BV ) adalah

koefisien fungsi obyektif setiap peubah NBV (dan BV): c_j

Contoh LP Dakota:



c B1N _ c



x _c B1b

 BV NBV NBV BV

z

NBV BV

B

N

c

c

1



  

 

  

  

1 0 5 . 1

0 1 2

0 0 6 N

  

 

  

  

5 . 1

2 6

2

a

  

 

  

  

0 1 0

2

s

a

  

 

  

  

1 0 0

3

s

a



30 0 0





NBV

c

3 2

2 cs cs

Penentuan solusi dalam notasi matriks:

untuk Baris Nol (fungsi obyektif

Secara umum koefisien baris nol pada tableau optimal per komponen:

RHS baris nol pada tableau optimal:

Contoh LP Dakota:

Koefisien untuk x₂

j j

BV

j

B

c

c



c

1

a



b

B

c

_BV -1

  

 

  

 



  



5 . 1 5 . 0 0

4 2

0

8 2

1

1 B

  

 

  

  

5 . 1

2 6

2

a

  

 

  

  

0 1 0

2

s

a

  

 

  

  

1 0 0

3

s

a



0 10 10





BV

c

2 2

1

2

c

c



c

_BV

B



a





0 10 10



1 _



B c_BV





30

5 . 1

2 6 10 10

0 

  

 

  

  



30 0 0





NBV

c

5 30

35 

Penentuan solusi dalam notasi matriks:

untuk Baris Nol (fungsi obyektif

Koefisien untuk s₂

Koefisien untuk s₃

Koefisien rhs baris nol (z maks):

               5 . 1 5 . 0 0 4 2 0 8 2 1 1 B            5 . 1 2 6 2 a            0 1 0 2 s a            1 0 0 3 s a



0 10 10



 BV c 2 2 2 1 s s BV s

c

c



c

B



a





0 10 10



1 _



B c_BV





0

0 1 0 10 10 0            



30 0 0





NBV

c

10 0

10 

 3 3 3 1 s s BV s

c

c



c

B



a







0

1 0 0 10 10 0           

 10 0 10





           8 20 48 10 10 0 1 - _b B

Ringkasan solusi optimal dalam

notasi matriks

Kolom untuk peubah x_j dalam kendala di tableau optimal:

Kolom untuk rhs dalam kendala di tableau optimal:

Koefisien baris nol pada tableau optimal per komponen:

RHS baris nol pada tableau optimal:

j

a

-1

B

b

-1

B

j j

BV

j

B

c

c



c

1

a



Contoh LP dan solusinya dengan

notasi Matriks

Diketahui solusi optimal mempunyai:

Tentukan tableau optimal dengan menggunakan metode matriks!

Bentuk standar LP:

0 ,

8 2

6 2

. .

4 max

2 1

2 1

2 1

2 1

  

 

 

x x

x x

x x

t s

x x

z



x₂,s₂



BV 

0 ,

, ,

8

2

6 2

. .

4 max

2 1 2 1

2 2

1

1 2

1

2 1



 



 



 

s s x x

s x

x

s x

x t s

x x

Tentukan matriks/vektor yang diperlukan:

Kolom untuk peubah x₁ dalam kendala di tableau optimal:

Di dalam tableau optimal, peubah BV pasti mempunyai bentuk kanonik, tinggal menentukan kolom untuk

peubah NBV



x₂,s₂



BV 

0 ,

, ,

8

2

6 2

. .

4 max

2 1 2 1

2 2

1

1 2

1

2 1



 



 



 

s s x x

s x

x

s x

x t s

x x

z

B _

  

  

1 1

0 2

b _

     

8 6



4 0





BV

c

1 -1

B

a

   

    

1 0

2 1 2 1 1

B





























2

1

1

0

2 1 2 1















2 3 2 1



x₁,s₁



NBV 



1 0





NBV

Kolom untuk peubah s₁ dalam kendala di tableau optimal:

Tableau Optimal z x1 x2 s1 s2 rhs Baris 0

Baris 1 Baris 2

1/2 3/2

1/2 -1/2

1

-1

B

a

_s





























0

1

1

0

2 1 2 1

















Kolom untuk peubah BV dalam kendala di tableau optimal: Bentuk kanonik

Kolom untuk peubah

x₂ :

Cross cek dengan rumus:

Kolom untuk peubah

s₂ :

Tableau Optimal z x1 x2 s1 s2 rhs Baris 0

Baris 1 Baris 2

1/2 3/2

1/2 -1/2

1 0

0 1



x₂,s₂



BV 













0

1

2 -1

B

a





























1

2

1

0

2 1 2 1















0

1













1

0

2

-1

B

a

_s





























1

0

1

0

2 1 2 1















Kolom untuk rhs pada tableau optimal:

Tableau Optimal z x1 x2 s1 s2 rhs Baris 0

Baris 1 Baris 2

1/2 3/2

1/2 -1/2

1 0

0 1

3 5

Komponen baris nol untuk BV pada tableau optimal selalu sama dengan nol.

0 0

Komponen baris nol untuk NBV pada tableau optimal memerlukan hasil perkalian:

b

-1

B





























8

6

1

0

2 1 2 1















5

3

-1

B

BV

c





















1

0

0

4

2 1 2 1



2

0







x₂,s₂



Tableau Optimal z x1 x2 s1 s2 rhs Baris 0

Baris 1 Baris 2

1/2 3/2

1/2 -1/2

1 0

0 1

3 5

0 0

Komponen baris nol untuk NBV pada tableau optimal:

1 2

1 1

-1

1

B

c

c



c

_BV

a





2

0



B

-1



BV

c



x₁,s₁



NBV  c_NBV 



1 0







1

2

1

0

2



















2



1



1

1 1

1

-1

B

_{s s}

BV

s

c

c



c

a







₀

0

1

0

2















Tableau Optimal z x1 x2 s1 s2 rhs Baris 0

Baris 1 Baris 2

1/2 3/2

1/2 -1/2

1 0

0 1

3 5

0 0

Komponen baris nol untuk rhs pada tableau optimal:

1 2 12

Lengkapi kolom z

1 0 0

Solusi optimal:

BV z=12

x2=3 s2=5

b

c

_BV

B

-1



















8

6

0

2



12

      

8 6

b

(max) 12

, 5 ,

0 ,

3 ,

0 _{2 1 2}

1  x  s  s  z 